2020-2021学年天津市河东区九年级上学期数学期末试卷及答案

这是一份2020-2021学年天津市河东区九年级上学期数学期末试卷及答案，共26页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 一元二次方程的一次项系数和常数项分别是（ ）
A. 2和﹣3B. 3和﹣2C. ﹣3和2D. 3和2
【答案】A
【解析】
【分析】一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且a≠0）．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【详解】解：一元二次方程的一次项系数和常数项分别是2，．
故选：A．
【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程一次项系数和常数项的定义．
2. 下列关系式中，不是y关于x的反比例函数的是（ ）
A. xy＝2B. y＝C. x＝D. x＝5y﹣1
【答案】B
【解析】
【分析】形如y＝（k为常数，k≠0）的函数，叫反比例函数，根据以上定义逐个判断即可．
【详解】解：A．∵xy＝2，
∴y＝，即y是关于x的反比例函数，故本选项不符合题意；
B．∵y＝，
∴y是关于x的正比例函数，不是y关于x的反比例函数，故本选项符合题意；
C．∵x＝，
∴y＝，即y是关于x的反比例函数，故本选项不符合题意；
D．∵x＝5y﹣1，
∴y＝，即y是关于x的反比例函数，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的定义，解题关键是明确形如y＝（k为常数，k≠0）的函数，叫反比例函数，根据定义判断即可．
3. 抛掷一枚质地均匀的硬币，“反面朝上”的概率为0.5，那么抛掷一枚质地均匀的硬币100次，下列理解正确的是（ ）
A. 可能有50次反面朝上B. 每两次必有1次反面朝上
C. 必有50次反面朝上D. 不可能有100次反面朝上
【答案】A
【解析】
【分析】概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现，据此逐项判断即可．
【详解】解：抛掷一枚质地均匀的硬币，“反面朝上”的概率为0.5，那么抛掷一枚质地均匀的硬币100次，可能有50次反面朝上，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了概率的意义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．
4. 如图，的半径等于4，如果弦所对的圆心角等于90°，那么圆心O到弦的距离为（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由圆心角∠AOB=90°，可得△AOB是等腰直角三角形，作OC⊥AB，根据等腰直角三角形的性质可求得OC的长．
【详解】解：如图，作OC⊥AB于点C,则AC=BC.
.∵圆心角∠AOB=90°，OA=OB，

∴△OAB是等腰直角三角形，∠A=45°.
∵OC⊥AB，
∴∠ACO=90°.
∴OC=OA=2．
故选：C．
【点睛】此题考查了垂径定理．注意根据题意作出图形是关键．
5. 下面图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．
【详解】A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项符合题意；
B、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的概念，熟练掌握中心对称图形和轴对称图形的概念是解题关键．
6. 已知⊙O的半径OA长为1，OB＝，则正确图形可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据点到圆心的距离和圆的半径的大小关系判断点与圆的位置关系即可．
【详解】解：∵⊙O的半径OA长为1，若OB＝，
∴OA＜OB，
∴点B在圆外，
故选：B．
【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，解题关键是熟知点圆的位置关系与点到圆心的距离和半径决定．
7. 如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为1，则BD的长为（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】连接OB，由题意可知，∠OBD=90°；再说明△OAB是等边三角形，则∠AOB =60°；再根据直角三角形的性质可得∠ODB=30°，最后解三角形即可求得BD的长．
【详解】解：连接OB
∵菱形OABC
∴OA=AB
又∵OB=OA
∴OB=OA=AB
∴△OAB是等边三角形
∵BD是圆O的切线
∴∠OBD=90°
∴∠AOB=60°
∴∠ODB=30°
∴在Rt△ODB中,OD=2OB=2,BD=OD·sin∠ODB=2× =
故答案为D．
【点睛】本题考查了菱形的性质、圆的切线的性质、等边三角形的判定和性质以及解直角三角形，其中证明△OAB是等边三角形是解答本题的关键．
8. 已知反比例函数y＝，下列说法中正确的是（ ）
A. 图象分布在第一、三象限B. 点（﹣4，﹣3）在函数图象上
C. y随x的增大而增大D. 图象关于原点对称
【答案】D
【解析】
【分析】根据反比例函数的解析式得出函数的图象在第二、四象限，函数的图象在每个象限内，y随x的增大而增大，再逐个判断即可．
【详解】解：A．∵反比例函数y＝中﹣6＜0，
∴该函数的图象在第二、四象限，故本选项不符合题意；
B．把（﹣4，﹣3）代入y＝得：左边＝﹣3，右边＝，左边≠右边，
所以点（﹣4，﹣3）不在该函数的图象上，故本选项不符合题意；
C．∵反比例函数y＝中﹣6＜0，
∴函数的图象在每个象限内，y随x的增大而增大，故本选项不符合题意；
D．反比例函数y＝图象在第二、四象限，并且图象关于原点成中心对称，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，能熟记反比例函数的性质是解此题的关键．
9. 已知Rt△ABC在平面直角坐标系中如图放置，∠ACB＝90°，且y轴是BC边的中垂线．已知S△ABC＝6，反比例函数y＝（k≠0）图象刚好经过A点，则k的值为（ ）
A. 6B. ﹣6C. 3D. ﹣3
【答案】B
【解析】
【分析】设点A的坐标为（a，），表示出BC长，根据S△ABC＝6，列方程即可求．
【详解】设点A的坐标为（a，），OC=-a，
∵y轴是BC边的中垂线，OB=OC=-a
∴BC=-2a，
S△ABC＝，
6=，
∴k＝﹣6，
故选：B．
【解答】本题考查了求反比例函数的比例系数，解题关键是设反比例函数图象上点的坐标，利用坐标函数表示面积，建立方程．
10. 函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先由反比例函数的图象得到系数k的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致．
【详解】解：①当双曲线在二、四象限时，
则﹣k＜0，
∴k＞0，
∴抛物线开口向上，顶点在y轴负半轴上，
∴选项A不正确；
②当双曲线在一、三象限时，
则﹣k＞0，
∴k＜0，
∴抛物线开口向下，顶点在y轴正半轴上；
故选项B符合题意；选项C抛物线顶点在y轴负半轴，故不正确，选项D抛物线开口向上，故不正确
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数及反比例函数和图象，解决此类问题步骤一般为：（1）先根据图象的特点判断k取值是否矛盾；（2）根据二次函数图象判断抛物线与y轴的交点是否符合要求．
11. 为防止疫情扩散，佩戴口罩成为疫情期间有效防范措施之一，某工厂为了能给市场提供充足的口罩，第一个月至第三个月生产口罩由67500袋增加到90000袋，设该工厂第一个月至第三个月生产口罩平均每月增长率为x，则可列方程为（ ）
A. 67500（1+2x）=90000B. 67500(1+x)²=90000
C. 67500+67500（1+x）+67500（1+x）2=90000D. 67500×2(1+x)=90000
【答案】B
【解析】
【分析】根据该工厂第一个月及第三个月生产口罩的数量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
详解】解：依题意得67500（1＋x）2＝90000，
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题关键．
12. 抛物线过点(1，0)和点(0，－3)，且顶点在第三象限，设m＝a－b＋c，则m的取值范围是（ ）
A. －6＜m＜0B. －6＜m＜－3C. －3＜m＜0D. －3＜m＜－1
【答案】A
【解析】
【分析】求出b＞0，把x=1代入求出a=3-b，b=3-a，把x=-1代入得出y=a-b+c=2a-6，求出2a-6的范围即可．
【详解】∵对称轴在y轴的左边，
∴-＜0，
∴b＞0，
∵图象与y轴的交点坐标是（0，-3），过（1，0）点，
代入得：a+b-3=0，
∴a=3-b，b=3-a，
∴y=ax2+（3-a）x-3，
当x=-1时，y=a-b+c=a-（3-a）-3=2a-6，
∵b＞0，
∴b=3-a＞0，
∴a＜3，
∵a＞0，
∴0＜a＜3，
∴0＜2a＜6，
∴-6＜2a-6＜0，
∵y=a-b+c=a-（3-a）-3=2a-6，
∴-6＜a-b+c＜0，
即-6＜m＜0．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=-；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13. 若m是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的一个根，则2020﹣m2+3m＝_____．
【答案】2021
【解析】
【分析】先根据意元二次方程根的定义得到m2＝3m﹣1，然后把m2＝3m﹣1代入2020﹣m2+3m中后合并即可．
【详解】解：∵m是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的一个根，
∴m2﹣3m+1＝0，
∴m2＝3m﹣1，
∴2020﹣m2+3m＝2020﹣（3m﹣1）+3m
＝2020﹣3m+1+3m
＝2021．
故答案为2021．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用整体代入的方法解决此类问题．
14. 如图，六边形ABCDEF是半径为2的⊙O的内接正六边形，则劣弧CD的长为_____．
【答案】
【解析】
【分析】连接OC、OD，求出圆心角∠COD的度数，再利用弧长公式解答即可；
【详解】解：连接OC、OD，
∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴∠COD＝360°×＝60°，
∵OD＝2，
弧DC的长为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了正多边形和圆，弧长公式，解题关键是连接半径，根据正多边形的性质求出圆心角度数，熟练运用弧长公式．
15. 如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．若某人向游戏板投掷飞镖一次，假设飞镖落在游戏板上，则飞镖落在阴影部分的概率是_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．
【详解】解：∵总面积为3×3＝9，其中阴影部分面积为9﹣2××2×2﹣2××1×1＝4，
∴飞镖落在阴影部分的概率是，
故答案：．
【点睛】本题主要考查概率的求解，熟练掌握概率的求法是解题的关键．
16. 如图，已知⊙O的半径为3，弦AB、CD所对的圆心角分别是∠AOB、∠COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD＝4，则弦AB的长为_____．
【答案】
【解析】
【分析】作直径AE，连接BE，如图，利用等角的补角相等得到∠BOE＝∠COD，则根据圆心角、弧、弦的关系得到BE＝CD＝4，接着利用圆周角定理得到∠ABE＝90°，然后利用勾股定理计算AB的长．
【详解】解：作直径AE，连接BE，如图，
∵∠AOB＋∠COD＝180°，∠AOB＋∠BOE＝180°，
∴∠BOE＝∠COD，
∴BE＝CD＝4，
∵AE为直径，
∴∠ABE＝90°，
在Rt△ABE中，，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查圆的基本性质，解题的关键是应用圆的性质和勾股定理解决问题．
17. 如图，正三角形ABC的边长为2，点A，B在半径为的圆上，点C在圆内，将正三角形ABC绕点A逆时针旋转，当边AC第一次与圆相切时，旋转角为_____．
【答案】75°
【解析】
【分析】如图，分别连接OA、OB，根据已知条件推出是等腰直角三角形，得到，根据等边三角形的性质得到，求得，由切线的性质得到，于是得到结论．
详解】解：如图，分别连接OA、OB，
，，
是等腰直角三角形，
，
是等边三角形，
，
，
与圆相切，
，
，
当边AC第一次与圆相切时，旋转角为，
故答案为．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，等边三角形的性质，旋转的性质，正确的理解题意是解题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共66分，解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程）
18. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的项点称为格点，小正方形边长为1，点、、、、、均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法．
（1）在图①中以线段为边画个中心对称四边形．使其面积为9；
（2）在图②中以线段为边画一个轴对称四边形．使其面积为10；
（3）在图③中以线段为边一个四边形，使其满足仅有一对对角都为直角．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【解析】
【分析】（1）由题意直接利用平行四边形的中心对称性质及其面积的计算方法得出符合题意的图形；
（2）根据题意直接利用正方形的轴对称性质以及面积求法得出答案；
（3）由题意以线段为边一个四边形，利用割补法进行分析进而得出答案．
【详解】解：（1）中心对称四边形如下图：

（2）轴对称四边形如下图：

（3）四边形如下图：
【点睛】本题主要考查作图-应用与设计，以及四边形面积求法，正确掌握四边形的性质和面积求法是解题的关键．
19. 解下列方程：
（1）2（x﹣3）＝3x（3﹣x）；
（2）3x2﹣5x＋2＝0
【答案】（1），；（2），
【解析】
【分析】（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）利用公式法解方程即可．
【详解】（1）原方程可化为：，
∴或，
解得：；
（2）∵，
∴，
∴，
即，
【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够根据方程特点灵活选用不同的解法是解题关键．
20. 在甲口袋中有三个球分别标有数码1，-2，3；在乙口袋中也有三个球分别标有数码4，-5，6；已知口袋均不透明，六个球除标码不同外其他均相同，小明从甲口袋中任取一个球，并记下数码，小林从乙口袋中任取一个球，并记下数码．
（1）用树状图或列表法表示所有可能的结果；
（2）求所抽取的两个球数码的乘积为负数的概率．
【答案】（1）详见解析；（2）
【解析】
【分析】利用列表法展示所有可能的结果，再找出两次摸出的小球数字之积是负数的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解（1）列表法如下表示：
（2）由（1）可知，共有9种可能的乘积，其中乘积为负数的有4个，则抽取的两个球数码的乘积为负数的概率.
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
21. 如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠P＝44°．
（1）如图①，若点C为优弧AB上一点，求∠ACB的度数；
（2）如图②，在（1）的条件下，若点D为劣弧AC上一点，求∠PAD＋∠C的度数．
【答案】（1）68°；（2）248°
【解析】
【分析】（1）根据切线的性质得到∠OAP＝90°，∠OBP＝90°，根据圆周角定理即可得到结论；
（2）连接AB，根据切线长的性质得到PA＝PB，得到∠PAB＝∠PBA＝68°，再根据圆内接四边形定理可求．
【详解】解：（1）∵PA、PB是⊙O的切线，
∴∠OAP＝90°，∠OBP＝90°，
∴∠AOB＝360°﹣∠OAP﹣∠OBP﹣∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣44°＝136°，
∴∠ACB＝AOB＝68°；
（2）连接AB，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB，
∵∠P＝44°，
∴∠PAB＝∠PBA＝（180°﹣44°）＝68°，
∵∠DAB＋∠C＝180°，
∴∠PAD＋∠C＝∠PAB＋∠DAB＋∠C＝180°＋68°＝248°．
【点睛】本题考查了切线长定理、切线的性质和圆周角定理，解题关键是熟练运用圆的有关知识，恰当的连接辅助线，建立角与角之间的联系．
22. 在二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）中，函数y与自变量x的部分对应值如表：
（1）求这个二次函数的表达式及m的值；并利用所给的坐标网格，画出该函数图象；
（2）将这个二次函数向左平移2个单位，再向上平移1个单位，求平移后的函数解析式．
【答案】（1）y＝x2﹣4x＋3，m的值为3，见解析；（2）y＝x2
【解析】
【分析】（1）由二次函数图象经过点（1，0），（3，0），设出交点式，利用待定系数法求函数解析式，进一步代入点得出m的值；然后利用表中的点描点，画出函数图象即可；
（2）将抛物线解析式化为顶点式，再根据“上加下减、左加右减”的原则进行解答即可．
【详解】解：（1）抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）过点（1，0），（3，0），可设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3）
∵过点（0，3），
∴3＝3a，解得a＝1，
∴y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x＋3，
当x＝4时，y＝16﹣16＋3＝3，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x＋3，m的值为3，
函数图象如下：
（2）∵y＝x2﹣4x＋3＝（x﹣2）2﹣1，
∴将函数y＝x2﹣4x＋3向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得y＝（x﹣2＋2）2﹣1＋1，即y＝x2，
所以平移后的函数解析式为y＝x2．
【点睛】本题考查了待定系数法、抛物线的平移和画函数图象，解题关键是熟练运用待定系数法，掌握抛物线平移规律．
23. 某公司在市场销售“国耀2020”品牌手机，第一年售价定为4500元时，销售量为14百万台，根据以往市场调查经验，从第二年开始，手机每降低500元，销售量就增加2百万台，设该手机在市场销售的年份为x年（x为整数）．
（1）根据题意，填写下表：
（2）设第x年“国耀2020”手机的年销售额为y（百万元），试问该公司销售“国耀2020”手机在第几年的年销售额可以达到最大？最大值为多少百万元？
（3）若生产一台“国耀2020”手机的成本为3000元，如果你是该公司的决策者，要使公司的累计总利润最大，那么“国耀2020”手机销售 年就应该停产，去创新新的手机．
【答案】（1）见解析；（2）第二年销售额最大，为64000百万元；（3）四
【解析】
【分析】（1）根据题意填写表格即可；
（2）由题意得：W＝（2x＋12）（﹣500x＋5000）＝﹣1000（x﹣2）2＋64000，进而求解；
（3）由题意得：（2x＋12）（﹣500x＋5000﹣3000）＝0，通过解方程即可求解．
【详解】（1）根据题意，填写下表：
（2）由题意得：W＝（2x＋12）（﹣500x＋5000）＝﹣1000（x﹣2）2＋64000，
∵﹣1000＜0，故抛物线开口向下，W有最大值，
当x＝2（年）时，W最大值为64000（百万元），
第二年销售额最大，为64000百万元；
（3）由题意得：（2x＋12）（﹣500x＋5000﹣3000）＝0，
﹣1000（x＋1）2＋25000＝0，
∴x1＝4，x2＝﹣6（舍），
∴第四年该手机应该停产，
【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，解题关键是读懂题意，确定变量，建立函数模型，利用函数的增减性来解答．
24. 如图1，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，点D在AB边的延长线上，且CD＝AB．
（1）求BD的长度；
（2）如图2，将△ACD绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到△A'CD'．
①若α＝30°，A'D'与CD相交于点E，求DE的长度；
②连接A'D、BD'，若旋转过程中A'D＝BD'时，求满足条件的α的度数．
（3）如图3，将△ACD绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到△A'CD'，若点M为AC的中点，点N为线段A'D'上任意一点，直接写出旋转过程中线段MN长度的取值范围．
【答案】（1）3﹣3；（2）①6﹣2；②45°或225°；（3）3﹣3≤MN≤6＋3
【解析】
【分析】（1）过点C作CH⊥AB于H，由等腰直角三角形的性质可得CH＝BH＝AB，由勾股定理求出DH，则可求出答案；
（2）①由旋转的性质可得CD＝CD'＝，∠DCD'＝30°＝∠CDA＝∠CD'A'，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可得CF＝D'F＝3，EF＝，CE＝2EF＝2，即可求解；
②分两种情况讨论，由“SSS”可证△A'CD≌△BCD'，可得∠A'CD＝∠BCD'，即可求解；
（3）当A'D'⊥AC时，N是AC与A'D'的交点时，MN的长度最小，当A'D'⊥AC时，N是AC与A'D'的交点时，MN的长度最小，即可求解．
【详解】解：（1）如图1，过点C作CH⊥AB于H，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，CH⊥AB，
∴AB＝CD＝6，CH＝BH＝AB＝3，∠CAB＝∠CBA＝45°，
∴DH＝，
∴BD＝DH﹣BH＝3﹣3；
（2）①如图2，过点E作EF⊥CD'于F，
∵将△ACD绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到△A′CD′，
∴CD＝CD'＝6，
∵图1中CD=2CH，
∴∠DCD'＝30°＝∠CDA＝∠CD'A'，
∴CE＝D'E，
又∵EF⊥CD'，
∴CF＝D'F＝3，EF＝，CE＝2EF＝2，
∴DE＝DC﹣CE＝6﹣2；
②如图2﹣1，
∵∠ABC＝45°，∠ADC＝30°，
∴∠BCD＝15°，
∴∠ACD＝105°，
∵将△ACD绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到△A′CD′，
∴AC＝A'C，CD＝CD'，∠ACA'＝∠DCD'＝α，
∴CB＝CA'，
又∵A′D＝BD′，
∴△A'CD≌△BCD'（SSS），
∴∠A'CD＝∠BCD'，
∴105°﹣α＝15°＋α，
∴α＝45°；
如图2﹣2，
同理可证：△A'CD≌△BCD'，
∴∠A'CD＝∠BCD'，
∴α﹣105°＝360°﹣α﹣15°，
∴α＝225°，
综上所述：满足条件的α的度数为45°或225°；
（3）如图3，当A'D'⊥AC时，N是AC与A'D'的交点时，MN的长度最小，
∵∠A'＝45°，A'D'⊥AC，
∴∠A'＝∠NCA'＝45°，
∴CN＝A'N＝3，
∵点M为AC的中点，
∴CM＝AC＝3，
∴MN的最小值＝NC﹣CM＝3﹣3；
如图4，当点A，点C，点D'共线，且点N与点D'重合时，MN有最大值，
此时MN＝CM＋CN＝6＋3，
∴线段MN的取值范围是3﹣3≤MN≤6＋3．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质、旋转的性质及二次根式的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质、旋转的性质及二次根式的性质是解题的关键．
25. 如图，抛物线y＝x2﹣x﹣2与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，直线y＝kx＋m，经过点B，C．
（1）求k的值；
（2）点P是直线BC下方抛物线上一动点，求四边形ACPB面积最大时点P的坐标；
（3）若M是抛物线上一点，且∠MCB＝∠ABC，请直接写出点M的坐标．
【答案】（1）；（2）P（2，﹣3）；（3）点M（，）或（3，﹣2）
【解析】
【分析】（1）先求出点A，点B，点C坐标，利用待定系数法可求解；
（2）过点P作PE⊥AB交BC于点E，点P（a，a2﹣a﹣2），则点E（a，a﹣2），利用面积和差关系和二次函数的性质可求解；
（3）分两种情况讨论，先求出直线BM或BM'的解析式，联立方程组可求解．
【详解】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣x﹣2与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，
当x=0时，y=-2，C点坐标为（0，﹣2），
当y=0时，0＝x2﹣x﹣2，
解得，x1=-1，x2=4，
点A（﹣1，0），点B（4，0），
∵直线y＝kx＋m，经过点B，C，
∴，
解得：，
直线解析式为y＝x-2，
∴k的值为；
（2）如图1，过点P作PE⊥AB交BC于点E，
由（1）可知，A（﹣1，0），
设点P（a，a2﹣a﹣2），则点E（a，a﹣2），
∴PE＝a﹣2﹣（a2﹣a﹣2）＝﹣a2＋2a，
∵四边形ACPB面积＝（4＋1）×2＋×（﹣a2＋2a）×4＝﹣（a﹣2）2＋9，
∴当a＝2时，四边形ACPB面积有最大值，
此时点P（2，﹣3）；
（3）如图2，当点M在BC上方时，设CM交AB于点H，
∵∠MCB＝∠ABC，
∴CH＝BH，
∵CH2＝OC2＋OH2，
∴BH2＝4＋（4﹣BH）2，
∴BH＝，
∴OH＝，
∴点H（，0），
∵点C（0，﹣2），点H（，0），
∴直线CH解析式为：y＝x﹣2，
联立方程组可得，
解得：（舍去），，
∴点M（，），
当点M'在BC下方时，
∵∠M'CB＝∠ABC，
∴M'C∥AB，
∴点M'的纵坐标为﹣2，
∴点M'的坐标为（3，﹣2）；
综上所述：点M （，）或（3，﹣2）．
【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的综合，主要考查了待定系数法，二次函数的最值，等角问题，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
1
2
3
4
-5
6
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
3
0
﹣1
0
m
…
第x年
1
2
3
…
x
售价（元）
4500
4000

…

销售量（百万台）
14
16

…

第x年
1
2
3
…
x
售价（元）
4500
4000
3500
…
﹣500x＋5000
销售量（百万台）
14
16
18
…
2x＋12