【寒假作业】沪教版2020 高中数学 高二寒假巩固提升训练 专题09+双曲线（四大核心考点六种题型）-练习.zip

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思维导图
核心考点聚焦
考点一 双曲线的定义
考点二 双曲线的标准方程
考点三 求双曲线方程的方法
考点四 双曲线的相关性质
考点一 双曲线的定义
平面内与两个定点，的距离的差的绝对值等于常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
对于双曲线的定义，有以下理解:
在双曲线的定义中，“距离的差”要加绝对值，否则只表示双曲线的一支，如若，为双曲线的左、右焦点，则有如下两种情形:
(1)若点满足(>0)，则点在双曲线的左支上．
(2)若点满足(>0)，则点在双曲线的右支上．
补充讲解：(1)若，即，则根据平面几何知识，当时，动点的轨迹是以为端点方向向右的一条射线，当时，动点的轨迹是以为端点方向向左的一条射线；
(2)若，即，则与“三角形两边之差小于第三边”相矛盾，故此时动点的轨迹不存在；
(3)特别地，当2=0时，，根据线段垂直平分线的性质，动点的轨迹是线段的垂直平分线．
考点二 双曲线的标准方程
焦点在轴上的双曲线的标准方程为(>0，>0)，焦点分别是，．
2. 焦点在轴上的双曲线的标准方程为(>0，>0)，焦点分别是，．
3.，，三者的关系为．且
其中a与b的大小关系:可以为
在双曲线的标准方程中，长度分别为，，的三条线段恰好构成一个直角三角形，且长度为的线段是斜边，如图所示．
补充讲解：(1)标准方程中的两个参数和确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件．
(2)焦点，的位置是双曲线的定位条件，它决定了双曲线标准方程的类型，焦点跟着正项走，即若的系数为正，则焦点在轴上；若的系数为正，则焦点在轴上．
(3)当且仅当双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上时，双曲线的方程才具有标准形式．
(4)双曲线的标准方程的特征是(数Ⅰ与数Ⅱ异号)，因此方程又可写为()，这种形式是当焦点所在的坐标轴不易判断时的统一设法．
椭圆与双曲线的比较如下表：
考点三 求双曲线方程的方法
考点四 双曲线的相关性质
补充讲解：1．等轴双曲线
定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样的双曲线叫做等轴双曲线
等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率
等轴双曲线可以设为：，当时交点在x轴，当时焦点在y轴上
2．共渐近线的双曲线系
如果已知一双曲线的渐近线方程为，那么此双曲线方程就一定是：或写成
3．双曲线的草图
具体做法是：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线的顶点及第一象限内任意一点的位置，然后过这两点并根据双曲线在第一象限从渐近线下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分，最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线
4．离心率
双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率 范围：
双曲线形状与e的关系：，e越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔 由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔
5．共轭双曲线
以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线 区别：三量a,b,c中a,b不同（互换）c相同
共用一对渐近线 双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上
确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为-1
共用同一对渐近线的双曲线的方程具有什么样的特征：可设为，当时交点在x轴，当时焦点在y轴上
6.准线方程：
对于来说，相对于左焦点对应着左准线，相对于右焦点对应着右准线；
位置关系： 焦点到准线的距离（也叫焦参数）
对于来说，相对于上焦点对应着上准线；相对于下焦点对应着下准线
7．焦点弦：
定义：过焦点的直线割双曲线所成的相交弦
焦点弦公式：可以通过两次焦半径公式得到：
设两交点
当双曲线焦点在x轴上时，焦点弦只和两焦点的横坐标有关：
过左焦点与左支交于两点时：
过右焦点与右支交于两点时：
当双曲线焦点在y轴上时，
过左焦点与左支交于两点时：
过右焦点与右支交于两点时：
8．通径：
定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦 直接应用焦点弦公式，得到
双曲线的定义（共3小题）
1.（2023春·上海市杨浦高中高二第二学期期中）设是双曲线上的动点，则到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为（ ）
A. 4B. C. D.
2.（2023春·上海师大附中高二第二学期期中）若椭圆和双曲线有相同的焦点和，而是这两条曲线的一个交点，则的值是（ ）
A. B. C. D.
3.（2023春·上海师大附中高二第二学期期中）点到点的距离之差为，到轴、轴距离之比为，则的取值范围是__________.
双曲线的标准方程（共3小题）
1.（2023春·上海市奉贤中学高二第二学期期中）以椭圆的焦点为顶点、椭圆的顶点为焦点的双曲线的标准方程是______．
2. （2023春·上海市复旦附中高二第二学期期中）在中，，，，则顶点的轨迹方程是__________.
3.（2023春·上海师大附中高二第二学期期中）若双曲线经过点，它的一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程为___________.
双曲线几何性质的简单应用（共2小题）
1.（2023春·上海市奉贤中学高二第二学期期中）过双曲线的右焦点F作一条垂直于x轴的垂线交双曲线C的两条渐近线于A、B两点，O为坐标原点，则的面积的最小值为________.
2.（2023春·上海师大附中高二第二学期期中）双曲线焦点坐标为__________.
求双曲线的离心率（或范围）（共2小题）
1.若双曲线与直线没有公共点，则该双曲线的离心率e的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2.（2023春·上海交大附中高二第二学期期中）已知双曲线的渐近线方程为y=±，则此双曲线的离心率为________.
直线与双曲线（共4小题）
1.（2023春·上海市复旦附中高二第二学期期中）已知双曲线，过点作直线和双曲线交于A，B两点.点A在第一象限，过点A作x轴的垂线，垂足为H，则直线倾斜角的取值范围是__________.
2.（2023春·上海交大附中高二第二学期期中）设双曲线的右焦点为，，若直线与的右支交于，两点，且为的重心，则直线斜率的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
3.（2023春·上海师大附中高二第二学期期中）如图所示，从双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为线段的中点，为坐标原点，则与的大小关系为（ ）
A. B.
C. D. 不确定
4.（2023春·上海师大附中高二第二学期期中）如图，已知，为双曲线的焦点，过作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且，则双曲线的渐近线方程为__________.

双曲线有关的最值，定值问题（共2 小题）
1.（2023春·上海师大附中高二第二学期期中）已知双曲线，四点中恰有三点在C上．
（1）求C方程；
（2）过点的直线l交C于P，Q两点，过点P作直线的垂线，垂足为A．证明：直线AQ过定点．
2.（2023春·上海师大附中高二第二学期期中）已知圆的圆心为，圆的圆心为，一动圆与这两圆都外切．
（1）求动圆圆心的轨迹方程；
（2）若过点的直线与（1）中所求轨迹有两个交点，求的取值范围．
一、单选题
1. （2023春·上海师大附中高二第二学期期中）“”是“方程表示双曲线”的（ ）条件
A．充分不必要B．充要C．必要不充分D．既不充分又不必要
2. 某椭圆或双曲线的标准方程对应的图形经过点，，则关于该图形判断正确的是（ ）
A．焦点在x轴上的双曲线B．焦点在y轴上的双曲线
C．焦点在x轴上的椭圆D．焦点在y轴上的椭圆
3.与椭圆C：共焦点且过点的双曲线的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
1.（2023春·上海市杨浦高中高二第二学期期中）双曲线的渐近线方程________．
2.（2022秋•奉贤区期末）已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，它的渐近线方程为y＝±2x，则它的离心率等于 ．
3.（2022秋•普陀区期末）双曲线的两条渐近线的夹角大小等于 ．
4.（2023春·上海师大附中高二第二学期期中）已知圆C过双曲线的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是________．
5.（2022秋•宝山区期末）双曲线C的左、右焦点分别为F1、F2，点A在y轴上．双曲线C与线段AF1交于点P，与线段AF2交于点Q，直线AF1平行于双曲线C的渐近线，且|AP|：|PQ|＝5：6，则双曲线C的离心率为 ．
6.（2022秋•松江区期末）已知F1，F2是双曲线Γ：的左、右焦点，点M是双曲线Γ上的任意一点（不是顶点），过F1作∠F1MF2的角一部分线的垂线，垂足为N，线段F1N的延长线交MF2于点Q，O是坐标原点，若，则双曲线Γ的渐近线方程为 ．
三、解答题
1.（2023春·上海市杨浦高中高二第二学期期中）某团队开发一款“猫捉老鼠”的游戏，如图所示，A、B两个信号源相距10米，O是AB的中点，过O点的直线l与直线AB的夹角为45°，机器猫在直线l上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足：接收到A点的信号比接收到B点的信号晚秒，其中（单位：米/秒）是信号传播的速度.
（1）以O为原点，以OB方向为x轴正方向，且以米为单位建立平面直角坐标系，设机器鼠所在位置为点P，求点P的轨迹方程；
（2）若游戏设定：机器鼠在距离直线l不超过2米的区域运动时，有“被抓”的风险.如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”风险？
2.（2023 黄埔区二模）已知双曲线的中心在坐标原点，左焦点与右焦点都在轴上，离心率为，过点的动直线与双曲线交于点、．设．
（1）求双曲线的渐近线方程；
（2）若点、都在双曲线的右支上，求的最大值以及取最大值时的正切值；（关于求的最值．某学习小组提出了如下的思路可供参考：①利用基本不等式求最值；②设为，建立相应数量关系并利用它求最值；③设直线l的斜率为k，建立相应数量关系并利用它求最值）.
（3）若点在双曲线的左支上（点不是该双曲线的顶点，且，求证：是等腰三角形．且边的长等于双曲线的实轴长的2倍．
3.（2023 静安区二模） 已知双曲线Γ：（其中）的左、右焦点分别为（c，0）、（c，0）（其中）.
（1）若双曲线Γ过点（2，1）且一条渐近线方程为；直线l的倾斜角为，在y轴上的截距为.直线l与该双曲线Γ交于两点A、B，M为线段AB的中点，求△的面积；
（2）以坐标原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线Γ在第一象限的交点为P.过P作圆的切线，若切线的斜率为，求双曲线Γ的离心率.
椭圆
双曲线
定义
与的关系
的关系
标准方程
或
或
图象
焦点在轴上
焦点在轴上
方法
内容
已知条件或适合题型
定义法
通过对条件的分析，根据定
义确定轨迹是双曲线，求出
并写出方程．
已知的值或动点满足
待定系数法
由已知条件确定双曲线的类型，设方程，代入已知数据，求待定系数
已知双曲线上某点的坐标
或焦点坐标或焦距
相关点法
①确定动点满足的等量关系，列出方程；②建立动点坐标与中间变量之间的关系，消去后得到方程
①已知动点满足某种规律；
②已知动点与已知曲线上
的动点之间的关系
标准方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1
(a>0，b>0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1
(a>0，b>0)
图 形
性 质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±eq \f(b,a)x
y＝±eq \f(a,b)x
离心率
e＝eq \f(c,a)，e∈(1，＋∞)
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2