【寒假作业】苏教版2019 高中数学 高二寒假巩固提升训练 复习专题05+抛物线8种常见考法归类-练习.zip

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思维导图
核心考点聚焦
考点一、求抛物线的标准方程
考点二、抛物线定义的应用
(一)利用抛物线的定义求距离或点的坐标
(二)与抛物线定义有关的最大(小)值问题
考点三、抛物线的轨迹问题
考点四、直线与抛物线的位置关系
考点五、直线与抛物线的弦长、焦点弦、中点弦问题
(一)弦长问题
(二)焦点弦问题
(三)中点弦问题
考点六、抛物线中的参数范围及最值问题
考点七、抛物线的定值、定点、定直线问题
(一)定值问题
(二)定点问题
(三)定直线问题
考点八、抛物线的实际应用
知识点1 抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
注：①在抛物线定义中，若去掉条件“l不经过点F”，点的轨迹还是抛物线吗？
不一定是，若点F在直线l上，点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线．
②定义的实质可归纳为“一动三定”
一个动点M；一个定点F(抛物线的焦点)；一条定直线(抛物线的准线)；一个定值(点M到点F的距离与它到定直线l的距离之比等于1)．
知识点2 抛物线的方程及简单几何性质
知识点3 直线与抛物线的位置关系
设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2＋2(km－p)x＋m2＝0.
(1)若k≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；
当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；
当Δ<0时，直线与抛物线相离，没有公共点．
(2)若k＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．
注：(1)直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件．
(2)研究直线与抛物线的关系时要注意直线斜率不存在的情况．
(3)求弦长问题的方法
①一般弦长：|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|，或|AB|＝eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|.
②焦点弦长：设过焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p.
知识点4 焦点弦问题
过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，那么线段AB叫做焦点弦，
如图：设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p.
注：(1)x1·x2＝eq \f(p2,4).
(2)y1·y2＝－p2.
(3)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2p,sin2α) (α是直线AB的倾斜角)．
(4)eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p)为定值(F是抛物线的焦点)．
1、求抛物线的标准方程的方法
注：当抛物线的焦点位置不确定时，应分类讨论，也可以设y2＝ax或x2＝ay(a≠0)的形式，以简化讨论过程．
2、用待定系数法求抛物线标准方程的步骤
3、抛物线定义的两种应用
(1)实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距离与点线距离的相互转化，从而简化某些问题．
(2)解决最值问题．在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题．
4、直线与抛物线的位置关系
将直线方程与抛物线方程联立，转化为一元二次方程，可通过直线与抛物线的位置关系转化为对判别式Δ或者对向量数量积的限制条件，利用限制条件建立不等式或等式，利用根与系数的关系运算求解.eq \a\vs4\al()
5、求抛物线实际应用的五个步骤
6、求轨迹问题的两种方法
(1)直接法：按照动点适合条件直接代入求方程．
(2)定义法： 若动点满足某种曲线定义，可按待定系数法列方程(组)求解曲线方程．
考点剖析
考点一、求抛物线的标准方程
1.若抛物线：的焦点坐标为，则抛物线的方程为（ ）
A．B．C．D．
2.若抛物线的顶点是原点，准线为直线，则此抛物线的方程为 .
3.以坐标轴为对称轴，焦点在直线上的抛物线的标准方程为（ ）
A．或B．或
C．或D．或
4.以椭圆的左焦点为焦点的抛物线的标准方程是（ ）
A．B．C．D．
5.点到抛物线的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（ ）
A．B．或
C．或D．
6.已知抛物线（）上一点M的纵坐标为，该点到准线的距离为6，则该抛物线的标准方程为（ ）
A．B．或
C．D．或
考点二、抛物线定义的应用
利用抛物线的定义求距离或点的坐标
7.若抛物线上一点到拋物线焦点的距离为，则点到原点的距离为（ ）
A．B．1C．D．
8.已知抛物线的焦点为F，点P为E上一点，Q为PF的中点，若，则Q点的纵坐标为（ ）
A．7B．5C．3D．1
9.已知F为抛物线的焦点，点A在抛物线C上，O为原点，若为等腰三角形，则点A的横坐标可能为（ ）
A．2B．C．D．
与抛物线定义有关的最大(小)值问题
10.已知抛物线：的焦点为，抛物线上有一动点，，则的最小值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
11.已知抛物线和点，F是抛物线的焦点，P是抛物线上一点，则的最小值是（ ）．
A．5B．6C．7D．8
12.已知过抛物线的焦点F且倾斜角为的直线交C于A，B两点，Q为弦的中点，P为C上一点，则的最小值为（ ）
A．B．8C．D．5
13.已知直线和直线，则抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是（ ）
A．B．C．2D．
14.设点P是抛物线:上的动点,点M是圆:上的动点,d是点P到直线的距离,则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
15.已知抛物线：的准线为，点的坐标为，点在抛物线上，点到直线的距离为，则的最大值为（ ）
A．B．C．1D．
16.已知F为抛物线的焦点，P为该抛物线上的动点，点，则的最大值为（ ）
A．B．C．2D．
考点三、抛物线的轨迹问题
17.若动点到点的距离等于它到直线的距离，则点的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
18.在平面直角坐标系xOy中，动点到直线的距离比它到定点的距离小1，则P的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
19.若动点满足，则点M的轨迹是（ ）
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
20.【多选】已知，，直线AP，BP相交于P，直线AP，BP的斜率分别为，则（ ）
A．当时，点的轨迹为除去A，B两点的椭圆
B．当时，点的轨迹为除去A，B两点的双曲线
C．当时，点的轨迹为抛物线
D．当时，点的轨迹为一条直线
21.设圆C与圆外切，与直线相切，则圆C的圆心的轨迹为（ ）
A．抛物线B．双曲线C．椭圆D．圆
22.已知点P是曲线上任意一点，，连接PA并延长至Q，使得，求动点Q的轨迹方程．
考点四、直线与抛物线的位置关系
23.过点作直线与抛物线相交，恰好有一个交点，则符合条件的直线的条数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
24.直线与抛物线的位置关系为（ ）
A．相交B．相切C．相离D．不能确定
25.已知命题p：，命题q：直线与抛物线有两个公共点，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
26.抛物线上一点到直线距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．
27.在平面直角坐标系中，抛物线上一点的横坐标为4，且点到的距离为5，
(1)求抛物线的方程；
(2)若斜率为1的直线交抛物线于、两点（位于对称轴异侧），且，求直线的方程.
考点五、直线与抛物线的弦长、焦点弦、中点弦问题
弦长问题
28.过抛物线的焦点作倾斜角为120°的直线交抛物线于、两点，则长为（ ）
A．2B．C．D．1
29.根据抛物线的光学性质，从抛物线的焦点发出的光，经抛物线反射后光线都平行于抛物线的轴，已知抛物线，若从点Q（3，2）发射平行于x轴的光射向抛物线的A点，经A点反射后交抛物线于B点，则 .
30.入射光线由点出发，沿轴反方向射向抛物线：上一点，反射光线与抛物线交于点，则的值为（ ）
A．4B．C．2D．
31.已知抛物线过点（）．
(1)求C的方程；
(2)若斜率为的直线过C的焦点，且与C交于A，B两点，求线段的长度．
32.斜率为直线过抛物线的焦点，且与交于两点，则三角形（为坐标原点）的面积是（ ）
A．B．C．D．
33.已知抛物线上任意一点M到焦点F的距离比M到y轴的距离大1．
(1)求E的标准方程；
(2)，，交E于A，C两点，交E于B，D两点．求四边形ABCD的面积的最小值．
焦点弦问题
34.已知抛物线的焦点为，过的动直线与抛物线交于两点，满足的直线有且仅有一条，则 ．
35.过抛物线的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，且，则直线l的斜率为（ ）
A．B．C．D．
36.已知抛物线C的焦点为F，准线为l，过F的直线m与C交于A、B两点，点A在l上的投影为D，若，则（ ）
A．B．2C．D．3
37.设F为抛物线的焦点，点M在C上，点N在准线l上，满足，，则（ ）
A．B．C．2D．
38.过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦AB、CD，则（ ）
A．2B．4C．D．
39.【多选】已知抛物线的焦点为F，过焦点F的直线l交抛物线于A，B两点（其中点A在x轴上方），则（ ）
A．
B．弦AB的长度最小值为l
C．以AF为直径的圆与y轴相切
D．以AB为直径的圆与抛物线的准线相切
40.【多选】已知抛物线的焦点为，准线为为抛物线上任意一点，点为在上的射影，线段交轴于点为线段的中点，则（ ）
A．
B．直线与抛物线相切
C．点的轨迹方程为
D．可以是直角
中点弦问题
41.若抛物线的弦AB中点坐标为，则直线AB的斜率为（ ）
A．－4B．4C．－2D．2
42.已知抛物线，过点引抛物线的一条弦，使它恰在点P处被平分，则这条弦所在的直线l的方程为（ ）
A．B．C．D．
43.已知抛物线C：的焦点为F，直线l与抛物线C交于A，B两点，线段AB的中点为，则点F到直线l的距离为（ ）
A．B．C．D．
44.已知点F为抛物线的焦点，过F的直线l与C交于A、B两点．若中点的纵坐标为2，则( )
A．6B．7C．9D．10
45.已知直线与抛物线相交于、两点.
(1)若直线过点，且倾斜角为，求的值；
(2)若直线过点，且弦恰被平分，求所在直线的方程.
考点六、抛物线中的参数范围及最值问题
46.已知抛物线的焦点为F，过点的直线l与抛物线C交于，P，Q两点，则的最小值是（ ）
A．8B．10C．13D．15
47.已知抛物线，圆．若点，分别在，上运动，且设点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
48.已知抛物线的焦点为F，动点M在C上，圆M的半径为1，过点F的直线与圆M相切于点N，则的最小值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
49.已知为抛物线的焦点，过的直线与抛物线交于，两点，若在轴负半轴上存在一点，使得为锐角，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
50.已知是抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于、两点，且．
(1)求抛物线的方程；
(2)若为坐标原点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线的垂线与抛物线的另一交点为，的中点为，求的取值范围．
考点七、抛物线的定值、定点、定直线问题
(一)定值问题
51.已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且．
(1)求抛物线的方程；
(2)过点且斜率存在的直线交抛物线于不同的两点，设为坐标原点，直线的斜率分别为，求证：为定值．
52.已知抛物线的顶点是坐标原点，焦点在轴上，且抛物线上的点到焦点的距离是5.
(1)求该抛物线的标准方程；
(2)若过点的直线与该抛物线交于，两点，求证：为定值.
53.已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，椭圆的短轴长为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点且斜率为的直线交椭圆于两点，交抛物线于两点，请问是否存在实常数，使为定值？若存在，求出的值及定值；若不存在，说明理由.
54.已知点在抛物线上，过点的直线与相交于两点，直线分别与轴相交于点.
(1)当弦的中点横坐标为3时，求的一般方程;
(2)设为原点，若，求证:为定值.
（二）定点问题
55.已知抛物线的焦点为，点在直线上运动，直线，经过点，且与分别相切于两点．
(1)求的方程；
(2)试问直线是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
56.已知抛物线：上一点到焦点的距离为，
(1)求抛物线的方程；
(2)若在第一象限，不过的直线与抛物线相交于，两点，且直线，的斜率之积为，证明：直线过定点．
57.已知抛物线上一动点G，过点G作x轴的垂线，垂足为D，M是上一点，且满足.
(1)求动点M的轨迹C；
(2)若为曲线C上一定点，过点P作两条直线分别与抛物线交于A，B两点，若满足，求证：直线恒过定点，并求出定点坐标.
58.已知圆过点，且与直线相切．
(1)求圆心的轨迹的方程；
(2)为轨迹上的动点，为直线上的动点，求的最小值；
(3)过点作直线交轨迹于、两点，点关于轴的对称点为．问是否经过定点，若经过定点，求出定点坐标；若不经过，请说明理由．
59.已知曲线的焦点为，曲线上有一点满足.
(1)求抛物线的方程；
(2)过原点作两条相互垂直的直线交曲线于异于原点的两点，直线与轴相交于，试探究轴上存在一点是否存在异于的定点满足恒成立.若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由.
（三）定直线问题
60.已知抛物线，，是C上两个不同的点．
(1)求证：直线与C相切；
(2)若O为坐标原点，，C在A，B处的切线交于点P，证明：点P在定直线上．
61.已知抛物线C：（）与圆O：相交于A，B两点，且点A的横坐标为.F是抛物线C的焦点，过焦点的直线l与抛物线C相交于不同的两点M，N.
（1）求抛物线C的方程.
（2）过点M，N作抛物线C的切线，，是，的交点，求证：点P在定直线上.
62.如图，过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，AM，AN，BC，BD分别垂直于坐标轴，垂足依次为M，N，C，D．
(1)若矩形ANOM和矩形BDOC面积分别为，，求的值；
(2)求证：直线MN与直线CD交点在定直线上．
考点八、抛物线的实际应用
63.清代青花瓷盖碗是中国传统茶文化的器物载体，具有“温润”“淡远”“清新”的特征．如图，已知碗体和碗盖的内部均近似为抛物线形状，碗盖深为，碗盖口直径为，碗体口直径为，碗体深，则盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为（碗和碗盖的厚度忽略不计）（ ）

A．B．C．D．
64.探照灯､汽车前灯的反光曲面､手电筒的反光镜面､太阳灶的镜面等都是抛物镜面.灯泡放在抛物线的焦点位置，通过镜面反射就变成了平行光束，如图所示，这就是探照灯､汽车前灯､手电筒的设计原理.已知某型号探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，灯口直径是，灯深，则光源到反射镜顶点的距离为（ ）
A．B．C．D．
65.如图是一抛物线型机械模具的示意图，该模具是抛物线的一部分且以抛物线的轴为对称轴，已知顶点深度4cm，口径长为12cm．
(1)以顶点为坐标原点建立平面直角坐标系（如图），求该抛物线的标准方程；
(2)为满足生产的要求，需将磨具的顶点深度减少1cm，求此时该磨具的口径长．
66.图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为拋物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，若是该拋物线上一点，点，则的最小值为（ ）

A．4B．3C．2D．1
67.某单行隧道横断面由一段抛物线及一个矩形的三边组成，尺寸如图所示（单位：m），某卡车载一集装箱，车宽3 m，车与集装箱总高4.5 m，此车能否安全通过隧道？说明理由．
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一、单选题
1．（2023上·甘肃陇南·高二校考期末）已知抛物线（）与倾斜角为45°的一直线相切于点，则该抛物线的焦点坐标为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023上·黑龙江佳木斯·高二校考期末）已知抛物线，是抛物线上一点，则点到点距离的最小值是（ ）
A．1B．2C．D．
3．（2023上·陕西西安·高二校考期末）已知抛物线（）的焦点为F，点在抛物线C上，且，则（ ）
A．4B．6C．8D．10
4．（2023上·江西宜春·高二校考期末）已知是抛物线的焦点，点在抛物线上，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2023上·陕西汉中·高三西乡县第一中学校联考期中）若是抛物线位于第一象限的点，是抛物线的焦点，，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
6．（2023上·河南新乡·高二校考期末）已知点在抛物线上，是抛物线的焦点，点为直线上的动点，则的最小值为（ ）
A．8B．C．D．
7．（2023·福建厦门·厦门一中校考模拟预测）已知抛物线：的焦点为，点为上一点，为靠近点的三等分点，若，则点的纵坐标为（ ）
A．2B．4C．6D．8
8．（2023上·陕西西安·高三长安一中校考期中）已知抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为，点在抛物线上，且，则（ ）
A．B．C．D．
9．（2023下·河南焦作·高二焦作市第一中学校考期末）已知点，抛物线的焦点为， 射线与抛物线 交于点，与拋物线准线相交于，若 ， 则的值为（ ）
A．B．1C．2D．3
10．（2023下·湖北咸宁·高二统考期末）已知，，是抛物线上三个动点，且的重心为抛物线的焦点，若，两点均在轴上方，则的斜率恒有，则的最大值为（ ）
A．1B．C．D．
二、多选题
11．（2023上·黑龙江牡丹江·高二牡丹江市第二高级中学校考期末）已知抛物线的焦点为F，过F且倾斜角为的直线l交抛物线于A，B两点，以下结论中正确的有（ ）
A．直线l的方程为
B．原点到直线l的距离为
C．
D．以AB为直径的圆过原点
12．（2023上·浙江台州·高二校联考期末）已知抛物线的焦点为，为上一动点，，则下列结论中正确的是（ ）
A．的准线方程为B．直线与相切
C．的最小值为4D．的最小值为3
13．（2023上·海南省直辖县级单位·高二嘉积中学校考期末）已知抛物线的焦点为，顶点为，点在抛物线上，若，则下列选项正确的是（ ）
A．B．以MF为直径的圆与轴相切
C．D．
14．（2023上·吉林长春·高二校考期末）已知抛物线：的的焦点为，、是抛物线上两点，则下列结论正确的是（ ）
A．点的坐标为
B．若直线过点，则
C．若，则的最小值为
D．若，则线段的中点到轴的距离为
三、填空题
15．（2023上·陕西西安·高二校考期末）抛物线，过焦点的弦AB长为8，则AB中点M的横坐标为 .
16．（2023上·新疆伊犁·高二校考期末）斜率为的直线过抛物线的焦点，且与C交于A，B两点，则 .
17．（2023下·内蒙古·高二校联考期末）已知A，B，M，N为抛物线上四个不同的点，直线AB与直线MN互相垂直且相交于焦点F，O为坐标原点，若的面积为2，则四边形AMBN的面积为 ．
18．（2023下·宁夏银川·高二银川一中校考期末）已知是抛物线的焦点，过点且斜率为2的直线与交于两点，若，则 .
19．（2023下·云南保山·高二统考期末）已知抛物线的焦点为为坐标原点，不经过点的直线与抛物线交于两点，且，则点到直线距离的最大值为 .
四、解答题
20．（2023上·青海西宁·高二校联考期末）已知抛物线C：的焦点为F，过F作垂直于轴的直线与抛物线C交于A、B两点，O为坐标原点，的面积为2.
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)若直线l与抛物线C交于P，Q两点，是线段PQ的中点，求直线l的方程.
21．（2023上·云南曲靖·高二校考期末）若椭圆过抛物线的焦点，且与双曲线有相同的焦点.
(1)求椭圆的方程；
(2)不过原点的直线与椭圆交于两点，求面积.
22．（2023·四川凉山·统考一模）为抛物线上一点，过作两条关于对称的直线分别交于两点．
(1)求的值及的准线方程；
(2)判断直线的斜率是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．
23．（2023上·青海玉树·高二校联考期末）在平面直角坐标系中，动点到点的距离等于点到直线的距离.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)记动点的轨迹为曲线，过点的直线与曲线交于两点，，直线的斜率为，直线的斜率为.证明：为定值.
24．（2023·海南·校联考模拟预测）已知抛物线（）的焦点F到双曲线的渐近线的距离是．
(1)求p的值；
(2)已知过点F的直线与E交于A，B两点，线段的中垂线与E的准线l交于点P，且线段的中点为M，设，求实数的取值范围．
25．（2023·江西九江·统考一模）已知过点的直线与抛物线交于两点，过线段的中点作直线轴，垂足为，且.
(1)求抛物线的方程；
(2)若为上异于点的任意一点，且直线与直线交于点，证明：以为直径的圆过定点.
类型
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
图象
性质
焦点
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
准线
x＝－eq \f(p,2)
x＝eq \f(p,2)
y＝－eq \f(p,2)
y＝eq \f(p,2)
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
x∈R，y≥0
x∈R，y≤0
对称轴
x轴
y轴
顶点
O(0,0)
离心率
e＝1
开口方向
向右
向左
向上
向下
定义法
根据定义求p，最后写标准方程
待定系数法
设标准方程，列有关的方程组求系数
直接法
建立恰当的坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出对应方程，化简方程