【寒假作业】苏教版2019 高中数学 高二寒假巩固提升训练 复习专题06+等差数列及其前n项和8种常见考法归类-练习.zip

专题06 等差数列及其前n项和8种常见考法归类思维导图核心考点聚焦考点一、利用定义及前n项和求等差数列的通项公式(一)利用定义求通项(二)利用前n项和求通项考点二、等差数列的基本量的计算(一)等差数列通项公式及其应用(二)等差数列前n项和的有关计算(三)与数学文化的结合考点三、等差数列的判定与证明考点四、等差数列性质的应用(一)等差中项的应用(二)利用等差数列性质计算及应用考点五、等差数列前n项和的性质(一)等差数列前n项和与中项性质(二)等差数列片段和的性质(三)等差数列前n项和与n的比值问题(四)两个等差数列前n项和的比值问题考点六、等差数列前n项和的最值问题考点七、等差数列偶数项和奇数项和与绝对值问题(一)等差数列偶数项或奇数项的和(二)含绝对值的等差数列的前n项和考点八等差数列的综合问题知识点1 等差数列的有关概念1.等差数列定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示.用递推公式表示为或.注：(1)要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．(2)注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别．(3)等差数列（通常可称为数列）的单调性：在公差为d的等差数列{an}中：①d＞0⇔{an}为递增数列；②d＝0⇔{an}为常数列；③d<0⇔{an}为递减数列.2.等差数列的通项公式：；⇒当d≠0时，an是关于n的一次函数模型．等差数列通项公式的变形及推广设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则①an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)，②an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)，③d＝eq \f(an－am,n－m)(m，n∈N*，且m≠n)．其中，①的几何意义是点(n，an)均在直线y＝dx＋(a1－d)上．②可以用来利用任一项及公差直接得到通项公式，不必求a1.③可用来由等差数列任两项求公差．3.从函数角度认识等差数列{an}若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)．(1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上，这条直线的斜率为d，在y轴上的截距为a1－d ；(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d.4.等差中项的概念：定义：如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项,其中 .，，成等差数列.注：在等差数列{an}中，从第二项起，每一项都是它前后两项的等差中项，即{an}成等差数列⇔an＋1＋an－1＝2ann≥2. 知识点2 等差数列的四种判断方法(1) 定义法：对于数列，若(常数)，则数列是等差数列；(2) 等差中项：对于数列，若，则数列是等差数列;(3)通项公式：(为常数,)⇔ 是等差数列;(4)前项和公式：(为常数, )⇔ 是等差数列;(5)是等差数列⇔是等差数列.提醒：判断时易忽视定义中从第2项起，以后每项与前一项的差是同一常数，即易忽视验证a2－a1＝d这一关键条件.知识点3 等差数列的性质（1）通项公式的推广：在等差数列中，对任意，，，；（2）在等差数列中，若，，，且，则,特殊地， SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT 时，则 SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT ， SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT 是 SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT 的等差中项.（3）ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等差数列，公差为md(k，m∈N*)；（4）两个等差数列与的和差的数列仍为等差数列，{pan＋qbn}也是等差数列（5）若数列是等差数列,则仍为等差数列．（6）如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是两个原等差数列公差的最小公倍数．知识点4 等差数列的前n和公式注：（1）等差数列的前n和公式的推导对于一般的等差数列{an}，如何求其前n项和Sn？设其首项为a1，公差为d.(倒序相加法)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，,Sn＝an＋an－1＋an－2＋…＋a1，))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(Sn＝a1＋a1＋d＋a1＋2d＋…＋a1＋n－1d，,Sn＝an＋an－d＋an－2d＋…＋an－n－1d，))两式相加可得2Sn＝n(a1＋an)，即Sn＝eq \f(na1＋an,2)，上述过程实际上用到了等差数列性质里面的首末“等距离”的两项的和相等．（2）等差数列{an}的前n项和公式的函数特征Sn＝eq \f(na1＋an,2) eq \o(――→,\s\up7(an＝a1＋n－1d),\s\do5(　))Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)d＝eq \f(d,2)n2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n⇒当d≠0时，Sn关于n的表达式是一个常数项为零的二次函数式，即点(n，Sn)在其相应的二次函数的图象上，这就是说等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数，它的图象是抛物线y＝eq \f(d,2)x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))x上横坐标为正整数的一系列孤立的点．且d>0时图象开口向上，d<0时图象开口向下. （3）公式一反映了等差数列的性质，任意第k项与倒数第k项的和都等于首末两项之和；知识点5 等差数列前n项和的性质（1）等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即 SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT 成等差数列，公差为n2d；（2）设数列是等差数列，且公差为，（Ⅰ）若项数为偶数2n，则S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)；S偶－S奇＝nd；eq \f(S奇,S偶)＝eq \f(an,an＋1)；（Ⅱ）若项数为奇数，设共有项，则S2n－1＝(2n－1)an；(中间项)；②.等差数列中，,则,.注：在等差数列中，若Sn＝m，Sm＝n，则Sm＋n＝－(m＋n)（4）若与为等差数列，且前项和分别为与，则.（5）若{an}是等差数列，则eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也成等差数列，其首项与{an}首项相同，公差是{an}公差的eq \f(1,2)；1.解决等差数列运算问题的思想方法(1)方程思想：等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题.(2)整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，d表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解．(3)利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程．等差数列的常用性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq，常与求和公式Sn＝eq \f(na1＋an,2)结合使用．(4)特殊设法:三个数成等差数列，一般设为；四个数成等差数列，一般设为.这对已知和,求数列各项,运算很方便.2.等差数列的常用性质（1）通项公式的推广：在等差数列中，对任意，，，；（2）在等差数列中，若，，，且，则,特殊地， SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT 时，则 SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT ， SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT 是 SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT 的等差中项.（3）ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等差数列，公差为md(k，m∈N*)；（4）两个等差数列与的和差的数列仍为等差数列，{pan＋qbn}也是等差数列（5）若数列是等差数列,则仍为等差数列．（6）如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是两个原等差数列公差的最小公倍数．3.等差数列的判定与证明方法4.等差数列前n项和的性质（1）等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即 SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT 成等差数列，公差为n2d；（2）设数列是等差数列，且公差为，（Ⅰ）若项数为偶数2n，则S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)；S偶－S奇＝nd；eq \f(S奇,S偶)＝eq \f(an,an＋1)；（Ⅱ）若项数为奇数，设共有项，则S2n－1＝(2n－1)an；(中间项)；②.等差数列中，,则,.注：在等差数列中，若Sn＝m，Sm＝n，则Sm＋n＝－(m＋n)（4）若与为等差数列，且前项和分别为与，则.（5）若{an}是等差数列，则eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也成等差数列，其首项与{an}首项相同，公差是{an}公差的eq \f(1,2)；5.求等差数列前n项和最值的常用方法（1）利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值．当，时，有最大值；，时，有最小值；若已知，则最值时的值（）则当，，满足的项数使得取最大值，(2)当，时，满足的项数使得取最小值.（2）利用等差数列的前n项和：(为常数, )为二次函数，通过配方或借助图像，二次函数的性质，转化为二次函数的最值的方法求解；有时利用数列的单调性（,递增；，递减）；（3）数列中最大项和最小项的求法：求最大项的方法：设为最大项，则有；求最小项的方法：设为最小项，则有.只需将等差数列的前n项和依次看成数列，利用数列中最大项和最小项的求法即可.（4）在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用.考点剖析考点一、利用定义及前n项和求等差数列的通项公式(一)利用定义求通项1.若数列满足，，则数列的通项公式为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据等差数列的定义和通项公式直接得出结果.【详解】因为，所以数列是等差数列，公差为1，所以.故选：B2.在数列中，，，，则18是数列中的（    ）A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项【答案】C【分析】根据等差数列的定义，结合等差数列的通项公式进行求解即可.【详解】由，得是首项为2，公差为4的等差数列，所以，令，解得，所以18是数列中的第5项．故选：C3.数列满足，，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】记，可证明是等差数列，先求解，再代入求解即可.【详解】记，则，，故数列是以为首项，公差的等差数列，故，故.故选：B4.已知数列的前项和为，满足，，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意可知数列是公差为1的等差数列，先求出数列的通项公式，再利用与的关系求出即可.【详解】∵a1 = 1，－ = 1，∴是以1为首项，以1为公差的等差数列，∴，即，∴（）.当时，也适合上式，.故选：A.5.已知数列满足，则（    ）A．9 B． C．11 D．【答案】B【分析】根据题意，化简得到，得到数列为等差数列，结合等差数列的通项公式，即可求解.【详解】由数列满足，可得，即，因为，可得，所以数列表示首项为，公差为的等差数列，则，所以.故选：B.利用前n项和求通项6.设为数列的前项和，若，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据公式，即可求解.【详解】当时，，当时，，验证，当时，，所以.故选：A7.已知数列的前项和，则这个数列的通项公式为（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】已知和求通项公式：进行计算.【详解】当时，当时，故选：C8.【多选】数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（    ）A．数列是递增数列 B．C．当时， D．当或4时，取得最大值【答案】BCD【分析】根据给定的前项和，求出，再逐项判断作答.【详解】数列的前项和，当时，，而满足上式，所以，B正确；数列是公差为的等差数列，是单调递减的，A不正确；当时，，C正确；当时，，即数列前3项均为正，第4项为0，从第5项起为负，因此当或4时，取得最大值，D正确.故选：BCD9.已知正项数列的前n项和为，且，则（    ）A．4045 B．4042 C．4041 D．4040【答案】A【分析】根据与的关系，由的的递推关系式，由时，确定首项，即可得，于是能求解的值.【详解】解：∵    ①，∴当时，   ②，①-②得，∵，∴，∴，∴当时，，解得∴是首项为1，公差为2的等差数列，则，于是有．故选：A．10.设是数列的前n项和，且，则下列选项错误的是（ ）A． B．C．数列为等差数列D．－5050【答案】A【分析】由可得－＝－1，即数列是以＝－1为首项，－1为公差的等差数列可判断C，由求出可判断A，B；由等差数列的前n项和公式可判断D.【详解】是数列的前n项和，且，则，  整理得－＝－1（常数），所以数列是以＝－1为首项，－1为公差的等差数列，故C正确；所以，故．所以当时，－，不适合上式，故故B正确，A错误；所以， 故D正确．故选：A.考点二、等差数列的基本量的计算等差数列通项公式及其应用11.已知等差数列中， ， ，则首项与公差分别为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意列出方程组，即可求得答案.【详解】设等差数列的公差为，依题得，解得.故选：D12.等差数列中，，，则的通项为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据已知条件求得等差数列的首项和公差，从而求得.【详解】设等差数列的公差为，依题意，解得，所以.故选：A13.已知{an}是等差数列，且，则该数列的公差是（    ）A．3 B． C．－4 D．－14【答案】A【分析】设数列{an}公差为d，首项为，则由可得关于和 d的方程组.【详解】设数列{an}公差为d，首项为，则由可得：.故选：A14.在数列中，，且数列是等差数列，则（    ）A．16 B． C．19 D．【答案】B【分析】根据等差数列的定义与性质运算求解.【详解】由题意可得：，设数列为的公差，则，即，故，解得.故选：B．15.【多选】已知四个数成等差数列，它们的和为28，中间两项的积为40，则这四个数依次为（    ）A．-2，4，10，16 B．16，10，4，-2C．2，5，8，11 D．11，8，5，2【答案】AB【分析】根据等差数列的性质，列出方程求解即可【详解】设这四个数分别为，，，，则解得或所以这四个数依次为-2，4，10，16或16，10，4，-2.故选：AB16.已知数列{an}是等差数列，前四项和为21，末四项和为67，且前n项和为286，则n的值为（    ）A．28 B．26 C．14 D．13【答案】B【分析】由等差数列的定义和性质可得首项与末项之和等于，再由前项和为，求得的值.【详解】由等差数列的定义和性质可得首项与末项之和等于，再由前项和为，解得，故选：B.【点睛】该题考查的是有关等差数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的性质，等差数列的求和公式，属于简单题目.等差数列前n项和的有关计算17.等差数列的前项和，，则（    ）A．9 B．12 C．30 D．45【答案】D【分析】由等差数列的通项公式与前项和公式求得，然后再由前项和公式结合等差数列的性质计算．【详解】是等差数列，∴，，，，，．故选：D．18.已知等差数列的前n项和为，，，则数列的公差是（    ）A． B． C． D．3【答案】D【分析】根据等差数列前n项和公式求出，进一步求出公差.【详解】因为，所以，又，所以.故选：D19.若为等差数列，是数列的前项和，，，则等于（    ）A．7 B．6 C．5 D．4【答案】D【分析】根据题意，设等差数列的公差为，进而建立方程组求解得，再计算即可.【详解】解：根据题意，设等差数列的公差为，因为，所以，解得，所以.故选：D与数学文化的结合20.在明朝程大位《算法统宗》中有首依等算钞歌：“甲乙丙丁戊己庚，七人钱本不均平，甲乙念三七钱钞，念六一钱戊己庚，惟有丙丁钱无数，要依等第数分明，请问先生能算者，细推详算莫差争．”题意是“现有甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七人，他们手里钱不一样多，依次成等差数列，已知甲、乙两人共237钱，戊、已、庚三人共261钱，求各人钱数．”根据上面的已知条件，丁有（    ）A．107钱 B．102钱 C．101钱 D．94钱【答案】C【分析】根据等差数列的知识列方程，求得首项和公差，从而求得正确答案.【详解】设等差数列的公差为，依题意，，解得，所以丁有钱.故选：C21.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题:“今有女子善织，日增等尺，三日织9尺，第二日、第四日、第六日所织之和为15尺，则其七日共织尺数为几何？”大致意思是:“有一女子善于织布，每日增加相同的尺数，前三日共织布9尺，第二日、第四日、第六日所织布之和为15尺，问她前七日共织布多少尺？” （   ）A．28 B．32 C．35 D．42【答案】C【分析】该女子每日织布的尺数构成等差数列，记为，进而得，再解方程，并计算前项和即可.【详解】解：由题知，该女子每日织布的尺数构成等差数列，记为，设其每日增加的尺数为，其前项和为，所以，，即，解得，，所以，她前七日共织布尺.故选：C22.疫情防控期间，某单位把110个口罩全部分给5个人，使每人所得口罩个数成等差数列，且较大的三份之和与较小的两份之和的比为9：2，则最小一份的口罩个数为（    ）A．6 B．10 C．12 D．14【答案】A【分析】利用等差数列前项和公式及等差数列通项公式联立方程组解出即可.【详解】设等差数列的首项为，公差为，由条件可知，，①，②解得，所以最小一份的口罩个数为6个，故选：A．23.《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至起，接下来依次是小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏,小满、芒种共十二个节气，其日影长依次成等差数列，其中大寒、惊蛰、谷雨三个节气的日影长之和为25.5尺，且前九个节气日影长之和为85.5尺，则立春的日影长为（    ）A．10.5尺 B．11尺 C．11.5尺 D．12尺【答案】A【分析】结合等差数列的知识求得正确答案.【详解】设等差数列的首项为，公差为，依题意，，即，解得，所以尺.故选：A考点三、等差数列的判定与证明24.【多选】已知数列满足，，则下列结论正确的是（    ）A．为等差数列 B．的通项公式为C．为等比数列 D．的前n项和【答案】AB【分析】由两边取倒数，可求出的通项公式，再逐一对四个选项进行判断，即可得答案.【详解】因为，所以，又，所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列，，故A正确，C错误；所以，故B正确；因为，所以的前项和，故D错误.故选：AB.25.已知数列的首项，且满足．(1)求证：数列为等差数列；(2)若，求数列前n项和．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】(1)根据递推公式可得：，结合等差数列的定义判断是否为等差数列即可；(2)由（1）可得，利用裂项相消法即可求解.【详解】（1）为常数∴是以为公差的等差数列．（2）∵，∴由（1）得，∴，∴，∴.26.已知数列，满足，，.(1)证明：为等差数列.(2)设数列的前项和为，求.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据已知代入化简得出，即可证明；（2）根据（1）得出数列的通项，当为偶数时，利用并项求和法得出，当为奇数时，为偶数，由得出，即可综合得出答案.【详解】（1）由题意得，，则，所以是首项，公差为1的等差数列.（2）由（1）得，则，当为偶数时，.当为奇数时，为偶数，则.综上，.27.已知数列中，，(1)求证：数列是等差数列，并求出的通项公式；(2)设，求数列的前n项和【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】（1）由递推公式可得，即可证明数列是等差数列，由等差数列定义即可求得；（2）由（1）可得，利用错位相减法即可求得数列的前n项和.【详解】（1）当时，由可得，易知；两边同时取倒数可得，即，由等差数列定义可得是以为首项，公差的等差数列，所以，即，可得，显然时，符合上式，即的通项公式为；（2）由（1）可得，所以，，两式相减可得，所以考点四、等差数列性质的应用等差中项的应用28.若是与的等差中项，则实数a的值为（    ）A． B． C． D．5【答案】D【分析】根据等差中项的概念，列式即可求得答案.【详解】由题意知是与的等差中项，故，则.故选：D29.设等差数列的前n项和为，若，，成等差数列，且，则的公差（    ）A．2 B．1 C．-1 D．-2【答案】D【分析】根据等差数列的求和公式及等差中项化简求值即可.【详解】，，成等差数列，且，，，解得．故选：D．30.在等差数列中，、是方程的两根，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用韦达定理结合等差中项的性质可求得的值.【详解】由韦达定理和等差中项的性质可得，因此，.故选：A.31.在等差数列中，，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求得等差数列中的值，再利用三角函数诱导公式即可求得的值.【详解】等差数列中，，则，则故选：D利用等差数列性质计算及应用32.在等差数列中，已知，则______．【答案】20【分析】运用等差中项的性质即可求解.【详解】∵为等差数列，∴，∴，∴，故答案为：20.33.在等差数列中，，则的值为（    ）A． B．11 C．22 D．33【答案】B【分析】根据等差数列的性质求解即可.【详解】由等差数列的性质可知：，而，所以，即.故选：B.34.已知为等差数列，，则（    ）A．8 B．12 C．16 D．20【答案】B【分析】利用等差数列的性质求解.【详解】设等差数列的公差为，因为，∴，解得，∴，故选：B35.已知数列是等差数列，若，则等于（    ）A．7 B．21 C．14 D．17【答案】C【分析】由条件结合等差数列的性质可求，再结合等差数列性质求.【详解】由等差数列性质，数列为等差数列，若，，则，因为数列为等差数列，，所以，又，所以，因为数列为等差数列，，所以，故选：C.考点五、等差数列前n项和的性质等差数列前n项和与中项性质36.已知等差数列的前项和为，若，则=（    ）A．96 B．72 C．48 D．24【答案】B【分析】根据等差数列的性质和前项和公式，结合已知条件，即可求得结果.【详解】因为是等差数列，故可得：，所以.故选：B.37.已知等差数列的前项和为且满足，则（    ）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】根据等差数列的性质计算可得答案．【详解】因为，所以.故选：C.38.已知等差数列的前项和为，且，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用等差数列下标和性质可化简已知等式求得，代入等差数列求和公式可求得结果.【详解】由等差数列性质知：，解得：，.故选：B.39.设是等差数列的前n项和，若，则的值是（    ）A．10 B．20 C．30 D．60【答案】B【分析】根据等差数列的求和公式结合等差数列的下标和性质运算求解.【详解】由题意可得：，则.故选：B.40.记等差数列的前项和为，若，则（    ）A．24 B．36 C．48 D．64【答案】C【分析】根据等差数列前项和公式及等差数列性质求解即可.【详解】因为，所以，所以.故选：C41.已知为等差数列的前项和，若，则 .【答案】【分析】利用等差数列的求和公式可求得的值，再利用等差数列的基本性质可求得的值.【详解】因为为等差数列的前项和，，解得，由等差数列的基本性质可得.故答案为：.等差数列片段和的性质42.若为等差数列，其前n项和为，则（    ）A．10 B．12 C．14 D．16【答案】B【分析】利用等差数列的性质可得成等差数列，即可求得答案【详解】因为成等差数列，故，即，得.故选：B43.设等差数列的前项和为，若，，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由等差数列片段和的性质可得出、、、成等差数列，即可求得的值.【详解】解：由等差数列的性质可知，、、、成等差数列，且该数列的公差为，则，所以，，因此，.故选：D.44.在等差数列中，其前项和为，若，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据等差数列前项和的性质求解即可【详解】由等差数列前项和的性质可得，成等差数列，设，则，即成等差数列，故，解得，故即，故，，故故选：D等差数列前n项和与n的比值问题45.等差数列中，，前项和为，若，则______.【答案】【分析】由已知结合等差数列的性质可得为等差数列，再设公差为及通项公式即可求解．【详解】设的公差为，由等差数列的性质可知，因为，故，故为常数，所以为等差数列，设公差为，，，，，则故答案为：46.等差数列的前项和为，若且，则(    )A． B．C． D．【答案】A【分析】等差数列前n项和构成的数列{}为等差数列，公差为原数列公差的一半﹒【详解】设的公差为d，∵∴，即{}为等差数列，公差为，由知，故﹒故选：A﹒47.已知公差不为0的等差数列的前项和为，且，，成等比数列，．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）若，求的前项和．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据所给条件，结合等差数列的通项公式和性质进行解方程即可得解；（2）由，利用错位相减法即可得解.【详解】（1）设公差为，由可得，可得，再由，，成等比数列，可得，由公差不为可得，所以；（2），，，作差可得，所以.两个等差数列前n项和的比值问题48.已知数列，均为等差数列，且其前n项和分别为和．若，则______．【答案】【分析】根据等差数列中等差中项的性质，将所求的，再由等差数列的求和公式，转化为，从而得到答案.【详解】因为数列、均为等差数列，且，所以故答案为：49.两个等差数列和，其前项和分别为，，且，则等于（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知，根据等差数列的通项性质以及前项和公式，把转化为求解即可．【详解】解：由等差数列的性质可得，．故选：C．50.数列与均为等差数列，其前项和分别为与，若，则__________，使得为整数的值个数__________.【答案】          【分析】利用等差数列的基本性质可得出，即可得出的值；计算得出，可知能被整除，求出的可能取值，可得出结轮.【详解】由等差数列的性质可得，，若为整数，且，故能被整除，故或，解得或，所以，使得为整数的值个数为.故答案为：；.51.有两个等差数列、，其前项和分别为、.（1）若，则______；（2）若，则______. 【答案】     ##     【分析】（1）利用等差数列的基本性质可求得出，即可得解；（2）设，，其中，求出、，即可得出的值.【详解】（1）；（2）因为，设，，其中，则，，因此，.故答案为：（1）；（2）.52.等差数列，前n项和分别为与，且，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据等差数列前项和的特点，由已知设出，分别求出其通项公式，代入计算可得答案.【详解】设等差数列，的首项和公差分别为，则，因为，由等差数列前项和的特点，故可设，其中为非零常数，由，当时，，当时，，当时上式仍旧适合，故，同理可得，当时，，所以.故选：A.53.已知两个等差数列{}和}的前n项和分别为和，且，则的值为（　　）A． B． C． D．2【答案】A【分析】由题，可设，，则.【详解】因等差数列前n项和为关于n的不含常数项的二次函数，又，则可设，，则.故选：A考点六、等差数列前n项和的最值问题54.【多选】已知等差数列的前项和为，，，则下列结论正确的有（    ）A．是递减数列 B．C． D．最小时，【答案】BD【分析】根据等差数列的性质首项可得：公差且即可判断等差数列是递增数列，进而求解.【详解】因为等差数列的前项和为，且，所以，则有，因为，所以公差，且，所以等差数列是递增数列，故选项错误；，故选项正确；因为，故选项错误；由可知：等差数列的前10项均为负值，所以最小时，，故选项正确，故选：.55.已知是等差数列的前项和，且，则（    ）A．数列为递增数列 B．C．的最大值为 D．【答案】B【分析】由且，所以，所以公差，所以时，时，逐项分析判断即可得解.【详解】由且，所以，故B正确；所以公差，数列为递减数列，A错误；由，，，所以，，时，，的最大值为，故C错误；，故D错误.故选：B56.【多选】已知等差数列的前n项和为，公差为，且，则下列说法正确的是（    ）A． B．C． D．当时，取得最小值【答案】ACD【分析】根据题干条件利用可得到，，，然后即可根据三个结论依次判断四个选项的正误.【详解】因为，所以，，.对于A、B选项，因为，，所以，故选项A正确，选项B错误；对于C，因为，所以，故选项C正确；对于D，因为，，可知，，等差数列为递增数列，当时，，当时，，所以当时，取得最小值，故D选项正确.故选：ACD.57.【多选】已知等差数列，前项和为，则下列结论正确的是（    ）A． B．的最大值为C．的最小值为 D．【答案】ACD【分析】先由数列为等差数列，得再由等差数列通项公式和求和公式对选项逐一分析即可.【详解】对于A,数列为等差数列，，数列为递减的等差数列，故A正确，对于B, 数列为递减的等差数列，的最大值为，故B错，对于C, 由得的最小值为,即，故C正确，对于D, 故D正确.故选：ACD58.【多选】已知是公差为的等差数列，其前项和是，若，则下列结论正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】BC【分析】由题知，再根据等差数列的性质，前项和公式依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：因为所以，所以，故A错误；B正确；，故C正确；因为，所以，故D错误.故选：BC59.设为等差数列的前n项和，且，都有，若，则（    ）A．的最小值是 B．的最小值是C．的最大值是 D．的最大值是【答案】A【分析】由结合等差数列的前n项和公式可知数列为递增的等差数列，由可得，，即可求出，有最小值，且最小值为.【详解】由，得，即，所以数列为递增的等差数列.因为，所以，即，则，，所以当且时，；当且时，.因此，有最小值，且最小值为.故选：A.考点七、等差数列偶数项和奇数项和与绝对值问题等差数列偶数项或奇数项的和60.在等差数列中，已知公差，且，则__________.【答案】145【分析】根据题意得到，再由等差数列性质得到，代入数据计算即可得到答案.【详解】等差数列中，已知公差， .故答案为：145.61.设等差数列的项数为奇数，则其奇数项之和与偶数项之和的比为（   ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据等差数列前项和公式解决即可.【详解】由题知，奇数项有项，偶数项有项，奇数项之和为，偶数项之和为，所以奇数项之和与偶数项之和的比为，故选：D62.已知等差数列共有项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则的值为（    ）．A．30 B．29 C．28 D．27【答案】B【分析】由等差数列的求和公式与等差数列的性质求解即可【详解】奇数项共有项，其和为，∴．偶数项共有n项，其和为，∴．故选：B．63.一个等差数列的前12项和为354，前12项中，偶数项的和与奇数项的和之比为32∶27，求公差d．【答案】【分析】由题意可得，可解得它们的值，而，代入可解．【详解】解：设首项为，公差为，则由题意可得，解得又，．64.一个等差数列共有偶数项,偶数项之和为84,奇数项之和为51,最后一项与第一项之差为63,则该数列公差为________.【答案】3【分析】根据等差数列前项和公式,设出首相公差和项数，列出等式,计算出项数和公差即可.【详解】解:由题知不妨设等差数列为,首项为,公差为,项数为,故有,两式相减,因为,故,故.故答案为:3含绝对值的等差数列的前n项和65.【多选】已知为等差数列，，则（    ）A．的公差为2 B．的公差为3C．的前50项和为900 D．的前50项和为1300【答案】AD【分析】根据求出，求出通向公式..【详解】，，所以A对，B错.，，当时，；当时，，=，所以D对，C错.故选：AD66.数列是递增的等差数列，且，.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）通过等差数列的通项公式得到关于的方程组，解出即可.（2）分和，讨论，结合等差数列前项和的公式即可得到答案.【详解】（1）设递增的等差数列的公差，因为，，所以，解得，或（舍去），所以.（2）设，则.由，即，解得.当，时，.当，时，.故.67.已知数列的前n项和为，．(1)求数列的通项公式；(2)求数列前n项的和．【答案】(1)(2)【分析】(1)根据求解即可；(2)由于时，，当时，，所以分和两种情况讨论求解即可.【详解】（1）因为数列的前项和为，所以当时，，当时，，显然，当时，满足，所以.（2）由（1）知，因为时，，当时，，所以当时，，当时，①，②，所以①②得，因为，所以，所以68.已知数列的前项和为，.(1)求证：数列为等差数列；(2)求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由可得，从而可证明；（2）由（1）得，则，利用和与项的关系可得，由，解得，设表示数列的前项和，当时，，当时，，从而得到结果.【详解】（1）因为，所以，所以是首项为，公差为-1的等差数列.（2）由（1）得，则，所以，又符合上式，所以，设表示数列的前项和，由，解得，则①当时，；②当时，，故.考点八等差数列的综合问题69.【多选】已知数列满足，，则（    ）A． B．是的前项和，则C．当为偶数时 D．的通项公式是【答案】AD【分析】利用并项求和法可判断B选项；推导出，分为奇数、偶数两种情况求出数列的通项公式，可判断ACD选项.【详解】数列满足，，因为，，所以，，B错；由题意，①，②，由②①得，，由，，所以，当为奇数时，设，则，当为偶数时，设，则，综上所述，对任意的，，C错D对；，A对.故选：AD.70.【多选】以下四个命题中，真命题的是（    ）A．若数列是各项均为正的等比数列，则数列是等差数列B．若等差数列的前n项和为，则数列是等差数列C．若等差数列的前n项和为，且，则D．若等比数列的前n项积为，且，则【答案】ABD【分析】对于A，直接由等比数列的通项公式、对数的运算性质、等差数列的定义即可判断；对于B，直接由等差数列前项和公式即可判断；对于C，由等差中项的性质即可判断；对于D，由等比中项的性质即可判断.【详解】对于A，若是各项均为正的等比数列，则当且仅当，（否则时，数列每项正负交替，各项恒负），从而，所以，故数列是以为首项、为公差的等差数列，故A正确；对于B，设等差数列的通项公式为，所以其前n项和为，即数列是以首项为、公差为的等差数列，故B正确；对于C，由题意数列是等差数列，所以，而当等差数列的公差不为0时，有，即此时，故C不正确；对于D，由题意数列是等比数列，所以，所以，故D正确.故选：ABD.71.已知函数的所有正数零点构成递增数列.(1)求数列的通项公式；(2)设数列满足，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用辅助角公式化简得到，从而得到正数零点，从而得到为等差数列，公差为1，首项为，得到通项公式；（2）利用错位相减法求和.【详解】（1），令，解得：，故当时，为数列的首项，由于，故为等差数列，公差为1，故；（2），故①，则②，①-②得：，则.72.已知抛物线，圆：，过圆心作直线与抛物线和圆交于四点，自上而下依次为，，，，若，，成等差数列，则直线的斜率为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据给定条件，可得圆心C为抛物线的焦点，求出弦AB长，设出直线AB方程并与抛物线方程联立，求解作答【详解】圆：的圆心，半径，显然点为抛物线的焦点，其准线为，设，则，而，由，，成等差数列得，，因此，即有，解得，设直线的方程为，显然，由消去y得：，则有，解得，所以直线的斜率为.故选：B过关检测一、单选题1．（2023上·甘肃白银·高二甘肃省靖远县第一中学校考期末）已知等差数列的前项和为，则（   ）A．0 B．15 C．21 D．18【答案】A【分析】根据等差数列的性质求得，进而求得.【详解】，.故选：A2．（2023上·江苏扬州·高二统考阶段练习）已知数列中，且，则为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】将已知式化简得出，即可根据构造法求出数列通项，再代入数值求解即可.【详解】，，即，两边同时除以得：，即，令，则，则是首项为，公差为的等差数列，则，即，则，则.故选：D3．（2023上·河北衡水·高二河北安平中学校考阶段练习）设等差数列的前项和为，满足，数列中最大的项为第（   ）项．A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】根据题意，得到，且，求得，进而得到前6项均为正数，从第7项起为负数，数列的最大项为，是数列中的最小项，得到最大的项为，即可求解.【详解】由题意，可得，所以，且，又由等差数列的公差，所以数列是递减数列，前6项均为正数，从第7项起为负数，数列的最大项为，是数列中的最小项，且，所以数列中最大的项为，即第6项.故选：C.4．（2023上·重庆·高三统考阶段练习）已知数列满足，，记，则有（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据已知递推公式，可求出的值，即可判断A、B；根据递推公式可推得，即，从而得出是以3为首项，4为公差的等差数列，求出通项公式，判断C、D.【详解】对于A项，由已知可得，故A项错误；对于B项，由已知可得，，，故B错误；对于C项，由已知可得，，，即，所以.故C项错误；对于D项，因为，，所以，是以3为首项，4为公差的等差数列，所以，.故D正确.故选：D.5．（2022上·河南省直辖县级单位·高二校考期末）设数列是单调递增的等差数列，前三项的和为，前三项的积为，则它的首项是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】设出前三项为，，，并结合题意得到方程组，从而可求解.【详解】由题意设前三项为，，，所以得，解得，，又因为是递增的等差数列，所以，所以首项.故B项正确.故选：B.6．（2023上·河北张家口·高三河北省尚义县第一中学校联考阶段练习）等差数列中的前项和分别为，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意直接根据等差数列前项和公式得到，进一步代入数据即可得解.【详解】等差数列中的前项和分别为，．故选：B．7．（2023上·重庆·高二重庆八中校考阶段练习）已知等差数列为递增数列，且满足，，则其通项公式为（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据给定条件，利用等差数列性质求出 ，，从而求出通项公式.【详解】由数列为递增等差数列，则，且，又因为，所以，，所以数列的公差，，所以数列的通项公式为，故B项正确.故选：B.8．（2023上·四川绵阳·高三四川省绵阳实验高级中学校考阶段练习）若数列满足则称为 “平方递推数列”. 已知数列是 “平方递推数列”， 且则（    ）A．是等差数列 B．是等差数列C．是 “平方递推数列” D．是 “平方递推数列”【答案】C【分析】对于AB，由题意得，然后根据等差数列的定义分析判断即可，对于CD，由平方递推数列的定义分析判断.【详解】对于AB，因为 是 “平方递推数列”， 所以.又， 所以 则，，所以，不是等差数列， 所以AB不正确.对于C，因为 ，所以 是 “平方递推数列”， 所以C 正确.对于D，因为 ，所以不是 “平方递推数列”， D 不正确.故选：C9．（2023上·安徽·高三校联考阶段练习）在数列中，，且，则数列的前15项和为（    ）A．84 B．102 C．120 D．138【答案】C【分析】先利用等差中项判断数列为等差数列，然后利用通项公式基本量的运算求出通项，利用求和公式求出和，然后分组求和即可求解.【详解】因为，所以是等差数列，又，所以等差数列的公差，所以，所以单调递减，且，所以的前项和，所以数列的前15项和为.故选：C10．（2023上·江苏常州·高二统考期末）已知数列满足，若，则的前2022项和为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据数列递推式求出的表达式，即可得的表达式，利用裂项求和法，即可求得答案.【详解】由题意知数列满足，当时，；当时，，故，则，也适合该式，故，则，故的前2022项和为，故选：B二、多选题11．（2023上·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期中）已知是等差数列的前n项和，且，，则下列选项正确的是（    ）A．数列为递减数列 B．C．的最大值为 D．【答案】ABC【分析】由已知条件结合等差数列性质可判断B；判断出数列的公差小于0，可判断A；根据数列各项的正负情况以及单调性可判断C；利用前n项和公式结合等差数列性质判断D.【详解】设等差数列的公差为d，由于，，故，则，B正确；，则数列为递减数列，A正确，由以上分析可知，时，，故的最大值为，C正确；，D错误，故选：ABC12．（2023上·河北保定·高二河北定兴第三中学校联考期中）数列的前n项和为，且，下列说法正确的是（    ）A．若为等差数列，则的公差为1B．若为等差数列，则的首项为1C．D．【答案】ACD【分析】根据等差数列的通项公式求解选项A,B；根据数列的前项和公式求解选项C,D.【详解】若为等差数列，则可设,所以，所以,解得,所以，所以的首项为0，公差为1，A正确，B错误；，C正确；，因为，即，D正确；故选:ACD.13．（2023·全国·高三专题练习）设等差数列的前n项和为，公差为d，且满足，则对描述正确的有（    ）A．是唯一最大值 B．是最大值C． D．是最小值【答案】BC【分析】根据等差数列的性质、前项和公式等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】由得，而则，所以是的最大值，A选项错误，B选项正确.，C选项正确.由于，是单调递减数列，所以没有最小值，D选项错误.故选：BC14．（2023上·江苏常州·高二常州市第一中学校考阶段练习）设数列的前项和为，，，则下列说法正确的是（    ）A．是等差数列 B．，，成等差数列，公差为C．当或时，取得最大值 D．时，的最大值为32【答案】AC【分析】先根据已知条件得出数列是等差数列，；再根据，的关系求出，根据等差数列的定义即可判断选项A；根据可求出，，即可判断选项B；利用二次函数性质可判断选项C；根据解不等式即可判断选项D.【详解】由，可得：数列是以为首项，为公差的等差数列.则.所以对于选项A：当时，；当时，；.数列是等差数列，故选项A正确；对于选项B：，，，则，所以，，成等差数列，公差为，故选项B错误；对于选项C：，当或时，最大，故选项C正确；对于选项D：令，得，，即满足的最大正整数，故选项D错误.故选：AC三、填空题15．（2023上·福建莆田·高二莆田华侨中学校考期末）已知数列满足，则数列的通项公式为 .【答案】【分析】由题意根据等差数列的前项和可得，再利用构造法结合等差数列的通项即可得解.【详解】因为，所以，∴数列是首项为，公差为的等差数列，，所以.故答案为：.16．（2023上·吉林长春·高二校考期末）等差数列前项和为，，则 ．【答案】【分析】结合等差数列的性质求，再利用前项和公式求解.【详解】等差数列，由，解得，则，故答案为：.17．（2022上·河南省直辖县级单位·高二河南省济源第一中学校考期末）已知等差数列的公差为正数，且，，则其前20项的和 .【答案】180【分析】根据等差中项的性质，结合等差数列的通项公式，可得答案.【详解】由题意：设等差数列的公差为.，而，∴，解得.∴，解得，∴.故答案为：.18．（2023上·新疆·高二校联考期末）已知等差数列的首项为，前项和为，若，且，则的取值范围为 ．【答案】【分析】根据等差数列通项和前项和的函数性可证得数列为等差数列，结合已知等式可求得，由可构造不等式组求得结果.【详解】设等差数列的公差为，，，数列是以为首项，为公差的等差数列，，解得：；，，解得：，即的取值范围为.故答案为：.【点睛】结论点睛：若数列为等差数列，公差为，为数列的前项和，则数列是以为首项，为公差的等差数列.四、解答题19．（2022上·陕西铜川·高二校考期末）已知数列为等差数列，且．(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前n项和的最大值【答案】(1)(2)的最大值为【分析】（1）由题求出公差，然后根据等差数列通项公式即可得出答案；（2）求出，然后根据二次函数性质求出最值.【详解】（1）设等差数列的公差为d，由题意得，解得．故．（2）由（1）知，，．∴当时，取到最大值为．20．（2022上·贵州黔东南·高二校考期末）已知数列的前项和满足，且．(1)求数列的通项公式；(2)记，求数列的前项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，得到，得出数列为等差数列，求得，结合和的关系，即可求得数列的通项公式；（2）由（1）得到，结合裂项法求和，即可求解.【详解】（1）解：由，可得，所以数列为等差数列，又由，所以，即，当时，，因为，满足上式，所以数列的通项公式为．（2）解：由（1）知，可得，所以，所以数列的前项和为．21．（2023上·湖南衡阳·高二校考期末）已知数列的前n项和，.(1)证明：数列是等差数列；(2)已知，求数列的前n项和.【答案】(1)证明见解析(2)，【分析】（1）根据求出数列的通项公式即可证明数列是等差数列.（2）利用裂项相消的方法求数列的前n项和即可.【详解】（1），，①当时，；当时，.由得.当时，满足上式，数列的通项公式为，.，为常数，数列是等差数列.（2）由知，数列的前n项和为，.22．（2022上·广东珠海·高三校考期末）记为数列的前项和，．(1)求的通项公式；(2)求的值．【答案】(1)，；(2)【分析】（1）令，可得，再将换为，两式相减可得；（2）由等差数列的求和公式可得，求得，再由数列的裂项相消求和计算可得所求和．【详解】（1）当时，，解得，当时，，又，两式相减可得，解得，上式对也成立，所以，；（2），，所以．23．（2023上·江苏·高三校联考阶段练习）设正项数列的前和为，．(1)证明：数列为等差数列；(2)若，求数列的前项和．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用和的关系结合等差数列的定义求解即可;（2）利用裂项相消法求和即可.【详解】（1）因为，所以，，所以，当时，，两式相减，得，，当时，满足，所以，即，所以，所以是等差数列．（2）因为，所以，所以，所以，所以．24．（2023上·江西萍乡·高三统考期中）已知正项数列中，，前项和为，且__________.请在①②中任选一个条件填在题目横线上，再作答：①，②.(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，证明：.【答案】(1)条件选择见解析，(2)证明见解析【分析】（1）若选①，通过因式分解化简递推公式，得是公差为2的等差数列，结合，可求数列的通项公式；若选②，时，求出，利用公式，化简后证得数列为等差数列，公差，可求数列的通项公式；（2）利用放缩和裂项相消法求和证明不等式.【详解】（1）若选①: 由，得，即，因为为正项数列，所以，是公差为2的等差数列，由，得；若选②：，当时，，两式作差得：，则，两式作差得，即，所以数列为等差数列，时，，可得，公差，则；（2）由（1）知，，又，已知量首项，末项与项数首项，公差与项数求和公式Sn＝eq \f(na1＋an,2)Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)d方法解读适合题型定义法对于数列，若(常数)⇔{an}是等差数列解答题中的证明问题等差中项法对于数列{an},2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)（）成立⇔{an}是等差数列通项公式法(为常数,)⇔{an}是等差数列选择、填空题中的判断问题前n项和公式法Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，Sn为数列{an}的前n项和)⇔{an}是等差数列是等差数列⇔是等差数列.提醒：判断时易忽视定义中从第2项起，以后每项与前一项的差是同一常数，即易忽视验证a2－a1＝d这一关键条件.