【寒假作业】（沪教版2020）高中数学 高一寒假巩固提升训练 专题02函数的概念、性质及应用全章复习攻略（16个核心考点）与难点强化训练-练习.zip

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思维导图
核心考点聚焦
考点一．函数的概念及其构成要素
考点二．判断两个函数是否为同一函数
考点三．函数的定义域及其求法
考点四．函数的值域
考点五．区间与无穷的概念
考点六．函数的单调性及单调区间
考点七．函数单调性的性质与判断
考点八．复合函数的单调性
考点九．函数的最值
考点十．奇函数、偶函数
考点十一．函数奇偶性的性质与判断
考点十二．奇偶函数图象的对称性
考点十三．奇偶性与单调性的综合
考点十四．反函数
考点十五．函数的零点与方程根的关系
考点十六．二分法的定义与应用
一．函数的概念及其构成要素
函数的定义：
一般地，设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合中A任意一个数x，在集合中B
都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称为A→B从集合A到集合B的一个函数，记作 y＝f（x），x∈A．
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合
{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合的子集．
函数的构成要素：定义域、对应关系、值域．
注意：①值域由定义域和对应关系唯一确定；
②f（x）是函数符号，f表示对应关系，f（x）表示x对应的函数值，绝对不能理解为f与x的乘积．在不同的函数中f的具体含义不同，
由以上三个实例可看出对应关系可以是解析式、图象、表格等．函数除了可用符号f（x）表示外，还可用g（x），F（x）等表示．
【解题方法点拨】注意函数的解析式，函数的定义域，对应法则，值域的求法．
二．判断两个函数是否为同一函数
函数的构成要素：定义域、对应关系、值域．
所以判断两个函数是不是同一函数，就看定义域和对应法则是否一样．
【解题方法点拨】判断函数是否是同一个函数，一般是同解变形化简函数的表达式，考察两个函数的定义域是否相同，对应法则是否相同．
三．函数的定义域及其求法
函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围．
求解函数定义域的常规方法：①分母不等于零；
②根式（开偶次方）被开方式≥0；
③对数的真数大于零，以及对数底数大于零且不等于1；
④指数为零时，底数不为零．
⑤实际问题中函数的定义域；
【解题方法点拨】
求函数定义域，一般归结为解不等式组或混合组．（1）当函数是由解析式给出时，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义（如长度、面积必须大于零、人数必须为自然数等）．（3）若一函数解析式是由几个函数经四则运算得到的，则函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不等式组的解集．若函数定义域为空集，则函数不存在．（4）抽象函数的定义域：①对在同一对应法则f 下的量“x”“x+a”“x﹣a”所要满足的范围是一样的；②函数g（x）中的自变量是x，所以求g（x）的定义域应求g（x）中的x的范围．
四．函数的值域
函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．A是函数的定义域．
【解题方法点拨】（1）求函数的值域
此类问题主要利用求函数值域的常用方法：配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式法等．
无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域．
（2）函数的综合性题目
此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目．
此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力．
在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强．
（3）运用函数的值域解决实际问题
此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决．此类题要求考生具有较强的分析能力和数学建模能力．
五．区间与无穷的概念
设a＜b，①开区间：{x|a＜x＜b}＝（a，b）
②闭区间：{x|a≤x≤b}＝[a，b]
③半开半闭区间：{x|a＜x≤b}＝（a，b]{x|a≤x＜b}＝[a，b）
正无穷：在实数范围内，表示某一大于零的有理数或无理数数值无限大的一种方式，没有具体数字，但是正无穷表示比任何一个数字都大的数值． 符号为+∞． 数轴上可表示为向右箭头无限远的点．
负无穷：某一负数值表示无限小的一种方式，没有具体数字，但是负无穷表示比任何一个数字都小的数值． 符号为﹣∞．
{ x|a≤x }＝[a，+∞）
{ x|a＜x }＝（ a，+∞）
{ x|x≤a }＝（﹣∞，a]
{ x|x＜a }＝（﹣∞，a ）
{ x|x∈R }＝（﹣∞，+∞）
【解题方法点拨】通常情况下，解答不等式，函数的单调性的问题利用单调性的定义，或者函数的导数等知识，注意函数的定义域，变量的取值范围，集合一般利用区间表示，函数的单调性多个区间时，区间之间必须用“，”分开；不能利用并集符号连接．解题时注意区间的端点的数值的应用．
六．函数的单调性及单调区间
一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，
当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．
若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．
【解题方法点拨】判断函数的单调性，有四种方法：定义法；导数法；函数图象法；基本函数的单调性的应用；复合函数遵循“同增异减”；证明方法有定义法；导数法．
单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“和”或“，”连结．
设任意x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，那么
①⇔f（x）在[a，b]上是增函数；
⇔f（x）在[a，b]上是减函数．
②（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0⇔f（x）在[a，b]上是增函数；
（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0⇔f（x）在[a，b]上是减函数．
函数的单调区间，定义求解求解一般包括端点值，导数一般是开区间．
七．函数单调性的性质与判断
一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，
当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＞x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．
若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．
【解题方法点拨】
证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论．
利用函数的导数证明函数单调性的步骤：
第一步：求函数的定义域．若题设中有对数函数一定先求定义域，若题设中有三次函数、指数函数可不考虑定义域．
第二步：求函数f（x）的导数f′（x），并令f′（x）＝0，求其根．
第三步：利用f′（x）＝0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列表．
第四步：由f′（x）在小开区间内的正、负值判断f（x）在小开区间内的单调性；求极值、最值．
第五步：将不等式恒成立问题转化为f（x）max≤a或f（x）min≥a，解不等式求参数的取值范围．
第六步：明确规范地表述结论
八．复合函数的单调性
所谓复合函数就是由两个或两个以上的基本函数构成，这种函数先要考虑基本函数的单调性，然后再考虑整体的单调性．平常常见的一般以两个函数的为主．
【解题方法点拨】
求复合函数y＝f（g（x））的单调区间的步骤：
（1）确定定义域；
（2）将复合函数分解成两个基本初等函数；
（3）分别确定两基本初等函数的单调性；
（4）按“同增异减”的原则，确定原函数的单调区间．
九．函数的最值
函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵坐标，求函数的最值一般是先求出极值在求出端点的值，然后进行比较可得．
【解题方法点拨】
①基本不等式法：如当x＞0时，求2x+的最小值，有2x+≥2＝8；
②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5和x＝3的距离之和，易知最小值为2；
③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较．
十．奇函数、偶函数
奇函数
如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．
偶函数
如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．
【解题方法点拨】
①如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③已知奇函数大于0的部分的函数表达式，求它的小于0的函数表达式，如奇函数f（x），当x＞0时，f（x）＝x2+x
那么当x＜0时，﹣x＞0，有f（﹣x）＝（﹣x）2+（﹣x）⇒﹣f（x）＝x2﹣x⇒f（x）＝﹣x2+x
①运用f（x）＝f（﹣x）求相关参数，如y＝ax3+bx2+cx+d，那么a+c是多少？
②结合函数图象关于y轴对称求函数与x轴的交点个数或者是某个特定的值，如偶函数f（﹣2）＝0，周期为2，那么在区间（﹣2，8）函数与x轴至少有几个交点．
十一．函数奇偶性的性质与判断
①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．
【解题方法点拨】
①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；
④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．
十二．奇偶函数图象的对称性
奇偶函数的对称性是相对于其图象来说的，具体而言奇函数的图象关于原点对称，其特点是f（x）＝m时，f（﹣x）＝﹣m；偶函数的图象关于y轴对称，它的特点是当f（x）＝n时，f（﹣x）＝n．
【解题方法点拨】
由函数图象的对称性可知：①奇函数的定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．
十三．奇偶性与单调性的综合
对于奇偶函数综合，其实也并谈不上真正的综合，一般情况下也就是把它们并列在一起，所以说关键还是要掌握奇函数和偶函数各自的性质，在做题时能融会贯通，灵活运用．在重复一下它们的性质 ①奇函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），其图象特点是关于（0，0）对称．②偶函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），其图象特点是关于y轴对称．
【解题方法点拨】
参照奇偶函数的性质那一考点，有：
①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；
④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反
十四．反函数
定义
一般地，设函数y＝f（x）（x∈A）的值域是C，根据这个函数中x，y 的关系，用y把x表示出，得到x＝g（y）．若对于y在中的任何一个值，通过x＝g（y），x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x＝g（y）就表示y是自变量，x是因变量是y的函数，这样的函数y＝g（x）（y∈C）叫做函数y＝f（x）（x∈A）的反函数，记作y＝f（﹣1）（x） 反函数y＝f（﹣1）（x）的定义域、值域分别是函数y＝f（x）的值域、定义域．
性质
反函数其实就是y＝f（x）中，x和y互换了角色
（1）函数f（x）与他的反函数f﹣1（x）图象关于直线y＝x对称；函数及其反函数的图形关于直线y＝x对称
（2）函数存在反函数的重要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；
（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；
（4）大部分偶函数不存在反函数（当函数y＝f（x），定义域是{0} 且 f（x）＝C （其中C是常数），则函数f（x）是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0} ）．奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数．若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数．
（5）一切隐函数具有反函数；
（6）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；
（7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数反函数存在定理；
（8）反函数是相互的且具有唯一性；
（9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）；
（10）原函数一旦确定，反函数即确定（三定）（在有反函数的情况下，即满足（2））．
十五．函数的零点与方程根的关系
函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．
【解题方法点拨】
求方程的根就是解方程，把所有的解求出来，一般要求的是二次函数或者方程组，这里不多讲了．我们重点来探讨一下函数零点的求法（配方法）．
例题：求函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点．
解：∵f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70
＝（x﹣5）•（x+7）•（x+2）•（x+1）
∴函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点是：5、﹣7、﹣2、﹣1．
通过这个题，我们发现求函数的零点常用的方法就是配方法，把他配成若干个一次函数的乘积或者是二次函数的乘积，最后把它转化为求基本函数的零点或者说求基本函数等于0时的解即可．
十六．二分法的定义与应用
二分法 即一分为二的方法．设函数f（x）在[a，b]上连续，且满足f（a）•f（b）＜0，我们假设f（a）＜0，f（b）＞0，那么当x1＝时，若f（x1）＝0，这说x1为零点；若不为0，假设大于0，那么继续在[x1，b]区间取中点验证它的函数值为0，一直重复下去，直到找到满足要求的点为止．这就是二分法的基本概念．
一．函数的概念及其构成要素（共1小题）
1．（2022秋•闵行区期末）存在函数，满足对任意都有
A．B．C．D．
【分析】举例说明错误；利用换元法求解函数解析式判断正确．
【解答】解：对于，由，得，可知的值不唯一，不合题意；
对于，由，得或，，可知（1）的值不唯一，不合题意；
对于，，令，可得，，符合函数概念．
对于，由，得，可知的值不唯一，不合题意；
故选：．
【点评】本题考查函数解析式的求解及函数的概念，考查利用换元法求函数解析式，属于中档题．
二．判断两个函数是否为同一函数（共3小题）
2．（2023秋•黄浦区校级期中）下列各组函数中，同组的两个函数是相同函数的有
A．与
B．与
C．与
D．与
【分析】分别判断两个函数的定义域和对应法则是否相同即可．
【解答】解：对于，函数的定义域为，所以两个函数的定义域不同，所以两个函数不是同一个函数，故不正确；
对于，而的值域是，所以两个函数值域不同，故不是同一函数函数，故不正确；
对于的定义域为，而的定义域为，，两个函数定义域不同，故不是同一函数，故不正确；
对于，两个函数解析式，定义域都相同，故是同一函数，故正确．
故选：．
【点评】本题主要考查两个函数是否为同一函数，利用函数的定义域和对应法则是否相同是解决本题的关键，比较基础．
3．（2023秋•黄浦区校级期中）下列两组函数中，表示同一个函数的是
（1）和；（2）和．
A．仅（1）是B．仅（2）是C．（1）（2）都是D．（1）（2）都不是
【分析】根据同一函数的概念，分析函数的三要素，即可得解．
【解答】解：对于（1），由题意知，，
所以，即函数的定义域为，，
所以，所以（1）是同一函数；
对于（2），由，知，所以，即函数的定义域为，，
由，知，所以或，即函数的定义域为，，，
所以（2）不是同一函数．
故选：．
【点评】本题考查函数的定义，理解同一函数的概念与函数的三要素是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
4．（2023秋•浦东新区校级月考）与函数为同一函数的是
A．B．C．D．
【分析】先研究原函数的定义域和解析式，利用排除法即可求得结论．
【解答】解：函数中可得，
故函数的定义域为，，排除，
又，排除．
故选：．
【点评】本题主要考查函数的基本性质，判断两个函数是否相同，需要判断定义域与对应法则是否相同．
三．函数的定义域及其求法（共4小题）
5．（2023秋•浦东新区校级月考）已知函数的定义域为，，则函数的定义域为 且 ．
【分析】根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可．
【解答】解：数的定义域为，，
则，解得且，
故函数的定义域为且．
故答案为：且．
【点评】本题考查了求函数定义域的应用问题，解题的关键是列出使函数解析式有意义的不等式组，是基础题目．
6．（2023秋•静安区校级期中）若代数式有意义，则其中实数的取值范围是 ．
【分析】根据对数函数的真数大于0，列不等式求出的取值范围．
【解答】解：代数式有意义，
则，
即，
解得，
所以实数的取值范围是．
故答案为：．
【点评】本题考查了对数函数的真数大于0的应用问题，是基础题．
7．（2023秋•黄浦区校级期中）函数的定义域是 ，且 ．
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不为0，0的0次幂无意义，可得自变量须满足，解不等式组可得函数的定义域．
【解答】解：若使函数的解析式有意义，
自变量须满足
解得且
故函数的定义域为，且
故答案为：，且
【点评】本题考查的知识点是的定义域及其求法，其中根据使函数解析式有意义的原则，构造不等式是解答此类问题的关键．
8．（2023秋•普陀区校级期中）若函数的值域是，，，则此函数的定义域为 ，， ．
【分析】求出的反函数，由原函数的值域即为反函数的定义域，即可求出反函数的值域，从而求出原函数的定义域．
【解答】解：由，得，，，，
即函数的值域是，，，
其反函数为，，，，
当时，，；
当时，，．
即函数，，，的值域为，，，
原函数的定义域为，，．
故答案为：，，．
【点评】本题考查函数的定义域、值域及其求法，考查互为反函数的两函数定义域与值域间的关系，是中档题．
四．函数的值域（共3小题）
9．（2023秋•浦东新区校级月考）函数的值域是 ， ．
【分析】由已知结合二次函数及对数函数的性质即可求解．
【解答】解：由题意得，即，
根据二次函数的性质可值，当时，取得最大值4，
故，
故．
故答案为：，．
【点评】本题主要考查了二次函数及对数函数的性质在函数值域求解中的应用，属于基础题．
10．（2023秋•浦东新区校级期中）函数称为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，例如，，当时，函数的值域为 ， ．
【分析】将函数表示为分段函数的形式，分段求值域即可．
【解答】解：当时，函数，
所以，．
故答案为：，．
【点评】本题考查函数的值域，考查运算求解能力，属于基础题．
11．（2023秋•杨浦区校级期中）已知函数的值域为，，则实数的取值范围为 ，
【分析】把函数的值域为，，能够取到大于等于0的所有数，然后对分类求解得答案．
【解答】解：函数的值域为，，
能够取到大于等于0的所有数，
当时，不合题意；
当时，则，解得．
实数的取值范围为，．
故答案为：，．
【点评】本题考查函数值域的求法，考查数学转化思想方法，是中档题．
五．区间与无穷的概念（共1小题）
12．（2023秋•松江区校级期中）若为一确定区间，则的取值范围为 ．
【分析】由区间的含义列出限制条件可得答案．
【解答】解：由题意，，解得．
故答案为：．
【点评】本题主要考查区间的概念，属于基础题．
六．函数的单调性及单调区间（共2小题）
13．（2022秋•上海期末）函数的递增区间是 ， ．
【分析】画出函数的图象，数形结合可得函数的增区间．
【解答】解：函数的图象如图所示：
数形结合可得函数的增区间为，，
故答案为：，．
【点评】本题主要考查函数的图象特征，函数的单调性的判断，体现了数形结合的数学思想，属于基础题．
14．（2022秋•浦东新区校级期末）函数的增区间为 ．
【分析】利用对勾函数的单调性即可求解．
【解答】解：因为函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的单调递增区间为，
故答案为：．
【点评】本题考查了对勾函数的单调性，属于基础题．
七．函数单调性的性质与判断（共3小题）
15．（2023秋•青浦区校级期中）已知函数在区间，上是严格增函数，则的取值范围是 ．
【分析】将函数变形，再结合反比例函数的性质，即可求解．
【解答】解：在区间，上是严格增函数，
则，解得，
故的取值范围是．
故答案为：．
【点评】本题主要考查函数的单调性，属于基础题．
16．（2023秋•奉贤区期中）已知函数，若该函数在区间，上是严格减函数，且函数值不恒为负，则实数的取值范围为 ．
【分析】先进行分离变形，然后结合反比例函数的单调性即可求解．
【解答】解：由已知，，
又函数在区间，上是严格减函数，且函数值不恒为负，
所以，解得，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了由函数的单调性求解参数范围，属于基础题．
17．（2023秋•黄浦区校级期中）命题：定义在上的函数一定能表示成一个定义在上的偶函数与定义在上的奇函数的和，即；命题：定义在上的严格增函数一定能表示成一个定义在上的严格增函数与定义在上的严格减函数的和，即．下列判断正确的是
A．、均为真命题B．、均为假命题
C．为真命题，为假命题D．为假命题，为真命题
【分析】利用奇偶性定义判断命题，举例说明判断即可得解．
【解答】解：定义在上的函数，则有，
令，，显然函数，的定义域均为，
显然，，
因此函数，分别为偶函数和奇函数，，
所以命题为真命题；
函数是上的增函数，是的减函数，因为为增函数，
所以，可得为增函数，所以为真命题，
选项错误，选项正确．
故选：．
【点评】本题考查了函数的奇偶性，属于难题．
八．复合函数的单调性（共2小题）
18．（2023秋•浦东新区校级月考）函数在区间，上单调递减，则的取值范围为 ， ．
【分析】根据题意，由复合函数单调性同增异减求得的取值范围．
【解答】解：根据题意，设，则，
若在区间，上单调递减，
所以，即，解得，
所以的取值范围是，．
故答案为：，．
【点评】本题考查复合函数的单调性，涉及二次函数的性质，属于基础题．
19．（2023秋•黄浦区校级月考）函数在上是严格减函数，则的取值范围是 ．
【分析】由于函数在上是严格减函数，所以，且，由此可求得的取值范围．
【解答】解：根据对数函数定义可知且，
令，所以在上是减函数，
根据复合函数单调性可知，在上是增函数，即，
且满足真数恒大于零，即只需即可，
所以，即的取值范围是．
故答案为：．
【点评】本题主要考查复合函数的单调性，考查运算求解能力，属于中档题．
九．函数的最值（共2小题）
20．（2023秋•静安区校级期中）关于函数，下列说法正确的是
A．若，则函数只有最大值没有最小值
B．若，则函数只有最小值没有最大值
C．若，则函数有最大值没有最小值
D．若，则函数有最小值也有最大值
【分析】把已知函数解析式变形，画出图形，数形结合得答案．
【解答】解：．
由函数图象的平移可得函数的图象的大致形状如图：
由图可知，若，则函数有最小值也有最大值，故正确．
故选：．
【点评】本题考查函数的最值及其几何意义，考查化归与转化、数形结合思想，是中档题．
21．（2023秋•徐汇区校级期中）已知实数，，满足，则下列说法错误的是
A．的最大值是B．的最大值是
C．的最大值是D．的最大值是
【分析】对于，取，，，验证即可判断的正误；
对于，由，推出，
令，，，则，推出，即可推出的最大值是，判断的正误；
对于，，可以看作关于的一元二次方程，利用判别式推出，可以看作关于的一元二次不等式，通过判别式推出，即可判断的正误；
对于，由，推出，判断的正误．
【解答】解：对于，取，，，
则，
而，
又，
而，
所以，故错误．
对于，由，
即，
即，
令，，，则，
即，即，
由，当且仅当时等号成立，
，当且仅当时等号成立，
，当且仅当时等号成立，
所以，当且仅当时等号成立，
即，
所以
即，即，
所以，即，即，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最大值是，故正确；
对于，由，
整理得，，可以看作关于的一元二次方程，
所以，
即，可以看作关于的一元二次不等式，
所以，解得，
当时，，，
所以的最大值是，故正确；
对于，由，即，所以，即，
当且仅当，时等号成立，
所以的最大值是，故正确；
故选：．
【点评】本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，考查分析问题解决问题的能力，是难题．
一十．奇函数、偶函数（共1小题）
22．（2023秋•黄浦区校级期中）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，的解析式为 ．
【分析】先由函数是偶函数得，然后将所求区间利用运算转化到已知区间上，代入到时，即可得时，函数的解析式．
【解答】解：函数是偶函数
时，
当时
故答案为：
【点评】本题考查了函数奇偶性的性质，以及将未知转化为已知的转化化归思想，是个基础题．
一十一．函数奇偶性的性质与判断（共4小题）
23．（2023秋•青浦区校级月考）设函数是偶函数，且时，，则（5） 9 ．
【分析】由已知先求出，然后结合函数的奇偶性即可求解．
【解答】解：因为时，，
所以，
因为为偶函数，
所以（5）．
故答案为：9．
【点评】本题主要考查了函数的奇偶性在函数求值中的应用，属于基础题．
24．（2023秋•黄浦区校级期中）已知函数的表达式为，且在，上为奇函数，则（c）的值为 ．
【分析】根据题意，由奇函数的性质求出的值，结合求出、的值，可得函数的解析式，计算可得答案．
【解答】解：根据题意，函数，且在，上为奇函数，
必有，必有，
即在，上为奇函数，则有，必有，
故，，即，
变形可得：，必有，
故，
则（1）．
故答案为：．
【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数的解析式，属于基础题．
25．（2023秋•杨浦区校级期中）已知一个奇函数与一个偶函数的和为函数，则（3） ．
【分析】按题意，结合函数的奇偶性列方程即可．
【解答】解：记，
由题意有，
又（3），（3），
解得．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了函数的奇偶性在函数求值中的应用，属于基础题．
26．（2023秋•黄浦区校级期中）函数的定义域为，，，其图像上任一点满足．下列命题中，正确的序号是 ③⑤ ．
①函数一定是偶函数；
②函数可能既不是偶函数，也不是奇函数：
③函数可以是奇函数；
④函数是偶函数，则值域是，或，；
⑤若函数值域是，则一定是奇函数．
【分析】结合的奇偶性、值域等知识确定正确答案．
【解答】解：由于的定义域是，，，
则，，，，所以④错误；
当时，，，，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
所以 的图象有如下四种情况：
（1）
（2）
（3）
（4）
由图象可知③⑤正确，①②④错误．
故答案为：③⑤．
【点评】本题主要考查函数的奇偶性与函数的值域，考查数形结合思想，属于基础题．
一十二．奇偶函数图象的对称性（共1小题）
27．（2023秋•静安区校级期中）函数的图像关于点中心对称，则 2 ．
【分析】把函数化为、、为常数，且的形式，再根据该函数的图象关于点对称，可得，的值，从而得出结论．
【解答】解：函数的图象关于点对称，
再根据它的图像关于点中心对称，
，，
则．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查函数的图象的对称性，属于基础题．
一十三．奇偶性与单调性的综合（共2小题）
28．（2023秋•静安区校级期中）已知：奇函数，在严格递减，则下列结论正确的是
A．在严格递减
B．在，上严格递减
C．在，上严格递减
D．在，上严格递减
【分析】由已知，结合函数单调性的定义及性质检验各选项即可判断．
【解答】解：根据题意：只知道奇函数在和上分别严格递减，但由于不确定的值，故在上和，上的单调性也不确定，和错；
对于选项：当时，在，上的单调性仍然不确定，错；
对于选项：易得，故，
，，故在，上严格递减，正确．
故选：．
【点评】本题主要考查了函数单调性的判断，属于基础题．
29．（2023秋•浦东新区校级月考）若定义在，，上的奇函数，对，，且，都有，则不等式的解集为
A．B．，，
C．，，D．，，，
【分析】构造函数，由题意可以推出函数的奇偶性、单调性，然后对进行分类讨论解不等式即可．
【解答】解：因为对任意的，，且，都有，
即对任意两个不相等的正实数，，不妨设，则，
所以有，所以函数是上的减函数，
又因为为奇函数，即有，，，有，
所以有，所以为偶函数，
所以在上单调递增．由知，所以，
当时，有，，由得，
所以，所以，所以，
即，因为，所以，解得或，
又，所以；
当且时，有，由得，
所以，所以，所以，
即，因为，所以，解得，
又且，所以或；
综上所述，不等式的解集为，，，．
故选：．
【点评】本题主要考查了函数的奇偶性及单调性在不等式求解中的应用，属于中档题．
一十四．反函数（共3小题）
30．（2022秋•浦东新区校级期末）函数的反函数为 ．
【分析】先求出函数的值域，再结合反函数的求法，即可求解．
【解答】解：，
当时，，
，
则，即，
将，交换可得，．
故答案为：．
【点评】本题主要考查反函数的求法，属于基础题．
31．（2022秋•闵行区校级期末）已知，则（3） 2 ．
【分析】欲求（3）的值，根据反函数的概念，只要求出使成立的的值即可．
【解答】解：令得：，
（3）．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查反函数的应用，属于基础题．
32．（2022秋•浦东新区校级期末）点在函数的反函数的图像上，则 2 ．
【分析】由反函数的性质可得点在函数图像上，然后代入点即可求解．
【解答】解：因为点在函数的反函数的图像上，
则点在函数图像上，
所以，即，解得或（舍去），
所以，
故答案为：2．
【点评】本题考查了反函数的性质的应用，属于基础题．
一十五．函数的零点与方程根的关系（共5小题）
33．（2023秋•宝山区校级期中）若是方程的解，是方程的解，则
A．1B．C．D．
【分析】利用同构，令，可得，代入原方程得，构造函数再利用该函数的单调性与零点的关系，可得．
【解答】解：令，则代入方程，得，
对，则有，故在为增函数，
可知，所以．
故选：．
【点评】本题考查函数的单调性在函数零点问题中的应用，属于中档题．
34．（2023秋•浦东新区校级月考）设函数，则方程的不同实根的个数可以是 1，2，3，6 ．
【分析】作出函数的图象，根据方程求出的根，再对根分类讨论，结合函数图象判断根的个数，即可得解．
【解答】解：当时，，图象为抛物线的一部分，
抛物线开口向下，对称轴为，顶点为，过和；
当时，，图象过，如图所示：
方程等价于，所以或，
当时，，由的图象得有2个不同实根，有4个不同实根，故原方程有6个不同实根；
当时，，由的图象得有3个不同实根，故原方程有3个不同实根；
当时，，由的图象得有4个不同实根，有2个不同实根，故原方程有6个不同实根；
当时，，由的图象得有1个实根，故原方程有1个实根；
当且时，且，由的图象得有1个实根，有1个实根，故原方程有2个不同实根；
综上所述，方程的不同实根的个数可能是1，2，3，6．
故答案为：1，2，3，6．
【点评】本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．
35．（2023秋•青浦区校级月考）已知函数，下列命题中：
①，都不是上的单调函数；
②，使得是上偶函数；
③若的最小值是，则；
④，使得有三个零点．
则所有正确的命题的序号是 ①②④ ．
【分析】①得到在分段处函数值相等，结合分段函数的开口方向，对称轴，得到结论；②可举出时，是偶函数；③分类讨论得到若的最小值是，则，从而判断③；④可举出时，满足要求．
【解答】解：当时，，开口向上，对称轴为，
当时，，开口向上，对称轴为，
即，
且，，即在分段处函数值相等，
由于的对称轴在的对称轴的左侧，
故，都不是上的单调函数，故①正确；
当时，，定义域为，
且，
故此时为偶函数，故②正确；
由②可知的最小值在或处取到，
，
当时，函数最小值在处取到，
由，解得（舍或1，故满足题意；
当时，函数最小值在处取到，
由，解得或2（舍，故满足题意，
当时，函数最小值在或处取到，
由于此时恒成立，恒成立，故都不合要求，舍去；
综上，若的最小值是，则，故③错误．
当时，，
若，即时，当时，令，解得，
当时，令，解得，均符合要求，
综上，此时函数有3个零点，故④正确．
故选：
【点评】本题考查了函数的零点与方程根的关系，函数单调性的判断，函数零点的判断和函数的最值，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．
36．（2023秋•虹口区校级期中）若关于的方程只有唯一解，则实数的取值范围为 ．
【分析】化简已知等式，然后对进行分类讨论，从而求得的取值范围．
【解答】解：依题意，关于的方程只有唯一解，
①只有唯一解，
当，时，方程①有无数解，
当，时，方程①的唯一解是，
综上所述，实数的取值范围为．
故答案为：．
【点评】本题考查了方程的根的问题，考查了分类讨论思想，属于中档题．
37．（2023秋•闵行区校级期中）已知关于的不等式恰有3个整数解，则实数的取值范围是 ， ．
【分析】根据不等式的性质求出不等式的范围，结合绝对值的几何意义进行求解即可．
【解答】解：，
，
即，
若不等式恰有3个整数解，
则这3个整数解为2，3，4，
则满足，
解得．
故答案为：，．
【点评】本题主要考查不等式解的应用，考查函数的零点和方程的根之间的关系，利用绝对值的几何意义建立不等式关系是解决本题的关键，属于中档题．
一十六．二分法的定义与应用（共1小题）
38．（2023秋•青浦区校级月考）下列函数中不能用二分法求零点的是
A．B．C．D．
【分析】凡是能用二分法求零点的函数，必须满足函数在零点的两侧函数值异号，检验各个选项中的函数，从而得出结论．
【解答】解：由于函数的零点为，而函数在此零点两侧的函数值都是正值，不是异号的，
故不能用二分法求函数的零点．
而选项、、中的函数，在它们各自的零点两侧的函数值符号相反，故可以用二分法求函数的零点，
故选：．
【点评】本题主要考查二分法的定义，用二分法求函数的零点，属于基础题．
一．填空题（共12小题）
1．（2023秋•黄浦区校级期中）函数是，上的奇函数，则 ．
【分析】由奇偶性的性质即可求解．
【解答】解：因为函数是，上的奇函数，
所以，所以．
故答案为：．
【点评】本题主要考查函数奇偶性的性质，考查运算求解能力，属于基础题．
2．（2023秋•浦东新区校级月考）若集合，，则 ．
【分析】根据配方法求解集合，由二次根式的性质求解，再由交集运算得答案．
【解答】解：，
，
由，
，，
．
故答案为：．
【点评】难题考查函数的定义域、值域及其求法，考查交集及其运算，是基础题．
3．（2023秋•杨浦区校级期中）已知，若实数、、、满足（a）（c）（b）（d），则的取值范围为 ．
【分析】根据题意，作出函数的简图，由此可得（a）（c）（b）（d），所以，进而分析可得答案．
【解答】解：根据题意，，由函数向左平移1个单位得到，
其图象如图：
由图可知：当时，，且在上单调递减，
因为（a）（c）（b）（d），所以，
所以，
因为在上单调递减，，
，
，，
所以．
故答案为：．
【点评】本题考查函数单调性的性质以及应用，涉及函数的图象，属于基础题．
4．（2021秋•松江区期末）已知是奇函数，当时，，则的值为 ．
【分析】由已知先求出，然后结合函数的奇偶性即可求解．
【解答】解：因为是奇函数，当时，，
所以，
则．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了函数的奇偶性在函数值求解中的应用，属于基础题．
5．（2022秋•松江区校级期中）函数的图像关于点中心对称，则 4 ．
【分析】先进行分离变形，然后结合反比例函数的性质即可求解．
【解答】解：因为的图像关于点中心对称，
故，．
故．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了反比例函数的对称性的应用，属于基础题．
6．（2022秋•长宁区校级期末）函数在区间，上的反函数 ．
【分析】根据已知条件，结合反函数的求法，即可求解．
【解答】解：，
当时，，
，
，
，即，
将，互换，
．
故答案为：．
【点评】本题主要考查反函数的求法，属于基础题．
7．（2023秋•杨浦区校级期中）已知方程的两根为和，则 14 ．
【分析】利用根与系数的关系和完全平方公式求解即可．
【解答】解：方程的两根为和，
所以，，
所以．
故答案为：14．
【点评】本题主要考查根与系数的关系的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
8．（2023秋•浦东新区校级期中）已知关于的方程的两个实根为，，，则实数 ．
【分析】首先求得实数的取值范围，然后利用韦达定理得到关于的方程，解方程即可确定实数的值．
【解答】解：方程存在实数根，则△，，，，
由题意结合韦达定理可得：，，
则：，
解得：，其中 时方程没有实数根，
故．
故答案为：．
【点评】本题主要考查韦达定理及其应用，属于基础题．
9．（2023秋•广信区校级期中）函数的定义域为 ，， ．
【分析】根据对数的真数大于0、分母不为0可得答案．
【解答】解：要使函数有意义，
只需，
解得且，
所以函数的定义域为，，．
故答案为：，，．
【点评】本题主要考查了求函数的定义域，属于基础题．
10．（2023秋•宝山区校级月考）关于不等式恰有3个整数解，则实数的取值范围 ．
【分析】不等式可化为，再分和两种情况求解即可．
【解答】解：不等式可化为，
当时，原不等式等价于，其解集为，
其解集中恰有3个整数，，解得；
当时，原不等式等价于，其解集为，
其解集中恰有3个整数，，解得，
综合以上，可得．
故答案为：．
【点评】本题考查了不等式的解法，考查了分类讨论思想和转化思想，属基础题．
11．（2022秋•松江区校级期末）若函数的值域为，，则实数取值范围是 ， ．
【分析】由已知可知能取遍所有正数，然后对是否为0进行分类讨论，结合二次函数的性质可求．
【解答】解：当时，的值域为，，
当时，根据二次函数的性质可知，的值域不可能为，，
当时，由题意得△，
解得，
故，
综上，的取值范围为，．
故答案为：，．
【点评】本题主要考查了函数值域的求解及二次函数性质的应用，体现了分类讨论思想的应用，属于基础题．
12．（2022秋•松江区校级期末）若，则满足不等式的实数的取值范围是 ．
【分析】先求定义域，再根据初等函数单调性和复合函数单调性判断的单调性，由奇偶性定义判断其奇偶性，然后根据奇偶性和单调性求解可得．
【解答】解：由得，
显然在区间上单调递增，
由复合函数单调性可知，在区间上单调递增，
所以函数在区间上单调递增．
又，所以函数为奇函数，
所以，
所以，解得．
故答案为：．
【点评】先求出函数的定义域，然后结合函数的单调性及奇偶性即可求解不等式．
二．选择题（共4小题）
13．（2023秋•松江区校级期中）若式子有意义，则的取值范围为
A．B．
C．，，D．
【分析】确定，解得答案．
【解答】解：式子有意义，则，解得，
所以的取值范围为，，．
故选：．
【点评】本题主要考查函数的定义域及其求法，属于基础题．
14．（2023秋•浦东新区校级月考）已知函数为定义在上的奇函数，对于任意的，有，，则的解集为
A．，，B．，，
C．，D．，，
【分析】根据题意结合函数的奇偶性确定函数的单调性，画出函数简图，讨论，，三种情况，解得答案．
【解答】解：任意的，有，
则函数在上单调递增，
函数为定义在上的奇函数，故函数在上单调递增，
又因为，
故（1），
又，画出函数简图，如图所示：
当时，，即，；
当时，，即，；
当时，不成立．
综上所述：，，．
故选：．
【点评】本题考查了奇函数的性质、数形结合思想，作出图象是关键，属于中档题．
15．（2022秋•松江区校级期末）关于函数，给出下列两个结论：
①方程一定有实数解；
②如果方程为常数）有解，则解的个数一定是偶数．
则
A．①正确，②正确B．①错误，②错误C．①正确，②错误D．①错误，②正确
【分析】根据条件可知，是偶函数，在，上单调递增，在上单调递减，再结合图形判断各项的正误．
【解答】解：令，解得，则的定义域为，，，，
且，所以函数是偶函数，
当时，，
因为在上单调递增，且恒成立，
所以在上单调递减，
当时，，
因为在，上单调递减，且恒成立，
所以在，上单调递增，这的函数图象如下．
对于①：方程根的个数即为函数与的交点个数，
由图象可知，当时，函数与函数的图像一定有交点，
由对称性可知，当时，函数与函数的图像也一定有交点，故①正确；
对于②：当时，方程只有1个解，故②错误．
故选：．
【点评】本考查了根据函数解析式确定单调区间和奇偶性，考查了数形结合思想，属中档题．
16．（2022秋•奉贤区校级期末）数学上，常用表示不大于的最大整数．已知函数，则下列四个命题：
①函数在定义域上是奇函数；
②函数的零点有无数个；
③函数在定义域上的值域是；
④不等式解集是，．
以上四个命题正确的有 个．
A．0B．1C．2D．3．
【分析】利用函数的奇偶性的定义判断①；利用函数的零点个数判断②；函数的值域判断③；反例判断④．
【解答】解：，，，所以函数不是奇函数，所以①错误；
当，时，，所以函数的零点有无数个．所以②正确；
当，时，，
当，时，，
当，时，，
分析可得③错误；
不等式解集是，所以④不正确．
正确命题有1个．
故选：．
【点评】本题考查函数的奇偶性，函数的值域的求法，函数的零点个数与方程根的关系，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
三．解答题（共5小题）
17．（2023秋•青浦区校级月考）已知函数，．
（1）若的图象关于直线对称，求函数在区间，上的值域；
（2）求使的自变量的取值范围．
【分析】（1）根据题意，由二次函数的性质可得，求出的值，进而结合二次函数的性质分析可得答案；
（2）根据题意，分三种情况：当时，当时，当时来解不等式，综合可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，因为，
所以，的图象的对称轴方程为．
由，得；
故，
在区间，上，最小值为（1），最大值为（3），
即函数在区间，上的值域为，；
（2）不等式，即为，变形可得，
当时，不等式的解集为，，
当时，不等式的解集为或，
当时，不等式的解集为，．
【点评】本题考查二次函数的性质以及应用，涉及不等式的解法，属于基础题．
18．（2023秋•黄浦区校级期中）已知函数，．函数的定义域为．
（1）当，时，求函数的值域．
（2）当，时，判断函数的单调性并说明理由．
【分析】（1）代入的值，根据对勾函数的性质求出函数的值域即可；
（2）根据函数单调性的定义判断函数的单调性即可．
【解答】解：（1），时，，
当且仅当时“ “成立，
故函数在上的值域是，；
（2）当，时，，在递增，
理由如下：
令，则，
，，，
，，在递增．
【点评】本题考查了对勾函数的性质，考查函数的单调性问题，是基础题．
19．（2023秋•闵行区期中）已知函数f（x）＝|2x﹣3|+|x﹣2|．
（1）求不等式f（x）≤3的解集M；
（2）在（1）的条件下，设M中的最小的数为m，正数a，b满足a+b＝3m，求的最小值．
【分析】（1）去掉绝对值符号，结合不等式f（x）≤3，转化求解即可．
（2）求出m的值，化简所求表达式，利用基本不等式转化求解即可．
【解答】解：（1）f（x）＝|2x﹣3|+|x﹣2|＝，
不等式f（x）≤3可化为或或，
解得，或，或，
综上所述，不等式f（x）≤3的解集为；
（2）由（1）可知，所以a+b＝2，
所以＝＝＝＝．
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为．
【点评】本题考查绝对值不等式的解法，函数的最值的求法，基本不等式的应用，是中档题．
20．（2023秋•黄浦区校级期中）在研究函数过程中，经常会遇到一类型如、、、为实常数且的函数，我们称为一次型分式函数．请根据条件完成下列问题．
（1）设是实数，函数，请根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由；
（2）设是实数，函数．若成立的一个充分非必要条件是，求的取值范围；
（3）设是实数，函数，若存在区间，使得，，，，求的取值范围．
【分析】（1）利用奇偶性的定义讨论计算即可；
（2）利用充分必要条件结合集合间的基本关系计算即可；
（3）利用函数的单调性与值域结合方程有解，根据二次函数的性质分离参数计算即可．
【解答】解：（1）对于函数，其定义域为，，
若，此时，定义域关于原点对称，且显然有，
故此时是偶函数，
若，则定义域不关于原点对称，故此时是非奇非偶函数；
（2）根据题意可知不等式的解集包含区间，
由，
若，即时，此时不等式无解，不符合题意；
若，即时，此时不等式的解集为，
要符合题意，则需，
注意到等号不能同时取得，故满足条件；
若，即时，此时不等式的解集为，
显然，不符合题意，
综上：．
（3）易知函数在上单调递增，
由题意可知有两个不等实根，
即在上有两个不同解，
即在上有两个不同解，
易知，由二次函数的性质可知．
【点评】本题主要考查函数奇偶性的性质，充分必要条件的定义，函数的单调性，考查运算求解能力，属于中档题．
21．（2022秋•宝山区校级月考）设函数的反函数存在，记为．设，．
（1）若，判断是否是、中的元素；
（2）若在其定义域上为严格增函数，求证：；
（3）若，若关于的方程有两个不等的实数解，求实数的取值范围．
【分析】（1）求出函数的解析式，利用元素与集合的关系判断与集合、的关系，可得出结论；
（2）分析可知，利用集合的包含关系以及函数的单调性证得，，即可证得结论成立；
（3）令，分析可得，由已知方程可得，可得，可得出，分析可得方程有两个不等的非负实根，根据二次方程根的分布可得出关于实数的不等式组，解之即可．
【解答】（1）解：因为，则，
所以，，则，所以，，，
则，
所以．
（2）证明：由题意可得，
任取，则，所以，，
所以，故；
任取，则，下面证明出．
因为函数在其定义域内为严格增函数，
若，则，与题设矛盾；
若，则，与题设矛盾．
故，即，故．
综上所述，．
（3）解：令，则，则，即，
由可得，所以，，
因为在其定义域内单调递增，所以，，即有两个不等的非负实根，
整理可得，
所以，，解得．
因此，实数的取值范围是．
【点评】本题主要考查了互为反函数的关系的应用，集合相等的判断，函数零点的判断，属于中档题．