【寒假作业】（沪教版2020）高中数学 高一寒假巩固提升训练 专题11+三角全章复习（12个考点）强化训练-练习.zip

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考点一．象限角、轴线角
在直角坐标系内讨论角
（1）象限角：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边在第几象限，就认为这个角是第几象限角．
（2）若角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
（3）所有与角α终边相同的角连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α+k•360°，k∈Z}．
【解题方法点拨】
（1）注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角．
（2）角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．
（3）注意熟记0°～360°间特殊角的弧度表示，以方便解题．
考点二．任意角的三角函数的定义
任意角的三角函数
1定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么sin α＝ y ，cs α＝ x ，tan α＝．
2．几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在 x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是（1，0）．
【解题方法点拨】
利用三角函数的定义求三角函数值的方法
利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：
（1）角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x；（2）纵坐标y；（3）该点到原点的距离r．若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况（点所在象限不同）．
考点三．三角函数值的符号
三角函数值符号记忆口诀
记忆技巧：一全正、二正弦、三正切、四余弦（为正）．即第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．
考点四．运用诱导公式化简求值
利用诱导公式化简求值的思路
1．“负化正”，运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数．
2．“大化小”，利用公式一将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数，利用公式二将大于180°的角的三角函数化为0°到180°的三角函数．
3．“小化锐”，利用公式六将大于90°的角化为0°到90°的角的三角函数．
4．“锐求值”，得到0°到90°的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得．
考点五．同角三角函数间的基本关系
1．同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：sin2α+cs2α＝1．
（2）商数关系：＝tanα．
2．诱导公式
公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cs（α+2kπ）＝cs_α，其中k∈Z．
公式二：sin（π+α）＝﹣sin_α，cs（π+α）＝﹣cs_α，tan（π+α）＝tan α．
公式三：sin（﹣α）＝﹣sin_α，cs（﹣α）＝cs_α．
公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cs（π﹣α）＝﹣cs_α．
公式五：sin（﹣α）＝csα，cs（﹣α）＝sinα．
公式六：sin（+α）＝csα，cs（+α）＝﹣sinα
3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）C（α﹣β）：cs （α﹣β）＝csαcsβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cs（α+β）＝csαcsβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcsβ+csαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcsβ﹣csαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．
4．二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）S2α：sin 2α＝2sin_αcs_α；
（2）C2α：cs 2α＝cs2α﹣sin2α＝2cs2α﹣1＝1﹣2sin2α；
（3）T2α：tan 2α＝．
【解题方法点拨】
诱导公式记忆口诀：
对于角“±α”（k∈Z）的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”．
考点六．三角函数恒等式的证明
三角函数恒等式：
1．同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：sin2α+cs2α＝1．
（2）商数关系：＝tanα．
2．诱导公式
公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cs（α+2kπ）＝csα，其中k∈Z．
公式二：sin（π+α）＝﹣sinα，cs（π+α）＝﹣csα，tan（π+α）＝tan α．
公式三：sin（﹣α）＝﹣sinα，cs（﹣α）＝csα，tan（﹣α）＝﹣tanα．
公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cs（π﹣α）＝﹣csα，tan（π﹣α）＝﹣tanα．
公式五：sin（2π﹣α）＝﹣sinα，cs（2π﹣α）＝csα．
公式六：sin（+α）＝csα，cs（+α）═﹣sinα
3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）C（α﹣β）：cs （α﹣β）＝csαcsβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cs（α+β）＝csαcsβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcsβ+csαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcsβ﹣csαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．
4．二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）S2α：sin 2α＝2sinαcsα；
（2）C2α：cs 2α＝cs2α﹣sin2α＝2cs2α﹣1＝1﹣2sin2α；
（3）T2α：tan 2α＝．
考点七．两角和与差的三角函数
（1）cs （α﹣β）＝csαcsβ+sinαsinβ；
（2）cs（α+β）＝csαcsβ﹣sinαsinβ；
（3）sin（α+β）＝sinαcsβ+csαsinβ；
（4）sin（α﹣β）＝sinαcsβ﹣csαsinβ；
（5）tan（α+β）＝．
（6）tan（α﹣β）＝．
考点八．二倍角的三角函数
二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα•csα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+csα）2．
二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cs2α＝cs2α﹣sin2α＝2cs2α﹣1＝1﹣2sin2α．
二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α＝．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．
考点九．半角的三角函数
半角的三角函数关系主要是指正切函数与正余弦函数之间的关系（正余弦的半角关系其实就是二倍角关系），其公式为：①tan＝＝＝；②tan＝＝＝．
考点十．三角函数的恒等变换及化简求值
三角函数的恒等变化主要是指自变量x数值比较大时，如何转化成我们常见的数值比较小的而且相等的三角函数，主要的方法就是运用它们的周期性．
公式
①正弦函数有y＝sin（2kπ+x）＝sinx，sin（+x）＝sin（﹣x）＝csx
②余弦函数有y＝cs（2kπ+x）＝csx，cs（﹣x）＝sinx
③正切函数有y＝tan（kπ+x）＝tanx，tan（﹣x）＝ctx，
④余切函数有y＝ct（﹣x）＝tanx，ct（kπ+x）＝ctx．
考点十一．正弦定理和余弦定理
1．正弦定理和余弦定理
在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况
由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．
2、三角形常用面积公式
1．S＝a•ha（ha表示边a上的高）；
2．S＝absinC＝acsinB＝bcsinA．
3．S＝r（a+b+c）（r为内切圆半径）．
【解题方法点拨】
正余弦定理的应用
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
考法十二．解三角形
1．已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．
2．已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．
3．已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况．
4．已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．
5．方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成．正北或正南，北偏东××度，北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度．
6．俯角和仰角的概念：
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．如图中OD、OE是视线，是仰角，是俯角．
7．关于三角形面积问题
①S△ABC＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；
②S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB；
③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R为外接圆半径）
④S△ABC＝；
⑤S△ABC＝，（s＝（a+b+c））；
⑥S△ABC＝r•s，（ r为△ABC内切圆的半径）
在解三角形时，常用定理及公式如下表：
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/1/16 9:27:03；用户：15921142042；邮箱：15921142042；学号：32447539
一．任意角的三角函数的定义（共9小题）
1．（2023春•浦东新区期中）已知角的终边过点，，则角的余弦值为 ．
【分析】由已知结合三角函数的定义即可求解．
【解答】解：因为，为单位圆上的点，
由三角函数定义得．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了三角函数的定义，属于基础题．
2．（2023春•长宁区期末）已知角的终边经过点，则角的正弦值是 ．
【分析】直接利用任意角的三角函数的定义即可求解．
【解答】解：角的终边经过点，
，，，
角的正弦值．
故答案为：．
【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
3．（2023春•宝山区期末）在平面直角坐标系中，锐角的大小如图所示，则 ．
【分析】根据三角函数定义可得，由此可得．
【解答】解：由已知有，
即，解得．
故答案为：．
【点评】本题考查三角函数定义，两角和差公式，属于基础题．
4．（2023春•浦东新区校级期末）若角的终边经过点，则实数的值为 ．
【分析】利用三角函数的定义以及诱导公式求出的值．
【解答】解：由诱导公式得，
另一方面，由三角函数的定义得，解得，
故答案为：．
【点评】本题考查诱导公式与三角函数的定义，解题时要充分利用诱导公式求特殊角的三角函数值，并利用三角函数的定义求参数的值，考查计算能力，属于基础题．
5．（2023春•虹口区校级期中）设为实数，点为角的终边上一点，且，则 ．
【分析】利用任意角的三角函数的定义即可求解．
【解答】解：点为角的终边上一点，且，
解得．
故答案为：．
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
6．（2023春•徐汇区校级期中）在平面直角坐标系中，已知任意角以坐标原点为顶点，轴的非负半轴为始边，若终点经过点，，且，定义：，称“”为“正余弦函数”，对于“正余弦函数”，有同学得到以下性质，其中正确的是 ①④ ．（填上所有正确的序号）
①该函数的值域为；
②该函数的图象关于原点对称；
③该函数的图象关于直线对称；
④该函数为周期函数，且最小正周期为．
【分析】利用三角函数的定义得到，，，再逐项判断．
【解答】解：对于①：由三角函数的定义可知，，
，故①正确；
对于②：由于，
，
函数关于原点对称是错误的，故②错误；
对于③：当时，，
图象关于对称是错误的，故③错误；
对于④：由于，函数为周期函数，且最小正周期为，故④正确，
综上，故正确的是①④．
故答案为：①④．
【点评】本题主要考查了三角函数定义的应用，属于基础题．
7．（2023春•奉贤区校级期中）在平面直角坐标系中，若角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边与以点为圆心的圆交于点，则 ．
【分析】利用诱导公式，结合三角函数定义求值作答．
【解答】解：依题意，，
所以．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了三角函数定义，诱导公式的应用，属于基础题．
8．（2023春•静安区校级期中）角的顶点在直角坐标系的原点，始边与轴的正半轴重合，点是角终边上一点，若，则 ．
【分析】利用三角函数的定义，转化求解即可．
【解答】解：角的顶点在直角坐标系的原点，始边与轴的正半轴重合，点是角终边上一点，，
可得，解得．
故答案为：．
【点评】本题考查三角函数的定义的应用，是基础题．
9．（2023秋•奉贤区期末）已知平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，角始边与轴的正半轴重合，终边与一次函数的图像交于点．
（1）当时，求的值；
（2）若，求点的坐标．
【分析】（1）利用直线方程求出点的坐标，计算和，再求出；
（2）利用诱导公式化简求出，求出时的值，再直线方程求点的坐标．
【解答】解：（1）时，，
所以，
，，
所以；
（2）因为，
所以，
即，
解得，
因为，所以，或，或，或；
当时，由，求得点的坐标为，；
当或时，的终边与直线没有交点；
当时，由，求得点的坐标为，；
综上，，或，．
【点评】本题考查了三角函数的定义与运算问题，是中档题．
二．三角函数值的符号（共3小题）
10．（2023春•浦东新区期中）已知点在第四象限，则角的终边在
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】由题意得，结合三角函数的定义即可求解．
【解答】解：由题意得，
所以为第三象限．
故选：．
【点评】本题主要考查了三角形函数值符号的判断，属于基础题．
11．（2023春•宝山区校级月考）设是第三象限角，则下列函数值一定为负数的是
A．B．C．D．
【分析】对于，结合特殊值法，即可求解；
对于，先求出在第二象限或第四象限，再结合选项，即可求解．
【解答】解：对于，当时，满足是第三象限角，
但，故错误；
对于，，，
则，，
故在第二象限或第四象限，
所以符合题意．
故选：．
【点评】本题主要考查三角函数值的符号，属于基础题．
12．（2023秋•宝山区期末）已知，，则角的终边在第 三 象限．
【分析】由已知结合三角函数的定义即可判断．
【解答】解：由可知，为第三或第四象限角，
由可知，为第三或第二象限角，
故为第三象限角．
故答案为：三．
【点评】本题主要考查了三角函数定义在三角函数值符号判断中的应用，属于基础题．
三．运用诱导公式化简求值（共6小题）
13．（2023秋•虹口区期末）若是任意实数，则
A．B．C．D．
【分析】直接利用诱导公式得答案．
【解答】解：．
故选：．
【点评】本题考查三角函数的诱导公式，是基础题．
14．（2023春•黄浦区校级期末）与一定相等的是
A．B．C．D．
【分析】由题意利用诱导公式即可求解．
【解答】解：，
对于，，不一定相等；
对于，，一定相等；
对于，，不一定相等；
对于，，不一定相等．
故选：．
【点评】本题考查了诱导公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
15．（2023春•金山区校级月考）已知，则的值为 ．
【分析】化简得到，，计算得到答案．
【解答】解：，
即，，．
故答案为：．
【点评】本题主要考查诱导公式以及三角恒等变换在化简求值中的应用，考查转化思想与运算求解能力，属于基础题．
16．（2023春•黄浦区期末）若，则 ．
【分析】由已知利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式即可求解．
【解答】解：因为，
则．
故答案为：．
【点评】本题考查了诱导公式以及同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
17．（2023秋•宝山区期末）已知．
（1）求；
（2）若角为第二象限角，且，求的值．
【分析】（1）由题意利用诱导公式以及特殊角的三角函数值即可求解；
（2）利用同角三角函数基本关系式即可求解．
【解答】解：（1），
所以；
（2）若角为第二象限角，且，
则，
所以．
【点评】本题主要考查了诱导公式，特殊角的三角函数值，同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
18．（2023春•宝山区校级月考）已知，求下列各式的值：
（1）若不是第二象限角，求的值；
（2）求的值．
【分析】（1）由题意，根据商数关系及平方关系计算即可．
（2）先利用诱导公式化简，再化弦为切，即可得解．
【解答】解：（1）因为，所以，
若不是第二象限角，则是第四象限角，
又，
则，所以．
（2）．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式，属于基础题．
四．同角三角函数间的基本关系（共8小题）
19．（2023秋•徐汇区校级期中）是成立的
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
【分析】通过同角三角函数基本关系式，求解三角函数值，然后判断充要条件即可．
【解答】解：可得，可得，
所以是成立的既非充分也非必要条件．
故选：．
【点评】本题考查同角三角函数基本关系式的应用，充要条件的判定，是基础题．
20．（2023春•青浦区校级月考）已知，且，其中，则关于的值，在以下四个答案中，可能正确的是
A．B．C．D．2
【分析】由已知及辅助角公式可得，进而确定，再由范围即可得答案．
【解答】解：由，则，
又，则，
综上，，故，则，各项中只有符合．
故选：．
【点评】本题主要考查了辅助角公式的应用，属于基础题．
21．（2023秋•宝山区期末）已知，则 ．
【分析】由已知结合同角基本关系进行化简即可求解．
【解答】解：因为，
则．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了同角基本关系的应用，属于基础题．
22．（2023春•浦东新区校级期中）在等腰三角形中，已知顶角的余弦值是，则底角的余弦值是 ．
【分析】设顶角为，底角为，先通过倍角公式求出，再利用求解即可．
【解答】解：设顶角为，底角为，则，，
又，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查诱导公式以及同角三角函数的基本关系，考查运算求解能力，属于基础题．
23．（2023春•宝山区校级月考）已知，，则 ．
【分析】由题意，根据同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，先求出、的值，可得要求式子的值．
【解答】解：，，，
，为钝角，，．
再根据，求得，，
则．
故答案为：．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．
24．（2023春•嘉定区校级期中）已知，则的值等于 4 ．
【分析】原式分子分母除以，利用同角三角函数间基本关系化简，将的值代入计算即可求出值．
【解答】解：，
原式．
故答案为：4
【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．
25．（2023春•奉贤区校级期中）已知．
（1）求的值；
（2）求的值．
【分析】（1）根据给定条件，求出，再利用齐次式法求值作答．
（2）利用二倍角公式变形，再利用齐次式法求值作答．
【解答】解：（1）由，得，
所以．
（2）由（1）知，，
．
【点评】本题主要考查了同角基本关系及二倍角公式的应用，属于基础题．
26．（2023春•浦东新区校级月考）已知，计算下列各式的值．
（1）；
（2）．
【分析】（1）将已知等式的左边分子分母同除以，将弦化切即可得解；
（2）利用同角三角函数的基本关系将所求式子弦化切求解即可．
【解答】解：（1）已知，
则，解得；
（2）
．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，考查运算求解能力，属于基础题．
五．三角函数恒等式的证明（共2小题）
27．（2023春•浦东新区校级月考）证明：．
【分析】根据二倍角公式以及同角三角函数之间的基本关系即可得出证明．
【解答】证明：由二倍角公式，以及可得，，得证．
【点评】本题主要考查二倍角公式以及同角三角函数之间的基本关系，属于基础题．
28．（2023春•青浦区校级月考）（1）化简：．
（2）证明恒等式：．
【分析】（1）利用诱导公式化简即可；
（2）从右边开始变形，利用倍角公式及两角和的正切公式变形证明即可．
【解答】（1）解：
；
（2）证明：右边
左边．
．
【点评】本题考查诱导公式的应用，三角函数化简与证明，是基础题．
六．两角和与差的三角函数（共5小题）
29．（2023春•闵行区校级期中）的值为 ．
【分析】利用余弦的和角公式化简即可求解．
【解答】解：．
故答案为：．
【点评】本题考查了两角和与差的三角函数公式的应用，属于基础题．
30．（2023春•松江区校级月考）已知，，且，则 或 ．
【分析】两式平方相加从而得到角的三角函数值，然后由角的范围确定的值．
【解答】解：已知两式平方相加得，
，则，
因为，所以，
故或．
故答案为：或．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，考查运算求解能力，属于基础题．
31．（2023春•奉贤区校级期末）已知函数，对于任意，都有成立，则 ．
【分析】对于任意，都有成立，则是的最大值，由两角和的正弦公式化简函数式，由正弦函数的最大值求得，再计算其正弦值．
【解答】解：，
对于任意，都有成立，则是的最大值，
所以，，，，．
故答案为：．
【点评】本题主要考查两角和的正弦公式，诱导公式的应用，考查运算能力，属于基础题．
32．（2023春•宝山区期末）已知，点是平面上一个动点，则当由0连续变到时，线段扫过的面积是 ．
【分析】首先找出点的轨迹，然后利用图形找到线段扫过的图形，解答时注意切线位置是关键．
【解答】解：由 可知，
点在圆心在原点，半径为1的单位圆上．
如图，当时，，，此时，，
又，，．
时，点运动到，，同理可得，
故当点运动到点时，线段扫过的面积，
又，
由可得，
故线段扫过的面积为．
故答案为：．
【点评】本题在几何背景下考查了三角函数的定义，求值，扇形面积等知识，属简单题．
33．（2023春•宝山区校级月考）已知，，是三个锐角，则，，中，大于的数至多有 个
A．0B．1C．2D．3
【分析】假设，，均大于，三式相乘得一不等关系，再由二倍角公式及正弦函数性质得一不等关系，两结论矛盾，从而可得出三个不可能都大于，然后取特例可有两个大于，得出最终结论．
【解答】解：假设，，均大于，即，
于是，
而另一方面：矛盾，
故，，不可能均大于，
而取知且．
大于的数至多有2个．
故选：．
【点评】本题考查的知识要点：反证法，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
七．二倍角的三角函数（共4小题）
34．（2023春•徐汇区校级期中）已知，则 ．
【分析】利用二倍角的余弦函数化简所求表达式，弦切互化，得到正切函数的形式，求解即可．
【解答】解：，
则．
故答案为：．
【点评】本题考查二倍角公式的应用，三角函数的化简求值，考查计算能力．
35．（2023春•金山区校级月考）已知，则 ．
【分析】将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦公式即可求解．
【解答】解：因为，
所以两边平方，可得，
解得．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
36．（2023春•青浦区校级期中）已知，且有，则 ．
【分析】由二倍角公式和同角的三角函数关系，计算即可．
【解答】解：由，得，
即；
又，所以，
所以；
由，
解得．
故答案为：．
【点评】本题考查了三角恒等变换与三角函数求值问题，是基础题．
37．（2023春•闵行区期末）在平面直角坐标系中，角的终边与角的终边关于轴对称．若，则 ．
【分析】由已知先求出，然后结合二倍角的正切公式即可求解．
【解答】解：因为角的终边与角的终边关于轴对称且，
所以，
则．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了二倍角公式的应用，属于基础题．
八．半角的三角函数（共1小题）
38．（2023春•静安区校级月考）已知且，则 ．
【分析】由二倍角的余弦公式即可得出答案．
【解答】解：因为且，
所以，
所以，
则，解得，
则．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了二倍角公式的应用，属于基础题．
九．三角函数的恒等变换及化简求值（共5小题）
39．（2023春•徐汇区校级期中）若，则 ．
【分析】先利用同角三角函数基本关系分别求得和的值，利用二倍角公式求得的值，继而代入原式．
【解答】解：
，
，
，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了二倍角公式的应用，同角三角函数基本关系的应用．过程中的结论可作为常用公式用来解决选择填空题．
40．（2023春•宝山区校级月考）若，则的值为
A．B．C．D．
【分析】由同角三角函数的基本关系化简后代值计算即可．
【解答】解：．
故选：．
【点评】本题考查利用同角三角函数的基本关系化简求值，属于基础题．
41．（2023春•嘉定区校级期末）当时，化简的结果是
A．B．C．D．
【分析】根据同角三角函数的基本关系式，将1化成正弦、余弦的平方和，构成完全平方公式，再根据角的范围，即可化简．
【解答】解：当时，，
故
．
故选：．
【点评】本题考查三角恒等变换，属基础题．
42．（2023春•静安区校级月考）若，则的值为
A．0B．1C．2D．
【分析】利用三角函数的定义判断，的符号，结合同角三角函数关系式，化简即可得出答案．
【解答】解：因为，则，，
所以
．
故选：．
【点评】本题主要考查了三角恒等变换的应用，属于基础题．
43．（2023春•金山区校级月考）已知，求：
（1）化简；
（2）求的值．
【分析】（1）利用平方关系和诱导公式即可求出结果；
（2）根据商数关系结合齐次式即可求出结果．
【解答】解：（1）因为，，
所以，即，．
（2），
．
【点评】本题主要考查了诱导公式，二倍角公式及同角基本关系在三角化简求值中的应用，属于基础题．
一十．正弦定理（共5小题）
44．（2023春•浦东新区校级期末）在三角形中，，，，则
A．B．C．或D．或
【分析】直接利用正弦定理求解．
【解答】解：由正弦定理得，，
，
，，，
．
故选：．
【点评】本题主要考查了正弦定理的应用，属于基础题．
45．（2023春•虹口区校级期中）在中，，则的取值范围是
A．B．C．D．
【分析】利用正弦定理化简已知的不等式，再利用余弦定理表示出，将得出的不等式变形后代入表示出的中，得出的范围，由为三角形的内角，根据余弦函数的图象与性质即可求出的取值范围．
【解答】解：由正弦定理可知，，，
，
，
，
，
．
，
的取值范围是，．
故选：．
【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．作为解三角形中常用的两个定理，考生应能熟练记忆，属中档题．
46．（2023春•青羊区校级月考）在中，内角，，的对边分别为，，，若，，则的外接圆的面积为
A．B．C．D．
【分析】根据二倍角公式将化简得到，利用余弦定理和正弦定理将化简可得，进而求出结果．
【解答】解：因为，
所以，
所以，即，
又，
所以，
所以，解得，
因为，
由余弦定理得，即，
又，
所以，
所以，
由正弦定理得，
所以，
设的外接圆的半径为，
所以，解得，
所以的外接圆的面积为．
故选：．
【点评】本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．
47．（2023春•徐汇区校级期中）在锐角中，内角，，所对应的边分别是，，，且，则的取值范围是 ．
【分析】由正弦定理和正弦二倍角公式将已知化为，根据为锐角三角形可得，以及，再由正弦定理可得，利用两角和的正弦展开式和的范围可得答案．
【解答】解：由正弦定理和正弦二倍角公式可得，
因为，所以，
可得，
因为，所以，
所以，，
由，可得，
所以，，
由正弦定理得．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了正弦定理的应用，考查了三角函数的恒等变换，属于中档题．
48．（2023春•嘉定区校级期中）（1）已知在中，，求；
（2）在中，，求、．
【分析】（1）首先计算出，再利用正弦定理即可得到答案；
（2）利用三角形面积公式结合余弦定理即可．
【解答】解：（1），
而，
由正弦定理得，即，代入数据解得．
（2），则①，
由余弦定理得②，
联立①②解得．
【点评】本题考查的知识要点：三角形内角和，正弦定理，余弦定理和三角形面积公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
一十一．余弦定理（共3小题）
49．（2023春•松江区校级月考）在中，，，分别是角，，的对边，若，则的值为
A．2021B．2022C．2023D．2024
【分析】根据，利用余弦定理得到，再利用三角恒等变换，结合正弦定理求解．
【解答】解：因为，
由余弦定理得，
所以，
所以，．
故选：．
【点评】本题主要考查余弦定理的应用，属于基础题．
50．（2023春•长宁区校级期中）随着生活水平的不断提高，人们更加关注健康，重视锻炼．通过“小步道”，走出“大健康”，健康步道成为引领健康生活的一道亮丽风景线．如图，为某区的一条健康步道，、为线段，是以为直径的半圆，，，．
（1）求的长度；
（2）为满足市民健康生活需要，提升城市品位，改善人居环境，现计划新建健康步道，在两侧），其中，为线段．若，求新建的健康步道的路程最多可比原有健康步道的路程增加多少长度？（精确到
【分析】（1）由已知结合余弦定理先求，然后结合弧长公式可求；
（2）结合余弦定理及基本不等式即可直接求解．
【解答】解：（1）连接，中，由余弦定理得，
，即；
（2）设，，
中，由余弦定理得，
所以，
解得，当且仅当时取得等号，
新建健康步道的最长路程，，
故新建健康步道的路程最多可比原来有健康步道的路程增加．
【点评】本题主要考查了余弦定理，弧长公式及基本不等式在求解最值中的应用，属于中档题．
51．（2023春•嘉定区校级期中）如图，游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径．一种是从沿直线步行到，另一种是先从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到．现有甲、乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为．在甲出发后，乙从乘缆车到，在处停留后，再从匀速步行到．假设缆车匀速直线运动的速度为，山路长为，经测量，，．
（1）求索道的长；
（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
（3）为使两位游客在处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？
【分析】（1）根据正弦定理即可确定出的长；
（2）设乙出发分钟后，甲、乙两游客距离为，此时，甲行走了，乙距离处，由余弦定理可得；
（3）设乙步行的速度为，从而求出的取值范围．
【解答】解：（1）在中，因为，，所以，，
从而
由正弦定理，得．
答：索道的长为．
（2）假设乙出发分钟后，甲、乙两游客距离为，此时，甲行走了，乙距离处，所以由余弦定理得
，
因，即，答：当时，甲、乙两游客距离最短．
（3）由正弦定理，得，
乙从出发时，甲已经走了，还需走才能到达．
设乙步行的速度为，由题意得，解得，
答：为使两位游客在处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在范围内．
【点评】此题考查了余弦定理，锐角三角函数定义，以及勾股定理，利用了分类讨论及数形结合的思想，属于解直角三角形题型．
一十二．解三角形（共4小题）
52．（2023春•松江区校级月考）小明同学为了估算位于哈尔滨的索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高为，在它们之间的地面上的点，，三点共线）处测得楼顶，教堂顶的仰角分别是和，在楼顶处测得塔顶的仰角为，则小明估算索菲亚教堂的高度为
A．B．C．D．
【分析】根据题意结合正弦定理运算求解．
【解答】解：，
由题意知：，，所以，
在中，，
在中，由正弦定理得，
所以，
在中，．
故选：．
【点评】本题考查解三角形问题，正弦定理的应用，化归转化思想，属中档题．
53．（2023春•奉贤区校级期中）的内角，，所对的边分别是，，，则下列命题正确的序号是 ①③ ．
①若，则；
②若，则是锐角三角形；
③若，则是直角三角形；
④若，则为等腰三角形；
⑤若锐角中，则恒成立．
【分析】根据正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用判断各个命题是否正确即可．
【解答】解：对于①，若，则，
所以，
又因为在递减，所以，命题①正确；
对于②，中，因为，所以为锐角，
但不能判断、是否均为锐角，所以不一定是锐角三角形，命题②错误；
对于③，若，即，
由余弦定理可得，即，
所以是直角三角形，命题③正确；
对于④，由正弦定理及，得，
所以或，是等腰三角形或直角三角形，命题④错误．
对于⑤，角，，分别取，，，代入计算可得，，命题⑤错误．
故答案为：①③．
【点评】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了推理与判断能力，是中档题．
54．（2023春•松江区校级期中）如图，某避暑山庄为吸引游客，准备在门前两条小路和之间修建一处弓形花园，已知，弓形花园的弦长，记弓形花园的顶点为，，设．
（1）将、用含有的关系式表示出来；
（2）该山庄准备在点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何设计、的长度，使得喷泉与山庄的距离最大？
【分析】（1）在中，利用正弦定理，即可得解；
（2）在中，结合余弦定理与三角恒等变换公式，可推出，再根据正弦函数的图象与性质，即可得解．
【解答】解：（1）在中，，，
所以，
由正弦定理知，，
所以，．
（2）在中，，，
所以，
在中，，
由余弦定理知，
，
因为，所以，，
所以当，即时，取得最大值，即取得最大值，
此时，
，
故当时，可使得喷泉与山庄的距离最大．
【点评】本题考查解三角形的实际应用，熟练掌握正弦定理、余弦定理，三角恒等变换公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
55．（2023秋•静安区期末）如图，某公园东北角处有一座小山，山顶有一根垂直于水平地平面的钢制笔直旗杆，公园内的小山下是一个水平广场（虚线部分）．某高三班级数学老师留给同学们的周末作业是：进入该公园，提出与测量有关的问题，在广场上实施测量，并运用数学知识解决问题．老师提供给同学们的条件是：已知米，规定使用的测量工具只有一只小小的手持激光测距仪（如图，该测距仪能准确测量它到它发出的激光投射在物体表面上的光点之间的距离）．
（1）甲同学来到通往山脚下的笔直小路上，他提出的问题是：如何测量小山的高度？于是，他站在点处，独立的实施了测量，并运用数学知识解决了问题．请写出甲同学的解决问题方案，并用假设的测量数据（字母表示）表示出小山的高度；
（2）乙同学是在一阵大风过后进入公园的，广场上的人纷纷议论：旗杆似乎是由于在根部处松动产生了倾斜．她提出的问题是：如何检验旗杆是否还垂直于地面？并且设计了一个不用计算就能解决问题的独立测量方案．请你写出她的方案，并说明理由；
（3）已知（1）中的小路是东西方向，且与点位于垂直于地平面的同一平面上．又已知在（2）中的乙同学已经断定旗杆大致向广场方向倾斜．如果你是该班级的同学，你会提出怎样的有实际意义的问题？请写出实施测量与解决问题的方案，并说明理由（如果需要，可通过假设的测量数据或运算结果列式说明，不必计算）．
【分析】由题意画出图形，用测距仪测出相应的量，结合空间几何体线面的位置关系进行求解．
【解答】解：（1）如图1，设点在水平面的投影点为，
用测距仪测得，，
在中，，
在中，，
所以小山的高度．
（2）如图2，用测距仪测得，，
在广场上从点移动至点，使得，
再移至点，使得，此时再测量、，
若，则可知旗杆垂直于地面，否则就是倾斜了．
理由如下：已知，，设点是的中点，
则在等腰中，，同理，
所以平面，
又因为平面，故，
同理可证，可得平面，即旗杆垂直于地面．
（3）提问1：旗杆向哪个方向倾斜多少角度？
说明：用在地平面上的投影来刻画的倾斜方向是合理的，
也可以采用在广场上确定一个位于在地平面上投影上的点来刻画，
关于如何刻画倾斜多少角度的问题，既可以用与垂直于地面的直线所成角的大小，
也可以用与地平面所成角的大小来刻画．
解答方案：
如图3，在地面画出离点距离相等的点的轨迹圆，
再在圆上找到离点距离最近的点，作垂直于地面，垂足为，则的大小就是旗杆倾斜角度．
理由如下：先证明与圆的交点既是点，
只需证明：对于圆上任意一点，，因为在 中，，所以，
故，
如图4，从图3中的点向点的方向走到点，放置一个物体，测得、、的长，
利用余弦定理可得的大小，同理可得的大小，
因此，可以求得图3中的、、、的长，
在中，三边已知，利用余弦定理可求得，即旗杆向西偏南的方向倾斜，
又由于、可求得，故倾斜角度为．
提问2：测量与小路的夹角？
解答方案：如图5，以点为原点建立空间直角坐标系，则，0，，设，，，
取点，0，，，10，，
用测距仪测得，，，
得方程组
解方程组可得点的坐标，，，同理可得点的坐标，，，
则，，，
小路的的方向向量为，1，，
则与小路的夹角大小为．
【点评】本题考查解三角形的实际应用，考查空间几何体的线面关系，属于难题．
定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝2R
（ R是△ABC外接圆半径）
a2＝b2+c2﹣2bccsA，
b2＝a2+c2﹣2accsB，
c2＝a2+b2﹣2abcsC
变形
形式
①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；
②sinA＝，sinB＝，sinC＝；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA
csA＝，
csB＝，
csC＝
解决
三角
形的
问题
①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；
②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
①已知三边，求各角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
A为锐角
A为钝角或直角
图形




关系式
a＝bsinA
bsinA＜a＜b
a≥b
a＞b
解的个数
一解
两解
一解
一解
名称
公式
变形
内角和定理
A+B+C＝π
+＝﹣，2A+2B＝2π﹣2C
余弦定理
a2＝b2+c2﹣2bccsA
b2＝a2+c2﹣2accsB
c2＝a2+b2﹣2abcsC
csA＝
csB＝
csC＝
正弦定理
＝2R
R为△ABC的外接圆半径
a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC
sinA＝，sinB＝，sinC＝
射影定理
acsB+bcsA＝c
acsC+ccsA＝b
bcsC+ccsB＝a
面积公式
①S△＝aha＝bhb＝chc
②S△＝absinC＝acsinB＝bcsinA
③S△＝
④S△＝，（s＝（a+b+c））；
⑤S△＝（a+b+c）r
（r为△ABC内切圆半径）
sinA＝
sinB＝
sinC＝