2023-2024学年重庆市长寿区高二（上）期末数学试卷（B卷）（含解析）

这是一份2023-2024学年重庆市长寿区高二（上）期末数学试卷（B卷）（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列直线中，与直线2x−y+3=0平行的是( )
A. 2x+y−4=0B. x−2y+4=0C. x+2y−4=0D. 2x−y+4=0
2.已知数列{an}的首项为a1=2，递推公式为an=2−1an−1(n≥2)，则a3=( )
A. 12B. 32C. 23D. 43
3.下列导数公式不正确的是( )
A. (xa)′=axa−1B. (ex)′=exC. (csx)′=sinxD. (sinx)′=csx
4.直线2x−y+6=0与直线x+y=3的交点坐标是( )
A. (3,0)B. (−1,4)C. (−3,6)D. (4,−1)
5.已知空间四点A(1,1,0)，B(1,0,1)，C(0,1,1)，D(x,y,z)，且AB/​/CD，则满足条件点D的坐标是( )
A. (0,−2,4)B. (0,−1,1)C. (0,1,−1)D. (1,0,1)
6.已知圆心为点(2,−3)，且过点(5,1)，则圆的方程为( )
A. (x−2)2+(y+3)2=25B. (x−2)2+(y+3)2=5
C. (x−5)2+(y−1)2=7D. (x−5)2+(y−1)2=53
7.已知方程x2m+2−y2m+1=1表示双曲线，则实数m的取值范围是( )
A. m>−1或m<−2B. m<−1
C. m>−2D. −28.函数f(x)=−13x3+x2+3x+a(其中a∈R)的单调增区间是( )
A. (−∞,−1)∪(3,+∞)B. (−1,3)
C. (−3,1)D. R
9.在函数y=x2图象上取一点(1,1)及附近一点(1+Δx,1+Δy)，则ΔyΔx为( )
A. 4Δx+2Δx2B. 4+2ΔxC. Δx+2D. 4+Δx
10.已知函数f(x)的定义域为[−2,+∞)，部分对应值如下表，f′(x)为f(x)的导函数，函数y=f′(x)的图象如图所示.若实数a满足f(a)≤1，则a的取值范围是( )
A. [−2,4]B. [−2,0]C. [0,4]D. [4,+∞]
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知两条直线y=ax−2和3x−y+1=0互相垂直，则a= ______ ．
12.已知抛物线y2=4x，则抛物线的准线方程是______．
13.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2=3，a3=6，则S5= ______ ．
14.已知双曲线C：x216−y24=1的左焦点为F1，则左焦点F1到双曲线的渐近线的距离为______ ．
15.如图，是棱长为4的正方体ABCD−EFGH，点P在正方体的内部且满足AP=12AB+14AD+14AE，则P到面ADGF的距离为______ ．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题15分)
已知a1=1，an+1=an+2．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{an}的前10项和．
17.(本小题15分)
已知直线l的倾斜角为135°，且过点(1,1)．
(1)求直线l的直线方程；
(2)若以原点为圆心的圆C恰好与直线l相切，求圆C的方程．
18.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD=4，AB=PA=2，PA⊥平面ABCD，E、F分别是线段AB、BC的中点．
(1)证明：PE⊥AD；
(2)求直线PE与平面PFD所成角的正弦值．
19.(本小题15分)
已知点F1，F2是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点，且椭圆C的短轴长为2 2，离心率为 33．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l过点F1且斜率为2，与椭圆C交于A，B两点，求线段|AB|的值．
20.(本小题15分)
已知函数f(x)=ax−lnx(a∈R)．
(1)当a=2时，求曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程；
(2)讨论函数f(x)的极值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：由题可知2x−y+3=0的斜率k=2，根据直线平行，斜率存在时，斜率相等的条件可知，
A：2x+y−4=0的斜率−2，不满足题意，
B：x−2y+4=0的斜率12，不满足题意，
C：x+2y−4=0的斜率−12，不满足题意，
D：2x−y+4=0的斜率2，满足题意．
故选：D．
由题可知2x−y+3=0的斜率k=2，根据直线平行，斜率存在时，斜率相等的条件可进行判断．
本题主要考查了直线平行条件的应用，属于基础试题．
2.【答案】D
【解析】解：依题意，由an=2−1an−1(n≥2)及a1=2，
可得a2=2−1a1=2−12=32，
a3=2−1a2=2−132=43．
故选：D．
根据题干递推公式及a1=2逐项代入即可计算出a3的值．
本题主要考查数列由递推公式求某项的值，迭代法，属基础题．
3.【答案】C
【解析】解：(xa)′=axa−1，故A正确；
(ex)′=ex，故B正确；
(csx)′=−sinx，故C错误；
(six)′=csx，故D正确．
故选：C．
根据已知条件，结合导数的求导法则，即可求解．
本题主要考查导数的运算，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：联立2x−y+6=0x+y=3，解得x=−1y=4．
故选：B．
根据已知条件，联立直线方程，即可求解．
本题主要看考查两条直线的交点坐标，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，若D的坐标为(0,−2,4)，则AB=(0,−1,1)，CD=(0,−3,3)，有CD=3AB，则有AB/​/CD，符合题意；
对于B，若D的坐标为(0,−1,1)，则AB=(0,−1,1)，CD=(0,−2,0)，易得AB与CD不共线，则AB与CD不平行，不符合题意；
对于C，若D的坐标为(0,1,−1)，则AB=(0,−1,1)，CD=(0,0,−2)，易得AB与CD不共线，则AB与CD不平行，不符合题意；
对于D，若D的坐标为(1,0,1)，则AB=(0,−1,1)，CD=(1,−1,0)，易得AB与CD不共线，则AB与CD不平行，不符合题意．
故选：A．
根据题意，依次分析选项，由D的坐标求出CD的坐标，判断AB与CD是否共线，即可得AB与CD是否平行，综合可得答案．
本题考查空间向量的平行，涉及空间向量的坐标，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：圆心为点(2,−3)，且过点(5,1)，
则圆的半径为 (2−5)2+(−3−1)2=5，
故圆的方程为(x−2)2+(y+3)2=25．
故选：A．
根据已知条件，结合两点之间的距离公式，求出半径，再结合圆心坐标，即可求解．
本题主要考查圆的标准方程求解，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：方程x2m+2−y2m+1=1表示双曲线，
可得(m+1)(2+m)>0，解得m∈(−∞,−2)∪(−1,+∞)．
故选：A．
利用方程表示双曲线，列出不等式求解即可．
本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．
8.【答案】B
【解析】解：∵f′(x)=−x2+2x+3=−(x−3)(x+1)，
令f′(x)>0，得−1∴f(x)的单调增区间是(−1,3)．
故选：B．
求得f′(x)=−(x−3)(x+1)，令f′(x)>0，即可求得答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题．
9.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查变化的快慢与变化率，通过计算函数值的变化来解，比较简单．
先利用函数值的差求出函数值的变化量，再算出函数值的变化量与自变量的变化量的比值即可．
【解答】
解：Δy=(1+Δx)2−1=(Δx)2+2Δx，
∴ΔyΔx=Δx+2，
故选C．
10.【答案】A
【解析】解：由导函数的图形知，当x∈(−2,0)时，f′(x)<0；
当x∈(0,+∞)时，f′(x)>0，
∴f(x)在(−2,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增；
∵f(a)≤1，
∴由表格数据可得，−2≤a≤4，
∴a的取值范围是[−2,4]．
故选：A．
由导函数的图象可判断导函数的符号，利用导函数的符号与函数单调性的关系得到f(x)的单调性，结合函数的单调性，即可求a的取值范围．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查识图能力与运算能力，属于中档题．
11.【答案】−13
【解析】解：3x−y+1=0，
则y=3x+1，
两条直线y=ax−2和3x−y+1=0互相垂直，
则3a=−1，解得a=−13．
故答案为：−13．
根据已知条件，结合直线垂直的性质，即可求解．
本题主要考查直线垂直的性质，属于基础题．
12.【答案】x=−1
【解析】解：抛物线y2=4x，
则抛物线的准线方程是x=−1．
故答案为：x=−1．
直接利用抛物线方程，求解准线方程即可．
本题考查抛物线的简单性质的应用，准线方程的求法，是基础题．
13.【答案】932
【解析】解：根据题意，设等比数列{an}的公比为q，
由于a2=3，a3=6，则q=2，则a1=a22=32，
则S5=a1(1−q5)1−q=32(1−25)1−2=932．
故答案为：932．
根据题意，设等比数列{an}的公比为q，由等比数列的通项公式先求出q的值，进而由等比数列前n项和公式计算可得答案．
本题考查等比数列的求和，涉及等比数列的性质，属于基础题．
14.【答案】2
【解析】解：双曲线C：x216−y24=1，
则a=4，b=2，c= a2+b2=2 5，
由双曲线的对称性可知，不妨取双曲线的渐近线为y=bax=12x，即x−2y=0，
左焦点F1(2 5,0)，
则|2 5| 12+(−2)2=2．
故答案为：2．
根据已知条件，先求出a，b，c，再结合点到直线的距离公式，即可求解．
本题主要考查双曲线的性质，属于基础题．
15.【答案】 22
【解析】解：在正方体ABCD−EFGH中，建系如图，
则根据题意可知：A(0,0,0)，B(4,0,0)，D(0,4,0)，E(0,0,4)，F(4,0,4)，
∴AB=(4,0,0)，AD=(0,4,0)，AE=(0,0,4)，AF=(4,0,4)，
∴AP=12AB+14AD+14AE=(2,0,0)+(0,1,0)+(0,0,1)=(2,1,1)，
设平面ADGF的法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅AD=4y=0n⋅AF=4x+4z=0，取n=(1,0,−1)，
∴P到面ADGF的距离为：|AP⋅n||n|=2−1 2= 22．
故答案为： 22．
建系，利用向量法，向量数量积的运算，即可求解．
本题考查向量法求解点面距问题，属中档题．
16.【答案】解：(1)依题意，由an+1=an+2及a1=1，
可知数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，
∴an=1+2⋅(n−1)=2n−1，n∈N*．
(2)由题意，设数列{an}的前n项和为Sn，
则由(1)及等差数列的求和公式，
可得S10=na1+n(n−1)2d
=10×1+10×92×2
=100．
【解析】(1)先根据题干已知条件判断出数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，即可计算出数列{an}的通项公式；
(2)根据第(1)题的结果及等差数列的求和公式即可计算出数列{an}的前10项和．
本题主要考查等差数列的基本运算．考查了转化与化归思想，等差数列的定义，等差数列的通项公式与求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
17.【答案】解：(1)直线l的倾斜角为135°，
则直线的斜率k=tan135°=−1，
直线l过点(1,1)，
故直线l的方程为y−1=−1(x−1)，即y=−x+2．
(2)圆心(0,0)到直线l的距离为d=2 2= 2，
由于直线l与圆相切，
所以d=r，
故圆的方程为x2+y2=2．
【解析】(1)结合直线的倾斜角与斜率的关系，以及直线过点(1,1)，即可求解；
(2)结合点到直线的距离公式，即可求解．
本题主要考查直线与圆的位置关系，属于基础题．
18.【答案】(1)证明：因为底面ABCD是矩形，所以AD⊥AB，
又因为PA⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AD，
由AD⊥AB，AD⊥PA，AB∩PA=A，
得AD⊥面PAB，又因为PE⊂面PAB，
所以AD⊥PE；
(2)解：如图，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间坐标系，

则D(0,4,0)，E(1,0,0)，F(2,2,0)，P(0,0,2)，
PE=(1,0,−2),DF=(2,−2,0),PD=(0,4,−2)，
设平面PDF的法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅PD=4y−2z=0n⋅DF=2x−2y=0，
令x=1，则y=1，z=2，即n=(1,1,2)，
设直线PE与平面PFD所成的角为θ，
则sinθ=|cs|=|n⋅PE|n||PE||=|1+0−4 5× 6|= 3010．
【解析】(1)根据线面垂直的性质定理和判定定理证明；(2)建系，求平面PFD的法向量，利用空间向量求线面夹角．
本题考查了线线垂直的证明和线面角的计算，属于中档题．
19.【答案】解：(1)由2b=2 2e=ca= 1−b2a2= 33，得a= 3b= 2，
所以椭圆C的方程为x23+y22=1．
(2)由题意可得直线方程为y=2x+2，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
由y=2x+2x23+y22=1，得7x2+12x+3=0，
x1+x2=−127，x1x2=37，
所以|AB|= 1+k2|x1−x2|= 5× (x1+x2)2−4x1x2
= 5× (−127)2−4×37=10 37．
【解析】(1)根据椭圆的离心率和短轴长，求出a，b的值，即可求出椭圆的方程；
(2)写出直线l的方程，联立直线与椭圆的方程，消元，利用韦达定理及弦长公式即可求出结果．
本题考查椭圆的性质和方程，直线与椭圆的位置关系，属中档题．
20.【答案】解：(1)由f(1)=2得，切点(1,2)，
而 f′(x)=2−1x,k=f′(1)=1，
故切线方程为y−2=x−1，即y=x+1．
(2)因为函数f(x)的定义域为(0,+∞)，
f′(x)=a−1x=ax−1x，
当a≤0时，f′(x)<0，函数f(x)在定义域内为减函数，无极值；
当a>0时，令f(x)=0′，解得x=1a，
当01a时，f′(x)>0，
所以函数f(x)在(0,1a)上为减函数，在(1a,+∞)上为增函数，
有极小值 f(1a)=1−ln1a=1+lna．
综上所述，当a≤0时，无极值；当a>0时，有极小值f(1a)=1−ln1a=1+lna．
【解析】(1)求导，根据导数的几何意义知，f′(1)是切线的斜率，根据直线的点斜式方程写出切线方程即可；
(2)求导，分a≤0和a>0两种情况讨论，分析导数的符号，确定原函数的单调性，从而求出极值．
本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的极值，分类讨论数学思想方法，属难题．x
−2
0
4
f(x)
1
−1
1