2023-2024学年上海市普陀区同济大学二附中高一（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年上海市普陀区同济大学二附中高一（上）期末数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知a，b为非零实数，且a>b，则下列不等式成立的是( )
A. a2>b2B. 1a|b|D. 2a>2b
2.设x∈R，不等式|x−3|0且a≠1)的图象都过定点P，且点P在角θ的终边上，则sinθ= ______ ．
9.已知幂函数f(x)=(m2−m−1)xm−1为偶函数，且在(0,+∞)上严格单调递减，则实数m的值为______ ．
10.设2a=3b=m，且1a+1b=2，则m=______
11.函数f(x)=(12)x2−4x+5的单调递减区间为______ ．
12.“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出人怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号.如图是折扇的示意图，其中OA=20cm，∠AOB=120°，M为OA的中点，则扇面(图中扇环)部分的面积是______ cm2．
13.设f(x)为R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)=ex−1，则当x1(x1≠x2)，则实数b的取值范围是______ ．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
已知函数f(x)=lg1−x1+x
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)证明函数f(x)为奇函数．
18.(本小题14分)
已知函数f(x)=ax+b(a>0且a≠1)的图象经过点(0,−2)，(2,1)．
(1)求实数a，b的值；
(2)若不等式a8−x2≥(14)x的解集记为A，求x∈A时，函数f(x)的值域．
19.(本小题14分)
已知函数f(x)=x+ax，且f(2)=0．
(1)求实数a，判断函数f(x)在(0,+∞)上的单调性，并用定义证明；
(2)利用函数的单调性和奇偶性，解不等式f(t2+3)+f(−2t2+t−1)>0．
20.(本小题18分)
已知函数f(x)=−x2+ax−a．
(1)若f(x)的最大值为0，求实数a的值；
(2)设f(x)在区间[0,2]上的最大值为M(a)，求M(a)的表达式；
(3)令g(x)=−f(x)x，若g(x)在区间[1,2]上的最小值为1，求正实数a的取值范围．
21.(本小题18分)
对于函数y=f(x)，若在定义域内存在实数x，满足f(−x)=−kf(x)，其中k为整数，则称函数y=f(x)为定义域上的“k阶局部奇函数”．
(1)已知函数f(x)=x2+2x，试判断y=f(x)是否为(−1,1)上的“2阶局部奇函数”？并说明理由；
(2)若f(x)=lg3(x+m)是[−2,2]上的“1阶局部奇函数”，求实数m的取值范围；
(3)若f(x)=x2−2x+t，对任意的实数t∈(−∞,2]，函数y=f(x)恒为R上的“k阶局部奇函数”，求整数k取值的集合．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A选项不正确，当a=1，b=−2时，不等式就不成立；
B选项不正确，因为a=1，b=−2时，不等式就不成立；
C选项不正确，因为a=1，b=−2时，不等式就不成立；
D选项正确，因为y=2x是一个增函数，故当a>b时一定有2a>2b，
故选D．
由不等式的相关性质，对四个选项逐一判断，由于a，b为非零实数，故可利用特例进行讨论得出正确选项
本题考查不等关系与不等式，解题的关键是熟练掌握不等式的有关性质，且能根据这些性质灵活选用方法进行判断，如本题采用特值法排除三个选项，用单调性判断正确选项．
2.【答案】D
【解析】解：因为|x−3|m恒成立，利用三角不等式求不等号左边最小值，由此即可得解．
本题考查了转化思想及利用三角不等式求最小值，属于中档题．
15.【答案】(0,34)
【解析】解：∵函数f(x)=ax2−2x+1(x∈R)两个零点，一个大于2另一个小于2，
∴a>0f(2)=4a−31，即对任意的x1，x2∈(1,2)，b>2x1x2恒成立，结合已知由此即可得解．
本题考查了转化思想、不等式的性质，属于中档题．
17.【答案】(1)解：∵由lg1−x1+x，得出1−x1+x>0，且1+x≠0
∴有(1−x)>0且(1+x)>0或者(1−x)f(x2)，
所以f(x)在(0,+∞)上单调递增；
(2)由(1)得，f(x)在(0,+∞)上单调递增，且f(x)奇函数，
由f(t2+3)+f(−2t2+t−1)>0得f(t2+3)>−f(−2t2+t−1)=f(2t2−t+1)，
因为t2+3>0，2t2−t+1>0恒成立，
所以3+t2>2t2−t+1，
解得−10，利用作差法比较f(x1)与f(x2)的大小即可判断；
(2)结合函数的单调性及奇偶性即可求解不等式．
本题主要考查了函数单调性及奇偶性的判断，还考查了函数单调性在不等式求解中的应用，属于中档题．
20.【答案】解：(1)f(x)=−x2+ax−a，开口向下，对称轴x=a2，
所以f(x)max=f(a2)=−(a2)2+a⋅a2−a=a24−a=0，解得a=0或a=4，
即实数a的值为0或4；
(2)由(1)可得：当a2≤0，即a≤0时，函数在[0,2]单调递减，所以M(a)=f(0)=−a；
当a2≥2，即a≥4时，函数在[0,2]单调递增，所以M(a)=f(2)=−22+2a−a=a−4；
当a∈(0,4)时，函数在[0,2]先增后减，所以M(a)=f(a2)=a24−a；
所以M(a)=−a,a≤0a24−a,02，由定义可得存在x∈[−2,2]，使得lg3(−x+m)=−lg3(x+m)有解，整理得m2−x2=1，从而可得m的取值范围，综合可得答案；
(2)问题等价于方程f(−x)=−kf(x)恒有解，即(−x)2−2(−x)+t=−k(x2−2x+t)，整理得(1+k)x2+(2−2k)x+t+kt=0，对k分类讨论，即可得解．
本题主要考查函数与方程的综合应用，考查运算求解能力，属于中档题．