2023-2024学年北京市石景山区高一(上)期末数学试卷(含解析)
展开1.已知集合A={x|x>0},B={x|−1
A. ∃x∈R,x2−x+1≥0B. ∃x∉R,x2−x+1≥0
C. ∀x∈R,x2−x+1≥0D. ∀x∈R,x2−x+1<0
3.下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是( )
A. y=(12)xB. y=(x−1)2C. y=−x+1D. y=x3
4.已知关于x的不等式x2+ax+b<0的解集是(−2,1)则a+b=( )
A. 0B. −1C. 1D. −2
5.“2x<1”是“x<1”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
6.某中学高三年级共有学生800人,为了解他们的视力状况,用分层抽样的方法从中抽取一个容量为40的样本,若样本中共有女生11人,则该校高三年级共有男生人.( )
A. 220B. 225C. 580D. 585
7.若aA. a2
8.已知函数f(x)=2−lg2x,x≥14x,x<1,则f(f(12))=( )
A. −1B. 0C. 1D. 2
9.已知函数f(x)=lg2x−x+1,则不等式f(x)<0的解集是( )
A. (1,2)B. (−∞,1)∪(2,+∞)
C. (0,2)D. (0,1)∪(2,+∞)
10.已知非空集合A,B满足以下两个条件.
(ⅰ)A∪B={1,2,3,4,5,6},A∩B=⌀;
(ⅱ)A的元素个数不是A中的元素,B的元素个数不是B中的元素,则有序集合对(A,B)的个数为( )
A. 10B. 12C. 14D. 16
二、填空题:本题共5小题,每小题4分,共20分。
11.函数y=lg(x−2)+1x的定义域为______ .
12.已知y=x2+2x+4x(x>0),则当x= ______ 时,y取得最小值为______ .
13.不等式2xx−2≤1的解集为______ .
14.写出一个值域为[1,+∞)的偶函数f(x)= ______ .
15.已知函数f(x)=−x2+ax+1,x≤1,ax,x>1.
(1)若a=0,则f(x)的最大值是______ ;
(2)若f(x)存在最大值,则a的取值范围为______ .
三、解答题:本题共5小题,共40分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
16.(本小题6分)
已知集合A={x|x2−3x−4>0},集合B={x|a−x≤0}.
(Ⅰ)当a=2时,求A∪B;
(Ⅱ)若B∩∁RA≠⌀,求实数a的取值范围.
17.(本小题9分)
已知甲投篮命中的概率为0.6,乙投篮不中的概率为0.3,乙、丙两人都投篮命中的概率为0.35,假设甲、乙、丙三人投篮命中与否是相互独立的.
(Ⅰ)求丙投篮命中的概率;
(Ⅱ)甲、乙、丙各投篮一次,求甲和乙命中,丙不中的概率;
(Ⅲ)甲、乙、丙各投篮一次,求恰有一人命中的概率.
18.(本小题8分)
已知函数f(x)=3x−m2x+2的图像过点(1,1).
(1)求实数m的值;
(2)判断f(x)在区间(−∞,−1)上的单调性,并用定义证明.
19.(本小题8分)
甲、乙两个篮球队在4次不同比赛中的得分情况如下表:
(Ⅰ)在4次比赛中,求甲队的平均得分;
(Ⅱ)分别从甲、乙两队的4次比赛得分中各随机选取1次,求这2个比赛得分之差的绝对值为1的概率;
(Ⅲ)甲,乙两队得分数据的方差分别记为S12,S22,试判断S12与S22的大小.(结论不要求证明)
20.(本小题9分)
已知函数f(x)=ex+ae−x,其中e为自然对数的底数,a∈R.
(Ⅰ)若0是函数f(x)的一个零点,求a的值并判断函数f(x)的奇偶性;
(Ⅱ)若函数f(x)同时满足以下两个条件,求a的取值范围.
条件①:∀x∈R,都有f(x)>0;
条件②:∃x0∈[−1,1],使得f(x0)≤4.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
根据交集的定义直接写出A∩B即可.
此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.
【解答】
解:∵A={x|x>0},B={x|−1
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查命题的否定,注意存在量词命题的否定为全称量词命题,考查转换能力,属于基础题.
由存在量词命题的否定为全称量词命题,注意量词和不等号的变化.
【解答】
解:由存在量词命题的否定为全称量词命题,可得
命题p:∃x∈R,x2−x+1<0,则¬p是∀x∈R,x2−x+1≥0.
故选C.
3.【答案】D
【解析】解:y=(12)x在区间(0,+∞)上单调递减,不符合题意;
y=(x−1)2在区间(0,+∞)上不单调,不符合题意;
y=−x+1在区间(0,+∞)上单调递减,不符合题意;
y=x3在区间(0,+∞)上单调递增,符合题意.
故选:D.
由已知结合基本初等函数的单调性检验各选项即可判断.
本题主要考查了函数单调性的判断,属于基础题.
4.【答案】B
【解析】解:由题意−2和1是方程x2+ax+b=0的两根,
所以−2+1=−a,a=1,−2×1=b=−2,
所以a+b=−1.
故选:B.
根据不等式的解集与相应方程的根的关系,利用韦达定理求解.
本题考查一元二次不等式的解法及其运用,考查运算求解能力,属于基础题.
5.【答案】A
【解析】解:当2x<1时,可得到x<0,由x<0可以推出x<1,但由x<1不能推出x<0,
因此,“x<0”是“x<1”的充分不必要条件,即“2x<1”是“x<1”的充分不必要条件.
故选:A.
根据充分必要条件的定义,对两个条件进行正反推理论证,即可得到本题的答案.
本题主要考查指数不等式的解法、充要条件的判断等知识,考查了计算能力、逻辑推理能力,属于基础题
6.【答案】C
【解析】解:某中学高三年级共有学生800人,用分层抽样的方法从中抽取一个容量为40的样本,
设该校高三年级共有男生x人,
∵样本中共有女生11人,∴样本中有男生29人,
∴x800=2940,解得x=580.
则该校高三年级共有男生580人.
故选:C.
根据分层抽样的定义求解即可.
本题考查分层抽样等基础知识,考查运算求解能力,属于基础题.
7.【答案】D
【解析】解:对于A,当a=−1,b=0时,满足a对于B,ab2,故B不正确;
对于C,由函数y=2x为R上的增函数,可知2a<2b,故C不正确;
对于D,由于ab、ba都是正数,所以ab+ba≥2 ab⋅ba=2,
根据a、b不相等,可知等号不能成立,故ab+ba>2成立,D项正确.
故选:D.
根据不等式的性质与基本不等式,对各项中的不等式逐一判断,即可得到本题的答案.
本题主要考查不等式的性质、基本不等式及其应用,考查了计算能力、逻辑推理能力,属于基础题.
8.【答案】C
【解析】解:函数f(x)=2−lg2x,x≥14x,x<1,则f(f(12))=f(412)=f(2)=2−lg22=1.
故选:C.
根据分段函数的定义区间,结合函数解析式,求函数值.
本题主要考查对数的运算性质,属于基础题.
9.【答案】D
【解析】解:依题意,f(x)<0等价于lg2x
如图可得不等式f(x)<0的解集是(0,1)∪(2,+∞),
故选:D.
分别作出y=lg2x的图象与y=x−1的图象,观察图象即可得解.
本题考查了不等式的解法,重点考查了数形结合的数学思想方法,属基础题.
10.【答案】A
【解析】解:若集合A中只有1个元素,则集合B中只有5个元素,则1∉A,5∉B,
即5∈A,1∈B,此时有C40=1,
若集合A中只有2个元素,则集合B中只有4个元素,则2∉A,4∉B,
即4∈A,2∈B,此时有C41=4,
若集合A中只有3个元素,则集合B中只有3个元素,则3∉A,3∉B,不满足题意,
若集合A中只有4个元素,则集合B中只有2个元素,则4∉A,2∉B,
即2∈A,4∈B,此时有C43=4,
若集合A中只有5个元素,则集合B中只有1个元素,则5∉A,1∉B,
即1∈A,5∈B,此时有C44=1,
故有序集合对(A,B)的个数是1+4+4+1=10,
故选:A.
分别讨论集合A,B元素个数,即可得到结论.
本题主要考查排列组合的应用,根据元素关系分别进行讨论是解决本题的关键.
11.【答案】{x|x>2}
【解析】解:y=lg(x−2)+1x,
则x−2>0x≠0,解得x>2,
故函数y的定义域为{x|x>2}.
故答案为:{x|x>2}.
根据函数的解析式,列出使解析式有意义的不等式组,求出解集即可.
本题考查了求函数定义域的问题,解题时应求出使函数有意义的自变量的取值范围,是基础题目.
12.【答案】2 6
【解析】解:根据题意,可得y=x+4x+2,
因为x>0,可得x+4x≥2 x⋅4x=4,当且仅当x=4x,即x=2时,等号成立,
所以当x=2时,y=x+4x+2取得最小值,且最小值为6.
故答案为:2,6.
将函数化简,可得y=x+4x+2,结合x为正数,利用基本不等式算出答案.
本题主要考查利用基本不等式求最值的知识,考查了计算能力、逻辑推理能力,属于基础题.
13.【答案】[−2,2)
【解析】解:由不等式2xx−2≤1,可得2xx−2−1≤0,
即x+2x−2≤0,即(x+2)(x−2)≤0x−2≠0.
求得−2≤x<2,
可得原不等式的解集为[−2,2).
故答案为:[−2,2).
由题意,利用分式不等式、一元二次不等式的解法,求得x的范围.
本题主要考查分式不等式、一元二次不等式的解法,属于基础题.
14.【答案】x2+1(x∈R)(答案不唯一)
【解析】解:令f(x)=x2+1,x∈R,
则f(−x)=f(x),即f(x)为偶函数,
又f(x)=x2+1≥1,
故其值域为[1,+∞),
故f(x)=x2+1符合要求.
故答案为:f(x)=x2+1(x∈R)(答案不唯一).
令f(x)=x2+1,x∈R,分析其奇偶性与值域即可.
本题考查函数奇偶性的性质以及应用,属于基础题.
15.【答案】1 (−∞,0]
【解析】解:(1)a=0时,函数f(x)=−x2+1,x≤10,x>1,
因为x≤1时,f(x)=−x2+1是二次函数,有最大值为f(0)=1,x>1时,f(x)=0;
所以f(x)的最大值为1;
(2)因为a>0时,f(x)=ax是单调增函数,没有最大值,所以a≤0;
a<0时,f(x)=−x2+ax+1在x=a2时取得最大值f(a2)=a24+1,
f(x)=ax是单调减函数,没有最大值;
令a24+1≥a,得(a−2)2≥0恒成立,所以a<0;
综上,f(x)存在最大值时,a的取值范围是(−∞,0].
故答案为:(−∞,0].
(1)a=0时,函数f(x)=−x2+1,x≤10,x>1,利用分类讨论法求出f(x)的最大值;
(2)根据a>0时f(x)=ax是单调增函数,没有最大值,得出a≤0,再讨论a<0时,f(x)取得最大值时满足的条件,即可求出a的取值范围.
本题考查了分段函数的性质应用问题,也考查了分类讨论思想,是中档题.
16.【答案】解:因为集合A={x|x2−3x−4>0}={x|x>4或x<−1},集合B={x|a−x≤0}={x|x≥a},
(Ⅰ)当a=2时,B={x|x≥2},
则A∪B={x|x≥2或x<−1};
(Ⅱ)因为∁RA={x|−1≤x≤4},
若B∩∁RA≠⌀,则a≤4,
故实数a的取值范围为{a|a≤4}.
【解析】(Ⅰ)先求出集合A,B,然后结合集合的并集运算即可求解;
(Ⅱ)结合集合的交集及补集运算即可求解.
本题主要考查了集合的并集运算及集合的交集及补集运算,属于基础题.
17.【答案】解:(Ⅰ)由题意,乙投篮不中的概率为0.3,则乙投篮命中的概率为0.7,
又乙、丙两人都投篮命中的概率为0.35,则丙投篮命中的概率为;
(Ⅱ)甲和乙命中,丙不中的概率为0.6×0.7×(1−0.5)=0.21;
(Ⅲ)恰有一人命中的概率为0.6×(1−0.7)×(1−0.5)+(1−0.6)×0.7×(1−0.5)+(1−0.6)×(1−0.7)×0.5=0.29.
【解析】(Ⅰ)根据乙投篮命中的概率和乙、丙两人都投篮命中的概率求解即可;
(Ⅱ)根据相互独立事件的乘法公式求解即可;
(Ⅲ)根据相互独立事件的乘法公式求解即可.
本题考查相互独立事件的乘法公式的应用,属于基础题.
18.【答案】解:(1)将点(1,1)代入函数f(x)=3x−m2x+2中,可得1=3−m2+2,解得m=−1.
(2)函数f(x)在区间(−∞,−1)上单调递增,证明如下.
由(1)可得f(x)=3x+12x+2=32−1x+1,
任取x1
所以x1−x2(x1+1)(x2+1)<0,即f(x1)
【解析】(1)将点(1,1)代入函数解析式,求解m的值即可;
(2)判断函数f(x)在区间(−∞,−1)上单调递增,利用定义证明即可.
本题主要考查函数的单调性的判断与证明,考查运算求解能力,属于基础题.
19.【答案】解:(Ⅰ)设甲队的平均分为x1−,则x1−=88+91+93+964=92,
所以甲队的平均分为92;
(Ⅱ)分别从甲、乙两队的4次比赛得分中各随机选取1次,有(88,89),(88,94),(88,97),(88,92),(91,89),(91,94),(91,97),(91,92),(93,89),(93,94),(93,97),(93,92),(96,89),(96,94),(96,97),(96,92),共包含16个基本事件,
这2个比赛得分之差的绝对值为1包含:(88,89),(91,92),(93,94),(93,92),(96,97),共5个基本事件,
所以这2个比赛得分之差的绝对值为1的概率P=516;
(Ⅲ)乙队的平均分为x2−=89+94+97+924=93,
则s12=14[(88−92)2+(91−92)2+(93−92)2+(96−92)2]=8.5,s22=14[(89−93)2+(94−93)2+(97−93)2+(92−93)2]=8.5,
所以s12=s22.
【解析】(Ⅰ)根据平均数公式,即可求解;
(Ⅱ)利用列举样本空间的方法,结合古典概型概率公式,即可求解;
(Ⅲ)结合方差的定义和公式,即可判断.
本题主要考查了平均数和方差的计算,考查了古典概型的概率公式,属于基础题.
20.【答案】解:(Ⅰ)若0是函数f(x)的一个零点,则f(0)=0,即1+a=0,解得a=−1,
即有f(x)=ex−e−x,x∈R,
由f(−x)=e−x−ex=−(ex−e−x)=−f(x),可得f(x)为奇函数;
(Ⅱ)由∀x∈R,都有f(x)>0,可得ex+ae−x>0恒成立,即a>−e2x,
而−e2x<0,则a≥0;
又∃x0∈[−1,1],使得f(x0)≤4,即ex+ae−x≤4在x∈[−1,1]成立,
即有a≤ex(4−ex)=−(ex−2)2+4,
当ex=2,即x=ln2∈[−1,1]时,y=−(ex−2)2+4取得最大值4,则a≤4,
综上,可得a的取值范围是[0,4].
【解析】(Ⅰ)由f(0)=0可得a的值;由函数的奇偶性的定义可判断f(x)的奇偶性;
(Ⅱ)由不等式恒成立思想和有解的思想,结合指数函数、二次函数的性质,解不等式可得所求取值范围.
本题考查函数的零点、奇偶性和不等式恒成立、有解的条件,考查转化思想和运算能力、推理能力,属于中档题.甲队
88
91
93
96
乙队
89
94
97
92
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