2023-2024学年甘肃省庆阳二中高二（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年甘肃省庆阳二中高二（上）期末数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.抛物线y2=4x的焦点坐标是( )
A. (0,2)B. (0,1)C. (2,0)D. (1,0)
2.直线x− 3y−1=0的倾斜角α=( )
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
3.在等差数列{an}中，a1=−1，a3=3，则a10=( )
A. 10B. 17C. 21D. 35
4.在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，若a2+a8=8，则S9=( )
A. 20B. 27C. 36D. 45
5.已知F1、F2分别是双曲线x2−y23=1的左、右焦点，点P在该双曲线上，若|PF1|=5，则|PF2|=( )
A. 4B. 4或6C. 3D. 3或7
6.在等比数列{an}中，a2=2，4a1+a3=8，Sn是{an}的前n项和，则S5=( )
A. 15B. 31C. 48D. 63
7.若椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴长是焦距的2倍，则C的离心率为( )
A. 12B. 55C. 22D. 5
8.分配4名水暖工去3个不同的居民家里检查暖气管道．要求4名水暖工都分配出去，并每名水暖工只去一个居民家，且每个居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有( )
A. A 43种B. A 33A 31种C. C 42A 33种D. C 41C 31A 33种
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线l1与l2为两条不重合的直线，则下列命题正确的是( )
A. 若l1//l2，则斜率k1=k2B. 若斜率k1=k2，则l1//l2
C. 若倾斜角α1=α2，则l1//l2D. 若l1//l2，则倾斜角α1=α2
10.下列说法正确的是( )
A. 已知C18x+2=C182x−5，则x可能取值为6
B. 已知C18x+2=C182x−5，则x可能取值为7
C. 在(x2−1x)9的二项式展开式中，常数项是84
D. 在(x2−1x)9的二项式展开式中，常数项是−504
11.已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，若S2=1，S6=91，则( )
A. S8=729B. S8=820C. q=3D. q=9
12.从1，2，3，4，5，6中任取三个不同的数组成一个三位数，则在所组成的数中( )
A. 偶数有60个B. 比300大的奇数有48个
C. 个位和百位数字之和为7的数有24个D. 能被3整除的数有48个
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若直线2x−y+1=0与直线x+ay+3=0平行，则a= ．
14.已知{an}是等比数列，Tn=a1⋅a2⋅…⋅an，若T9=(a1⋅a3⋅ak)3，则实数k=______．
15.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2023<0，S2024>0，则当Sn最小时，n的值为______ ．
16.在(x2−2x)5的展开式中x4的系数是______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1)焦点在x轴上，实轴长为2，其离心率e=2；
(2)渐近线方程为y=±12x，经过点P(2,2)．
18.(本小题12分)
在平面直角坐标系xOy中，点P到直线l：x=−3的距离比到点F(3,0)的距离大2．
(1)求点P的轨迹C的方程；
(2)请指出曲线C的对称性，顶点和范围，并运用其方程说明理由．
19.(本小题12分)
解答下列各题．
(1)求(x−1)10的展开式中所有奇数项的二项式系数和；
(2)已知二项式(2x−3x)7，求展开式中含x项的系数．
20.(本小题12分)
若正项数列{an}的前n项和为Sn，2Sn=an2+an(n∈N+).
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn=1an(an+2)，求数列{bn}的前n项和Tn．
21.(本小题12分)
有5名男生和甲、乙2名女生排成一排，求下列情况各有多少种不同的排法？
(1)女生甲排在正中间；
(2)2名女生不相邻；
(3)女生甲必须排在女生乙的左边(不一定相邻)；
(4)2名女生中间恰有1名男生．
22.(本小题12分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为 32，直线l1与椭圆C相切于点P(2,1)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知直线l2与椭圆C交于不同的两点M，N，与直线l1交于点Q(P,Q,M,N均不重合)，记l1，l2的斜率分别为k1，k2，若k1k2=−14.证明：|PQ|2|QM||QN|为定值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
根据抛物线的标准方程及简单性质，可得答案．
本题考查的知识点是抛物线的简单性质，难度不大，属于基础题．
【解答】
解：抛物线y2=4x的焦点坐标是(1,0)，
故选：D．
2.【答案】A
【解析】解：由直线方程x− 3y−1=0，可得直线的斜率k=1 3= 33，
所以tanα= 33，而α∈(0,π)，
可得α=π6，即α=30°．
故选：A．
由直线的方程可得直线的斜率，进而求出直线的倾斜角．
本题考查直线的斜率的求法及直线的倾斜角的求法，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查等差数列的通项公式，属于基础题．
由通项公式an=a1+(n−1)d，求出d，再计算a10即可．
【解答】
解：在等差数列{an}中，a1=−1，a3=a1+2d=3，
解得d=2，所以a10=a1+9d=−1+2×9=17，
故选B．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了等差数列的性质及求和公式，属于基础题．
由已知结合等差数列的性质先求出a1+a9=8，然后结合等差数列的求和公式即可求解．
【解答】
解：等差数列{an}中，由等差数列的性质得，a1+a9=a2+a8=8，
则S9=9(a1+a9)2=36．
故选C．
5.【答案】D
【解析】解：双曲线x2−y23=1中a=1，c=2，
|PF1|=5，∴P在双曲线的左支、或右支上，
∴由双曲线的定义可得||PF2|−|PF1||=2，
∴|PF2|=7或3．
故选：D．
确定P在双曲线的位置，由双曲线的定义可得结论．
本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的定义，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：在等比数列{an}中，a2=2，4a1+a3=8，Sn是{an}的前n项和，
∴a1q=24a1+a1q2=8，
解得a1=1，q=2，
∴S5=1×(1−25)1−2=31．
故选：B．
利用等比数列的通项公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出等比数列的前5项和．
本题考查等比数列的前5项和的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7.【答案】B
【解析】【分析】
先根据题意可知2c=b，进而求得a和c的关系，离心率可得．
本题主要考查了椭圆的简单性质．属基础题．
【解答】
解：依题意可知2c=b，而a= b2+c2= 5c，
∴椭圆的离心率e=ca= 55．
故选：B．
8.【答案】C
【解析】解：根据题意，分配4名水暖工去3个不同的居民家里，要求4名水暖工都分配出去，且每个居民家都要有人去检查；
则必有2名水暖工去同一居民家检查，
即要先从4名水暖工中抽取2人，有C42种方法，
再将这2人当做一个元素，与其他2人，共3个元素，分别分配到3个不同的居民家里，有A33种情况，
由分步计数原理，可得共C42A33种不同分配方案，
故选C．
根据题意，分析可得，必有2名水暖工去同一居民家检查；分两步进行，①先从4名水暖工中抽取2人，②再将这2人当做一个元素，与其他2人，共3个元素，分别分配到3个不同的居民家里，由分步计数原理，计算可得答案．
本题考查排列、组合的综合应用，注意一般顺序是先分组(组合)，再排列．
9.【答案】BCD
【解析】解：根据直线的位置关系，当直线的斜率存在，并且相等，则直线平行；
当直线的倾斜角相等，则直线平行，
当直线平行，则倾斜角必相等．
故选：BCD．
直接利用直线的倾斜角和斜率的关系，直线的斜率和直线的平行问题的应用求出结果．
本题考查的知识要点：直线的倾斜角和斜率的关系，直线的斜率和直线的平行问题，主要考查学生对基础知识的理解，属于基础题．
10.【答案】BC
【解析】解：对于选项A和选项B，
因为C18x+2=C182x−5，故x+2=2x−5，或x+2+2x−5=18，得x=7，
故A错误，B正确；
对于选项C和选项D，
根据二项展开式的通项公式Tk+1=C9k(x2)9−k(−x−1)k=(−1)kC9kx18−3k，
令18−3k=0，解得k=6，∴T7=(−1)6C96=84，故C正确、D错误．
故选：BC．
对于选项A和选项B，根据组合数公式C18x+2=C182x−5，有两种情况：x+2=2x−5，或x+2+2x−5=18，求解即可；
对于选项C和选项D，根据二项展开式的通项公式Tk+1=C9k(x2)9−k(−x−1)k=(−1)kC9kx18−3k，当18−3k=0时为常数项，代入k=6求解即可．
本题考查的知识要点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
11.【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查等比数列的前n项和公式，考查运算求解能力，是基础题．
利用正项等比数列前n项和列方程组求出q=3，a1=14，再求出S8，由此能求出结果．
【解答】
解：正项等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，S2=1，S6=91，
∴a1(1−q2)1−q=1a1(1−q6)1−q=91，且q>0，q≠1，
整理得(1−q+q2)(1+q+q2)=(1+q2)2−q2=91，
整理得q4+q2−90=0，由q>0，解得q=3，故C正确，D错误；
∴a1=14，
S8=14(1−38)1−3=820，故A错误，B正确．
故选：BC．
12.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
根据题意，依次分析选项试试正确，综合可得答案．
【解答】
解：根据题意，依次分析选项，
对于A，其个位数字为2或4或6，有3种情况，在剩余5个数字中任选2个，安排在百位和十位，有A52=20种情况，则有3×20=60个三位偶数，A正确；
对于B，分2种情况讨论，若百位数字为3或5，有2×2×4=16个三位奇数，若百位数字为4或6，有2×3×4=24个三位奇数，则符合题意的三位数有16+24=40个，B错误；
对于C，个位和百位数字之和为7有(1,6)，(2,5)，(3,4)，共3种情况，则符合题意的三位数有3A22A41=24个，故C正确；
对于D，能被3整除，则三个数字之和为3的倍数，共有(1,2,3)，(1,2,6)，(1,3,5)，(1,5,6)，(2,3,4)，(2,4,6)，(3,4,5)，(4,5,6)八种选择，
故能被3整除的数有8A33=48个，故D正确；
故选：ACD．
13.【答案】−12
【解析】【分析】
本题主要考查两直线平行的公式，属于基础题．
因为两直线平行，所以两直线的法向量平行，根据向量平行的坐标公式即可求解．
【解答】
解：∵直线2x−y+1=0的法向量为n1=(2,−1)，
直线x+ay+3=0的法向量为n2=(1,a)，
因为两直线平行，所以n1//n2，即2×a=(−1)×1，解得a=−12．
故答案为−12．
14.【答案】11
【解析】解：因为{an}是等比数列，Tn=a1⋅a2⋅…⋅an，
若T9=(a1⋅a3⋅ak)3，则a1⋅a2⋅…⋅a9=(a1⋅a3⋅ak)3=a59，
所以(a13⋅qk+1)3=a19⋅q27⋅q9，
所以3k+3=36，
所以k=11．
故答案为：11．
由已知结合等比数列的性质及指数的运算性质可求．
本题主要考查了等比数列的通项公式及性质的应用，属于基础题．
15.【答案】1012
【解析】解：因为等差数列{an}中，S2023<0，S2024>0，
S2023=2023(a1+a2023)2=2023a1012<0,S2024=1012(a1+a2024)=1012(a1012+a1013)>0，
所以a1012<0，a1012+a1013>0，则当Sn最小时，n=1012．
故答案为：1012．
利用等差数列的性质直接求解．
本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16.【答案】40
【解析】解：通项公式Tr+1=C5r(x2)r(−2x)5−r=(−2)5−rC5rx3r−5，
令3r−5=4，解得r=3．
∴(x2−2x)5的展开式中x4的系数=(−2)2C53=40．
故答案为：40．
利用通项公式，x的幂指数为4时，求出r的值，然后求解即可．
本题考查了二项式的展开式及其通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
17.【答案】解：(1)设双曲线的标准方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，
由已知2a=2，e=2，可得a=1，c=2，b2=3，
所以双曲线的标准方程为x2−y23=1．
(2)由渐近线方程是y=±12x，
可设双曲线的方程为y2−14x2=m(m≠0)，
将(2,2)代入上式，可得4−14×4=m，
即m=3，
则双曲线的标准方程为y23−x212=1．
【解析】(1)设双曲线的标准方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，由已知2a=2，e=2，由此能求出双曲线的标准方程．
(2)由渐近线方程可设双曲线的方程为y2−14x2=m(m≠0)，代入点(2,2)，解方程可得m，进而得到双曲线的标准方程．
本题考查双曲线的方程的求法，注意运用待定系数法，考查化简整理的运算能力，属于基础题．
18.【答案】解：(1)由题意可知，动点P到直线x=−1的距离与到F(3,0)的距离相等．
设P(x,y)，则|x−(−1)|= (x−3)2+(y−0)2，
化简得y2−8x+8=0，
所以点P的轨迹C的方程为y2−8x+8=0．
(2)由(1)得C的方程可化为y2=8(x−1)，即
由抛物线y2=8x图象右移1个单位可以得到．
所以曲线C也关于x轴对称，顶点为(1,0)，范围为x≥1，y∈R．
【解析】(1)根据曲线方程的求法，由动点P到直线x=−1的距离与到F(3,0)的距离相等列方程化简即可；
(2)找出此方程与抛物线y2=8x方程的联系，进而得出结果．
此题考查了曲线方程的求法，抛物线的图象与性质等知识，中档题．
19.【答案】解：(1)(x−1)10的展开式中所有奇数项的二项式系数和为2102=512．
(2)展开式的通项是Tk+1=C7k⋅(2x)7−k⋅(−1)k⋅(x13)k=C7k⋅27−k⋅(−1)k⋅x43k−7，
令4k3−7=1，解得k=6，
即T7=C76⋅2⋅(−1)6⋅x=14x，即展开式中含x项的系数为14．
【解析】(1)根据二项式中奇数项的二项式系数和为2n−1从而求解；
(2)根据二项式展开式Tk+1=C7k⋅27−k⋅(−1)k⋅x43k−7，求出含有x项时的k值，从而求解．
本题考查二项式定理的应用，是基础题．
20.【答案】解：(1)根据题意，当n=1时，2S1=2a1=a12+a1，解得a1=1或a1=0(舍去)，
当n≥2时，an=Sn−Sn−1=an2+an2−an−12+an−12(n≥2)，整理得(an+an−1)(an−an−1−1)=0，
又an>0，所以an−an−1=1，即{an}是以1为首项，1为公差的等差数列，
所以an=1+n−1=n；
(2)由(1)可知bn=1an(an+2)=1n(n+2)=12(1n−1n+2)，
所以Tn=12(1−13+12−14+13−15+…+1n−1n+2)=12(1+12−1n+1−1n+2)=34−2n+32(n+1)(n+2)．
【解析】(1)根据题意，当n=1时，2S1=2a1=a12+a1，从而解得a1=1，进一步根据an=Sn−Sn−1(n≥2)即可求出{an}的通项公式；
(2)由(1)可知bn=1an(an+2)=1n(n+2)=12(1n−1n+2)，进一步利用裂项相消求和法即可求出Tn．
本题考查数列的递推公式，裂项相消求和法，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．
21.【答案】解：(1)女生甲排在中间，其余6人有A66种排法，
因此不同排法种数为A66=720. …(3分)
(2)将5名男生排成一排，有A55种排法；
2名女生可以在每2名男生之间及两端共6个位置中选出2个排，有A62种排法，
因此不同排法种数为A55A62=3600. …(6分)
(3)先排2名女生，从7个位置中选出2个位置，有C72种排法；
再排5名男生，将5名男生在剩下的5个位置上进行排列的方法数有A55种，
因此不同的排法种数为C72A55=2520. …(9分)
(4)选1名男生排在2名女生中间，有C51种排法，将这3人看成1个元素，与4名男生共5个元素排成一排，不同的排法有A55种，又因为2名女生有A22种排法，
因此不同的排法种数为C51A22A55=1200. …(13分)
答：分别有720，3600，2520和1200种不同的排法． …(14分)
【解析】(1)优先安排甲，其他任意排．问题得以解决．
(2)利用插空法，先排5名男生，然后在这5人形成的6个间隔中插入2名女生即可，问题得以解决．
(3)先排2名女生，从7个位置中选出2个位置，再排5名男生，问题得以解决．
(4)选1名男生排在2名女生中间，将这3人看成1个元素，与4名男生共5个元素排成一排，问题得以解决．
本题主要考查了排列中常见方法：特殊元素优先安排法，不相邻元素插孔法，相邻元素捆绑法的应用．
22.【答案】(1)解：由题意ca= 32,4a2+1b2=1,a2=b2+c2,解得a2=8,b2=2,c2=6．
故椭圆C的方程为x28+y22=1；
(2)证明：设直线l1的方程为y−1=k1(x−2)，
联立方程组y−1=k1(x−2),x2+4y2=8,可得(4k12+1)x2−8k1(2k1−1)x+16k12−16k1−4=0，
因为直线l1与椭圆C相切，
所以判别式Δ=0，即64k12(2k1−1)2−4(4k12+1)(16k12−16k1−4)=0，
整理可得(2k1+1)2=0，
所以k1=−12，
故直线l1的方程为y=−12x+2，
因为k1k2=−14，
所以k2=12，
设直线l2的方程为y=12x+m(m≠0)，
联立方程组y=12x+m,y=−12x+2,解得x=2−my=1+m2，
故点Q坐标为(2−m,1+m2)，
所以|PQ|2=5m24，
联立方程组x2+4y2=8y=12x+m，可得x2+2mx+2m2−4=0，
设点M(x1,y1)，N(x2,y2)，
因为判别式Δ=4(−m2+4)>0，解得−2又x1+x2=−2m,x1x2=2m2−4，
所以|QM|= 52|2−m−x1|,|QN|= 52|2−m−x2|，
故|QM|⋅|QN|=54|2−m−x1|⋅|2−m−x2|=54|(2−m)2−(2−m)(x1+x2)+x1x2|=5m24，
于是|PQ|2|QM||QN|=1为定值．
【解析】(1)利用离心率以及点P(2,1)在椭圆上，列出方程组，求解a，b，即可得到答案；
(2)设直线l1的方程与椭圆联立，利用Δ=0，求出k1=−12，得到k2=12，求出直线l2的方程，与直线l1的方程联立，求出点Q的坐标，将直线l2的与椭圆的方程联立，得到韦达定理，分别表示出|PQ|，|QM|，|QN|，化简即可．
本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆位置关系的应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于中档题．