湖北省沙市中学2023届高三上学期第二次月考数学试卷(含答案)

这是一份湖北省沙市中学2023届高三上学期第二次月考数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．复数（其中i为虚数单位）在复平面内对应的点的坐标是( )
A.B.C.D.
2．已知,,与的夹角为,则( )
A.6B.C.D.
3．若点P是双曲线上一点,,分别为的左、右焦点,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4．莫高窟坐落在甘肃的敦煌,它是世界上现存规模最大､内容最丰富的佛教艺术胜地,每年都会吸引来自世界各地的游客参观旅游.已知购买莫高窟正常参观套票可以参观8个开放洞窟,在这8个洞窟中莫高窟九层楼96号窟､莫高窟三层楼16号窟､藏经洞17号窟被誉为最值得参观的洞窟.根据疫情防控的需要,莫高窟改为极速参观模式,游客需从套票包含的开放洞窟中随机选择4个进行参观,所有选择中至少包含2个最值得参观洞窟的概率是( )
A.B.C.D.
5．已知抛物线的焦点为F,准线为l,点P在C上,直线PF与y轴交于点M,且,则点P到准线l的距离为( )
A.3B.4C.5D.6
6．函数的图象大致为( )
A.B.
C.D.
7．已知是边长为3的等边三角形,三棱锥全部顶点都在表面积为的球O的球面上,则三棱锥的体积的最大值为( )
A.B.C.D.
8．已知椭圆与双曲线有公共的焦点､,A为曲线､在第一象限的交点,且的面积为2,若椭圆的离心率为,双曲线的离心率为,则的最小值为( )
A.9B.C.7D.
二、多项选择题
9．某旅游景点2021年1月至9月每月最低气温与最高气温（单位：℃）的折线图如图,则( )
A.1月到9月中,最高气温与最低气温相差最大的是4月
B.1月到9月的最高气温与月份具有比较好的线性相关关系
C.1月到9月的最高气温与最低气温的差逐步减小
D.1月到9月的最低气温的极差比最高气温的极差大
10．已知,是两个不同平面,m,n是两条不同直线,则下述正确的是( )
A.若,,,,则
B.若,,则
C.若,,m,n是异面直线,则n与相交
D.若,,则
11．已知O为坐标原点,圆,则下列结论正确的是( )
A.圆恒过原点O
B.圆与圆内切
C.直线被圆所截得弦长的最大值为
D.直线与圆相离
12．已知数列,均为递增数列,它们的前n项和分别为,,且满足,,则下列结论正确的是( )
A.B.
C.D.
三、填空题
13．在的展开式中,x的系数是___________（用数字作答）.
14．若直线（,）被圆所截得的弦长为6,则的最小值为____________.
15．已知点A为椭圆的左顶点,O为坐标原点,过椭圆的右焦点F作垂直于x轴的直线l,若直线l上存在点P满足,则椭圆离心率的最大值______________.
四、双空题
16．矩形ABCD中,,,现将沿对角线AC向上翻折,得到四面体,则该四面体外接球的体积为__________;设二面角的平面角为,当在内变化时,的范围为__________.
五、解答题
17．已知公差不为0的等差数列的前n项和为,且,,,成等比数列.
（1）求数列的通项公式;
（2）设数列的前n项和为,若不等式对任意的都成立,求实数k的取值范围.
18．已知在中,A,B,C为三个内角,a,b,c为三边,,.
（1）求角B的大小;
（2）在下列两个条件中选择一个作为已知,求出BC边上的中线的长度.
①的面积为;
②的周长为.
19．在四棱锥中,为正三角形,四边形ABCD为等腰梯形,M为棱AP的中点,且,.
(1)求证：平面PBC;
(2)求直线AP与平面PBC所成角的正弦值.
20．我国在芯片领域的短板有光刻机和光刻胶,某风险投资公司准备投资芯片领域,若投资光刻机项目,据预期,每年的收益率为30％的概率为p,收益率为％的概率为;若投资光刻胶项目,据预期,每年的收益率为30％的概率为0.4,收益率为％的概率为0.1,收益率为零的概率为0.5.
（1）已知投资以上两个项目,获利的期望是一样的,请你从风险角度考虑为该公司选择一个较稳妥的项目;
（2）若该风险投资公司准备对以上你认为较稳妥的项目进行投资,4年累计投资数据如下表：
请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于的线性回归方程,并预测到哪一年年末,该公司在芯片领域的投资收益预期能达到0.75亿元.
附：收益＝投入的资金×获利的期望;
线性回归中,,.
21．设椭圆,,为左右焦点,B为短轴端点,长轴长为4,焦距为,且,的面积为.
(1)求椭圆C的方程
(2)设动直线椭圆C有且仅有一个公共点M,且与直线相交于点N.试探究:在坐标平面内是否存在定点P,使得以MN为直径的圆恒过点P?若存在求出点P的坐标,若不存在.请说明理由.
22．已知函数,其中.
（1）讨论的单调性;
（2）若函数有两个极值点,,且恒成立（e为自然对数的底数）,求实数a的取值范围.
参考答案
1．答案：B
解析：由题得,
所以复数z在复平面内对应的点的坐标是.
故选：B.
2．答案：A
解析：
故选：A.
3．答案：A
解析：由题意可知,,,,
若,则,或1（舍去）,
若,,或13,
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
4．答案：B
解析：8个开放洞窟中有3个最值得参观,所求概率为.
故选：B.
5．答案：B
解析：如图,过点P作y轴的垂线,垂足为N,
由题知,即因为,
所以所以,
所以点P到准线l的距离为.
故选：B.
6．答案：A
解析：由已知,为奇函数,排除BD;
又时,,时,,,即时,,所以恒成立,排除C.
故选：A.
7．答案：C
解析：球O的半径为R,则,解得：,
由已知可得：,其中球心O到平面ABC的距离为,故三棱锥的高的最大值为3,
体积最大值为.
故选：C.
8．答案：B
解析：记椭圆中的几何量为a,b,c,双曲线中的几何量为,,c,,
则由椭圆和双曲线定义可得①,②,
两式平方相减整理得,记,
则由余弦定理得③
①2-③得④
由面积公式可得,即,代入④整理得,
因为,所以,所以,得,
所以,即,所以,
即,
所以,
当且仅当,时等号成立.
故选：B.
9．答案：BD
解析：1月到9月中,最高气温与最低气温相差最大的是1月,故A选项错误;
1月到9月的最高气温与月份具有比较好的线性相关关系,故B选项正确;
最高气温与最低气温的差不稳定,故C选项错误;
最低气温的极差超过35℃,最高气温的极差约为25℃,故D选项正确.
故选：BD.
10．答案：BD
解析：对于A选项,当,,,,m与n相交时,,故错误;对于B选项,线面垂直与线面平行性质知当,则,正确;
对于C选项,若,,m,n是异面直线,则n与相交或,故错误;
对于D选项,根据线面垂直的判定定理得：若,则,故正确.
故选：BD.
11．答案：ABC
解析：A.代入点得恒成立,A正确;
B.,即两圆心距离等于两圆半径差,B正确;
C.直线被圆所截得弦长为
,,
即直线被圆所截得弦长的最大值为,C正确;
D.圆心到直线的距离,故圆和直线相切或相交,D错误;
故选：ABC.
12．答案：ACD
解析：由是递增数列,得;
又,所以,
所以,所以,故选项A正确;
,故B不正确;
由是递增数列,得,又,所以,
所以,所以,故选项C正确;
所以,
所以,又,所以,
而,
当时,;当时,可验证,
所以对于任意的,,故选项D正确.
故选：ACD.
13．答案：240
解析：的展开式的通项为：,,1,···,6
当,即时,展开式x的系数为：.
当显然不成立;
故答案为：240.
14．答案：8
解析：由题意圆标准方程是,
圆C的圆心为,半径为,弦长为6,则弦为直径,已知直线过圆心,
所以,即,
,
当且仅当即时等号成立.
故答案为：8.
15．答案：
解析：由对称性不妨设P在x轴上方,设,,,,
当且仅当取等号,
直线l上存在点P满足,
即, ,
即,所以,
故椭圆离心率的最大值为.
故答案为：.
16．答案：,.
解析：已知矩形ABCD中,,,在矩形ABCD中,
连接AC和BD交于点O,
,
,
可知点O是四面体外接球的球心,则外接球的半径,
所以该四面体外接球的体积;
在四面体中,作交AC于点E,交AC于点F,
再作交CD于点G,则,所以二面角的平面角为,
则,在矩形ABCD中,可知,,,
所以是等边三角形,,
,
由四面体可知,,,则,,
而
即,所以当在内变化时,,
则,
即的范围为.
故答案为：;.
17．答案：（1）
（2）.
解析：（1）设等差数列公差为d,
由题意,,解得,
所以;
（2）由（1）,
所以,
易知是递增的且,不等式对任意的都成立,则,所以.
18．答案：（1）
（2）答案见解析
解析： ,
则由正弦定理可得,
,∵,
,, ,解得.
（2）若选择（1）,由（1）可得,即
则,解得,
则由余弦定理可得BC边上的中线的长度为：
.
若选择（2）：由（1）可得,设的外接圆半径为R,则由正弦定理可得,,
则周长,解得,则,,
由余弦定理可得BC边上的中线的长度为：.
19．答案：(1)证明见解析;
(2).
解析：(1)在等腰梯形ABCD中,,,取PB中点N,连结MN,CN,如图,
因M为棱AP的中点,则,且,
即四边形MNCD为平行四边形,则,而平面PBC,平面PBC,
所以平面PBC.
(2)取AB中点Q,AQ中点O,
连结DQ,PQ,OD,OM,有,且,四边形BCDQ是平行四边形,
则,则有,且,
正中,,,而,
因此,,且,而,OM,平面DOM,
则平面DOM,平面ABCD,有平面平面ABCD,
由,得,在平面DOM内作,平面平面,
即有平面ABCD,以O为原点,射线OB,OD,Oz分别为x,y,z轴非负半轴建立空间直角坐标系,如图,则,,,,
有,,,
设平面PBC的法向量为,
则,令,得,
设直线AP与平面PBC所成角为,
则,
所以直线AP与平面PBC所成角的正弦值为.
20．答案：（1）该风投公司投资光刻胶项目;
（2）;2022年年末.
解析：（1）若投资光刻机项目,设收益率为,则的分布列为
所以.若投资光刻胶项目,
设收益率为,则的分布列为
所以.
因为投资以上两个项目,获利的期望是一样的,
所以,所以.
因为,
,
所以,,这说明光刻机项目和光刻胶项目获利相等,但光刻胶项目更稳妥.综上所述,建议该风投公司投资光刻胶项目.
（2）,,
,
,
则,,
故线性回归方程为.设该公司在芯片领域的投资收益为Y,
则,解得,
故在2022年年末该投资公司在芯片领域的投资收益可以超过0.75亿元.
21．答案：（1）
（2）存在定点
解析：(1)由题意知,解得：,
故椭圆C的方程是.
(2)由得.
因为动直线l与椭圆C有且只有一个公共点,所以且,
即,化简得.(*)
此时,,所以
由得.
假设平面内存在定点P满足条件,由图形对称性知,点P必在x轴上.
设,则对满足(*)式的m、k恒成立.
因为,,由,
得,
整理,得.(**)
由于(**)式对满足(*)式的m,k恒成立,
所以解得.
故存在定点,使得以MN为直径的圆恒过点M.
22．答案：（1）答案见解析;
（2）.
解析：（1）的定义域是,,
时,时,,时,,的减区间,增区间是;
时,或时,,时,,的增区间是和,减区间是;
时,恒成立,的增区间是,无减区间;
时,或时,,时,,的增区间是和,减区间是;
（2）,由题意有两个不等正根,
,,又,,所以,,
,
由题意,,
设,则,
在上递减,又,
所以由,得.
综上,.
年份x
2018
2019
2020
2021
1
2
3
4
累计投资金额y（单位：亿元）
2
3
5
6
0.3
-0.1
P
p
0.3
-0.2
0
P
0.4
0.1
0.5