浙江省台金七校2023-2024学年高二上学期11月期中联考数学试卷(含答案)

这是一份浙江省台金七校2023-2024学年高二上学期11月期中联考数学试卷(含答案)，共24页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．直线的倾斜角为( )
A.B.C.D.
2．如图,在正方体中,不能互相垂直的两条直线是( )
A.和B.和C.和D.和
3．如图三棱柱中,G是棱的中点,若,,,则( )
A.B.C.D.
4．在空间直角坐标系中,已知,,,则点O到平面ABC的距离是( )
A.B.C.D.
5．已知直线,则下列选项错误的是( )
A.当直线l与直线平行时,
B.当直线l与直线垂直时,
C.当实数k变化时,直线l恒过点
D.原点到直线l的距离最大值为
6．已知抛物线,过点的直线l与抛物线C交于P,Q两点(点P在第一象限),点F为抛物线的焦点,若,则( )
A.B.C.D.
7．已知圆,对于直线上的任意一点P,圆C上都不存在两点A,B使得,则实数的取值范围是( )
A.B.
C.D.
8．已知分别是双曲线的左､右焦点,双曲线左､右两支上各有一点P,Q,满足,且,则该双曲线的离心率是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知函数,则下列选项正确的是( )
A.
B.函数的图像关于直线对称
C.将图象上所有点向右平移个单位长度,可得图象
D.若,,则
10．已知三棱锥,则下列选项正确的是( )
A.若,,则在上的投影向量为
B.若G是三棱锥的底面的重心,则
C.若,则A,B,C,G四点共面
D.设,,,则构成空间的一个基底
11．已知椭圆,点O为坐标原点,,分别是椭圆的左右焦点,则下列选项正确的是( )
A.椭圆上存在点P,使得
B.为椭圆上一点,点,则的最小值为1
C.直线与椭圆一定相切
D.已知圆,点P,N分别是椭圆､圆上的动点,则的最小值为
12．如图,在棱长为2的正方体中,点M是的中点,点N是底面正方形ABCD内的动点(包括边界),则下列选项正确的是( )
A.存在点N满足
B.满足的点的轨迹长度是
C.满足平面的点N的轨迹长度是1
D.满足的点N的轨迹长度是
三、填空题
13．已知空间中点,则点M关于平面yOz对称的点N的坐标是__________.
14．已知双曲线的两条渐近线方程为,并且经过点,则该双曲线的标准方程是__________.
15．已知抛物线光学性质:从焦点出发的光线,经过抛物线上的一点反射后,反射光线平行于抛物线的轴.已知抛物线,一条光线从点沿平行于x轴的方向射出,与拋物线相交于点M,经点M反射后与C交于另一点N.若,则M,N两点到y轴的距离之比为__________.
16．已知四棱锥平面ABCD,底面ABCD是矩形,,,,点E,F分别在AB,BC上,当空间四边形PEFD的周长最小时,则三棱锥外接球的体积为__________.
四、解答题
17．在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,且.
（1）求C的值;
（2）若的面积为,求BC边上的高.
18．已知圆,两点,.
（1）若,直线l过点B且被圆C所截的弦长为6,求直线l的方程;
（2）若圆C上存在点P,使得,求圆C半径r的取值范围.
19．已知正三棱台中,,,,分别为,的中点.
（1）求该正三棱台的表面积;
（2）求证:平面
20．已知函数,
（1）当时,求函数的值域;
（2）讨论函数的零点个数.
21．已知多面体ABCDEF的底面ABCD为矩形,四边形BDEF为平行四边形,平面平面ABCD,,,G是棱CF上一点.
（1）证明:平面BCF;
（2）当平面AEF时,求BG与平面DEG所成角的正弦值.
22．已知椭圆的离心率为,且过点,点A,B分别是椭圆C的左､右顶点.
（1）求椭圆C的方程;
（2）过点的直线l与椭圆C交于P,Q两点(P在E,Q之间),直线AP,BQ交于点M,记,的面积分别为,,求的取值范围.
参考答案
1．答案：A
解析：由直线,
则,
设直线的倾斜角为,
所以,
所以.
故选:A
2．答案：C
解析：在正方体中,以点D为坐标原点,
DA,DC,所在直线分别为x,y,z轴建立如下图所示的空间直角坐标系,
设该正方体的棱长为1,则,,,,,
,,.
对于A选项,,,则,故;
对于B选项,,,故,B对;
对于C选项,,,故和不垂直,C错;
对于D选项,,,故,D对,
故选:C.
3．答案：B
解析：由已知可得,
因为G为棱的中点,则.
故选:B.
4．答案：B
解析：依题意可得,,,
设平面ABC的一个法向量为,
则,令,则可得,,即,
所以点O到平面ABC的距离是.
故选:B
5．答案：C
解析：对于A项:当直线l与直线平行,得斜率为:,解得:,故A项正确;
对于B项:当直线l与直线垂直,得斜率:,解得:,故B项正确;
对于C项:直线l化简为:,由,解得:,即l恒过定点,故C项错误;
对于D项:当原点与直线l的定点的连线垂直于直线l时距离最大,由两点间距离得:,故D项正确.
故选:C
6．答案：C
解析：易知点,设点,,,,其中,,
由于,所以,
将代入得,,,
故直线l的斜率为,故其方程为,
联立,可得,解得,
所以
由抛物线的定义可得.
故选:C
7．答案：B
解析：如下图所示:
圆心为,半径为,圆心C到直线l的距离为,
考虑PA,PB都与圆C相切,
此时,由切线长定理可知,,
又因为,,则,
设,则,
因为,则,故当时,最大,此时,最大,
因为对于直线上的任意一点,
圆C上都不存在两点A,B使得,则,可得,
则,可得,解得或.
故选:B.
8．答案：D
解析：如图,延长交交双曲线于M点,连接,,,
因为,所以,根据双曲线的对称性可得M,Q关于原点对称
所以,则四边形为平行四边形,所以
设,则,
由双曲线定义可得:,所以,
在中,由余弦定理得,
则,整理得
所以,,
在中,由余弦定理得,
则,整理得,所以
则该双曲线的离心率是.
故选:D.
9．答案：BCD
解析：因为,故错误;
函数的对称轴为,,得,,
所以函数的图像关于直线对称,故正确;
由题意知,所将图像上所有点向右平移个单位,得,故正确;
因为,且,所以,所以,
因为,得,故正确.
故选:.
10．答案：AB
解析：对于A,易知在上的投影向量为,所以可知A正确;
对于B,取BC的中点为E,连接OE,AE,如下图所示:
由G是三棱锥的底面的重心可得,
易知
所以,即可知B正确;
对于C,若,显然,
则A,B,C,G四点不共面,所以C错误;
对于D,由,,可知,,,共面,
所以不能构成空间的一个基底,即D错误.
故选:AB
11．答案：BC
解析：对于A,若存在点P,使得,则点P在以为直径的圆上,而点P在椭圆上,
易知椭圆与圆无交点,如下图所示:
所以不存在点P满足题意,即A错误;
对于B,由椭圆定义可得,则可得,
所以,
当且仅当P,M,三点共线时满足题意,又,可得,
即,所以B正确;
对于C,将变形可得,结合直线可得,
联立直线消去x可得,
显然该方程仅有一解,所以当时,直线和椭圆仅有一个交点,
此时直线与椭圆一定相切,即C正确;
对于D,易知圆圆心为,所以可得,
不妨设,则由可得,
则,
易知,令,
则在上满足恒成立,
所以在上单调递增,即,
因此可得,即的最小值为,即D错误.
故选:BC
12．答案：ABD
解析：如图建立空间直角坐标系,则有,,,,,,
对于A选项,若,则,且,,故N轨迹方程为,当时,,点既在轨迹上,也在底面内,故存在这样的点N存在,A正确
对于B选项,,的轨迹方程为,
,,在底面内轨迹的长度是周长的
故长度为,B正确
对于C选项,,,设面的法向量
故有,解得,故
平面,,的轨迹方程为
,,在底面内轨迹的长度为,C错误
对于D选项,,
,,的轨迹方程为
,,在底面内轨迹的长度为,D正确
故选:ABD
13．答案：
解析：空间中点,则点M关于平面yOz对称的点N的坐标是.
故答案为:.
14．答案：
解析：依题意可设双曲线方程为,m,;
由渐近线方程为可得,
将点代入可得,解得,
所以双曲线标准方程为.
故答案为:
15．答案：或
解析：依题意,由抛物线性质知直线MN过焦点,
设,,,,直线MN的方程为,
由,得:,
所以,,
则,又,所以,故抛物线方程为
而,故,所以,
所以M,N两点到y轴的距离之比为.
故答案为:.
16．答案：
解析：把平面PAB展开到与底面ABCD共面的的位置,延长DC到,使得,则(如下图所示),
因为PD的长度为定值,故只需最小,即,E,F,四点共线,
易知,,,可得,
所以,,,,
由正弦定理可得外接圆的半径,
设外接圆圆心为,则三棱锥外接球的球心一定在过且与平面ADF垂直的直线上,如下图所示:
因为O到点P,A的距离相等,所以,
即三棱锥外接球的半径为,
所以外接球的体积为.
故答案为:
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）利用正弦定理由可得,
又在中,易知,可得,所以;
即,
可得,显然,所以,
所以,又,可得;
（2）由余弦定理可得,
代入整理可得,
解得或(舍);
所以的面积为,解得,所以;
设BC边上的高为h,则,可得,
即BC边上的高为.
18．答案：（1）或
（2）
解析：（1）当时,圆C的标准方程为,圆心为,
因为直线l过点B且被圆C所截的弦长为,则圆心C到直线l的距离为,
若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为,此时,圆心C到直线l的距离为9,不合乎题意;
所以,直线l的斜率存在,设直线l的方程为,即,
则,解得,
所以,直线l的方程为或.
（2）设点,则,
整理可得,
因为点P在圆C上,则圆与圆有公共点,
且圆的圆心为,半径为2,
则,且,故,
因为,解得,故r的取值范围是.
19．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）将正三棱台补成正三棱锥,因为,且,则,分别为PA,PB的中点,
则,,故是边长为2的等边三角形,
由此可知,,都是边长为2的等边三角形,
易知是边长为2的等边三角形,是边长为1的等边三角形,
故正三棱台的表面积为.
（2）设点P在底面ABC的射影为点O,则O为正的中心,
取AB的中点M,连接CM,则,
,则,
因为平面ABC,平面ABC,则,
所以,,
以点O为坐标原点,,,的方向分别为x,y,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,
,,
则,,,
所以,,,所以,,,
因为,CP,平面,故平面.
20．答案：（1）
（2）答案见解析
解析：（1）当时可得;
显然当时,,当且仅当时,等号成立,
当时,易知函数在上单调递增,所以可得,
即时,;
综上可知,函数的值域为;
（2）①当时,函数在上单调递增,
且当x趋近于0时,,当x趋近于时,,即函数在上存在一个零点;
而函数在上单调递减,且当时,恒成立,即函数在上无零点;
所以当时,函数仅有1个零点;
②当时,易知在上单调递减,在上单调递增,
此时最小值为,即函数在上存在两个零点;
而函数在上单调递增,且当x趋近于时,,其最大值为,即函数在上有一个零点;
所以当时,函数仅有3个零点;
③当时,易知在上单调递减,在上单调递增,
此时最小值为0,即函数在上存在一个零点;
而函数在上单调递增,且当x趋近于时,,其最大值为0,即函数在上有一个零点;
即当时,函数仅有2个零点;
④当时,易知在上单调递减,在上单调递增,
此时最小值为,即函数在上无零点;
而函数在上单调递增,且当x趋近于时,,其最大值为,即函数在上无零点;
所以当时,函数没有零点;
综上可知,当时,函数仅有1个零点;当时,函数仅有3个零点;当时,函数仅有2个零点;当时,函数没有零点.
21．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）因为底面ABCD为矩形,所以;
平面BCF,平面BCF,所以平面BCF,
又四边形BDEF为平行四边形,所以,又平面BCF,平面BCF,
所以平面BCF,因为,且平面ADE,平面ADE,
所以平面ADE平面BCF,因为平面ADE,所以平面BCF;
（2）如图,连接AF,EG,取BC的中点N,AD的中点M,
因为是等边三角形,所以,又平面平面ABCD,
平面FBC,平面平面,
所以平面ABCD,又底面为矩形,所以,
以N为坐标原点,NM,NB,NF分别为x,y,z,建立空间直角坐标系,
由题意得,,,,,,
则,设,则,
可知,,,
由底面是平行四边形,得,
设平面AEF的法向量为,
则,取,得,
则平面AEF的法向量为,
由题意平面AEF,则,解得,
所以,即G是CF中点,
因为,所以,所以,,
设平面DEG的法向量为,则,
取,得,,所以平面DEG的法向量为,
,设直线BG与平面DEG所成的角为,
则.
所以BG与平面DEG所成角的正弦值为.
22．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意可知离心率为,
将点代入椭圆方程可得,又,
解得,,;
所以椭圆方程为
（2）易知,,
设直线l的方程为,,,且,
联立直线和椭圆方程,整理可得,
,可得,
且,,
可得直线PA的方程为,
直线QB的方程为,
解得
;
M点到直线PQ的距离为
所以的面积为
的面积为;
所以,
又可得,
即可得的取值范围是.