2023-2024学年江苏省苏州实验中学高二（上）质检数学试卷（12月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省苏州实验中学高二（上）质检数学试卷（12月份）（含解析），共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.抛物线y=ax2(a>0)的焦点到准线的距离为14，则a=( )
A. 4B. 12C. 2D. 14
2.记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S8S4=5,a2+a4=6，则a10=( )
A. −64B. −32C. 32D. −32或32
3.已知向量a=(1,0, 3)，单位向量b满足|a+2b|=2 3，则a，b的夹角为( )
A. π6B. π4C. π3D. 2π3
4.M点是圆C：(x+2)2+y2=1上任意一点，AB为圆C1：(x−2)2+y2=3的弦，且|AB|=2 2，N为AB的中点.则|MN|的最小值为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
5.已知直线l：2x+3y=0与双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)无公共交点，则C的离心率的取值范围是( )
A. [ 132,+∞)B. [ 133,+∞)C. (1, 132]D. (1, 133]
6.已知数列{an}是正项数列，Sn是数列{an}的前n项和，且满足Sn=12(an+1an).若bn=an+1SnSn+1，Tn是数列{bn}的前n项和，则T99=( )
A. 110B. 22C. 910D. 1
7.已知F1、F2是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点，P是椭圆上一点，∠F1PF2=60°，|PF1|=λ|PF2|(12≤λ≤2)，则椭圆的离心率的最大值为( )
A. 33B. 2− 3C. 3−12D. 22
8.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.点P在C上且位于第一象限，圆O1与线段F1P的延长线，线段PF2以及x轴均相切，△PF1F2的内切圆为圆O2.若圆O1与圆O2外切，且圆O1与圆O2的面积之比为9，则C的离心率为( )
A. 12B. 35C. 22D. 32
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在下列四个命题中，正确命题的是( )
A. 若向量a,b所在的直线为异面直线，则向量a,b一定不共面
B. 向量a=(2,−1,2),b=(−4,2,m)，若a与b的夹角为钝角，则实数m的取值范围为m0，C，A两点在x轴上方．则下列结论中一定成立的是( )
A. 1|AB|+1|CD|=12p
B. 若|AF|⋅|BF|=43p2，则k= 33
C. OA⋅OB=OC⋅OD
D. 四边形ABCD面积最小值为16p2
12.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C的中点，点F和点P分别满足D1F=λD1C1，D1P=μD1B，其中λ，μ∈[0,1]，则下列说法正确的是( )
A. BP⊥平面AEC
B. AP与平面BDD1B1所成角的取值范围为[45°,60°]
C. PE+PF的最小值为5 26
D. 点P到直线B1C的距离的最小值为PE= 66
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知a=(2,2,1),b=(1,0,0)，则a在b上的投影向量的坐标为______ ．
14.设数列{an}满足a1=−2，an+1=an+n⋅2n，则lg2a1026= ______ ．
15.已知圆C1：x2+y2=9与C2：x2+y2=36，定点P(2,0)，A、B分别在圆C1和圆C2上，满足PA⊥PB，则线段AB长的取值范围是______ ．
16.已知双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，E上存在点P，使得F1F2⋅F1P=F1P2，且△PF1F2的内切圆与y轴相切，则E的离心率为______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
设等比数列{an}的首项为2，公比为q，前n项的和为Sn，等差数列{bn}满足bn=2an−3Sn．
(1)求q；
(2)若qbnbn,an≤bn，求数列{cn}前2n项的和T2n．
18.(本小题12分)
在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，BC=CC1=1，E是DC的中点.以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
(1)求点B1到平面AED1的距离；
(2)求直线DB1与平面AED1所成角的余弦值．
19.(本小题12分)
已知圆C：x2+y2−2y−4=0．
(1)过P(1,1)的动直线l与圆C：x2+y2−2y−4=0交于A、B两点.若|AB|= 17，求直线l的方程；
(2)从圆C外一点Q向该圆引一条切线，切点为M，若|QM|=|QO|(O为坐标原点)，求动点Q的轨迹方程．
20.(本小题12分)
椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e= 32，且椭圆C的长轴长为4．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l过点D(0,12)，且与椭圆C相交于M，N两点，又点P是椭圆C的下顶点，当△PMN面积最大时，求直线l的方程．
21.(本小题12分)
已知过点P(2,0)的直线l与抛物线E：y2=2px(p>0)交于A，B两点，过线段AB的中点M作直线MN⊥y轴，垂足为N，且PM⊥PN．
(1)求抛物线E的方程；
(2)若C为E上异于点A，B的任意一点，且直线AC，BC与直线x=−2交于点D，R，证明：以DR为直径的圆过定点．
22.(本小题12分)
已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为 2，点(3,−1)在双曲线C上.过C的左焦点F作直线l交C的左支于A、B两点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若M(−2,0)，试问：是否存在直线l，使得点M在以AB为直径的圆上？请说明理由．
(3)点P(−4,2)，直线AP交直线x=−2于点Q.设直线QA、QB的斜率分别k1、k2，求证：k1−k2为定值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：抛物线y=ax2(a>0)化为标准式x2=1ay，
则2p=1a，即p=12a，
∵抛物线y=ax2(a>0)的焦点到准线的距离为14，
∴p=14，即12a=14，解得a=2．
故选：C．
根据抛物线的几何性质，将已知抛物线化为标准式，利用抛物线的焦点到准线的距离d=p，即可列式求解得出答案．
本题主要考查抛物线的简单性质以及计算能力，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：根据题意，设等比数列{an}的公比为q，
由题意知q≠1，则由S8S4=5得a1(1−q8)1−qa1(1−q4)1−q=5，则1+q4=5，所以q4=4，即q2=2；
因为a2+a4=a2(1+q2)=3a2=6，所以a2=2，
所以a10=a2q8=2×42=32．
故选：C．
根据题意，设等比数列{an}的公比为q，利用等比数列定义可得q2=2，再由a2+a4=6可求得a2=2，即可得答案．
本题考查等比数列的求和，涉及等比数列的性质，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：因为a=(1,0, 3)，故|a|=2，
因此|a+2b|=2 3，故|a+2b|2=12即a2+4a⋅b+4b2=12，
故4+4a⋅b+4=12即a⋅b=1，故cs〈a,b〉=12×1=12，
而〈a,b〉∈[0,π]，
故a，b的夹角为π3．
故选：C．
将模平方后可求数量积，从而可求夹角的大小．
本题主要考查空间向量的夹角公式，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：根据题意，可得|AB|=2 r12−|C1N|2=2 2，解得|C1N|=1，
所以点N在以C1(2,0)为圆心，1为半径的圆上，
由图可知|MN|的最小值为|CC1|−r−1=4−1−1=2．
故选：B．
根据弦长公式先求出|C1N|=1，可知点N在以C1(2,0)为圆心、1为半径的圆上，结合图形求解，即可得到本题的答案．
本题主要考查圆的方程及其应用、直线与圆的位置关系等知识，考查了计算能力，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：因为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=−bax，
若直线2x+3y=0与双曲线C无交点，
此时−ba≥−23，
即ba≤23，
所以e=ca= 1+b2a2≤ 133，
因为c>1，
所以双曲线C的离心率的取值范围为(1, 133]．
故选：D．
由题意，根据直线与双曲线无交点，结合直线与渐近线之间的关系以及离心率公式，列出等式进行求解即可．
本题考查双曲线的性质，考查了逻辑推理和运算能力．
6.【答案】C
【解析】解：由Sn=12(an+1an)，可得Sn=12(Sn−Sn−1+1Sn−Sn−1)(n≥2)，
即2Sn=Sn−Sn−1+1Sn−Sn−1，可得Sn+Sn−1=1Sn−Sn−1，即Sn2−Sn−12=1，
令n=1可得，S1=a1=12(a1+1a1)，解得a1=1或a1=−1，
又因为数列{an}是正项数列，所以a1=1；
可知数列{Sn2}是以S12=1为首项，公差为d=1的等差数列，
所以Sn2=S12+(n−1)=1+(n−1)=n，可得Sn= n(n≥2)，
当n=1时，S1=1符合Sn= n，所以Sn= n，
an=Sn−Sn−1= n− n−1(n≥2)，
当n=1时，a1=1符合an= n− n−1，
可得an= n− n−1，
bn=an+1SnSn+1= n+1− n n⋅ n+1=1 n−1 n+1，
因此T99=b1+b2+b3+…b99=11−1 2+1 2−1 3+1 3−1 4+…+1 99−1 100
=1−110=910．
故选：C．
由Sn与an的关系式可得Sn2−Sn−12=1，由等差数列定义可得Sn2=n，即可得an= n− n−1，由裂项相消求和可得bn=1 n−1 n+1，计算可得T99=910．
本题考查数列的递推式和等差数列的定义、通项公式，以及数列的裂项相消求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
7.【答案】A
【解析】解：设|PF2|=x，|则|PF1|=λ|PF2|=λx，|PF1|+|PF2|=2a，
所以x+λx=2a⇒x=2aλ+1，
由余弦定理可得4c2=x2+λ2x2−2λx⋅x⋅12=x2(λ2−λ+1)，
故4c2=4a2(λ+1)2(λ2−λ+1)，进而可得e2=λ2−λ+1(λ+1)2，
令t=λ+1，则t∈[32,3]，e2=t2−3t+3t2=3t2−3t+1，
令1t=m,m∈[13,23]，所以e2=3t2−3t+1=3m2−3m+1，对称轴为m=12，
所以y=3m2−3m+1在m∈[13,12]单调递减，在[13,23]单调递增，
故当m=13和m=23时，y=3m2−3m+1=13，
故y=3m2−3m+1的最大值为13，
所以(e2)max=13，故e的最大值为 33．
故选：A．
根据椭圆定义，结合余弦定理可得e2=λ2−λ+1(λ+1)2，进而利用换元法，结合二次函数的性质即可求解．
本题主要考查椭圆的性质，考查计算能力和转化思想的应用，属于中档题．
8.【答案】A
【解析】解：由已知及平面几何知识可得圆心O1、O2在∠PF1F2的角平分线上．如图：
设圆O1、O2与x轴的切点分别为A，B，由平面几何知识可得，直线PF2为两圆的公切线，
切点D也在∠PF1F2的角平分线上，所以|PF1|=|F1F2|=2c，
由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2a，则|PF2|=2a−2c，
所以|F2D|=12|PF2|=a−c，
所以|F2A|=|F2B|=|F2D|=a−c，
所以|F1A|=|F1F2|+|F2A|=2c+a−c=a+c，|F1B|=|F1F2|−|F2B|=2c−a+c=3c−a．
又圆O1与圆O2的面积之比为9，
所以圆O1与圆O2的半径之比为3，
因为O2B//O1A，所以|F1B||F1A|=|O2B||O1A|，
即3c−aa+c=13，整理得4a=8c，故椭圆C的离心率e=ca=12．
故选：A．
设圆O1、O2与x轴的切点分别为A，B，圆心O1、O2在∠PF1F2的角平分线上，从而切点D也在∠PF1F2的角平分线上，所以|PF1|=|F1F2|=2c，由切线的性质求得|F1B|，|F1A|，由圆面积比得半径比|O1A||O2B|，然后由相似形得出a，c的关系式，从而求得离心率．
本题主要考查了求椭圆的离心率，考查了椭圆的几何性质，属于中档题．
9.【答案】CD
【解析】解：对于A：由于向量a,b可以平移，向量a,b所在的直线即使为异面直线，可以通过平移得到向量a,b一定共面，故A错误；
对于B：向量a=(2,−1,2),b=(−4,2,m)，若a与b的夹角为钝角，则2×(−4)+(−1)×2+2m…>an>an−1>…>a3>a2，
∴数列{an}是先递减再递增的数列，且当 n→∞时，an→0，
∴a1最大，a2最小，故选项B正确；
又a3=−12×3×2=−112，故选项C错误；
对于选项D，当n≥2时，bn=2(1−n)an=1n，
∵当n=1时，b1=1也满足上式，
∴bn=1n，n∈N*，
当n≥2时，bn2=1n2