广东省惠州市惠州一中集团2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷

这是一份广东省惠州市惠州一中集团2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷，共20页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题（每题3分，共计30分）
1．数学世界中充满了许多美妙的几何图形，等待着你去发现，下面四个图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）

A．①勾股树 B．②分形树 C．③谢尔宾斯三角形 D．④雪花
2．二次函数图象的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，△ABO绕点O逆时针旋转得到△CDO，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．已知⊙O的半径为5，若，则点与⊙O的位置关系是（ ）
A．在圆内B．在圆上C．在圆外D．不确定
5．若圆锥的底面半径是3cm，母线长5cm，则这个圆锥侧面展开图的面积是（ ）
A． B． C． D．
6．一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数是（ ）
A．B．C．D．
7．甲、乙，丙三人中任选两人参加志愿者服务活动，则甲被选中的概率为（ ）
A．B．C．D．
8．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．B． C． D．
9．如图，，，是⊙O上的三点，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
10．已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论：①abc<0；②；③若，，是抛物线上三点，则；④；⑤；其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
9题图
10题图
第II卷（非选择题）
二、填空题（每题3分，共计15分）
11．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ．
12．把抛物线向右平移2个单位，然后向下平移4个单位，则平移后抛物线的表达式 ．
13．如图⊙O的直径，CD是⊙O的弦，于点P，且，则的长是 ．

14．已知扇形的圆心角为，半径为，则扇形的面积是 ．
15．双曲线和双曲线如图所示，是双曲线上一点，过点作AB⊥x轴，垂足为，与双曲线交于点，连接．若的面积为2，则的值为 ．
三、解答题（共计75分）
解答题（一）16~20题，每题5分，共计25分
16．解方程．．
17．关于的一元二次方程有一个根是，求的值和方程的另一个根．
18．某流感病毒传染性很强，若有一人感染上此病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后，共有100人患病（假设每轮传染中，平均一个人传染的人数相同）．
(1)每轮传染中平均一个人传染多少人？
(2)如果这100位病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？
19．为弘扬中华传统文化，“诵读经典，传承文明”，我校近期举办了“国学经典诵读大赛”，诵读的篇目分成四种类型：．蒙学今诵；．爱国传承；．励志劝勉；．愚公移山，每种类型的篇目数相同，参赛者需从这四种类型中随机抽取一种诵读类型．小新和小远也参加了这次大赛，小新先抽取了一种诵读类型后不放回，小远再从剩余的诵读类型中任意抽取一种，请用画树状图或列表法求他们中有一人抽到“．励志劝勉”的概率．
20．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为
(1)请画△ABC出绕点O旋转180度的图形△A₁B₁C₁；
(2)在x轴上找一点P，使的值最小，请直接写出点P的坐标．
解答题（二）21~23题，8分+8分+10分
21．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点．
(1)分别求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)根据所给条件，请直接写出时x的取值范围．
(3)过点B作轴，垂足为C，求S△ABC．
22．如图，是⊙O的直径，是⊙O的切线，连接，过作交⊙O于点，连接并延长，交延长线于．
(1)求证：是⊙O的切线；
(2)若，求的长．
23．如图，二次函数的图像与x轴交于和两点，交y轴于点，点C、D是二次函数图像上的一对对称点，一次函数的图像过点B、D．
(1)请直接写出D点的坐标；求二次函数的解析式；
(2)在x轴上是否存在一点P，使得以P，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出点P的坐标．
四、综合探究（每题12分，共计24分）
24．综合与实践．
某数学兴趣小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察，刹车距离．
【知识背景】“道路千万条，安全第一条．”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离．
【探究发现】汽车研发中心设计了一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试．兴趣小组成员记录其中一组数据如下：
发现：①开始刹车后行驶的距离y（单位：m）与刹车后行驶的时间t（单位：s）之间成二次函数关系；
②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间t的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止．
【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题：
(1)求y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)若汽车刹车后，行驶了多长距离；
(3)若汽车司机发现正前方处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由．
25．（1）问题发现，如图1，和均为等腰直角三角形，，，，在一条直线上．猜想并证明线段，之间的数量关系和位置关系．
（2）拓展探究，如图2，和均为等腰直角三角形，，请判断，的数量关系和位置关系，并说明理由．
（3）解决问题，如图3，线段，点是线段外一点，，连接，将绕点逆时针旋转得到线段，随着点的位置的变化，直接写出线段长度的范围．
刹车后行驶的时间
0
1
2
3
刹车后行驶的距离y
0
27
48
63
参考答案：
1．D
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形．根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意；
D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故选项符合题意；
故选：D．
2．A
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据顶点式的意义直接解答即可．解题的关键是熟悉顶点式的意义，并明确：的顶点坐标为．
【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标是．
故选：．
3．A
【分析】本题考查旋转的性质，解题的关键是正确理解旋转的性质，本题属于基础题型．利用旋转性质，求出对应角度数，根据三角形内角和定理求出即可．
【详解】解：∵绕点O逆时针旋转得到，
，
∵，
，
故选：A．
4．A
【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，直接根据点与圆的位置关系即可得出结论．熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．
【详解】解：的半径是5，的长为4，，
点在圆内．
故选：．
5．D
【分析】本题考查了圆锥的侧面积的计算．根据“圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2”求解即可．
【详解】解：底面圆的半径为3，则底面周长，
侧面面积．
故选：D．
6．D
【分析】根据正多边形的边数周角中心角，计算即可得解．
【详解】解：，
故选：．
7．D
【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，画出树状图，共有6种等可能的结果，其中甲被选中的结果有4种，由概率公式即可得出结果．
【详解】解：画树状图如下：
由树状图可知，一共有6种等可能性的结果数，其中甲被选中的结果有4种，
∴甲被选中的概率为，
故选D．
8．D
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
【详解】解：A、该方程含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项错误；
B、该方程含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项错误；
C、该方程中，当时，没有二次项，不是一元二次方程，故本选项错误；
D、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项正确．
故选：D．
9．D
【分析】本题考查圆周角定理，直接根据圆周角定理即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
故选：D．
10．B
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象和性质及巧妙利用数形结合的思想是解题的关键．根据所给函数图象可得出a、b、c的正负，再结合抛物线的对称性及增减性即可解决问题．
【详解】解：①∵抛物线开口方向向下，
∴，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴，
∵对称轴在y轴右侧，
∴，
∴，故①正确；
②∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
即，
故②错误；
∵抛物线的对称轴为直线，且开口向下，
而，
且，
∴，
故③错误；
由函数图象可知，
当时，函数值小于零，
则，
又∵，
∴，
故④错误；
由函数图象可知，
当时，函数取得最大值，
∴当时的函数值小于时的函数值，
即，
∴，
故⑤正确；
故选：B．
11．
【分析】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可直接得到答案．
【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了二次函数图象的平移；直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【详解】解：把抛物线向右平移2个单位，然后向下平移4个单位，则平移后抛物线的表达式．
13．8
【分析】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．连接，先根据的直径求出的长，再根据垂径定理由得出的长，根据勾股定理求出的长，即可得出结论．
【详解】解：连接，
是的直径，弦于，
，
，
，
，
，
在中，，
，
故答案为：8．
14．
【分析】本题考查了扇形面积的求解，熟练掌握面积公式，确定扇形的圆心角和半径是解题关键．
【详解】解：由题意得，，，
故可得扇形的面积．
故答案为：．
15．
【分析】此题考查了利用反比例函数图象求比例系数，正确理解k的几何意义是解题的关键．
根据点在的图象上求出，进而得到，结合图象所在的象限即可求出k的值．
【详解】∵轴，垂足为，与双曲线交于点，
∴，
∵的面积为2，
∴，
∵是双曲线上一点，
∴，
∴，
∵图象在第二象限，
∴．
故答案为：．
16．，．
【分析】此题考查了解一元二次方程—因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【详解】解：，
，
或，
∴，；
17．的值为，方程的另一个根为
【分析】此题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，由一个根为，求出另一根，进而确定出的值．熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．
【详解】解：设方程的另一个根为，
依题意有：，，
解得，，
故的值为，方程的另一个根为．
18．(1)9人
(2)1000人
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．
（1）设每轮传染中平均每个人传染了x个人，根据“若一人携带此病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有100人患病”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）利用经过三轮传染后患病的人数经过两轮传染后患病的人数，即可求出结论．
找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【详解】（1）解：设每轮传染中平均每个人传染了x个人，
依题意得：，
解得：，（不合题意，舍去）；
答：每轮传染中平均每个人传染了9个人．
（2）（人）．
答：按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有1000人患病．
19．(1)
(2)
【分析】（1）直接根据概率求解即可；
（2）根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出符合题意的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【详解】（1）解：∵诵读的篇目分成四种类型：．蒙学今诵；．爱国传承；．励志劝勉；．愚公移山，
∴恰好抽中“．爱国传承”的概率是．
故答案为：．
（2）根据题意画图如下：
共有种等可能的情况，其中他们中有一人抽到“．励志劝勉”的有种，
则他们中有一人抽到“．励志劝勉”的概率是．
∴他们中有一人抽到“．励志劝勉”的概率是．
【点睛】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
20．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了利用平移变换作图、轴对称-最短路线问题，一次函数的解析式及一次函数与坐标轴交点问题．
（1）根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点的位置，然后顺次连接即可；
（2）找出点A、B、C绕原点O顺时针旋转的对称点的位置，即与关于点O中心对称，然后顺次连接即可；
（3）作A点关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，如图，则，根据两点之间线段最短可判断此时的值最小，再利用待定系数法求出直线的解析式为，然后利用x轴上点的坐标特征确定P点坐标．
【详解】（1）解：将向左平移4个单位长度后，将横坐标减去4，即，
如图，为所作；
（2）解：绕点O旋转180度的图形，则与关于点O中心对称，取横纵坐标的相反数，即，
如图，为所作；
（3）解：作A点关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，如图，则，
，
，
∴此时的值最小，
设直线的解析式为，
把分别代入得，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
解得，
∴P点坐标为．
21．(1)一次函数的解析式为：；反比例函数的解析式为：
(2)或
(3)5
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．
（1）由一次函数与反比例函数的图象相交于，两点．首先求得反比例函数的解析式，则可求得B点的坐标，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；
（2）根据图象，观察即可求得答案；
（3）因为以为底，则边上的高为，所以利用三角形面积的求解方法即可求得答案．
【详解】（1）∵点在的图象上，
∴，
∴反比例函数的解析式为：，
∵在反比例函数图象上，
∴，
∴
∵，两点在上，
∴，
解得：，
∴一次函数的解析式为：；
（2）由图象得，当时x的取值范围或，
（3）以为底，则边上的高为，
∴
22．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查圆切线的判定与性质
（1）连接，利用求证即可求证即得证；
（2）通过勾股定理,再通过勾股定理即可求出的长．
【详解】（1）解：证明：如图，连接OD
∵
∴，
∵
∴
∴
在与中
∴(SAS)
∴
∵AC是切线．
∴
∴
∵点D在上，OD为半径，且
∴CE是的切线
（2）解：∵CE是的切线
∴
设半径为，在Rt中，，由勾股定理得：
∵，
∴
解得：
∵
∴
设，在Rt中，，由勾股定理得：
∴
解得：
∴CD的长为6
23．(1)
(2)
(3)存在，P的坐标为或
【分析】（1）根据二次函数的图像与x轴交于和两点可确定抛物线对称轴为，然后再运用抛物线的对称性即可解答；
（2）直接运用待定系数法即可；
（3）设P的坐标为，然后求得的长，然后根据平行四边形的性质即可解答．
【详解】（1）解：∵二次函数的图像与x轴交于和两点，
∴抛物线对称轴为，
∵点C、D是二次函数图像上的一对对称点，
∴．
（2）解：设抛物线的解析式为，
则有：，解得：，
∴二次函数的解析式．
（3）解：∵点C、D是二次函数图像上的一对对称点，、
∴轴，且,
∵以P，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，
∴,
设P的坐标为，则，
∴，
解得：或．
∴P的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图像的性质、求二次函数解析式、平行四边形的判定、绝对值方程等知识点，掌握二次函数图像的性质是解题的关键．
24．(1)y关于t的函数解析式为
(2)汽车刹车后，行驶了
(3)不会，理由见解析
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握用待定系数法求解二次函数解析式的方法和步骤是解题的关键．
（1）设，将代入，求出a、b、c的值，即可得出函数解析式；
（2）求出当时的函数值，即可解答；
（3）将二次函数解析式化为顶点式，求出最大值，再与80进行比较即可．
【详解】（1）解：设，
将代入得：
，
解得：，
∴y关于t的函数解析式为；
（2）解：当时，，
答：汽车刹车后，行驶了；
（3）解：不会．理由如下：
∵，
∴当时，汽车停下，行驶了，
∵，
∴该车在不变道的情况下不会撞到抛锚的车．
25．（1），，证明见解析；（2），，证明见解析；（3）
【分析】（1）根据等腰三角形性质证，得，，延长交于点F，由垂直定义得．
（2）根据等腰三角形性质证，，，由垂直定义得，；
（3）作，使得，则易证，，当P、E、B共线时，最小，最小值；当P、E、B共线时，最大，最大值，故，即可求解．
【详解】（1）结论：，．
证明：如图1中，
∵和均为等腰直角三角形，
∴，，，
在和中
∴，
∴，，
延长交于点F，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即．
∴，；
（2）结论：，．
证明：如图2中，设交于H，交于O．
∵和均为等腰直角三角形，
∴，，，
∴，
在和中
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，．
（3）如图3，作，使得，由（1）（2）可得，
∴，
图4中，当P、E、B共线时，最小，最小值，
图5中，当P、E、B共线时，最大，最大值，
∴，
即．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找三角形全等的条件，学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．