2023-2024学年辽宁省鞍山市高三上学期期末联考数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年辽宁省鞍山市高三上学期期末联考数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={1,2,3}，B={x∈Z|(x+1)(x−2)<0}，则A∩(CZB)=( )
A. {1,2,3}B. {1,2}C. {2,3}D. {3}
2.在复平面内，复数z=3+i1−i(其中i为虚数单位)对应的点位于
( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为 3，则其渐近线方程为
( )
A. y=± 2xB. y=± 3xC. y=± 22xD. y=± 32x
4.中国古代数学专著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛､马､羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛､马､羊吃了别人的禾苗.禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛､马､羊的主人应分别偿还a升､b升､c升粟，1斗为10升，则
( )
A. a，b，c依次成公比为2的等比数列B. a，b，c依次成公差为2的等差数列
C. a=507D. c=507
5.已知sin(α+π3)=13，则cs(2α−π3)=( )
A. −79B. 79C. −29D. 29
6.设F为抛物线C:y2=4x的焦点，点A在C上，点B(3,0)，若AF=BF，则AB=( )
A. 2B. 2 2C. 3D. 3 2
7.为了支援山区教育，现在安排5名大学生到3个学校进行支教活动，每个学校至少安排1人，其中甲校至少要安排2名大学生，则不同的安排方法共有种( )
A. 50B. 60C. 80D. 100
8.设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(−1)=0，当x>0时，xf′(x)−f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是
( )
A. (−∞,−1)∪(0,1)B. (−1,0)∪(1,+∞)
C. (−∞,−1)∪(−1,0)D. (0,1)∪(1,+∞)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中，正确的命题是．( )
A. 已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2)，P(X<4)=0.8，则P(2B. 线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱
C. 已知两个变量具有线性相关关系，其回归方程为y=a+bx，若b=2,x=1，y−=3，则a=1
D. 若样本数据2x1+1，2x2+1，…，2x10+1的方差为8，则数据x1，x2，…，x10的方差为2
10.已知a，b∈R，且3a<3b<1，则
( )
A. a2lnb
C. ba+ab>2D. a+b+2 ab>0
11.如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，E在底面圆周上，AE=BE，AF⊥DE，F是垂足，G在BD上，DG=2BG，则下列结论中正确的是
( )
A. AF⊥BD
B. 直线DE与直线AG所成角的余弦值为12
C. 直线DE与平面ABCD所成角的余弦值为66
D. 若平面AFG∩平面ABE=l，则l//FG
12.已知函数f(x)=sin(sinx)+cs(csx)，则下列结论正确的是
( )
A. 函数f(x)的一个周期为2πB. 函数f(x)在(0,π2)上单调递增
C. 函数f(x)的最大值为 2D. 函数f(x)的图象关于直线x=π2对称
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知a=1,m，b=−3,4，若a⊥a−b，则m= ．
14.已知圆C:(x−2)2+(y−3)2=2，直线l过点A1,2且与圆C相切，若直线l与两坐标轴交点分别为M、N，则MN= ．
15.某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一社区进行民意调查．参加活动的甲、乙两班的人数之比为5:3，其中甲班中女生占35，乙班中女生占13.则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率是 ．
16.已知正三棱台的高为1，上下底面的边长分别为3 3和4 3，其顶点都在同一球面上，则该球的体积为 ．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
已知a，b，c分别为△ABC内角A、B、C的对边，sinB−sinC=sinC− 3csB，且b>c．
(1)求A；
(2)若a= 3，△ABC的面积为 32，求△ABC的周长．
18.(本小题12分)
已知数列an的前n项和为Sn，且2Sn=3an−3n∈N∗．
(1)求数列an的通项公式；
(2)若bn=lg3an+nan，求数列bn的前n项和Tn．
19.(本小题12分)
随着北京2022冬奥会的临近，冰雪运动在全国各地蓬勃开展.某地为深入了解学生参与“自由式滑雪”、“单板滑雪”两项运动的情况，在该地随机抽取了10所学校进行调研，得到数据如下：
(I)从这10所学校中随机选取1所学校，求这所学校“自由式滑雪”的参与人数超过40人的概率；
(II)规定“单板滑雪”的参与人数超过45人的学校作为“基地学校”．
(i)现在从这10所学校中随机选取3所，记X为其中的“基地学校”的个数，求X的分布列和数学期望；
(ii)为提高学生“单板滑雪”水平，某“基地学校”针对“单板滑雪”的4个基本动作进行集训并考核.要求4个基本动作中至少有3个动作达到“优秀”，则考核为“优秀”.已知某同学参训前，4个基本动作中每个动作达到“优秀”的概率均为0.2，参训后该同学考核为“优秀”.能否认为该同学在参训后“单板滑雪”水平发生了变化？并说明理由．
20.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB，M为线段PD的动点．
(1)若直线PB//平面ACM，求证：M为PD的中点；
(2)若平面PAC与平面MAC夹角的余弦值为 33，求PMMD的值．
21.(本小题12分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1过点A(− 3,0)，其右焦点为F(1,0)．
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)设P为椭圆C上一动点(不在x轴上)，M为AP中点，过原点O作AP的平行线，与直线x=3交于点Q.问：直线OM与FQ斜率的乘积是否为定值？若为定值，求出该值；若不为定值，请说明理由．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=ax−(a−1)lnx(a∈R)．
(1)若a=−1，求曲线y=f(x)在点(1 ,f(1))处的切线方程；
(2)曲线y=f(x)在直线y=2−x的上方，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查集合的交集和补集及一元二次不等式的解法．
由题知B={x∈Z|(x+1)(x−2)<0}=0,1，即可求解．
【解答】
解：∵A={1,2,3}，
B={x∈Z|(x+1)(x−2)<0}={x∈Z|−1∴A∩(∁ZB)={2,3}．
故选C．
2.【答案】A
【解析】【分析】
利用复数的乘除法运算化简，再结合复数的几何意义即可得出结果．
【解答】
解：因为z=3+i1−i=(3+i)(1+i)(1−i)(1+i)=2+4i2=1+2i，
所以复数z对应的点的坐标为(1,2)，位于第一象限．
故选：A
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查双曲线的渐近线，属于基础题．
根据离心率得a，c的关系，进而得a，b的关系，可得双曲线的渐近线方程．
【解答】
解：∵双曲线的离心率e=ca= 3，
∴b2a2=c2−a2a2=e2−1=3−1=2，
∴ba= 2，
因为双曲线的渐近线方程为y=±bax，即为y=± 2x．
故选A．
4.【答案】D
【解析】【分析】
结合题意根据等比数列的定义可以判断AB，由等比数列的前n项和公式计算后可判断CD．
【解答】
解：由条件，知a，b，c依次成公比为12的等比数列，故 AB都错误；
又a+b+c=50，a=4c,b=2c，
所以c+2c+4c=50，所以c=507，故 C错误，D正确
故选：D．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了二倍角公式，诱导公式等知识，属于基础题．
根据诱导公式，找出所求角与已知角之间的关系，结合二倍角公式运算．
【解答】
解：cs(2α+2π3)=cs[2(α+π3)]=1−2sin2(α+π3)=1−2×19=79，
又2α−π3=(2α+2π3)−π，
所以cs(2α−π3)=cs[(2α+2π3)−π]=−cs(2α+2π3)=−79，
故答案选：A．
6.【答案】B
【解析】【分析】
根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点A的横坐标，进而求得点A坐标，即可得到答案．
【解答】
解：由题意得，F1,0，则AF=BF=2，
即点A到准线x=−1的距离为2，所以点A的横坐标为−1+2=1，
不妨设点A在x轴上方，代入得，A1,2，
所以AB= 3−12+0−22=2 2．
故选：B
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查排列与组合的综合应用，两个计数原理的运用，是较易题．
讨论甲校安排3人，2人，剩余部分分成两组，然后进行安排即可．
【解答】
解：若甲校安排3名大学生，则其余两所学校只能各安排1名大学生，则有C53A22=20种，
若甲校安排2名大学生，剩余3名大学生分成2组，一组1人一组2人，然后再进行安排，有C52C31C22A22=60种，
共有20+60=80种，
故选C．
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用导数解(证明)不等式，导数的综合应用，属于中档题．
设g(x)=f(x)x，求导分析g(x)的单调性和奇偶性，进而根据f(x)>0，即可得出答案．
【解答】
解：构造新函数g(x)=f(x)x，则g′(x)=xf′(x)−f(x)x2，
所以当x>0时，g′(x)<0．
所以在(0,+∞)上，g(x)=f(x)x单调递减，
因为函数f(x)是奇函数，所以函数g(x)是偶函数，
所以在(−∞,0)上，g(x)=f(x)x单调递增，
又f(−1)=0，所以g(−1)=g(1)=0．
由f(x)>0得x>0g(x)>0或x<0g(x)<0,解得x<−1或0故选A．
9.【答案】CD
【解析】【分析】
本题主要考查了命题真假判断与应用，需要学生熟练掌握统计知识，属于中档题．
对于选项A，结合正态分布的对称性，即可求解；对于选项B，结合线性相关系数的性质，即可求解；对于选项C，结合回归方程的性质，即可求解；对于选项D，结合方差的公式，即可求解．
【解答】
解：对于选项A，∵随机变量X服从正态分布N(2,σ2)，∴P(X<2)=0.5，
∵P(X<4)=0.8，∴P(2对于选项B，线性相关系数r的范围在−1到1之间，相关系数的绝对值的大小越接近于1，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱，故选项B错误，
对于选项C，∵两个变量具有线性相关关系，其回归方程为y=a+bx，
又∵回归方程恒过样本中心(1,3)，且b=2,x=1，y−=3，
∴a=3−2×1=1，故选项C正确．
对于选项D，设数据x1，x2，…，x10的方差为S2，
样本数据2x1+1，2x2+1，…，2x10+1的方差为22S2=8，则S2=2，
故数据x1，x2，…，x10的方差为2，故选项D正确．
故选：CD．
10.【答案】BC
【解析】【分析】
由题可知a【解答】
解：已知a，b∈R，且3a<3b<1，所以a对于A选项，a2>b2，故错误；
对于B选项，a>b，y=lnx为增函数，所以lna>lnb，故正确；
对于C选项，ba,ab均为正数，且不相等，所以ba+ab>2，故正确；
对于D选项，a+b=−−a−b<−2 −a−b，所以a+b+2 ab≥0，故错误．
故选：BC
11.【答案】AD
【解析】【分析】
本题考查了旋转体(圆柱、圆锥、圆台、球)及其结构特征，线面垂直的性质，线面平行的判定，线面平行的性质，异面直线所成角，直线与平面所成角，利用空间向量判定线线的垂直、平行关系和利用空间向量求线线、线面和面面的夹角，属于较难题．
取AB的中点O，DC的中点O1，连接OE，OO1，利用圆柱的结构特征，结合题目条件得OE，OB，OO1两两垂直，以O的坐标原点，OE，OB，OO1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用线面垂直的性质得AD⊥AE，再利用平面几何知识得DF=2EF，利用空间向量判定线线的垂直关系对A进行判断，再利用空间向量求线线的夹角，对B进行判断，再利用空间向量求线面的夹角，对C进行判断，再利用平面几何知识得FG/​/BE，再利用线面平行的判定和线面平行的性质对D进行判断，从而得结论．
【解答】
解：因为ABCD是圆柱的轴截面，E在底面圆周上，且AE=BE，
所以取AB的中点O，DC的中点O1，连接OE，OO1，则OE，OB，OO1两两垂直，
因此以O的坐标原点，OE，OB，OO1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系如下图：
设圆柱的底面半径为1．
因为圆柱的轴截面ABCD是正方形，所以OA=OB=OE=1，AD=2，
因此O0,0,0，E1,0,0，A0,−1,0，B0,1,0，D0,−1,2．
因为AD是圆柱OO1的母线，所以AD⊥平面ABE，而AE⊂平面ABE，因此AD⊥AE．
又因为AF⊥DE，所以AD2=DF·DE，因此DF=AD2DE=4 6=2 63=23DE，即DF=2EF，
而ED=−1,−1,2，所以OF=OE+13ED=1,0,0+13−1,−1,2=23,−13,23，
因此AF=OF−OA=23,−13,23−0,−1,0=23,23,23，
而BD=0,−2,2，所以AF·BD=0，因此AF⊥BD，故A正确;
又因为G在BD上，DG=2BG，所以BG=13BD=0,−23,23，
因此AG=BG−BA=0,−23,23−0,−2,0=0,43,23，
所以ED·AG=0，即直线DE与直线AG所成角的余弦值为0，故B不正确;
因为OE=1,0,0是平面ABCD的一个法向量，ED=−1,−1,2，
所以若直线DE与平面ABCD所成角θ(θ∈[0,π2])，
则sinθ=cs=ED·OEED·OE=1 6×1= 66，
因此csθ= 1−sin2θ= 306，故C不正确;
因为DF=2EF，DG=2BG，所以FG/​/BE，
而FG⊄平面ABE，BE⊂平面ABE，
因此FG/​/平面ABE，而FG⊂平面AFG，
所以若平面AFG∩平面ABE=l，则l//FG，故D正确．
故选：AD．
12.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查诱导公式和三角函数的性质，属于中档题．
由三角函数的性质对选项逐项分析即可求解．
【解答】
解：f(x+2π)=sin sin (x+2π)+cs cs (x+2π)
=sin (sin x)+cs (cs x)=f(x)，故A正确；
当x∈(0,π2)时，sin x∈(0,1)且单调递增，故y=sin (sin x)是区间(0,π2)上的增函数，
同理可判断，y=cs (cs x)是区间(0,π2)上的增函数，故f(x)是区间(0,π2)上的增函数，B正确．
当x=π2时，sin(sinπ2)=sin⁡1>sin⁡π6=12，cs(csπ2)=cs⁡0=1，故f(π2)> 2，C错误；
f(π−x)=sin sin (π−x)+cs cs (π−x)
=sin (sin x)+cs (−cs x)
=sin (sin x)+cs (cs x)=f(x)，所以f(x)的图象关于直线x=π2对称，故D正确；
故选ABD．
13.【答案】2
【解析】【分析】
求出a−b的坐标，由a⊥(a−b)推出a⋅(a−b)=0，列出方程即可求得m．
【解答】
解：已知a=1,m，b=−3,4，
所以a−b=4,m−4，
由a⊥a−b可得4+mm−4=0，解得m=2．
故答案为：2．
14.【答案】3 2
【解析】【分析】
根据点在直线上，结合垂直关系可得切线斜率，进而可得切线方程，进而可求解M0,3,N3,0，又两点距离公式求解即可．
【解答】
解：由于(1−2)2+(2−3)2=2，所以A1,2在圆C:(x−2)2+(y−3)2=2上，
又C2,3，故kCA=3−22−1=1，
故切线的斜率为−1，进而切线方程为y−2=−x−1，即y=−x+3，分别令x=0,y=0，
故M0,3,N3,0，故MN=3 2，
故答案为：3 2
15.【答案】12
【解析】【分析】
本题主要考查古典概型、全概率公式的计算以及对立事件，属于基础题．
结合已知条件以及概率公式直接列式计算即可得解．
【解答】
解.如果用A与A分别表示居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的，B表示是女生，
则根据已知，有P(A)=55+3=58，P(A)=35+3=38，
而且P(B|A)=35，P(B|A)=13，
由全概率公式可知P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)
=58×35+38×13=12．
故答案为12．
16.【答案】500π3
【解析】【分析】
分别求得上下底面所在平面截球所得圆的半径，找到球心，求得半径，再由球的体积公式可得结果．
【解答】
解：由题意设三棱台为ABC−A1B1C1，如图，
上底面A1B1C1所在平面截球所得圆的半径是O1A1=23× 32×3 3=3，(O1为上底面截面圆的圆心)
下底面ABC所在平面截球所得圆的半径是O1A=23× 32×4 3=4，(O2为下底面截面圆的圆心)
由正三棱台的性质可知，其外接球的球心O在直线O1O2上，设球的半径为R，
当O在线段O1O2上时，轴截面中由几何知识可得 R2−32+ R2−42=1，无解；
当O在O1O2的延长线上时，可得 R2−32− R2−42=1，解得R2=25，得R=5，
因此球的体积是V=43πR3=500π3．
故答案为：500π3．
17.【答案】解：(1)因为sinB−sinC=sinC− 3csB，
所以sinB+ 3csB=2sinC，即2sin(B+π3)=2sinC，
因为b>c，可得B>C，
所以B+π3+C=π，可得B+C=2π3，所以A=π3；
(2)因为a= 3，△ABC的面积为 32=12bcsinA，
又sinA= 32，
所以bc=2，
由余弦定理可得csA=b2+c2−a22bc=(b+c)2−2bc−32bc=12，
所以12=(b+c)2−4−34，可得b+c=3，
所以△ABC的周长的值为3+ 3．
【解析】本题主要考查了两角和的正弦公式，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，属于中档题．
(1)利用两角和的正弦公式化简已知等式可得sin(B+π3)=sinC，由题意可求得B>C，进而根据B+π3+C=π，可得A的值．
(2)由已知利用三角形的面积公式可求bc=2，进而根据余弦定理可求b+c的值，即可求解△ABC的周长的值．
18.【答案】解：(1)当n=1时，2S1=2a1=3a1−3，解得a1=3，
当n≥2时，2Sn−1=3an−1−3，则2Sn−2Sn−1=2an=3an−3−3an−1−3，即an=3an−1，
又a1≠0，则an≠0，
∴anan−1=3(常数)，故an是以a1=3为首项，以3为公比的等比数列，
∴数列an的通项公式为an=3nn∈N∗．
(2)由(1)可得：bn=lg3an+nan=n+n3n，
∴Tn=1+2+3+⋅⋅⋅+n+13+232+333+⋅⋅⋅+n3n，
设Pn=13+232+333+⋅⋅⋅+n3n，则13Pn=132+233+334+⋯+n3n+1
∴1−13Pn=13+132+133+⋅⋅⋅+13n−n3n+1=13−13n+11−13−n3n+1=12−2n+32×3n+1，
∴Pn=3212−2n+32×3n+1=34−2n+34×3n，又1+2+3+⋅⋅⋅+n=n2+n2，
∴Tn=12n2+12n+34−2n+34×3nn∈N∗

【解析】(1)利用an,Sn的关系可得an=3an−1，即可知an为等比数列，写出等比数列通项公式即可．
(2)由(1)得bn=n+n3n，利用分组求和，并结合错位相减法及等差、等比前n项和公式求Tn．
19.【答案】解：(1)设事件A 为“从10所学校中选出的1所学校“自由式滑雪”的参与人数超过40人”．
“自由式滑雪”的参与人数超过40人的学校共4所，所以P(A)=410=25.
(2)(i) X的所有可能取值为0，1，2，3，“单板滑雪”的参与人数在45人以上的学校共4所．
所以P(X=0)=C40C63C103=16,P(X=1)=C41C62C103=12，P(X=2)=C42C61C103=310,P(X=3)=C43C60C103=130．
所以X的分布列为
所以E(X)=0×16+1×12+2×310+3×130=65.
(ii)设事件B 为“参训前，该同学考核为‘优秀ˈ”，
则P(B)=C43×0.23×0.8+C44×0.24=0.0272．
判断1：可以认为该同学在参训后“单板滑雪”水平发生了变化．理由如下：
P(B)比较小，即该同学考核为“优秀”为小概率事件，一旦发生了，就有理由认为该同学在参训后“单板滑雪”水平发生了变化．
判断2：无法确定该同学在参训后“单板滑雪”水平发生了变化．理由如下：
事件B是随机事件，P(B)比较小，即该同学考核为“优秀”为小概率事件，一般不容易发生，但还是可能发生的，因此，无法确定该同学在参训后“单板滑雪”水平发生了变化．
【解析】本题考查古典概型，离散型随机变量的分布，超几何分布，数学期望，小概率事件的概念，属于中档题．
(1)利用古典概型可以求出这所学校“自由式滑雪”的参与人数超过40人的概率；
(2)(i)由于10所学校中，有4所为“基地学校”，从而随机变量X服从一个超几何分布，利用超几何分布求出其概率分布即可；
(ii)先求出训练前，学生考核为优秀的概率，再通过小概率事件的定义，作出判断即可.两种判断只要说明理由，都可以作为正确答案．
20.【答案】解：
(1)连接BD交AC于点E，再连接EM，
由直线PB//平面ACM，PB⊂平面PBD，平面ACM∩平面PBD=EM，∴PB//EM，又E为BD的中点，∴M为PD的中点；
(2)
以点A为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系
设AB=AD=PA=1，则A(0,0,0),P(0,0,1),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0)，
设PM=tPD(0≤t≤1)，∵AP=(0,0,1),PD=(0,1,−1),AC=(1,1,0)，
AM=AP+PM=(0,0,1)+t(0,1,−1)=(0,t,1−t)，
设平面PAC的法向量为m=(x1,y1,z1)，则m⋅AP=0m⋅AC=0，即z1=0x1+y1=0,
取x1=1，则m=1,−1,0．
设平面MAC的法向量n=x2,y2,z2，则n⋅AM=0n⋅AC=0，即ty2+1−tz2=0x2+y2=0,
可取平面MAC的法向量n=1,−1,t1−t，
设平面PAC与平面MAC夹角为θ
|cs θ|=m⋅n|m||n|=1+1 12+(−1)2· 12+(−1)2+(t1−t)2= 33，
整理得t1−t=2,∴t=23，
∴PM=23PD,∴PM=23PD,∴PMMD=2．

【解析】本题考查了线面平行的性质，二面角，属于中档题．
(1)由线面平行的性质得出PB//EM，再由中位线定理得出M为PD的中点；
(2)以点A为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系，利用向量法结合平面PAC与平面MAC夹角的余弦值得出PMMD的值．
21.【答案】解：(Ⅰ)由题意知，a= 3，c=1，则b2=a2−c2=2，
∴椭圆C的方程为x23+y22=1；
(Ⅱ)直线OM与FQ斜率的乘积是定值−1．
证明如下：
设P(x0,y0)(y0≠0)，则x023+y022=1，得3y02=2(3−x02)，
∵M为AP中点，∴M(x0− 32,y02)，得kOM=y0x0− 3，
又kAP=y0x0+ 3，∴过原点O与AP平行的直线方程为y=y0x0+ 3x，
与直线x=3的交点为Q(3,3y0x0+ 3)，可得kFQ=3y0x0+ 33−1=3y02(x0+ 3)，
则kOM⋅kFQ=y0x0− 3⋅3y02(x0+ 3)=3y022(x02−3)=2(3−x02)2(x02−3)=−1．
∴直线OM与FQ斜率的乘积是定值−1．
【解析】(Ⅰ)由题意知，a= 3，c=1，再由隐含条件求得b，则椭圆C的方程可求；
(Ⅱ)设P(x0,y0)(y0≠0)，得3y02=2(3−x02)，M(x0− 32,y02)，求得OM的斜率，再求出AP所在直线的斜率，得到过原点O与AP平行的直线方程，进一步求出Q的坐标，得到FQ的斜率，即可得到直线OM与FQ斜率的乘积是定值−1．
本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．
22.【答案】解：(1)a=−1时，f(x)=−1x+2lnx,f′(x)=1x2+2x．
f′(1)=3,f(1)=−1,
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y+1=3(x−1),
即3x−y−4=0．
(2)曲线y=f(x)在直线y=2−x的上方，
即∀x>0,ax−(a−1)lnx>2−x恒成立，
设g(x)=ax−(a−1)lnx+x−2,其中x>0．
g′(x)=−ax2−(a−1)x+1=x2−(a−1)x−ax2=(x+1)(x−a)x2.
①若a≤0,g′(x)>0,g(x)在(0,+∞)上单调递增．
因为g(1)=a−1<0,所以a≤0不满足条件．
②若a>0,令g′(x)=0,x=a.
当x∈(0,a)时，g′(x)<0,g(x)在(0,+∞)上单调递减，
当x∈(a,+∞)时，g′(x)>0,g(x)在(0,+∞)上单调递增，
所以g(x)min=g(a)=1−(a−1)lna+a−2=(a−1)(1−lna).
令g(x)min=(a−1)(1−lna)>0，解得1综上，实数a的取值范围为(1,e).

【解析】(1)由a=−1，得到f(x)=−1x+2lnx,f′(x)=1x2+2x，进而求得f′(1),f(1)，写出切线方程；
(2)将问题转化为∀x>0,ax−(a−1)lnx>2−x恒成立，令g(x)=ax−(a−1)lnx+x−2,其中x>0，用导数法求解．
X
0
1
2
3
P
16
12
310
130