初中数学人教版九年级下册28.1 锐角三角函数精练

这是一份初中数学人教版九年级下册28.1 锐角三角函数精练，共135页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题，综合题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1. ( 3分 ) 已知 是等腰直角三角形的一个锐角，则 的值为（ ）
A. B. QUOTE 22 22 C. D. 1
2. ( 3分 ) sin30°等于（ ）

A. QUOTE 12 12 B. - QUOTE 12 12 C. QUOTE 32 32 D. - QUOTE 32 32
3. ( 3分 ) 如图，在 中， .若 QUOTE ??=4 ??=4 ， QUOTE ??=3 ??=3 ，则下列结论中正确的是（ ）
A. QUOTE sin?=34 sin?=34 B. QUOTE cs?=53 cs?=53 C. QUOTE tan?=34 tan?=34 D. QUOTE cs?=35 cs?=35
4. ( 3分 ) 在锐角△ABC中，|sinA﹣ QUOTE 32 32|+（csB﹣ QUOTE 22 22）2=0，则∠C的度数是（ ）

A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°
5. ( 3分 ) 如图为了测量某建筑物AB的高度，在平地上C处测得建筑物顶端A的仰角为30°，沿CB方向前进12 m到达D处，在D处测得建筑物顶端A的仰角为45°，则建筑物AB的高度等于( )

A. 6（ QUOTE 3 3＋1）m B. 6 ( QUOTE 3 3-1) m C. 12 ( QUOTE 3 3＋1) m D. 12（ QUOTE 3 3－1）m
6. ( 3分 ) 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，csB= QUOTE 23 23 ，则BC的长为（ ）
A. 4 B. QUOTE 25 25 C. QUOTE 18313 18313 D. QUOTE 12313 12313
7. ( 3分 ) 用计算器求cs15°，正确的按键顺序是（ ）

A. cs15= B. cs15 C. Shift15 D. 15cs
8. ( 3分 ) 如图，已知l1∥l2∥l3∥l4 ， 相邻两条平行直线间的距离相等.若等腰直角 的三个顶点分别在三条平行直线上，则∠α的正弦值是（ ）
A. QUOTE 21313 21313 B. QUOTE 31313 31313 C. QUOTE 32 32 D. QUOTE 23 23
9. ( 3分 ) 若∠A为锐角，csA= QUOTE 22 22 ，则∠A的度数为（ ）
A. 75° B. 60° C. 45° D. 30°
10. ( 3分 ) 等腰三角形的底角为15，腰长a为，则此等腰三角形的底长为（ ）

A. B. QUOTE 1+32? 1+32? C. D. QUOTE 6+22 6+22 a
二、填空题
11. ( 4分 ) 如图， 的顶点都是正方形网格中的格点，则 ________.

12. ( 4分 ) 计算：tan60°﹣cs30°=________．
13. ( 4分 ) 如图，在△ABC中，AC=2，∠A=45°，tanB= QUOTE 12 12 ， 则BC的长为________．

14. ( 4分 ) 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，将矩形ABCD沿BE折叠，点A落在 处，若 的延长线恰好过点C，则sin∠ABE的值为________．
( 4分 ) 在 中， ， ， 的面积为12，则 的度数为________．
16. ( 4分 ) 计算： ________．
17. ( 4分 ) 将矩形纸片ABCD按如图方式折叠，DE、CF为折痕，折叠后点A和点B都落在点O处．若△EOF是等边三角形，则 QUOTE ???? ???? 的值为________．
18. ( 4分 ) 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝ QUOTE 37 37 ，D是CB延长线上一点，以BD为边向上作等边三角形EBD，连接AD，若AD＝11，且∠ABE＝2∠ADE，则tan∠ADE的值为________．
三、解答题
19. ( 6分 ) 如图，某游客在山脚下乘览车上山．导游告知，索道与水平线成角∠BAC为40°，览车速度为60米/分，11分钟到达山顶，请根据以上信息计算山的高度BC．
（精确到1米）（参考数据：sin40°=0.64，cs40°=0.77，tan40°=0.84）

21. ( 6分 ) 如图，一艘海上巡逻船在A地巡航，这时接到B地海上指挥中心紧急通知：在指挥中心北偏西60°向的C地，有一艘渔船遇险，要求马上前去救援．此时C地位于北偏西30°方向上，A地位于B地北偏西75°方向上，A、B两地之间的距离为16海里．求A、C两地之间的距离．（保留根号）





22. ( 6分 ) 计算：|﹣3|+ QUOTE 3 3•tan30°﹣ QUOTE 38 38﹣（2008﹣π）0 ．




23. ( 10分 ) 如图，抛物线 QUOTE ?=14?2+14?+? ?=14?2+14?+? 与x轴的负半轴交于点A，与y轴交于点B，连结AB．点C 在抛物线上，直线AC与y轴交于点D．

（1）求c的值及直线AC的函数表达式；
（2）点P在x轴的正半轴上，点Q在y轴正半轴上，连结PQ与直线AC交于点M，连结MO并延长交AB于点N，若M为PQ的中点．
①求证：△APM∽△AON；
②设点M的横坐标为m ， 求AN的长（用含m的代数式表示）．


四、综合题
24. ( 12分 ) 如图，△ABC中，AB＝AC＝13，BD⊥AC于点D，sinA＝ QUOTE 1213 1213
（1）求BD的长；
（2）求tanC的值.

25. ( 12分 ) 如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC于点F.
（1）试说明DF是⊙O的切线；
（2）若AC=3AE，求tanC.


第28章 锐角三角函数 A卷
满分120分
一、单选题
1. ( 3分 ) 已知 是等腰直角三角形的一个锐角，则 的值为（ ）
A. B. QUOTE 22 22 C. D. 1
【答案】 B
【考点】等腰三角形的性质，特殊角的三角函数值
【解析】【解答】∵α是等腰直角三角形的一个锐角，∴α=45°，∴sinα=sin45°= QUOTE 22 22
故答案为：B．
【分析】根据等腰直角三角形的性质及特殊锐角三角函数值得出答案。
2. ( 3分 ) sin30°等于（ ）

A. QUOTE 12 12 B. - QUOTE 12 12 C. QUOTE 32 32 D. - QUOTE 32 32
【答案】 A
【考点】特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据sin30°= QUOTE 12 12直接解答即可．

【解答】sin30°= QUOTE 12 12 ．
【点评】熟记特殊角的三角函数值是解答此题的关键．
3. ( 3分 ) 如图，在 QUOTE ??螖??? ??螖??? 中， .若 QUOTE ??=4 ??=4 ， QUOTE ??=3 ??=3 ，则下列结论中正确的是（ ）
A. QUOTE sin?=34 sin?=34 B. QUOTE cs?=53 cs?=53 C. QUOTE tan?=34 tan?=34 D. QUOTE cs?=35 cs?=35
【答案】 C
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵ ， QUOTE ??=4 ??=4 ， QUOTE ??=3 ??=3
∴AB= QUOTE ??2+??2=5 ??2+??2=5
∴ QUOTE sin?=????=35 sin?=????=35 ，故A选项错误；
QUOTE cs?=????=45 cs?=????=45 ，故B、D选项错误；
QUOTE tan?=????=34 tan?=????=34 ，故C选项正确.
故答案为：C
【分析】先根据勾股定理求出AB，再根据三角函数的定义解答即可.
4. ( 3分 ) 在锐角△ABC中，|sinA﹣ QUOTE 32 32|+（csB﹣ QUOTE 22 22）2=0，则∠C的度数是（ ）

A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°
【答案】 D
【考点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：由题意得，sinA﹣ QUOTE 32 32=0，csB﹣ QUOTE 22 22=0，

则sinA= QUOTE 32 32 ， csB= QUOTE 22 22 ，
∠A=45°，∠B=45°，
则∠C=180°﹣45°﹣45°=90°．
故选D．
【分析】根据非负数的性质求出∠A和∠B的度数，然后求出∠C的度数．
5. ( 3分 ) 如图为了测量某建筑物AB的高度，在平地上C处测得建筑物顶端A的仰角为30°，沿CB方向前进12 m到达D处，在D处测得建筑物顶端A的仰角为45°，则建筑物AB的高度等于( )

A. 6（ QUOTE 3 3＋1）m B. 6 ( QUOTE 3 3-1) m C. 12 ( QUOTE 3 3＋1) m D. 12（ QUOTE 3 3－1）m
【答案】 A
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】
【分析】利用所给的角的三角函数用AB表示出BD，CB；根据BC-DB=CD即可求出建筑物AB的高度．
【解答】根据题意可得：BC== QUOTE 3 3AB，BD==AB．
∵CD=BC-BD=AB（ QUOTE 3 3-1)=12，
∴AB=6（ QUOTE 3 3＋1)
故选A．
【点评】本题通过考查仰角的定义，构造两个直角三角形求解．考查了学生读图构造关系的能力
6. ( 3分 ) 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，csB= QUOTE 23 23 ，则BC的长为（ ）
A. 4 B. QUOTE 25 25 C. QUOTE 18313 18313 D. QUOTE 12313 12313
【答案】 A
【考点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，
∵∠C=90°，
∴csB= QUOTE ???? ???? ，
∴BC=ABcsB=6× QUOTE 23 23 =4，
故选：A．
【分析】根据csB= QUOTE ???? ???? 知BC=ABcsB，即可得解．
7. ( 3分 ) 用计算器求cs15°，正确的按键顺序是（ ）

A. cs15= B. cs15 C. Shift15 D. 15cs
【答案】 A
【考点】计算器—三角函数
【解析】【解答】先按键“cs”，再输入角的度数15，按键“=”即可得到结果.
故选A
【分析】根据用计算器算三角函数的方法：先按键“cs”，再输入角的度数，按键“=”即可得到结果.

8. ( 3分 ) 如图，已知l1∥l2∥l3∥l4 ， 相邻两条平行直线间的距离相等.若等腰直角 的三个顶点分别在三条平行直线上，则∠α的正弦值是（ ）
A. QUOTE 21313 21313 B. QUOTE 31313 31313 C. QUOTE 32 32 D. QUOTE 23 23
【答案】 A
【考点】平行线的性质，解直角三角形，三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】如图，过点A作 于D，过点B作 于E，设 QUOTE 33 33 间的距离为 QUOTE ?(?>0) ?(?>0)
则 QUOTE ??=3?,??=2? ??=3?,??=2?
是等腰直角三角形
∵ ，
∴
在 和 中，
∴
∴ QUOTE ??=??=3? ??=??=3?
在 中， QUOTE ??=??2+??2=(3?)2+(2?)2=13? ??=??2+??2=(3?)2+(2?)2=13?
则
故答案为：A.
【分析】如图（见解析），过点A作 于D，过点B作 于E，先根据同角的余角相等求出 ，再根据三角形全等的判定定理与性质可得 QUOTE ??=?? ??=?? ，然后利用勾股定理列式求出BC的长，最后根据锐角的正弦定义列式计算即可得.
9. ( 3分 ) 若∠A为锐角，csA= QUOTE 22 22 ，则∠A的度数为（ ）
A. 75° B. 60° C. 45° D. 30°
【答案】 C
【考点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：由∠A为锐角，csA= QUOTE 22 22 ，得
∠A的度数为45°，
故选：C．
【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．
10. ( 3分 ) 等腰三角形的底角为15，腰长a为，则此等腰三角形的底长为（ ）

A. QUOTE 3−12? 3−12? B. QUOTE 1+32? 1+32? C. D. QUOTE 6+22 6+22 a
【答案】 D
【考点】等腰三角形的性质，锐角三角函数的定义，特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，
由题意可得，∠B=∠C=15°，AB=AC，
则cs∠B=cs15°= QUOTE ???? ???? ，AB=a，
∴BC=2BD=2AB•cs15°．
又cs15°=cs（45°-30°）=cs45°cs30°+sin45°sin30°= QUOTE 6+24 6+24 ．
∴BC=2AB•cs15°= QUOTE 6+24 6+24 a．
故答案为：D．
【分析】先作出图形，过点A作AD⊥BC于点D，根据锐角三角函数的定义求出BC=2BD=2AB•cs15°，再根据cs15°=cs（45°-30°）=cs45°cs30°+sin45°sin30°，然后根据BC=2AB•cs15°，计算即可求出答案。
二、填空题
11. ( 4分 ) 如图， 的顶点都是正方形网格中的格点，则 ________.

【答案】 QUOTE 12 12
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，
在直角三角形 中，
，
故答案为： QUOTE 12 12 .
【分析】根据正切函数的定义：锐角A的对边a与邻边b的比叫做 的正切，记作tanA，利用网格计算即可.
12. ( 4分 ) 计算：tan60°﹣cs30°=________．
【答案】 QUOTE 32 32
【考点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】tan60°﹣cs30°= = QUOTE 32 32 .
故答案为： QUOTE 32 32 .
【分析】根据特殊角的三角函数值，直接计算即可求解。
13. ( 4分 ) 如图，在△ABC中，AC=2，∠A=45°，tanB= QUOTE 12 12 ， 则BC的长为________．

【答案】 QUOTE 10 10
【考点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于D，

∵AC=2，∠A=45°，
∴CD=AC•sin∠A=2•sin45°=2× QUOTE 22 22= QUOTE 2 2 ，
∵tanB= QUOTE 12 12 ，
∴BD= QUOTE ??tan? ??tan?= QUOTE 212 212=2 QUOTE 2 2 ，
∴BC= QUOTE ??2+??2 ??2+??2= QUOTE 22+222 22+222= QUOTE 10 10 ．
故答案为 QUOTE 10 10 ．
【分析】过点C作CD⊥AB于D，利用∠A的正弦值求出CD，再根据∠B的正切值求出BD，利用勾股定理列式求出BC的长．
14. ( 4分 ) 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，将矩形ABCD沿BE折叠，点A落在 处，若 的延长线恰好过点C，则sin∠ABE的值为________．
【答案】 QUOTE 1010 1010
【考点】勾股定理，锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由折叠知，A'E=AE，A'B=AB=6，∠BA'E=90°，
∴∠BA'C=90°，
在Rt△A'CB中， ，
设AE=x，则A'E=x，
∴DE=10 x，CE=A'C+A'E=8+x，
在Rt△CDE中，根据勾股定理得，（10 x）2+36=（8+x）2 ，
∴x=2，
∴AE=2，
在Rt△ABE中，根据勾股定理得，BE= QUOTE ??2+??2=210 ??2+??2=210 ，
∴sin∠ABE= QUOTE ????=1010 ????=1010 ，
故答案为： QUOTE 1010 1010 ．
【分析】先利用勾股定理求出A'C，进而利用勾股定理建立方程求出AE，即可求出BE，最后用三角函数即可得出结论．
15. ( 4分 ) 在 中， ， ， 的面积为12，则 的度数为________．
【答案】 30°或150°
【考点】三角形的面积，解直角三角形
【解析】【解答】由于题意未准确告知 形状，所以可分两种情况讨论：
若 为锐角三角形，如图，过点 QUOTE ? ? 作 ，

∵ ， ，
∴ QUOTE ??=3 ??=3 ，
在 中， QUOTE sin?=????=36=12 sin?=????=36=12 ，
∴ ；
若 为钝角三角形，如图，过点 QUOTE ? ? 作 ，
∵ ， ，
∴ QUOTE ??=4 ??=4 ，
在 中， ，
∴ ,
则 ．
综上所述， 的度数为30°或150°．
故答案为：30°或150°．

【分析】分两种情况讨论，当三角形为锐角三角形和对角三角形时，再利用三角形的面积和解直角三角形求解即可。
16. ( 4分 ) 计算： ________．
【答案】 1
【考点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：原式 ．
故答案是：1．
【分析】利用特殊角三角函数值进行解答即可.
17. ( 4分 ) 将矩形纸片ABCD按如图方式折叠，DE、CF为折痕，折叠后点A和点B都落在点O处．若△EOF是等边三角形，则 QUOTE ???? ???? 的值为________．
【答案】 QUOTE 3 3
【考点】等边三角形的性质，矩形的性质，翻折变换（折叠问题），锐角三角函数的定义
【解析】【解答】∵△EOF是等边三角形，
∴EF=OE=OF，∠OEF=60°，
由折叠的性质可得：OE=AE，OF=BF，∠AED=∠OED，
∴AB=3AE，∠AED= =60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
∴tan∠AED= QUOTE ????=3 ????=3 ，
∴AD= QUOTE 3 3 AE，
∴ QUOTE ????=3??3??=3 ????=3??3??=3 ．
故答案为： QUOTE 3 3
【分析】先根据△EOF是等边三角形，可得EF=OE=OF，∠OEF=60°，然后根据折叠的性质可得OE=AE，OF=BF，∠AED=∠OED，从而确定AB=3AE，∠AED的度数，根据矩形的性质利用∠AED的正切函数定义可得正切值，利用AD与AE的关系即可确定所求的值.
18. ( 4分 ) 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝ QUOTE 37 37 ，D是CB延长线上一点，以BD为边向上作等边三角形EBD，连接AD，若AD＝11，且∠ABE＝2∠ADE，则tan∠ADE的值为________．
【答案】 QUOTE 253 253
【考点】等边三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，直角三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，在线段DA上取一点T，使得DT＝TE，连接ET，BT，AE，延长BT交DE于K，作TH⊥BD于H．
∵△BDE是等边三角形，
∴BE＝BD，∠EBD＝60°，
∵TE＝TD，BT＝BT，
∴△BTE≌△BTD（SSS），
∴∠EBT＝∠DBT＝30°，
∵BE＝BD，
∴BK⊥DE，EK＝DK，
∵TE＝TD，
∴∠TED＝∠TDE，
∴∠ATE＝∠TED+∠TDE＝2∠TDE，
∵∠ABE＝2∠ADE，
∴∠ABE＝∠ATE，
∴A，B，T，E四点共圆，
∴∠EAT＝∠EBT＝30°，
∴∠EAB＝ QUOTE 12 12 ∠EBD，
∴点A在B为圆心，BE为半径的⊙B上，延长AB交⊙B于J，连接DJ．
∵AJ是直径，
∴∠ADJ＝90°，
∴DJ＝
∴tan∠DAJ＝ QUOTE ????=3311 ????=3311 ，
∵BA＝BD，
∴∠BDA＝∠BAD，
∴tan∠BDA＝ QUOTE 3311 3311 ，
∵TH⊥DH，
∴ QUOTE ???? ???? ＝ QUOTE 3311 3311 ，设TH＝ QUOTE 33 33 k，则DH＝11k，
在Rt△BHT中，BH＝ ＝9k，
∴BD＝BH+DH＝20k＝ QUOTE 37 37 ，
∴k＝ QUOTE 3720 3720 ，
∴BT＝2TH＝ QUOTE 311110 311110 ，
∵BK＝BD•cs30°＝ QUOTE 1112 1112 ，
∴TK＝BK﹣BT＝ QUOTE 1115 1115 ，
∵DK＝ QUOTE 372 372 ，
∴tan∠ADE＝ QUOTE TKDK=1115372=235 TKDK=1115372=235 ．
故答案为： QUOTE 235 235 ．
【分析】如图，在线段DA上取一点T，使得DT＝TE，连接ET，BT，AE，延长BT交DE于K，作TH⊥BD于H．想办法证明∠EAB＝ QUOTE 12 12 ∠EBD，推出点A在B为圆心，BE为半径的⊙B上，延长AB交⊙B于J，连接DJ．解直角三角形求出TK，DK即可解决问题．
三、解答题
19. ( 6分 ) 如图，某游客在山脚下乘览车上山．导游告知，索道与水平线成角∠BAC为40°，览车速度为60米/分，11分钟到达山顶，请根据以上信息计算山的高度BC．
（精确到1米）（参考数据：sin40°=0.64，cs40°=0.77，tan40°=0.84）
【答案】 解：由题意可得：∠BAC=40°，AB=66米．
∵sin40°= QUOTE ???? ???? ，∴BC≈0.64×660=422.4米≈422米．
答：山的高度BC约为422米．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】利用正弦函数的定义由sin40°=BC ∶AB得出B错的长度，从而得出答案。
20. ( 6分 ) 如图1是一把折叠椅子，图2是椅子完全打开支稳后的侧面示意图，其中AD和BC表示两根较粗的钢管，EG表示座板平面，EG和BC相交于点F，MN表示地面所在的直线，EG∥MN，EG距MN的高度为42cm，AB＝43cm，CF＝42cm，∠DBA＝60°，∠DAB＝80°．求两根较粗钢管AD和BC的长．（结果精确到0.1cm．参考数据：sin80°≈0.98，cs80°≈0.17，tan80°≈5.67，sin60°≈0.87，cs60°≈0.5，tan60°≈1.73）
【答案】 解：作FH⊥AB于H，DQ⊥AB于Q，如图2，FH＝42cm，
在Rt△BFH中，∵sin∠FBH＝ QUOTE ???? ???? ，
∴BF＝ ≈48.28，
∴BC＝BF+CF＝48.28+42≈90.3（cm）；
在Rt△BDQ中，∵tan∠DBQ＝ QUOTE ???? ???? ，
∴BQ＝ ，
在Rt△ADQ中，∵tan∠DAQ＝ QUOTE ???? ???? ，
∴AQ＝ ，
∵BQ+AQ＝AB＝43，
∴ + ＝43，解得DQ≈56.999，
在Rt△ADQ中，∵sin∠DAQ＝ QUOTE ???? ???? ，
∴AD＝ ≈58.2（cm）．
答：两根较粗钢管AD和BC的长分别为58.2cm、90.3cm．
【考点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】作FH⊥AB于H，DQ⊥AB于Q，由已知可得FH=42，在Rt△BFH中，利用解直角三角形求出BF，再由BC＝BF+CF求出BC的长，再在Rt△BDQ中，求出BQ，在Rt△ADQ中求出AQ的长，由BQ+AQ=AB=43，建立方程求出DQ的长，然后在Rt△ADQ中，利用解直角三角形求出AD的长。
21. ( 6分 ) 如图，一艘海上巡逻船在A地巡航，这时接到B地海上指挥中心紧急通知：在指挥中心北偏西60°向的C地，有一艘渔船遇险，要求马上前去救援．此时C地位于北偏西30°方向上，A地位于B地北偏西75°方向上，A、B两地之间的距离为16海里．求A、C两地之间的距离．（保留根号）
【答案】 解：过点B作BD⊥CA交CA延长线于点D，
由题意得，∠ACB=60°﹣30°=30°，
∠ABC=75°﹣60°=15°，
∴∠DAB=∠DBA=45°，
在Rt△ABD中，AB=16海里，∠DAB=45°，
∴BD=AD=ABcs45°=8 QUOTE 2 2 （海里），
在Rt△CBD中，CD= QUOTE ??tan300 ??tan300 =8 QUOTE 6 6 ，
∴AC=（8 QUOTE 6 6 ﹣8 QUOTE 2 2 ）（海里），
答：A、C两地之间的距离是8（ QUOTE 6 6 ﹣ QUOTE 2 2 ）海里．
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【分析】过点B作BD⊥CA交CA延长线于点D，根据题意可得∠ACB和∠ABC的度数，然后根据三角形外角定理求出∠DAB的度数，已知AB=12海里，可求出BD、AD的长度，在Rt△CBD中，解直角三角形求出CD的长度，继而可求出A、C之间的距离．
22. ( 6分 ) 计算：|﹣3|+ QUOTE 3 3•tan30°﹣ QUOTE 38 38﹣（2008﹣π）0 ．

【答案】 解：原式=3+ QUOTE 3 3• QUOTE 33 33-2-1=3+1﹣2﹣1=1．

（注：只写后两步也给满分．）
【考点】相反数及有理数的相反数，实数的运算，0指数幂的运算性质，特殊角的三角函数值
【解析】按照实数的运算法则依次计算：|﹣3|=3，tan30°= QUOTE 33 33 ， QUOTE 38 38=2，（2008﹣π）0=1．

23. ( 10分 ) 如图，抛物线 QUOTE ?=14?2+14?+? ?=14?2+14?+? 与x轴的负半轴交于点A，与y轴交于点B，连结AB．点C 在抛物线上，直线AC与y轴交于点D．

（1）求c的值及直线AC的函数表达式；

（2）点P在x轴的正半轴上，点Q在y轴正半轴上，连结PQ与直线AC交于点M，连结MO并延长交AB于点N，若M为PQ的中点．

①求证：△APM∽△AON；
②设点M的横坐标为m ， 求AN的长（用含m的代数式表示）．
【答案】 （1）解：把点C（6， QUOTE 152 152）代入抛物线得: QUOTE 152 152=9+ QUOTE 32 32+c.
解得c=-3.
当y=0时， QUOTE 14 14x2+ QUOTE 14 14x-3=0.
解得：x1=-4,x2=3.
∴A(-4,0).
设直线AC的函数表达式为：y=kx+b(k≠0）.
把A(-4,0)，C（6， QUOTE 152 152 ）代入得：
解得： QUOTE ?=34?=3 ?=34?=3
∴直线AC的函数表达式为：y= QUOTE 34 34x+3.
（2）①证明：∵在Rt△AOB中，tan∠OAB= QUOTE ???? ????= QUOTE 34 34. 在Rt△AOB中，tan∠OAD= QUOTE ???? ????= QUOTE 34 34. ∴∠OAB=∠OAD.
∵在Rt△POQ中,M为PQ中点.
∴OM=MP. ∴∠MOP=∠MPO. 又 ∵∠MOP=∠AON. ∴∠APM=∠AON. ∴△APM∽△AON.
②解：如下图，过点M作ME⊥x轴于点E.
∵OM=MP.∴OE=EP.又∵点M的横坐标为m.∴AE=m+4,AP=2m+4.∵tan∠OAD= QUOTE 34 34.∴cs∠EAM=cs∠OAD= QUOTE 45 45.∴AM= QUOTE 54 54AE= QUOTE 5?+44 5?+44.∵△APM∽△AON.∴ QUOTE ???? ????= QUOTE ???? ????.∴AN== QUOTE 5?+202?+4 5?+202?+4.
【考点】待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的判定与性质，解直角三角形
【解析】【分析】(1)把点C（6， QUOTE 152 152）代入抛物线求出c的值，令y=0求出A点坐标，再用待定系数法求出直线AC的函数表达式.

(2)①在Rt△AOB中，tan∠OAB= QUOTE ???? ????= QUOTE 34 34. 在Rt△AOB中，tan∠OAD= QUOTE ???? ????= QUOTE 34 34.从而得出∠OAB=∠OAD；在Rt△POQ中,M为PQ中点得出OM=MP.∠APM=∠AON；从而证明△APM∽△AON.
②如上图，过点M作ME⊥x轴于点E；由OM=MP.得出OE=EP；点M的横坐标为m；得出AE=m+4,AP=2m+4.
根据tan∠OAD= QUOTE 34 34.求出cs∠EAM=cs∠OAD= QUOTE 45 45；再根据△APM∽△AON；得出AN== QUOTE 5?+202?+4 5?+202?+4.
四、综合题
24. ( 12分 ) 如图，△ABC中，AB＝AC＝13，BD⊥AC于点D，sinA＝ QUOTE 1213 1213
（1）求BD的长；
（2）求tanC的值.
【答案】 （1）解：∵△ABC中，AB＝AC＝13，BD⊥AC于点D，sinA＝ QUOTE 1213 1213
∴ QUOTE ????=1213 ????=1213 ，
即 QUOTE ??13=1213 ??13=1213 ，
解得：BD＝12；
（2）解：∵AC＝AB＝13，BD＝12，BD⊥AC，
∴AD＝5，
∴DC＝8，
∴tan∠C＝ QUOTE ????=128=32 ????=128=32
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据锐角三角函数sinA= QUOTE ????=1213 ????=1213可求解；
（2）在直角三角形ABD中用勾股定理可求得AD的值，由线段的构成可求得CD的值，再根据锐角三角函数tan∠C= QUOTE ???? ????可求解.
25. ( 12分 ) 如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC于点F.
（1）试说明DF是⊙O的切线；
（2）若AC=3AE，求tanC.
【答案】 （1）解：连接OD，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，
∴DF是⊙O的切线
（2）解：连接BE，
∵AB是直径，
∴∠AEB=90°，
∵AB=AC，AC=3AE，
∴AB=3AE，CE=4AE，
∴BE= ，
在RT△BEC中，tanC= QUOTE ????=22??4??=22 ????=22??4??=22 .
【考点】勾股定理，圆周角定理，切线的判定，锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）连接OD，利用等腰三角形的性质可证得∠B=∠ODB，∠B=∠C，可推出∠ODB=∠C，利用平行线的判定定理可得到OD∥AC，结合已知条件可证得OD⊥DF，然后根据切线的判定定理可证得结论.

（2）连接BE，利用圆周角定理可证得∠AEB=90°，再利用勾股定理表示出BE的长，然后利用锐角三角函数的定义可求出tanC的值.