2024北京海淀区高三上学期期末考试数学含答案

这是一份2024北京海淀区高三上学期期末考试数学含答案，共12页。试卷主要包含了01等内容，欢迎下载使用。

2024.01
本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回．
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．已知集合，，，则（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在复平面内，复数，对应的点分别为，，则复数的虚部为（ ）
A．B．C．D．
3．已知直线，直线，且，则（ ）
A．1B．C．4D．
4．已知抛物线的焦点为，点在上，，为坐标原点，则（ ）
A．B．4C．5D．
5．在正四棱锥中，，二面角的大小为，则该四棱锥的体积为（ ）
A．4B．2C．D．
6．已知，直线与交于，两点．若为直角三角形，则（ ）
A．B．C．D．
7．若关于的方程（且）有实数解，则的值可以为（ ）
A．10B．eC．2D．
8．已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
9．已知是公比为（）的等比数列，为其前项和．若对任意的，恒成立，则（ ）
A．是递增数列B．是递减数列C．是递增数列D．是递减数列
10．蜜蜂被誉为“天才的建筑师”．蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材面积最小的结构．下图是一个蜂房的立体模型，底面是正六边形，棱，，，，，均垂直于底面，上顶由三个全等的菱形，，构成．设，，则上顶的面积为（ ）
（参考数据：，）
A．B．C．D．
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11．在的展开式中，的系数为______．
12．已知双曲线的一条渐近线为，则该双曲线的离心率为______．
13．已知点，，在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则______；点到直线的距离为______．
14．已知无穷等差数列的各项均为正数，公差为，则能使得为某一个等差数列的前项和（，2，…）的一组，的值为______，______．
15．已知函数．给出下列四个结论：
①任意，函数的最大值与最小值的差为2；
②存在，使得对任意，；
③当时，对任意非零实数，；
④当时，存在，，使得对任意，都有．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16．（本小题13分）
如图，在四棱柱中，侧面是正方形，平面平面，，，为线段的中点，．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
17．（本小题14分）
在中，．
（Ⅰ）求的大小；
（Ⅱ）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在，求边上中线的长．
条件①：的面积为；
条件②：；
条件③：．
注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
18．（本小题13分）
甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下：
（Ⅰ）从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率；
（Ⅱ）在上述10场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设表示乙得分大于丙得分的场数，求的分布列和数学期望；
（Ⅲ）假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述10场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率．甲、乙、丙三人接下来又将进行6场投篮比赛，设为甲获胜的场数，为乙获胜的场数，为丙获胜的场数，写出方差，，的大小关系．
19．（本小题15分）
已知椭圆（）过点，焦距为．
（Ⅰ）求椭圆的方程，并求其短轴长；
（Ⅱ）过点且不与轴重合的直线交椭圆于两点，，连接并延长交椭圆于点，直线与交于点，为的中点，其中为原点．设直线的斜率为，求的最大值．
20．（本小题15分）
已知函数．
（Ⅰ）当时，求证：
①当时，；
②函数有唯一极值点；
（Ⅱ）若曲线与曲线在某公共点处的切线重合，则称该切线为和的“优切线”．若曲线与曲线存在两条互相垂直的“优切线”，求，的值．
21．（本小题15分）
对于给定的奇数（），设是由个实数组成的行列的数表，且中所有数不全相同，中第行第列的数，记为的第行各数之和，为的第列各数之和，其中．记．设集合，记为集合所含元素的个数．
（Ⅰ）对以下两个数表，，写出，，，的值；
（Ⅱ）若，，…，中恰有个正数，，，…，中恰有个正数．
求证：；
（Ⅲ）当时，求的最小值．
海淀区2023—2024学年第一学期期末练习
高三数学参考答案
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1．A2．D3．B4．D5．C
6．A7．D8．B9．B10．D
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
11．12．213． 14．1 1（答案不唯一）
15．②④
三、解答题（共6小题，共85分）
16．（共13分）
解：（Ⅰ）连接．
在四棱柱中，侧面为平行四边形，所以，．
因为，，M为AB中点，所以，．
所以，．所以四边形为平行四边形．所以．
因为平面，所以平面．
（Ⅱ）在正方形中，．
因为平面平面，所以平面．所以．
因为，平面，与相交，所以平面．所以．
如图建立空间直角坐标系．
不妨设，则，，，．
所以，，．
设平面的法向量为，则即
令，则，．于是．
因为，所以直线与平面所成角的正弦值为．
17．（共14分）
解：（Ⅰ）由正弦定理及，得．①
因为，所以．②
由①②得．
因为，所以．所以．
因为，所以．
（Ⅱ）选条件②：．
由（Ⅰ）知，．所以．
所以．
因为，所以．所以，即．
所以是以AC为斜边的直角三角形．
因为，所以．所以AC边上的中线的长为1．
选条件③：．
由余弦定理得．
设AC边上的中线长为d，
由余弦定理得．
所以AC边上的中线的长为1．
18．（共13分）
解：（Ⅰ）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲共获胜3场，分别是第3场，第8场，第10场．
设A表示“从10场比赛中随机选择一场，甲获胜”，则．
（Ⅱ）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲得分不低于10分的场次有6场，分别是第2场，第3场，第5场，第8场，第9场，第10场，其中乙得分大于丙得分的场次有4场，分别是第2场、第5场、第8场、第9场．
所以X的所有可能取值为0，1，2．
，，．
所以X的分布列为
所以．
（Ⅲ）．
19．（共15分）
解：（Ⅰ）由题意知，．所以，．
所以椭圆E的方程为，其短轴长为4．
（Ⅱ）设直线CD的方程为，，，则．
由，得．所以．
由得直线AM的方程为．
由，得．
因为，所以，．所以．
因为Q为OD的中点，所以，所以．
所以直线NQ的斜率．
当时，．
当时，因为，当且仅当时，等号成立．
所以．所以当时，k取得最大值．
20．（共15分）
解：（Ⅰ）①当时，．
记（），则．所以在上是增函数．
所以当时，．所以当时，．
②由得，且．
当时，．
因为，，所以．
因为对任意恒成立，所以当时，．所以0是的唯一极值点．
（Ⅱ）设曲线与曲线的两条互相垂直的“优切线”的切点的横坐标分别为，，其斜率分别为，，则．
因为，所以．所以．
不妨设，则，．
因为，
由“优切线”的定义可知．所以，．
由“优切线”的定义可知，所以．
当，，时，取，，则，，，，符合题意．
所以，，．
21．（共15分）
解：（Ⅰ），；，．
由定义可知：将数表A中的每个数变为其相反数，或交换两行（列），，的值不变．因为m为奇数，，所以，，…，，，，…，均不为0．
（Ⅱ）当或时，不妨设，即，．
若，结论显然成立；
若，不妨设，，则，，．
所以，结论成立．
当且时，不妨设，，，，
则当时，；当时，．
因为当，时，，，
所以．所以．
同理可得：，，．
所以．
（Ⅲ）当时，的最小值为．对于如下的数表A，．
下面证明：．
设，，…，中恰有s个正数，，，…，中恰有t个正数，．
①若或，不妨设，即，．
所以当时，．
由A中所有数不全相同，记数表A中1的个数为a，则，
且，．所以．
②由①设且．若或，不妨设，则由（Ⅱ）中结论知：．
因为，所以．
③由①②设且．
若，则由（Ⅱ）中结论知：．
因为，所以．
若，，不妨设，，，且，由（Ⅱ）中结论知：．所以．
若数表A中存在（）为1，将其替换为后得到数表．
因为，，所以．
所以将数表A中第i行第j列（）为1的数替换为后值变小．
所以不妨设（）．
因为，，场次
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
甲
8
10
10
7
12
8
8
10
10
13
乙
9
13
8
12
14
11
7
9
12
10
丙
12
11
9
11
11
9
9
8
9
11
X
0
1
2
P