20241月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试（九省联考）数学试题含解析

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]．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 样本数据16，24，14，10，20，30，12，14，40的中位数为（ ）
A. 14B. 16C. 18D. 20
2. 椭圆的离心率为，则（ ）
A. B. C. D. 2
3. 记等差数列的前项和为，则（ ）
A. 120B. 140C. 160D. 180
4. 设是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
5. 甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有（ ）
A. 20种B. 16种C. 12种D. 8种
6. 已知为直线上的动点，点满足，记的轨迹为，则（ ）
A. 是一个半径为的圆B. 是一条与相交的直线
C. 上的点到的距离均为D. 是两条平行直线
7. 已知，则（ ）
A. B. C. 1D.
8. 设双曲线的左、右焦点分别为，过坐标原点的直线与交于两点，，则的离心率为（ ）
A. B. 2C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知函数，则（ ）
A. 函数偶函数
B. 曲线对称轴为
C. 在区间单调递增
D. 的最小值为
10. 已知复数均不为0，则（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知函数的定义域为，且，若，则（ ）
A. B.
C. 函数是偶函数D. 函数是减函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知集合，若，则的最小值为__________．
13. 已知轴截面为正三角形的圆锥的高与球的直径相等，则圆锥的体积与球的体积的比值是__________，圆锥的表面积与球的表面积的比值是__________．
14. 以表示数集中最大的数．设，已知或，则的最小值为__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数在点处的切线与直线垂直．
（1）求；
（2）求的单调区间和极值．
16. 盒中有标记数字1，2，3，4的小球各2个，随机一次取出3个小球．
（1）求取出3个小球上的数字两两不同的概率；
（2）记取出的3个小球上的最小数字为，求的分布列及数学期望．
17. 如图，平行六面体中，底面是边长为2的正方形，为与的交点，．
（1）证明：平面；
（2）求二面角正弦值．
18. 已知抛物线的焦点为，过的直线交于两点，过与垂直的直线交于两点，其中在轴上方，分别为的中点．
（1）证明：直线过定点；
（2）设为直线与直线交点，求面积的最小值．
19. 离散对数在密码学中有重要的应用．设是素数，集合，若，记为除以的余数，为除以的余数；设，两两不同，若，则称是以为底的离散对数，记为．
（1）若，求；
（2）对，记为除以的余数（当能被整除时，）．证明：，其中；
（3）已知．对，令．证明：．