2024大连高一上学期期末考试数学含答案

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注意事项：1．请在答题纸上作答，在试卷上作答无效；
2．本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，共150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷 （选择题）
一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知命题，，则命题的否定为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．下列函数为偶函数的是（ ）
A．B．C．D．
4．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
5．在平行四边形中，，，则（ ）
A．B．
C．D．
6．从甲地到乙地的距离为，经过多次实验得到一辆汽车每小时耗油量（单位：）与速度（单位：）的关系式为，从甲地到乙地这辆车的总耗油最少时，其速度为（ ）
A．60B．80C．100D．110
7．已知函数，对于任意，且，都有，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数，设函数，则函数有6个零点的充要条件是（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题（本大题共4小题，每题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．）
9．按先后顺序抛两枚均匀的硬币，观察正反面出现的情况，记事件A：第一次出现正面，事件：第二次出现反面，事件：两次都出现正面，事件：至少出现一次反面，则（ ）
A．与对立B．与互斥C．D．
10．已知函数，（且），设函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的定义域是B．函数的值域是
C．函数的图象过点D．当时，函数的零点
11．已知与的线性关系如图所示，其中．若，则（ ）
A．B．C．D．
12．定义域为的函数，对任意，，且不恒为0，则下列说法正确的是（ ）
A．B．为偶函数
C．D．若，则
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分．其中第15题第一空2分，第二空3分．）
13．已知函数，则______．
14．写出一个幂函数的解析式，使之同时具有以下三个性质：①定义域为；②是偶函数；③当时，．则函数的解析式为______．
15．已知数据的平均数为5，；数据的平均数为10，．则数据的平均数为______，方差为______．
16．平面向量两两不共线，满足，且．若，则的最大值为______．
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知向量，．
（1）求的坐标及；
（2）若与共线，求实数的值．
18．（本小题满分12分）
大连市某高中对2023年高一上学期期中数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取100名学生的数学成绩，将成绩按照，，，，，分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图．
（1）求图中的值；
（2）估计该校高一全体学生数学成绩的分位数；
（3）现从成绩在和的两组学生中，用分层抽样的方法抽取5名学生，从这5名学生中再随机抽取2名学生，求抽取的这2名学生中至少有1人成绩在的概率．
19．（本小题满分12分）
甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响．
（1）求投篮结束时，甲、乙各只投1个球的概率；
（2）求甲获胜的概率；
（3）求投篮结束时，甲只投了2个球的概率．
20．（本小题满分12分）
关于的不等式的解集为．
（1）当时，求集合；
（2）已知①，，
②，．从①，②这两个条件中任选一个条件，补充在下列问题中，然后解答补充完整的题目．若，且______，求实数的取值范围．
（注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分）
21．（本小题满分12分）
我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．根据这一结论，解决下列问题．
已知函数．
（1）证明：函数的图象关于点对称；
（2）若，求实数的取值范围．
22．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）若方程的两根为与，求的值；
（2）设函数，若的最小值为1，求实数的值；