2024北京西城区高一上学期期末考试数学含答案

这是一份2024北京西城区高一上学期期末考试数学含答案，共16页。试卷主要包含了4（单位，63，24等内容，欢迎下载使用。

本试卷共6页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
（11）函数的定义域是_____．
（12）下面茎叶图记录的是甲、乙两位篮球运动员在最近5场比赛中的得分，
则甲得分的中位数是_____，乙得分的方差为_____．
（13）已知为一组不共线的向量，且向量，，能使得的一组实数的值可以为_____，_____.
（14）函数若，则的值为_____；若有两个零点，则的取值范围是_____.
（15）记函数的定义域为，若存在非负实数，对任意的，总有，则称函数具有性质.
①所有偶函数都具有性质；
②具有性质；
③若，则一定存在正实数，使得具有性质；
④已知，若函数具有性质，则.
其中所有正确结论的序号是_____.
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题13分）
已知函数.
（Ⅰ）判断函数的奇偶性，并证明你的结论；
（Ⅱ）用函数单调性定义证明：函数在上是减函数；
（Ⅲ）写出函数的值域（结论不要求证明）.
（17）（本小题13分）
每年的3月21日是世界睡眠日，充足的睡眠、均衡的饮食和适当的运动，是国际社会公认的三项健康标准.某校高一某班学生某天睡眠时间的频率分布直方图如图所示（样本数据分组为［6, 7），［7, 8），［8, 9），［9, 10），［10, 11］，单位：小时）.
（Ⅰ）求图中的值，估计该校高一学生该天睡眠时间不小于9小时的频率；
（Ⅱ）从该校高一学生中随机抽取2人，用频率估计概率，计算这两位学生至少有1人该天睡眠时间不小于9小时的概率.
（18）（本小题14分）
已知函数，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为已知，使存在并且唯一，并完成下列问题.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）已知函数有两个不同的正数零点.
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）若，求的值.
条件①：；
条件②：，；
条件③：，.
注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.
（19）（本小题15分）
2023年10月17日至18日，第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，成为纪念“一带一路”倡议十周年最隆重的活动.此次活动主题为“高质量共建‘一带一路’，携手实现共同发展繁荣”，而作为“一带一路”重要交通运输的中欧班列越来越繁忙.下表是从2018年到2022年，每年中欧班列运行的列数（单位：万列）.
（Ⅰ）计算中欧班列从2018到2022年的平均运行列数；
（Ⅱ）从2018年到2022年这5年中随机选取2年，求这两年运行列数和大于2.4（单位：
万列）的概率；
（Ⅲ）设2018年，2019年，2020年运行列数的方差为，2020年，2021年，2022年运
行列数的方差为，从2018年到2022年这5年的运行列数的方差为，试判断，，的大小关系.（结论不要求证明）
（20）（本小题15分）
已知函数.
（Ⅰ）求函数的零点；
（Ⅱ）求函数的图象与函数的图象的交点坐标；
（Ⅲ）若函数的图象恒在直线的下方，求的取值范围.
（21）（本小题15分）
对于函数，记所有满足，都有的函数构成集合；所有满足，都有的函数构成集合.
（Ⅰ）分别判断下列函数是否为集合中的元素，并说明理由,
①；②；
（Ⅱ）若（）是集合中的元素，求的最小值；
（Ⅲ）若，求证：是的充分不必要条件.
（1）已知集合，，那么
（A）
（B）
（C）
（D）
（2）已知命题，则为
（A），
（B），
（C），
（D），
（3）如图，在正六边形中，
（A）
（B）
（C）
（D）
（4）若，则
（A） （B） （C） （D）
（5）已知，则函数的最小值为
（A） （B） （C） （D）
（6）已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长均为1，则
（A）
（B）
（C）
（D）
（7）已知，，则
（A）
（B）
（C）
（D）
（8）已知集合，，若，且，则的取值范围是
（A）
（B）
（C）
（D）
（9）已知为非零向量，且，，则“”是“存在实数，使得”成立的
（A）充分不必要条件
（B）必要不充分条件
（C）充分必要条件
（D）既不充分也不必要条件
（10）一种细胞的分裂速度（单位：个/秒）与其年龄（单位：岁）的关系可以用下面的分段函数来表示：
其中，
而且这种细胞从诞生到死亡，它的分裂速度变化是连续的．若这种细胞5岁和60岁的分裂速度相等，则
（参考数据：）
（A）
（B）
（C）
（D）
甲
乙
9
7
0
8
2
1
1
0
1
1
5
5
2
年份
2018
2019
2020
2021
2022
运行列数
0.63
0.82
1.24
1.5
1.6
北京市西城区2023—2024学年度第一学期期末试卷
高一数学答案及评分参考 2024.1
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.
二、填空题：本大题共5题，每小题5分，共25分.
注：第12题第一问2分，第二问3分；第13题满足得5分，不填或有错误得0分；第14题第一问2分，第二问3分；第15题全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分.
三、解答题：本大题共6小题，共85分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分.
16．（本小题13分）
解：（Ⅰ）是奇函数.证明如下：
的定义域为. 1分
因为，都有，且
， 3分
所以是奇函数. 4分
（Ⅱ）任取，且. 5分
6分
， 8分
因为，所以，，
所以， 9分
所以，
所以函数在上是减函数. 10分
（Ⅲ）函数的值域为. 13分
17．（本小题13分）
解：（Ⅰ）因为， 3分
所以 . 5分
该校高一学生该天睡眠时间不少于9小时的频率为：
. 7分
（Ⅱ）由题知，该校高一学生该天睡眠时间为小时的频率分别
为，，，，，
用频率估计概率，该校高一学生该天睡眠时间为小时的概率分别为，，，，.
记从该校高一学生中随机抽取2人，这两位学生至少有一人该天睡眠时间不小于9小时为事件， 8分
则. 13分
18．（本小题14分）
解：选择条件①②： 1分
（Ⅰ）由①得， 2分
由②得的对称轴为， 3分
所以，. 4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
所以. 5分
（ⅰ）因为有两个不同的正数零点，
所以 8分
即 9分
解得， 10分
所以的取值范围是.
（ⅱ）因为，12分
所以， 13分
又因为，所以. ……14分
选择条件①③：
（Ⅰ）由①得，
由③得的对称轴为，
所以，.
（Ⅱ）同选择条件①②.
19．（本小题15分）
解：（Ⅰ）从2018年到2022年运行列数的平均值为
. 4分
所以中欧班列从2018到2022年的平均运行列数为万列.
（Ⅱ）从2018年到2022年随机选取2年，所有可能的结果有10种，它们是：
. 7分
用表示“这两年运行列数和大于万列”这一事件， 8分
则中的结果有4个，它们是.
10分
所以，所求的概率. 12分
（Ⅲ）. 15分
20．（本小题15分）
解：（Ⅰ）令， …1分
所以，即， 2分
所以，
所以零点为. 3分
（Ⅱ）令，
即， 5分
所以，
整理得， 7分
，
所以，.
所以函数的图象与函数图象的交点坐标为. 9分
（Ⅲ）由得. 10分
由题意，在恒成立，
即在恒成立. 12分
所以在恒成立.
令，
则，
所以.
因为，
所以，
所以，.
所以的取值范围为. 15分
21．（本小题15分）
解：（Ⅰ）①不是.
当时，，
，
所以不是集合中的元素. 2分
②是.
,，
所以是集合中的元素. 4分
（Ⅱ）当时，，，
.
因为，在上单调递减，
故,即.
若，令，
则,
又在上单调递减，
所以，因此，
综上，的最小值为1. 10分
（Ⅲ）因为，所以，，，
进而，
同理，，相加得，
即. 12分
设.
，，
所以.
此时，.
当时，，
所以在上单调递减，因此. 15分
综上，是的充分不必要条件.1．A
2．C
3．C
4．D
5．B
6．B
7．B
8．D
9．A
10．B
11．
12．11，
13．1，4（答案不唯一，即可）
15．①②④
14．1，