2023-2024学年上海市青浦区九年级（上）期末数学试卷（一模）（含解析）

这是一份2023-2024学年上海市青浦区九年级（上）期末数学试卷（一模）（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列图形中，一定相似的是( )
A. 两个等腰三角形B. 两个菱形C. 两个正方形D. 两个等腰梯形
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC=5，BC=12，那么csA等于( )
A. 512B. 125C. 513D. 1213
3.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，∠ADE=∠C，则下列判断错误的是( )
A. ∠AED=∠B
B. DE⋅AC=BC⋅AE
C. AD⋅AB=AE⋅AC
D. S△AEDS△ABC=(DEBC)2
4.下列说法中，正确的是( )
A. a+(−a)=0
B. 如果e是单位向量，那么e=1
C. 如果|a|=|b|，那么a=b−
D. 如果a是非零向量，且b=−2a，那么a/​/b
5.如图，在△ABC中，点D在边BC上，点E在线段AD上，点F、G在边BC上，且EF/​/AB，EG//AC，则下列结论一定正确的是( )
A. EFAB=ACEG
B. BFFD=DGGC
C. DFDE=DCDA
D. BDFD=ACEG
6.如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点在第一象限，且过点(0,1)和(−1,0)，下列结论：①c=1：②ab−1时，y>0.其中正确结论的个数是( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。
7.如果ab=43，那么a−bb= ______ ．
8.已知线段AB=2，点P是AB的黄金分割点，且AP”、“=”、“90°时，线段P1M的长度是点P1到线段MN的距离；当∠P2GN=90°时，线段P2G的长度是点P2到线段MN的距离；如图②，在△ABC中，∠C=90°，AC=3 5，tanB=2，点D为边AC上一点，AD=2DC，如果点Q为边AB上一点，且点Q到线段DC的距离不超过6 55，设AQ的长为d，那么d的取值范围为______ ．
三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题10分)
计算： (1−cs30°)2−2sin45°+(cs30°)0+1tan60°− 2．
20.(本小题10分)
如图，在梯形ABCD中，AD//BC，对角线AC、BD相交于点O，BC=2AD，OD=1．
(1)求BD的长：
(2)如果AB=a，BC=b，试用a、b表示向量OB．
21.(本小题10分)
如图，在△ABC中，AB=AC=5，tanC=34，∠BAC的平分线AD交边BC于点D，点E在边AC上，且EC=2AE，BE与AD相交于点F．
(1)求BC的长；
(2)求EF：BF的值．
22.(本小题10分)
北淀浦河上的浦仓路桥是一座融合江南水乡文化气息的现代空间钢结构人行廊桥.某校九年级数学兴趣小组开展了测量“浦仓路桥顶部到水面的距离”的实践活动，他们的操作方法如下：如图，在河的一侧选取B、C两点，在B处测得浦仓路桥顶部点A的仰角为22°，再往浦仓路桥桥顶所在的方向前进17米至C处，在C处测得点A的仰角为37°，在D处测得地面BD到水面EF的距离DE为1.2米(点B、C、D在一条直线上，BD/​/EF，DE⊥EF，AF⊥EF)，求浦仓路桥顶部A到水面的距离AF.(精确到0.1米)
(参考数据：sin22°≈0.37，cs22°≈0.93，tan22°≈0.40，sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75)
23.(本小题12分)
已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，AD与CE相交于点F，CD=CF，AC2=AE⋅AB．
(1)求证：△ABD～△ACF；
(2)如果∠CFD=2∠ACF，求证：AB⋅EF=AD⋅AE．
24.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+1经过点A(1,2)和点B(2,1)，与y轴交于点C．
(1)求a、b的值和点C的坐标；
(2)点P为抛物线上一点(不与点A重合)，当∠PCB=∠ACB时，求点P的坐标；
(3)在(2)的条件下，平移该抛物线，使其顶点在射线CA上，设平移后的抛物线的顶点为点D，当△CDP与△CAP相似时，求平移后的抛物线的表达式．
25.(本小题14分)
在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8.点D、E分别在边AB、BC上，连接ED，将线段ED绕点E按顺时针方向旋转90°得到线段EF．
(1)如图1，当点E与点C重合，ED⊥AB时，AF与ED相交于点O，求AO：OF的值；
(2)如果AB=5BD(如图2)，当点A、E、F在一条直线上时，求BE的长；
(3)如图3，当DA=DB，CE=2时，连接AF，求∠AFE的正切值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、任意两个等腰三角形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似，不符合题意；
B、两个菱形，对应边比值相等，对应角不一定相等，故两菱形不一定相似，故不符合题意；
C、两个正方形，对应角相等，对应边一定成比例，符合相似的定义，故符合题意；
D、任意两个两个等腰梯形的对应边的比不一定相等，对应角不一定相等，故不一定相似，不符合题意；
故选：C．
根据相似图形的定义和图形的性质对每一项进行分析，即可得出一定相似的图形．
本题考查了相似图形，正确掌握相似图形的判定方法是解题关键．
2.【答案】C
【解析】解：已知在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC=5，BC=12，
则AB= 52+122=13，
那么csA=ACAB=513，
故选：C．
由题意求得AB的长度，然后利用锐角三角函数的定义即可求得答案．
本题考查锐角三角函数的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
3.【答案】B
【解析】解：∵∠ADE=∠C，∠DAE=∠CAB，
∴△AED∽△ABC，
∴∠AED=∠B，DEBC=ADAC=AEAB，S△AEDS△ABC=(DEBC)2，
∴DE⋅AC=BC⋅AD，AD⋅AB=AE⋅AC，
故A、C、D正确，不符合题意；B错误，符合题意；
故选：B．
根据相似三角形的判定与性质判断求解即可．
此题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：a+(−a)=0，
故A选项不正确，不符合题意；
如果e是单位向量，那么|e|=1，
故B选项不正确，不符合题意；
如果|a|=|b|，并不能得出a=b−，可能两个向量的方向不相同，
故C选项不正确，不符合题意；
如果a是非零向量，且b=−2a，那么a/​/b，
故D选项正确，符合题意．
故选：D．
根据向量的有关性质判断即可．
本题考查平面向量、向量的模、单位向量、相等向量等知识，熟练掌握基本概念是解答本题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：∵EF//AB，EG//AC，
∴△EFD∽△ABD，△EGD∽△ACD，
∴EFAB=EDAD，EGAC=EDAD，
∴EFAB=EGAC≠ACEG，
故A错误；
∵BFFD=AEED，GCDG=AEED，
∴BFFD=GCDG≠DGGC，
故B错误；
∵DFDB=DEDA，
∴DFDE=DBDA，
∵DB与DC不一定相等，
∴DBDA与DCDA不一定相等，
∴DFDE与DCDA不一定相等，
故C错误；
∵△ACD∽△EGC，
∴ACEG=ADED，
∵AB/​/EF，
∴BDFD=ADED，
∴BDFD=ACEG，
故D正确，
故选：D．
由EF/​/AB，EG//AC，证明△EFD∽△ABD，△EGD∽△ACD，则EFAB=EGAC=EDAD，可判断A错误；根据平行线分线段成比例定理得BFFD=GCDG=AEED，可判断B错误；因为DFDB=DEDA，DFDE=DBDA，而DB与DC不一定相等，可推导出DFDE与DCDA不一定相等，可判断C错误；由相似三角形的性质得ACEG=ADED，由平行线分线段成比例定理得BDFD=ADED，所以BDFD=ACEG，可判断D正确，于是得到问题的答案．
此题重点考查平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质等知识，证明△EFD∽△ABD，△EGD∽△ACD是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：由所给函数图象可知，
a0，c=1，
则ab