2021-2022学年江苏省南京市溧水区九年级上学期数学期中试题及答案

这是一份2021-2022学年江苏省南京市溧水区九年级上学期数学期中试题及答案，共21页。试卷主要包含了选择题．，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知x=2是关于x的一元二次方程x2+ax=0的一个根，则a的值为( )
A. -2B. 2C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】把x=2代入x2+ax=0，即可求解.
【详解】∵x=2是关于x的一元二次方程x2+ax=0的一个根，
∴，解得：a=-2.
故选A.
【点睛】本题主要考查一元二次方程的根的定义，理解方程的根的定义，是解题的关键.
2. 某次器乐比赛设置了6个获奖名额，共有11名选手参加，他们的比赛得分均不相同．若知道某位选手的得分，要判断他能否获奖，只需知道比赛得分的（ ）
A. 平均数B. 众数C. 中位数D. 方差
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】11个不同的分数按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有6个数，故只要知道自己的分数和中位数就可以知道是否获奖了．
故选C
3. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】方程常数项移到右边，两边加上1变形即可得到结果．
【详解】方程移项得：x2−2x＝5，
配方得：x2−2x＋1＝6，
即（x−1）2＝6．
故选：A．
【点睛】此题考查了解一元二次方程−配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
4. 某商品经过连续两次降价，销售单价由原来200元降到160元．设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程为（ ）
A. 200（1－x）2＝160B. 200（1＋x）2＝160
C. 160（1＋x）2＝200D. 160（1－x）2＝200
【答案】A
【解析】
【分析】根据某商品经过连续两次降价，销售单价由原来200元降到160元，平均每次降价的百分率为x，可以列出相应的方程，本题得以解决．
【详解】解：由题意可得，
200（1-x）2=160，
故选：A．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程．
5. 已知⊙O的半径为4，直线l上有一点M．若OM＝4，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A. 相交B. 相离或相交C. 相离或相切D. 相交或相切
【答案】D
【解析】
【分析】根据直线和圆的位置关系解答．
【详解】解：∵⊙O的半径为4，直线l上有一点M．OM＝4，
∴直线l与⊙O的位置关系是相交或相切，
故选：D．
【点睛】此题考查直线和圆的位置关系，直线与圆心的距离大于半径，直线与圆相离；等于半径时，直线与圆相切；小于半径时，直线与圆相交，熟记三种关系的判断方法是解题的关键．
6. 如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，C为半圆O的三等分点（靠近点A），P为⊙O上一动点．若D为AP的中点，则线段CD的最小值为（ ）
A. －1B. 2C. ＋1D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】连接OD，以AO为直径作圆G，过G作GF⊥OC于F，求出OC＝OA＝2，求出OG、OF、CF长，根据勾股定理求出CG，再根据两点之间线段最短得出CD≥CG-GD，再求出答案即可．
【详解】解：∵直径AB＝4，
∴CO＝AO＝2，
连接OD，以AO为直径作圆G，过G作GF⊥OC于F，

∵D为AP的中点，OD过O，
∴OD⊥AP，
即点D在⊙G上，GD＝OA＝1，
∴OG＝1，
∵点C为半圆O的三等分点（更靠近A点），
∴∠AOC＝60°，
∴∠FGO＝30°，
∴OF＝OG＝，GF＝＝，
∴CF＝OC﹣OF＝2﹣＝，
由勾股定理得：CG＝＝＝，
∵CD≥CG-GD，
∴CD≥-1，
∴CD的最小值是-1，
故选：A．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，点与圆的位置关系，三角形的三边关系定理等知识点，能正确作出辅助线是解此题的关键．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7. 方程的根为_______．
【答案】
【解析】
【详解】解：x（x－3）=0 ，
解得：x1=0，x2=3．
故答案为：x1=0，x2=3．
8. 已知一组数据为1，2，3，4，5，则这组数据的方差为_____．
【答案】2．
【解析】
【详解】试题分析：先根据平均数的定义确定平均数，再根据方差公式进行计算即可求出答案．
由平均数的公式得：（1+2+3+4+5）÷5=3，
∴方差=[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]÷5=2．
考点：方差．
9. 如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别为P、C、D．若AB＝8，AC＝5，则BD的长是______．
【答案】3
【解析】
【分析】由AB、AC、BD是⊙O的切线，则AC＝AP，BP＝BD，求出BP的长即可求出BD的长．
【详解】解：∵AC、AP为⊙O的切线，
∴AC＝AP，
∵BP、BD为⊙O的切线，
∴BP＝BD，
∴BD＝PB＝AB−AP＝8−5＝3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了切线长定理，两次运用切线长定理并利用等式的性质是解题的关键．
10. 在一个不透明的盒子中装有12个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球是白球的概率是，则黄球个数为__________．
【答案】24
【解析】
【分析】根据概率公式，求出白球和黄球总数，再减去白球的个数，即可求解.
【详解】12÷=36（个），
36-12=24（个），
答：黄球个数为24个.
故答案是：24.
【点睛】本题主要考查概率公式，掌握概率公式及其变形公式，是解题的关键.
11. 若x1、x2是一元二次方程x2＋2x－1＝0的两个实数根，则x1＋x2－2x1x2的值为______．
【答案】0
【解析】
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
【详解】解：由根与系数的关系可知：x1+x2=－2，x1x2=-1，
∴x1＋x2－2x1x2=，
故答案为0．
【点睛】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系．
12. 如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，连接BC．若⊙O的半径为2cm，∠BCD＝30°，则AB＝______cm．
【答案】
【解析】
【分析】连接OB，根据垂径定理求出BE=AB，求出∠BOE=60°，解直角三角形求出BE即可．
【详解】解： 连接OB， ∵OC=OB，∠BCD=30°，
∴∠BCD=∠CBO=30°，
∴∠BOE=∠BCD+∠CBO=60°，
∵直径CD⊥弦AB，
∴BE=AB，∠OEB=90°，
∴ ，
∴ ，
故答案为：．
【点睛】本题考查垂径定理，等腰三角形的性质，解直角三角形，三角形外角性质的应用，掌握垂径定理，等腰三角形的性质，解直角三角形是解此题的关键．
13. 用半径为30，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为________．
【答案】10
【解析】
【分析】根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长列式计算即可．
【详解】解：设圆锥底面圆的半径为，
则，
解得：，
故圆锥的底面半径为10．
故答案为：10．
【点睛】本题考查了圆锥计算及扇形的弧长的计算的知识，解题的关键是牢固掌握和弧长公式，难度不大．
14. 如图，、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为_______．
【答案】10
【解析】
【分析】连接AO,BO，根据圆周角定理得到∠AOB=36°，根据中心角的定义即可求解．
【详解】如图，连接AO,BO，
∴∠AOB=2∠ADB=36°
∴这个正多边形的边数为=10
故答案为：10．
【点睛】此题主要考查正多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理．
15. 如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，D是上一点，连接CD并延长至点E，使得AE＝AD．若∠BDC＝20°，则∠E＝______°．
【答案】80
【解析】
【分析】由同弧的圆周角相等得出∠BAC＝∠BDC ，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出∠ABC＝∠ACB的度数，由圆内接四边形性质得出∠ADC的度数，由补角的性质得出∠ADE的值，进而得出∠E的度数．
【详解】解：∵∠BDC＝20°，
∴∠BAC＝20°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝80°，
∴∠ADC＝180°－80°＝100°，
∵AE＝AD，
∴∠E＝∠ADE＝180°-100°=80°，
故答案为：80
【点睛】本题考查了同弧或等弧所对的圆周角相等，圆内接四边形定理，等腰三角形性质和三角形内角和定理，熟练各性质定理是解题的关键．
16. 已知⊙O的半径OA＝1，弦AB的长为．若在⊙O上找一点C，使AC＝，则∠BAC＝______°．
【答案】15°或75°
【解析】
【分析】构造出直角三角形，根据勾股定理求得三角形的边长，求得∠BAO和∠CAO，再求出∠BAC的度数即可．
【详解】解：如图，过点O作OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分别为E，F，
∵AB＝，AC＝，
∴由垂径定理得，AE＝ ，AF＝，
∵OA＝1，
∴由勾股定理得OE＝，OF＝ ，
∴∠BAO＝45°，
∴OF＝OA，
∴∠CAO＝30°，
∴∠BAC＝75°，
当AB、AC在半径OA同旁时，∠BAC＝15°．
故答案为：15°或75°．
【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理，解此题的关键是将圆的问题转化成三角形的问题再进行计算．
三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 解下列方程：
（1）（x＋3）2－9＝0；
（2）x2＋2x－3＝0．
【答案】（1）x1＝－6，x2＝0；（2）x1＝－3，x2＝1．
【解析】
【分析】(1)根据题意直接利用因式分解法进行方程的求解即可；
(2)根据题意直接进行十字交叉相乘利用因式分解法进行方程的求解即可.
【详解】(1)解： (x＋3＋3)(x＋3－3)＝0．
(x＋6)x＝0，
x＋6＝0或x＝0，
∴x1＝－6，x2＝0．
(2)解： (x＋3)(x－1)＝0，
x＋3＝0或x－1＝0，
∴x1＝－3，x2＝1．
【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握并灵活运用一元二次方程的各种解法是解题的关键.
18. 已知关于x的方程x2＋kx－2＝0．
（1）求证：不论k取何实数，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的一个根为2，求它的另一个根．
【答案】（1）见解析；（2）它的另一个根为－1．
【解析】
【分析】（1）求判别式b2－4ac＝k2＋8＞0即可证明；
（2）利用根与系数的关系即可求解．
【详解】(1) ∵a＝1 ，b＝k ，c＝－2 ，
∴b2－4ac＝k2＋8 ，
∵不论k取何实数，k2≥0 ，
∴k2＋8＞0即b2－4ac＞0 ，
∴不论k取何实数，该方程总有两个不相等的实数根；
(2) ∵a＝1 ，c＝－2， x1＝2，
∴ x1x2＝－2，
2x2＝－2，
∴ x2＝－1，
∴另一个根为－1．
【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根存在性的判别方法及一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键．
19. 某公司对消费者进行了随机问卷调查，共发放1000份调查问卷，并全部收回，根据调查问卷，将消费者年收入情况整理后，制成如下表格（被调查的消费者年收入情况）：
（1）根据表中数据，被调查的消费者平均年收入为多少万元?
（2）被调查的消费者年收入的中位数和众数分别是 和 万元．
（3）在平均数、中位数这两个数据中，谁更能反映被调查的消费者的收入水平?请说明理由．
【答案】（1）10.8；（2）8， 8；（3）中位数更能反映被调查的消费者的收入水平．理由见解析．
【解析】
【分析】（1）根据加权平均数概念：若n个数，，……，的权分别是，，……，，那么叫做这n个数的加权平均数，进行求解即可；
（2）根据中位数和众数的概念：一般地，n个数据按大小顺序排列，处于最中间的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数．一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数，进行求解即可．
（3）根据平均数与众位的区别进行分析可得出结论．
【详解】解：（1）（万元），
答：被调查的消费者平均年收入为10.8万元；
（2）将这组数据按照由小到大排列，由于有偶数个数，所以取中间两个数的平均数，第500、501位都是8，所以被调查的消费者年收入的中位数8万元；
年收入是8万元的消费者人数是500人，人数最多，所以被调查的消费者年收入的众数是8万元；
（3）中位数更能反映被调查的消费者的收入水平，理由如下：
虽然平均数，中位数均能反映一组数据的集中程度，但平均数易受极端数值影响，所以中位数更能反映被调查的消费者的收入水平．
【点睛】本题考查了利用图表获取信息的能力，解题的关键是理解平均数、中位数以及众数的意义以及区别与联系．
20. 一天晚上,小明帮助姐姐清洗两套只有颜色不同的有盖茶杯，此时突然停电了，小明只好把杯盖和茶杯随机地搭配在一起，请用列表法或树形图法求出颜色搭配正确的概率
【答案】如图：
所以颜色搭配正确的概率P=
【解析】
【分析】列举出所有情况，看两个球颜色相同的情况数占总情况数的多少即可．
【详解】画树状图如下：
所以一共有4种情况，颜色搭配正确的有2种．
所以，颜色搭配完全正确的概率P=.
【点睛】考查了树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21. 如图，OA＝OB＝13cm，AB＝24cm，⊙O的直径为10cm．求证：AB是⊙O的切线．
【答案】见解析．
【解析】
【分析】过点O作OC⊥AB，垂足为点C，由条件求出OC，根据切线的判定方法判断即可；
【详解】过点O作OC⊥AB，垂足为点C，
OA＝OB， AB＝24，
∴AC＝AB＝12，
∴在Rt△OAC中，OC＝＝5，
∵⊙O的直径为10cm，
∴⊙O的半径r为5cm，
∴OC＝r ，
∴AB是⊙O的切线．
【点睛】本题考查的是切线的判定、勾股定理、等腰三角形的性质，掌握切线的判定方法是解题的关键．
22. 如图，已知P是⊙O上一点，用两种不同的方法过点P作⊙O的一条切线．
要求：（1）用直尺和圆规作图；
（2）保留作图痕迹，写出必要的文字说明．

【答案】见详解．
【解析】
【分析】方法一：作射线OP，过点P作直线，根据切线的判定定理，可知是⊙O 的切线．
方法二：作直径AP，作直径AP所对的圆周角，过点P作 使与在BP的两侧且，作直线PC，证，由切线的判定定理得出直线PC是⊙O的切线
【详解】解：方法一：如图1中，连接OP，以OP为直径作圆交⊙O于D，作直线PD，直线PD即为所求．如图所示．
方法二：如图2，作直径AP，作直径所对的圆周角，过点P作 使与在BP的两侧且，过点C作直线，则直线即为所作的切线．
【点睛】本题考查了尺规作图，过一点作已知直线的垂线，作一个角等于已知角，切线的判定，直径所对的圆周角是直角等知识，解题的关键是学会利用圆周角定理构造直角．
23. 某商店经销的某种商品，每件成本为40元．调查表明，这种商品的售价为50元时，可售出200件；售价每增加1元，其销售量将减少10件．为了实现2000元的销售利润，这种商品的售价应定为多少元?
【答案】50元或60元
【解析】
【分析】设这种商品的售价应定为x元，则每件利润为元，可销售件，利用销售总利润等于每件利润乘以销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：设这种商品的售价应定为x元,
根据题意列方程得： ,
整理得：，
解得：，，
答:这种商品的售价应定为50元或60元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出方程．
24. 如图，AB、CD是⊙O的两条弦，＝，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E、F．求证：OE＝OF．
【答案】见解析．
【解析】
【分析】分别连接OA、OC，证明Rt△AEO≌Rt△CFO，可得OE＝OF．
【详解】分别连接OA、OC，
∵＝，
∴AB＝CD，
∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴AE＝ AB，CF＝ CD，∠AEO＝∠CFO＝90°，
∴AE＝CF ，
又∵OA＝OC，
∴Rt△OAE≌Rt△OCF（HL），
∴OE＝OF．
【点睛】本题主要考查垂径定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
25. 如图，在一块长60m、宽30m的矩形地面内，修筑一横两竖三条道路，横、竖道路的宽度之比为3：2，余下的地面铺草坪．要使草坪面积达到600m2，求横、竖道路的宽．
【答案】横、竖道路的宽分别为15m，10m．
【解析】
【分析】根据题意找到等量关系列出方程求解即可．
【详解】解：设横竖道路的宽分别为3xm，2xm．
根据题意列方程得：(60－4x)(30－3x)＝600 ，
(x－5)(x－20)＝0，
x 1＝5，x2＝20，
当x1＝5，30－3x＞0，x1＝5符合题意
当x2＝20，30－3x＜0，x2＝20不合题意舍去
∴3x＝15，2x＝20 ，
答：横、竖道路宽分别为15m，10m．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是根据题意找到等量关系列出方程．
26. 如图，四边形ABCD是的内接四边形，，，垂足分别是E、F．
（1）直接写出OF与CD数量关系 ，并证明你的结论．
（2）若，．求的半径．
【答案】（1），证明见解析；（2）⊙O的半径为
【解析】
【分析】（1）连接AO并延长交于点G，连接CB、BG，根据点OF分别是AGAB中点，得到OF是的中位线，则有，再根据同弧所对的圆周角相等可得，直径所对的圆周角是直角可得，则有，根据，，从而可得，，继而可得；
（2）在中，根据勾股定理可求得的半径．
【详解】解：（1）， 理由如下：
连接AO并延长交于点G，连接CB、BG，
∵，
∴，
∵，
∴OF是的中位线，
∴，
∵AG是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴；
（2）由（1）得：，，
在中，，
∴的半径为 ．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，圆周角定理，圆周角、弧、弦之间的关系，解题的关键是能够作辅助线构造以OF为中位线的三角形．
27. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6．E为射线CB上一动点，以DE为直径⊙O交AD于点F，过点F作FG⊥AE于点G．
（1）若E为BC的中点，求证：FG为⊙O的切线；
（2）若CE＝m，请直接写出⊙O与线段AB的交点个数及相应的m的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）当0≤m＜或m＞6时，⊙O与线段AB没有交点；当m＝时，⊙O与线段AB只有1个交点；当＜m≤6时，⊙O与线段AB有2个交点．
【解析】
【分析】（1）连接EF、OF，根据矩形的性质可证得，由此可得∠CED＝∠BEA，进而可证得OFEA，再结合FG⊥AE即可证得FG为⊙O的切线；
（2）先分别求出⊙O与线段AB相切以及⊙O经过点B这两种特殊情况时的m的值，进而分别画出相应图形进行分类讨论即可求得答案．
【详解】（1）证明：如图，连接EF、OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，CD＝BA，CBDA，
∵E为BC的中点，
∴CE＝BE，
∴在与中，
，
∴，
∴∠CED＝∠BEA，
又∵CBDA，
∴∠CED＝∠EDA，∠BEA＝∠EAD，
∴∠EDA＝∠EAD，
∵OD＝OF，
∴∠ODF＝∠OFD，
∴∠OFD＝∠EAD，
∴OFEA，
又∵FG⊥AE，
∴OF⊥FG，
∵点F在⊙O上，
∴FG是⊙O的切线；
（2）解：如图，当⊙O与线段AB相切于点H时，连接HO并延长交CD于点M，
∵⊙O与线段AB相切，
∴OH⊥AB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CDAB，
∴OM⊥CD，
∴DM＝CM＝CD＝2，
设OD＝OH＝x，则OM＝6－x，
∵在中，，
∴，
解得：，
∴OM＝6－x＝，
∵点M、O分别为CD、DE的中点，
∴OM是的中位线，
∴OM＝CE＝，
∵CE＝m，
∴m＝2×＝，
∴当m＝时，⊙O与线段AB只有1个交点，
当0≤m＜，⊙O与线段AB没有交点，
如图，当点E与点B重合时，CE＝CB＝6，即m＝6，此时⊙O与线段AB有2个交点，
∴如图，当＜CE＜6时，即＜m＜6，此时⊙O与线段AB有2个交点，
如图，当点E在点B右侧时，CE＞CB＝6，即m＞6，此时⊙O与线段AB没有交点，

综上所述：当0≤m＜或m＞6时，⊙O与线段AB没有交点；
当m＝时，⊙O与线段AB只有1个交点；
当＜m≤6时，⊙O与线段AB有2个交点．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质，矩形的性质以及圆与线段的交点个数，能够根据题意画出相应图形进行分类讨论是解决（2）的关键．
年收入/万元
3
8
10
20
50
被调查的消费者数/人
100
500
300
50
50