2021-2022学年江苏省扬州市邗江区九年级上学期数学期末考试题及答案

这是一份2021-2022学年江苏省扬州市邗江区九年级上学期数学期末考试题及答案，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的为（ ）
A. B. x2-x-1=0
C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】解：A、分母中含有未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B、是一元二次方程，故本选项符合题意；
C、含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D、不含有未知数x，不是x的一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：B
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的次数最高次数为2的整式方程称为一元二次方程是解题的关键．
2. 已知，且相似比为，则与的周长比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据相似三角形的周长的比等于相似比得出．
【详解】解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为1：2，
∴△ABC与△DEF的周长比为1：2．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比．
3. 某篮球运动员在连续7场比赛中的得分（单位：分）依次为20，18，23，17，20，20，18，则这组数据的众数与中位数分别是（ ）
A. 18分，17分B. 20分，17分C. 20分，19分D. 20分，20分
【答案】D
【解析】
【分析】根据中位数和众数的定义求解：众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数．
【详解】解：将数据重新排列为17、18、18、20、20、20、23，
所以这组数据的众数为20分、中位数为20分，
故选D．
【点睛】本题考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
4. 已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为3cm，则其侧面积为（ ）cm．
A. 3πB. 6πC. 12πD. 18π
【答案】B
【解析】
【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．
【详解】解：它的侧面展开图的面积＝×2×2×3＝6（cm2）．
故选：B．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
5. 如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠A=20°，则∠D等于（ ）
A. 20°B. 30°C. 50°D. 40°
【答案】C
【解析】
【分析】连接CO利用切线的性质定理得出∠OCD=90°，进而求出∠DOC=40°即可得出答案．
【详解】解：连接OC，
∵DC切⊙O于点C，
∴∠OCD=90°，
∵∠A=20°，
∴∠OCA=20°，
∴∠DOC=40°，
∴∠D=90°-40°=50°．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了切线的性质以及三角形外角性质等知识，根据已知得出∠OCD=90°是解题关键．
6. 函数y＝﹣x2﹣2x+m的图象上有两点A(1，y1)，B(2，y2)，则（ ）
A. y1＜y2B. y1＞y2C. y1＝y2D. y1、y2的大小不确定
【答案】B
【解析】
【分析】确定函数图象的对称轴，得到函数的增减性，比较两点横坐标与对称轴的大小，即可得到答案．
【详解】解：∵图象的对称轴为直线x=，a=-11时，y随x的增大而增大，故②错误；
③∵二次函数图象的对称轴为 ，
∴点 关于对称轴的对称点为 ，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根是和，故③正确；
④当 时， ，当 时， ，
∴ ，故④错误，
∴正确的结论是①③．
故答案为：①③
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
三、解答题
19. 解方程：
（1）（x+2）2﹣9＝0；
（2）x2﹣2x﹣3＝0．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先运用直接开平方法求得x+2，进而求得x即可；
（2）直接运用因式分解法求解即可．
【小问1详解】
解：（x+2）2﹣9＝0
（x+2）2=9
x+2=±3
所以．
【小问2详解】
解：x2﹣2x﹣3＝0
（x+1）（x-3）=0
x-3=0或x+1=0
所以．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，掌握直接开平方法和因式分解法是解答本题的关键．
20. 已知函数y＝x2-2kx＋k2+1．
（1）求证：不论k取何值，函数y>0；
（2）若函数图象与y轴的交点坐标为(0，10)，求函数图象的顶点坐标．
【答案】（1）见祥解；
（2）(3，1)或(﹣3，1)
【解析】
【分析】(1)先把解析式化为顶点式y＝（x-k）2+1，可知（x-k）2，再（x-k）2+1＞0可得出结论；
(2)由二次函数图像与y轴的交点可得出k2+1=10，得出k 的值，代入原函数即可.
【小问1详解】
证明：y＝（x-k）2+1
∵不论k取何值,（x-k）2
∴（x-k）2+1＞0；
即不论k取何值，函数y＞0；
【小问2详解】
解：∵二次函数图象与y轴交于点（0，10）
∴当x＝0时，y＝10，
∴k2+1＝10，解得k＝±3，
∴y＝x2±9x+10＝（x±3）2+1
∴顶点坐标为（3，1）或（﹣3，1）．
【点睛】本题考查了二次函数的解析式和求抛物线的顶点问题，能把解析式化为顶点式是解此题的关键．
21. 一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“书”、“香”、“历”、“城”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀．
（1）若从中任取一个球，球上的汉字刚好是“书”的概率为 ．
（2）从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图或列表的方法，求取出的两个球上的汉字能组成“历城”的概率．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）直接利用概率公式求解；
（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出取出的两个球上的汉字能组成“历城”的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：（1）若从中任取一个球，球上的汉字刚好是“书”的概率为，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
共有12种等可能的结果数，其中取出的两个球上的汉字能组成“历城”的结果数为，
所以取出的两个球上的汉字能组成“历城”的概率．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
22. 已知关于x的一元二次方程kx2-4x+2=0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若△ABC中，AB=AC=2，AB、BC的长是方程kx2-4x+2=0的两根，求BC的长．
【答案】（1）k≤2且k≠0；（2）．
【解析】
【分析】（1）已知一元二次方程有实数根，可得△=b2-4ac≥0，建立关于k的不等式，即可求出k的取值范围；
（2）由于AB=2是方程kx2-4x+2=0，所以可以确定k的值，进而再解方程求出BC的值．
【详解】解：（1）∵关于x的方程有实数根，
∴△=（-4）2-8k≥0，
解得k≤2，
又k≠0，
∴k的取值范围为k≤2且k≠0．
（2）∵AB=2是方程的根，
∴4k-8+2=0,
解得k=，
则原方程为，
解得，
∴BC的长为．
【点睛】本题考查一元二次方程的根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
23. 某中学九年级学生开展踢毽子活动，每班派5名学生参加，按团体总分排列名次，在规定时间内每人踢100个以上（含100）为优秀．下表是成绩最好的甲班和乙班5名学生的比赛成绩（单位：个）
经统计发现两班5名学生踢毽子的总个数相等，此时有学生建议，可以通过考查数据中的其他信息为参考，请你回答下列问题：
（1）甲班比赛数据中位数为 ，乙班比赛数据的平均数为 ；
（2）计算两班比赛数据的方差；
（3）根据以上信息，你认为应该把冠军奖状发给哪一个班？简述理由．
【答案】（1）100，100
（2），
（3）应该把团体第一名的奖状给甲班，因为甲班和乙班的平均数相同，甲班的方差比乙班低，甲班比较稳定，综合评定甲班比较好
【解析】
【小问1详解】
解：甲班的成绩重新排列为：89，98，100，103，110，故中位数为100，
乙班成绩的平均数为，
故答案为：100,100；
【小问2详解】
甲的平均数为：500÷5＝100（个），
S甲2＝[（100﹣100）2+（98﹣100）2+（110﹣100）2+（89﹣100）2+（103﹣100）2]÷5＝46.8；
乙的平均数为：500÷5＝100（个），
S乙2＝[（90﹣100）2+（97﹣100）2+（101﹣100）2+（113﹣100）2+（99﹣100）2]÷5＝56；
【小问3详解】
应该把团体第一名的奖状给甲班，理由如下：因为甲班和乙班的平均数相同，甲班的方差比乙班低，甲班比较稳定，综合评定甲班比较好．
【点睛】此题考查了统计计算，正确掌握中位数的定义，平均数的计算公式，方差的计算公式，利用方差做决策是解题的关键．
24. 如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F．
（1）求证△ADF∽△EAB；
（2）若AB＝12，BC＝10，求DF的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】
【分析】（1）先根据矩形的性质可得，从而可得，再根据直角三角形的性质可得，从而可得，然后根据相似三角形的判定即可得证；
（2）先根据矩形的性质可得，再根据勾股定理可得，然后根据相似三角形的性质即可得．
【详解】（1）证明：∵四边形矩形，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，，
∴；
（2）∵在矩形中，点是的中点，，
∴，
∵在中，，
，
由（1）已证：，
，即，
解得．
【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
25. 如图，在RtABC中，∠C＝90°，点D在AB上，以AD为直径的⊙O与BC相交于点E，与AC相交于点F，AE平分∠BAC．
（1）求证：BC是⊙O的切线．
（2）若∠EAB＝30°，OD＝5，求图中阴影部分的周长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接OE，根据AE平分∠BAC，可得∠CAE＝∠EAD，从而得到∠OEA＝∠CAE，进而得到OE∥AC，可得到OE⊥BC，即可求证；
（2）根据圆周角定理可得∠EOD＝60°，从而得到 ∠B＝30°，进而得到OB＝2OE＝2OD＝10，得到BD＝5，BE＝，即可求解．
小问1详解】
证明：如图1，连接OE，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝∠EAD，
∵OA＝OE，
∴∠EAD＝∠OEA
∴∠OEA＝∠CAE
∴OE∥AC，
∴∠OEB＝∠C＝90°，
∴OE⊥BC，
∴BC是⊙O的切线；
【小问2详解】
解：∵∠EAB＝30°
∴∠EOD＝60°
∴∠OEB＝90°
∴∠B＝30°
∴OB＝2OE＝2OD＝10
∴BD＝5
∴BE＝＝
∴弧DE的长为= =
∴C阴影＝ ＝ ．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，切线的判定，求弧长，直角三角形的性质等知识，熟练掌握圆周角定理，切线的判定定理，求弧长，直角三角形的性质是解题的关键．
26. 2022年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商销售以冬奥会为主题的文化衫，平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了尽快减少库存、增加盈利，该经销商采取了降价措施，经过一段时间的销售发现，销售单价每降低1元，平均每天可多售出3件．
（1）若降价x元，则平均每天销售数量为 件（用含x的代数式表示）；
（2）若该经销商每天获得利润1800元，则每件商品应降价多少元？
（3）若每件盈利不少于24元，不多于36元，求该经销商每天获得的最高利润和最低利润分别为多少？
【答案】（1）（30+3x）
（2）每件商品应降价20元
（3）该经销商每天获得的最高利润和最低利润分别为1875元，1512元
【解析】
【分析】（1）由降价元，则多售件，可得平均每天销售数量；
（2）由每件产品的利润乘以销售数量等于总利润，列方程，再解方程可得答案；
（3）设该经销商每天获得的利润为W元，再列出二次函数关系式，W由 可得，再利用二次函数的性质可得答案.
【小问1详解】
解：降价x元，则平均每天销售数量为（30+3x）件，
故答案为：（30+3x）
【小问2详解】
解：由题意得，

整理得：
解得：
∵要尽快减少库存
∴舍去
答：每件商品应降价20元.
【小问3详解】
解：设该经销商每天获得的利润为W元，则由题意得，
W=
由
得
∴当x=15时，元
当x=4时，元
答：该经销商每天获得的最高利润和最低利润分别为1875元，1512元.
【点睛】本题考查的是列代数式，一元二次方程的应用，二次函数的应用，掌握“利用每件产品的利润乘以销售数量等于总利润列方程或二次函数关系式”是解本题的关键.
27. 如图1，ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，过点C任作一条直线CD，将线段BC沿直线CD翻折得线段CE，直线AE交直线CD于点F．直线BE交直线CD于G点．
（1）小智同学通过思考推得当点E在AB上方时，∠AEB的角度是不变的，请按小智的思路帮助小智完成以下推理过程：
∵AC＝BC＝EC，
∴A、B、E三点在以C为圆心以AC为半径圆上，
∴∠AEB＝ ∠ACB，（填写数量关系）
∴∠AEB＝ °．
（2）如图2，连接BF，求证A、B、F、C四点共圆；
（3）线段AE最大值为 ，若取BC的中点M，则线段MF的最小值为 ．
【答案】（1），45；
（2）见解析； （3）8，
【解析】
【分析】（1）根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半解答；
（2）由题意知，CD垂直平分BE，连接BF，则BF=EF，求得∠EBF=∠AEB＝45°，利用外角的性质得到∠AFB=∠EBF+∠AEB＝90°，即可得到结论；
（3）当点A、C、E在一条直线上时，线段AE最大，最大值为4+4=8，当MF⊥BC时线段MF最小，根据BC的中点M，得到CF=BF，设BG=FG=x，则CF=BF=x，CG=(+1)x，由勾股定理得，求出，根据，即可求出．
【小问1详解】
解：∵AC＝BC＝EC，
∴A、B、E三点在以C为圆心以AC为半径的圆上，
∴∠AEB＝∠ACB，
∴∠AEB＝45°．
故答案为：，45；
【小问2详解】
解：由题意知，CD垂直平分BE，
连接BF，则BF=EF，
∴∠EBF=∠AEB＝45°．
∴∠AFB=∠EBF+∠AEB＝90°．
∵∠ACB＝90°，
∴A、B、F、C在以AB为直径的圆上，即A、B、F、C四点共圆；
【小问3详解】
解：当点A、C、E在一条直线上时，线段AE最大，最大值为4+4=8，
当MF⊥BC时线段MF最小，
∵BC的中点M，
∴CF=BF，
设BG=FG=x，则CF=BF=x，CG=(+1)x，
∵，
∴，
得，
∵，
∴，
得，
故答案为：8， ．
．
【点睛】此题考查了圆周角定理，四点共圆的判定及性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟记各知识点并熟练应用解决问题是解题的关键．
28. 在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．我们对函数图像与性质进行探究，下表是该函数y与自变量x的几组对应值，请解答下列问题：
（1）求该函数的解析式，并写出自变量x的取值范围．
（2）表中m的值为 ，n的值为 ．
（3）在如图所示的平面直角坐标系中，画出该函数的图像；
（4）结合上述研究：①写出方程的解 ．
②直接写出关于x的不等式的解集是 ．
【答案】（1），自变量取任意实数
（2），
（3）见解析 （4）①；②或
【解析】
【分析】（1）选择两组数据代入函数得到一个二元一次方程，解出a，b即可求出解析式；
（2）根据（1）得到的解析式代入m，n对应的x即可；
（3）描点法标记好每个点，再用光滑的曲线连接各点即可得到函数图像．
【详解】解：（1）由表格得，，在函数上，
将，代入，
得：，解得：，
该函数解析式为：，自变量取任意实数；
（2）当时，，即，
当时，，即，
故答案为：，；
（3）图象如图
(4)由图象可知，方程的解为
不等式的解集为：，
故答案是：，．
【点睛】本题考查新函数解析式的求法、根据自变量求因变量、函数图像的绘制，掌握这些是本题关键．
x
…
-1
0
1
2
…
y＝ax2+bx+c
…
m
-1
-1
n
t
…
1号
2号
3号
4号
5号
总数
甲班
100
98
110
89
103
500
乙班
90
97
101
113
99
500
x
…
0
…
y
…
m
0
n
…