2021-2022学年江苏省扬州市高邮市九年级上学期数学期末考试题及答案

这是一份2021-2022学年江苏省扬州市高邮市九年级上学期数学期末考试题及答案，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 若，则的值是（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】B
【解析】
分析】由可得a=2b，代入约分化简即可．
【详解】解：∵，
∴a=2b，
∴=，
故选B．
【点睛】本题考查了分式的约分，根据分式的基本性质把分子、分母中除1以外的公因式约去，叫做分式的约分．
2. 比赛中“去掉一个最高分，去掉一个最低分”后，一定不会发生变化的统计量是（ ）
A. 平均数B. 众数C. 中位数D. 极差
【答案】C
【解析】
【分析】根据平均数，众数，极差，中位数的概念可得：比赛中“去掉一个最高分，去掉一个最低分”后，不会影响中间数排序的位置，从而可得中位数不会发生改变，而众数，平均数与极差都有可能变化，从而可得答案.
【详解】解：比赛中“去掉一个最高分，去掉一个最低分”后，
可得总分发生变化，数据的个数也发生变化，所以平均数也可能发生变化，
众数也可能发生变化，极差也可能发生变化，
而最高分与最低分去掉后，不会影响中间数排序的位置，所以不会发生变化的是中位数，
故选C
【点睛】本题考查的是平均数，众数，中位数，极差的含义，掌握以上基本概念是解本题的关键.
3. 下列各项中，方程的两个根互为相反数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设方程的两个根分别为，根据互为相反数的定义得到，即方程中一次项系数为0，分别解方程，，即可得到答案．
【详解】解：设方程的两个根分别为，
∵方程的两个根互为相反数，
∴，即二次项系数为1的方程中一次项系数为0，
排除选项C、D，
∵，
∴，方程无解；选项A不符合题意；
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】此题考查了互为相反数的定义，解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系正确掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
4. 如图，已知OB，OD是的半径，BC、CD、DA是的弦，连接AB，若，则度数为（ ）
A. 100°B. 120°C. 130°D. 140°
【答案】C
【解析】
【分析】先根据圆周角定理求出∠A，再根据圆内接四边形的对角互补求出即可．
【详解】解：∵，
∴∠A=∠BOD=50°，
∴∠BCD=180°-50°=130°，
故选C．
【点睛】此题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解答本题的关键，同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆内接四边形的对角互补．
5. 如图，已知中，，，若，于点E，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】连接AD，由题意易得AD⊥BC，然后可得，进而根据三角函数可进行求解．
【详解】解：连接AD，如图所示：
∵，BD=DC，
∴AD⊥BC，
∵，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
∴在Rt△ADB中，，
∴；
故选D．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、勾股定理及三角函数，熟练掌握等腰三角形的性质、勾股定理及三角函数是解题的关键．
6. 如图，在下列四个条件：①∠B=∠C，②∠ADB=∠AEC，③AD:AC=AE:AB，④PE:PD=PB:PC中，随机抽取一个能使△BPE∽△CPD的概率是（ ）
A. 0.25B. 0.5C. 0.75D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知及相似三角形的判定方法进行分析，再直接由概率公式求解即可．
【详解】解：∵∠BPE=∠CPD，
①当∠B=∠C，则△BPE∽△CPD成立，①符合题意；
②当∠ADB=∠AEC，即∠CDP=∠BEP，则△BPE∽△CPD成立，②符合题意；
③当AD:AB=AE:AC，又∠A公共，则△ACE∽△ABD，∴∠B=∠C，
∴△BPE∽△CPD才成立；
而当AD:AC=AE:AB，就不能推出△BPE∽△CPD，③不符合题意；
④当PE:PD=PB:PC，则△BPE∽△CPD成立，④符合题意；
四个选项中有三个符合题意，
∴随机抽取一个能使△BPE∽△CPD的概率是0.75，
故选：C．
【点睛】本题考查了概率公式，相似三角形的判定，①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．
7. 已知m、n是两个不相等的实数根，若，则m满足的条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先利用公式法求出方程的两根，可得 ，再求出的取值范围，即可求解．
【详解】解：∵，
，
解得： ，
∵m、n是两个不相等的实数根， ，
∴ ，
∵ ，
∴，
∴，即．
故选：B
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，无理数估算，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
8. 已知二次函数，若时，函数的最大值与最小值的差为4，则a的值为（ ）
A. 1B. -1C. D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】分a＞0或a＜0两种情况讨论，求出y的最大值和最小值，即可求解；
【详解】当a＞0时，∵对称轴为x=，
当x=1时，y有最小值为2，当x=3时，y有最大值为4a+2，
∴4a+2-2=4．
∴a=1，
当a＜0时，同理可得
y有最大值为2； y有最小值为4a+2，
∴2-(4a+2)=4，
∴a=-1，
综上，a的值为
故选：C
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识，利用分类思想解决问题是本题的关键．
二、填空题（每题3分，共30分．）
9. 若一组数据7，3，5，，2，9的众数为7，则这组数据的中位数是__________．
【答案】6
【解析】
【分析】根据众数为7可得x=7，然后根据中位数的概念求解．
【详解】解：∵这组数据众数为7，
∴x=7，
这组数据按照从小到大的顺序排列为：2，3，5，7，7，9，
则中位数为：，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了中位数的知识：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
10. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanA＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据已知条件设出直角三角形一直角边与斜边的长，再根据勾股定理求出另一直角边的长，运用三角函数的定义解答．
【详解】由sinA＝知，可设a＝4x，则c＝5x，b＝3x，
∴tanA＝=．
故答案为．
【点睛】本题考查了同角三角函数的关系．求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．
11. 二次函数的图像不经过第______象限．
【答案】二
【解析】
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质可以得到该函数图象不经过哪个象限．
【详解】解：∵y=-x2+4x-1=-（x-2）2+3，
∴该函数图象的顶点坐标为（2，3）且经过点（0，-1），函数图象开口向下，
∴该函数图象不经过第二象限，
故答案为：二．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
12. 如图，已知的半径，若弦AB垂直平分OC，则______cm．
【答案】
【解析】
【分析】连接OA，如图，先利用弦AB垂直平分OC得到OD=cm，，根据垂径定理得到AD=BD，然后根据勾股定理计算出AD，也就也可以求出AB=2AD=cm．
【详解】连接OA，如图
∵弦AB垂直平分OC，垂足为D，
∴，．
∴AD=BD，
在中，
∵OA=2cm，OD=1cm．
∴cm，
∴AB=2AD=cm．
故答案为：．
【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考察了勾股定理的相关内容．
13. 无人机驾驶员已正式成为国家认可的新职业，2019年底至2021年底，我国拥有民用无人机驾驶执照的人数从2.44万人增加到6.72万人．若设2019年底至2021年底，我国拥有民用无人机驾驶执照人数的年平均增长率为x，则可列出关于x的方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】设用无人机驾驶执照人数的年平均增长率为x，根据“用无人机驾驶执照的人数从2.44万人增加到6.72万人．”列出方程，即可求解．
【详解】解：设用无人机驾驶执照人数的年平均增长率为x，根据题意得：
．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
14. 如图，四边形EFGH与四边形ABCD关于点O位似，且OE=2AE，则四边形EFGH与四边形ABCD的面积比为______．
【答案】4：9
【解析】
【分析】根据题意求出两个相似多边形的相似比，根据相似多边形的性质解答．
【详解】解：∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心点是点O，且OE=2AE，
∴，
则，
故答案为：4：9．
【点睛】本题考查的是位似变换的性质，掌握位似图形与相似图形的关系、相似多边形的性质是解题的关键．
15. 个圆锥的主视图为边长等于的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据视图的意义得到圆锥的母线长和底面圆的直径为，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，利用扇形的面积公式求解即可．
【详解】解：根据题意得圆锥的母线长为，底面圆的直径为，
∴底面圆的周长，
∴这个圆锥的侧面积=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三视图和圆锥的侧面积计算，熟练掌握圆锥的侧面积的计算公式是解题的关键．
16. 若关于x的方程有两个不相等的正整数根，则整数m的值为______．
【答案】-1
【解析】
【分析】用公式法解方程，得出方程的解，根据有两个不相等的正整数根，求出整数m的值即可．
【详解】解：由题意可知：Δ＝（3﹣m）2﹣4m×（﹣3）
＝m2+6m+9＝（m+3）2≥0，
∴x＝，
∴x＝1或x＝﹣，
由方程有两个不相等的正整数根，可知：m＝﹣1，
故答案为：﹣1
【点睛】本题考查一元二次方程，解题关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
17. 如图，已知A、B、C三点的坐标分别是、、，过点C作直线轴，若点P为直线l上一个动点，且的面积为5，则点P的坐标是______．
【答案】或##或
【解析】
【分析】设P（m，2），过A作AE⊥直线l于点E，延长AB与l交于点D，根据S△PAB＝S△PAD−S△PBD列出m的方程，进行解答便可．
【详解】解：设P（m，2），过A作AE⊥直线l于点E，延长AB与l交于点D，如图，
∴E（1，2）
∵A（1，-1）、B（2，0）
设直线AB的解析式为y=kx+b，
把A（1，-1）、B（2，0）代入上式得，

解得
∴直线AB的解析式为y=x-2，
当y=2时，2=x-2，则x=4，
∴D（4，2），
∴ED=3，PD=|4 –m|，
∴S△PAB＝S△PAD−S△PBD＝，
∴
∴
解得，m=-6或14，
∴P（-6，2）或（14，2）．
故答案为：（-6，2）或（14，2）．
【点睛】本题主要考查了三角形的面积计算，图形与坐标特征，关键是根据S△PAB＝S△PAD−S△PBD列出方程解答．
18. 已知平面直角坐标系中，点P的坐标为，若二次函数的图像与线段OP有且只有一个公共点，则m满足的条件是______．
【答案】
【解析】
【分析】分别把点， 代入二次函数，可得 ， 即可求解．
【详解】解：如图，
把点 代入，得： ，
把点 代入，得： ，
∴当时，二次函数的图像与线段OP有且只有一个公共点，
∴二次函数的图像与线段OP有且只有一个公共点， m满足的条件是．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共有10小题，共96分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. （1）计算：；
（2）解方程：．
【答案】（1）-1；（2），
【解析】
【分析】(1)根据三角函数定义、绝对值概念及算术平方根的概念逐个求解即可；
(2)根据一元二次方程的求根根式解方程即可．
【详解】解：(1)原式
．
(2)由题意可知：，
，
∴，
．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数，二次根式的混合运算，一元二次方程的解法等，属于基础题，计算过程中细心即可．
20. 为了了解我市两家公司员工的收入情况，某数学兴趣小组的同学对甲、乙两家公司员工月收入进行了一项抽样调查，并将两家公司10名员工月收入（单位：千元）情况进行整理得到下边两幅统计图：
根据以上信息，整理分析数据如表：
（1）填空：______；______．
（2）求c的值；
（3）某位同学的叔叔决定从两家公司中选择一家去上班，你建议他选哪家公司？说明理由．
【答案】（1）7，7 （2）1.4
（3）选乙公司，理由见解析
【解析】
【分析】（1）利用平均数、中位数的定义分别计算后即可确定正确的答案；
（2）利用方差的计算公式进行计算后即可确定正确的答案；
（3）根据平均数一样，中位数及众数的大小和方差的大小进行选择即可．
【小问1详解】
甲公司员工月收入6千元占比为：
甲公司员工的平均月收入为：（千元）
∴
乙公司员工月收入从小至大排列为：5，5，7，7，7，7，7，8，8，9，
∴中位数为7
∴
故答案为：7，7
【小问2详解】
∵
∴
∴
【小问3详解】
选乙公司，理由如下：
因为月收入平均数一样，中位数、众数乙公司大于甲公司，且乙公司方差小，更稳定．
【点睛】本题考查了求平均数、中位数、众数和方差，解题的关键是能够了解有关的计算公式．
21. 在“庆元旦、迎新年”班级活动中，同学们准备了四个节目：A唱歌、B跳舞、C说相声、D弹古筝．并通过抽签的方式决定这四个节目的表演顺序．
（1）第一个节目是说相声的概率是______；
（2）求第二个节目是弹古筝的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接根据概率公式即可求解；
（2）根据题意画出树状图，得到共有12种等可能性，其中第二个节目是D弹古筝的结果有3种，根据概率公式即可求解．
【小问1详解】
解：第一个节目是说相声的概率是，
故答案为：；
【小问2详解】
解：画树状图如下：
由树状图得共有12种等可能性，其中第二个节目是D弹古筝的结果有3种，
∴第二个节目是弹古筝的概率是．
【点睛】本题考查了列举法求概率，熟知概率公式，并根据题意利用树状图或画表格列举出所有等可能结果是解题关键．
22. 在平面直角坐标系中，过格点A、B、C作一圆弧，每个网格设单位长度为1，如图：
（1）该圆弧所在圆的圆心P的坐标为______；
（2）求弧AB的长（结果保留π）
（3）点D是上一点，连接AD、BD，则______．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】(1)连接AC，由∠ABC=90°，结合90°的圆周角所对的弦为直径得到AC为圆P的直径，进而求出AC的中点即为圆P的圆心；
(2)连接BP、AP，得到∠BPA=90°，求出圆的半径为，再由弧长公式即可求解；
(3)过圆心P作PH⊥AB于H，由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得到∠D=∠BPA，再由垂径定理得到∠BPH=∠BPA，进而得到∠D=∠BPH=45°，最后 即可．
【小问1详解】
解：由题意可知：连接AC，如下图所示：
∵∠ABC=90°，
∴AC为圆P的直径，
且A(1,1)，C(3,3)，
故AC的中点圆心P的坐标为(2,2)；
【小问2详解】
解：连接BP、AP，如下图所示：
则∠BPA=90°，
圆P的半径为，
由弧长公式可知：；
【小问3详解】
解：过圆心P作PH⊥AB于H，如下图所示：
由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知：∠D=∠BPA，
由垂径定理可知：∠BPH=∠BPA=×90°=45°，
∴∠D=∠BPH=45°，
且，
∴．
【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理及其推论，属于基础题，熟练掌握圆周角定理及其推论是解决本题的关键．
23. 如图，将绕点A旋转至的位置，点恰好在BC上，AC与交于点E，连接．
（1）求证：；
（2）求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）利用两个角相等证明△AEC′∽△B'EC即可；
（2）证明∠B＝∠AC′C，利用两个角相等证明相似即可；
【小问1详解】
证明：由旋转的性质可知：∠AC′B′＝∠ACB，
∵∠AEC′＝∠B′EC，
∴△AEC'∽△B'EC，
∴．
【小问2详解】
证明：由旋转的性质可知：∠BAB′＝∠CAC′，AB＝AB′，AC′＝AC，
∴∠B＝∠AB′B=180°-∠BAB′，∠AC′C＝∠ACC′=180°-∠CAC′，
∴∠B＝∠AC′C，
∴△ABB′∽△ACC′．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，旋转的性质，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定以及旋转的性质，本题属于基础题型．
24. 始建于1375年的孟城驿是目前全国规模最大、保存最完好的古代驿站，小明为测量盂城驿中的鼓楼高度，采用如下方法：如图，首先站在鼓楼AB正对面C处，用测角仪测得鼓楼的最高处A的仰角为43°，再向前走了1米到E处，测得最高处A的仰角为45°，已知测角仪的高度为1米．请你根据以上信息，求出鼓楼的高度AB．（结果保留一位小数，参考数据：，，）
【答案】14.3
【解析】
【分析】过点F作FG⊥AB于点G，根据题意可得BG=EF=CD=1米，DF=CE=1米，FG=BE，点D、F、G三点共线，∠AFG=45°，∠ADG=43°，可得AG=FG，设 米，则 米， 米，在 中，利用锐角三角函数，即可求解．
【详解】解：如图，过点F作FG⊥AB于点G，
根据题意得：BG=EF=CD=1米，DF=CE=1米，FG=BE，点D、F、G三点共线，∠AFG=45°，∠ADG=43°，
∵FG⊥AB，
∴∠FAG=45°，
∴∠FAG=∠AFG，
∴AG=FG，
设 米，则 米， 米，
在 中， ，
∴ ，解得： ，
∴ 米，
答：鼓楼的高度AB约为14.3米．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，正确构造直角三角形是解题的关键．
25. 如图，在中，，BO平分，交AC于点O，以点O为圆心，OC长为半径画．
（1）求证：AB是的切线；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）见解析 （2）2.4．
【解析】
【分析】（1）过O作OD⊥AB交AB于点D，先根据角平分线的性质求出DO=CO，再根据切线的判定定理即可得出答案；
（2）设圆O的半径为r，即OC=r，由得BC=3r，由勾股定理求得AD=，AB=3r+根据方程求解即可．
【小问1详解】
如图所示：过O作OD⊥AB交AB于点D．
∵OC⊥BC，且BO平分∠ABC，
∴OD=OC，
∵OC是圆O的半径
∴AB与圆O相切．
【小问2详解】
设圆O的半径为r，即OC=r，
∵
∴
∴
∵OC⊥BC，且OC是圆O的半径
∴BC是圆O的切线，
又AB是圆O的切线，
∴BD=BC=3r
在中，
∴
∴
在中，
∴
整理得，
解得，，（不合题意，舍去）
∴的半径为2.4
【点睛】此题主要考查了复杂作图以及切线的判定等知识，正确把握切线的判定定理是解题关键．
26. 高邮双黄鸭蛋已入选全世界最值得品尝百种味道，某专卖店根据以往销售数据发现：高邮双黄鸭蛋每天销售数量y（盒）与销售单价x（元/盒）的关系满足一次函数，每盒高邮双黄鸭蛋各项成本合计为40元/盒．
（1）若该专卖店某天获利800元，求销售单价x（元/盒）的值；
（2）当销售单价x定为多少元/盒时，该专卖店每天获利最大？最大利润为多少？
（3）若该专卖店决定每销售一盒就捐出元给当地学校作为贫困学生的助学金，当每天的销售量不低于25盒时，为了确保该店每天扣除捐出后的利润随着销售量的减小而增大，则m的取值范围为______．
【答案】（1）60或80
（2）当销售单价x定70元/盒时，该专卖店每天获利最大，最大利润，900元
（3）
【解析】
【分析】（1）利用利润等于每天销售额减去总成本，列出方程，即可求解；
（2）设该专卖店每天获利 元，根据题意，列出函数关系式，再根据二次函数的性质，即可求解；
（3）设该店每天扣除捐出后的利润为 元，每天销售量为 盒，则每盒的销售单价为元/盒 ，每盒的利润为 元，根据题意列出关于的函数关系式，再根据二次函数的性质，即可求解．
【小问1详解】
解：根据题意得：
，
解得： ，
答：若该专卖店某天获利800元，销售单价为60或80元/盒；
【小问2详解】
解：设该专卖店每天获利 元，根据题意得：
，
∴当销售单价x定70元/盒时，该专卖店每天获利最大，最大利润，900元；
【小问3详解】
解：设该店每天扣除捐出后的利润为 元，每天销售量为 盒，则每盒的销售单价为元/盒 ，每盒的利润为 元，根据题意得：
，
∵ ，
∴该图象开口向下，对称轴为： ，
根据题意得：当 时， 随 的减小而增大，
∴ ，解得： ，
∵ ，
∴m的取值范围为 ．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
27. 定义：如图1，已知点M是一次函数图像上的一个动点，的半径为2，线段OM与交于点A．若点P在上，且满足，则称点P为的“等径点”．
（1）若点M的横坐标为3时，的“等径点”的是______；
（2）若的“等径点”P恰好在y轴上，求圆心M的坐标；
（3）若的“等径点”P在二次函数的图像上，求点P的坐标．
【答案】（1）或；
（2）或；
（3）或．
【解析】
【分析】（1）标出，作MH⊥x轴，在圆M上标出 , 使得以及，根据角度和垂径定理可知， ，,进而可由M点坐标推出P点坐标；
（2）在ｙ轴上时，由（１）可知，∥x轴，，进而可证四边形 为矩形，由M点横坐标可算出纵坐标；
（3）P点坐标为（a，b）由（1）可知M点坐标为（a＋2，b），将坐标代入函数解析式中可选出P的坐标．
【小问1详解】
解：如图所示，标出，作MH⊥x轴，在圆M上标出 , 使得以及，
∵中，即，
∴
∴，则M坐标为，
∵MH⊥，交于点G，
∴AG=1,结合AM=2可知，∠OMH=30°，
∴，
∵，
∴ ，
∴，
∴ 的横坐标为3－2=1，纵坐标与M相同，
∴
由①可知，且 ，
∴，
∵MH⊥，
∴，
∴ 横坐标为3＋1=4，
且，
∴纵坐标为，
∴，
综上所述的坐标为或．
【小问2详解】
解：如图所示点在ｙ轴上时，由（１）可知，∥x轴，，
∴，
∴四边形 为矩形，
∴M横坐标为2，M纵坐标为，
∴．
当圆M在x轴下方时，如图所示：
同理可知M点的横坐标为﹣2，
∴M点纵坐标为，
∴M点坐标为，
综上所述M点坐标为或．
【小问3详解】
设：P点坐标为（a，b）由（1）可知M点坐标为（a＋2，b），
P点在函数，M点在，
∴代入联立得： ，
解得： 或 ，
∴P的坐标为 或．
【点睛】本题考查平行四边形判定，三角函数，平面直角坐标系中点的坐标，圆的性质，能够构造合适的辅助线是解决本题的关键．
28. 如图1，已知等边的边长为8，点D在AC边上，，点P是AB边上的一个动点．
（1）连接PC、PD．
①当______时，；
②若与相似，求AP的长度；
（2）已知点Q在线段PB上，且．
①如图2，若与相似，则与之间的数量关系是______；
②如图3，若E、F分别是PD、CQ的中点，连接EF，线段EF的长是否是一个定值，若是，求出EF的长，若不是，说明理由．
【答案】（1）①4；②4或1.6
（2）①或；②定值，．
【解析】
【分析】（1）①根据相似三角形的判定，列出比例式求解即可；②分类讨论，根据相似三角形的性质列出比例式求解即可；
（2）①根据相似三角形对应角相等，得出或，再结合等边三角形的性质求解即可；②连接QE并延长，使QE=EG，连接DG，CG，作AH⊥BC于H，GI⊥BC于I，求出CG长即可．
小问1详解】
解：①∵，
当时，；
∵等边的边长为8，，
，解得，（负值舍去），
故答案为：4；
②当时，
，即，解得，；
当时，
，即，解得，；
AP的长度为4或1.6．
【小问2详解】
解：①当时，，
∴，
∵，
∴；
当时，，
∵，
∴，
∵，
∴；
故答案为：或；
②线段EF的长是一个定值，理由如下：
连接QE并延长至G，使QE=EG，连接DG，CG，作AH⊥BC于H，GI⊥BC于I，
∵QE=EG，PE=DE，∠PEQ =∠DEG，
∴△PEQ≌△DEG，
∴DG=PQ=2，∠QPE =∠GDE，
∴DG=AD=2，QP∥GD，
∴∠DAP =∠GDA=60°，
∴△GDA是等边三角形，
∴∠DAG =∠ACB=60°，GA=2，
∴GA∥BC，
∵AH⊥BC，GI⊥BC，
∴HA∥GI，
∴四边形HAGI是平行四边形，
∴GA= HI =2，
∵∵AH⊥BC，
∴HC =4，HI =2，
，
，
，
∵F分别是CQ的中点，
∴GC= 2EF，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，解题关键是恰当作辅助线，利用全等三角形和相似三角形的判定与性质进行推理计算．
平均月收入/千元
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众数
方差
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6.5
6
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乙公司
7
b
7
c