2021-2022学年天津市北辰区九年级上学期数学期末试卷及答案

这是一份2021-2022学年天津市北辰区九年级上学期数学期末试卷及答案，共26页。试卷主要包含了选择题，四象限，可排除③④；，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
【详解】解：A.不是中心对称图形，符合题意，
B. 是中心对称图形，不符合题意，
C. 是中心对称图形，不符合题意，
D. 是中心对称图形，不符合题意，
故选A
【点睛】本题考查了识别中心对称图形，掌握中心对称图形的定义是解题的关键．
2. 将抛物线向上平移3个单位长度后得到新的抛物线，那么新抛物线的表达式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】抛物线的平移规律：上加下减，左加右减，根据抛物线的平移规律直接可得答案.
【详解】解：抛物线向上平移3个单位长度后得到新的抛物线的表达式为：

故选D
【点睛】本题考查的是抛物线的平移，掌握“抛物线的平移规律”是解题的关键.
3. 下列事件为必然事件的是（ ）
A. 口袋中装有2个红球和1个白球，从中摸出2个球，其中必有红球
B 明天会下雪
C. 打开电视机，CCTV第一套节目正在播放新闻
D. 购买一张彩票中奖一百万元
【答案】A
【解析】
【分析】根据事件发生的可能性大小判断．
【详解】解：A．口袋中装有2个红球和1个白球，从中摸出2个球，其中必有红球，是必然事件，选项符合题意；
B．明天会下雪，是随机事件，选项不符合题意；
C．打开电视机，CCTV第一套节目正在播放新闻，是随机事件，选项不符合题意；
D．购买一张彩票中奖一百万元，是随机事件，选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4. 抛物线的顶点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由于给的是二次函数顶点式的表达式，可直接写出顶点坐标．
【详解】解：∵y=-5（x-1）2+2，
∴此函数的顶点坐标是（1，2）．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数顶点式的表示方法．
5. 如图，A、B、C为上的三个点，，则的度数为（ ）
A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°
【答案】B
【解析】
【分析】由是所对的圆心角与圆周角，再利用圆周角定理可得答案.
【详解】解： A、B、C为上的三个点，，
.
故选B
【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，掌握“在同圆或等圆中，同一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半”是解本题的关键.
6. 如图，小球从A口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相同，则小球最终从E口落出的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据“在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等”可知在点B、C、D处都是等可能情况，从而得到在四个出口E、F、G、H也都是等可能情况，然后根据概率的意义列式即可得解．
【详解】解：由图可知，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，
小球最终落出的点共有E、F、G、H四个，
所以，最终从点E落出的概率为．
故选：B．
【点睛】本题考查了概率的求法，读懂题目信息，得出所给的图形的对称性以及可能性相等是解题的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
7. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. 且D. 且
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义以及根的判别式得到k≠0，且Δ＞0，然后解两个不等式即可得到实数k的取值范围．
【详解】解：根据题意得，k≠0，且Δ＞0，即22-4×k×（-1）＞0，解得k＞-1，
∴实数k的取值范围为k＞-1且k≠0．
故选C．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根判别式Δ=b2-4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根；也考查了一元二次方程的定义．
8. 某校九年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，每两班之间都进行两场比赛，共需比赛12场，则九年级班级的个数为（ ）
A. 6B. 5C. 4D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】设九年级共有x个班，根据“每两班之间都进行两场比赛，且共需安排12场比赛”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出九年级的班级数．
【详解】解：设九年级共有x个班，
依题意得： x（x-1）=12，
整理得：，
解得：（不合题意，舍去），．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9. 如图，平面直角坐标系xOy中有4条曲线分别标注着①，②，③，④，是双曲线y＝﹣的一个分支的为（ ）
A. ①B. ②C. ③D. ④
【答案】A
【解析】
【分析】由k＜0可排除③④，由①经过（﹣2，3），②经过（﹣1，3），即可解答．
【详解】解：∵双曲线y＝﹣中，k＜0，
∴双曲线y＝﹣的分支在第二、四象限，可排除③④；
由图可知，①经过（﹣2，3），②经过（﹣1，3），
而3＝﹣，
故为双曲线y＝﹣的一个分支的是①．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，理解反比例函数的性质成为解答本题的关键．
10. 关于反比例函数的图象性质，下列说法不正确的是（ ）
A. 图象经过点B. 图象分别位于第一、三象限
C. 图象关于原点对称D. 当时，y随x的增大而增大
【答案】D
【解析】
【分析】依据反比例函数图象的性质作答．
【详解】解：A．当时，代入反比例函数得，，正确，故本选项不符合题意；
B．，图象位于第一、三象限，正确，故本选项不符合题意；
C．反比例函数的图象是双曲线，图象关于原点成中心对称，正确，故本选项不符合题意；
D．，在第一、三象限内y随x增大而减小，所以当时，y随x的增大而减小，原说法错误，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质：①当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．②当k＞0时，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限，y随x的增大而增大．
11. 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转65°得到△ADE，若∠E＝70°且AD⊥BC于点F，则∠BAC=（ ）
A. 80°B. 85°C. 90°D. 95°
【答案】B
【解析】
【分析】由旋转的性质可得∠BAD=65°，∠C=∠E=70°，由直角三角形的性质可得∠DAC=20°，即可求解．
【详解】∵将三角形ABC绕点A旋转65°得到ADE，
∴∠BAD=65°，∠C=∠E=70°，
∵AD⊥BC，
∴∠CAD=90°-∠C =20°，
∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=85°，
故答案选：B．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，通过旋转的性质得出题中角的度数，再根据直角三角形的性质与角的加减计算求解即可．
12. 已知：抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，其部分图像如图所示，下列结论：①；②；③；④方程的两个根是，；⑤．其中正确的结论有（ ）
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】A
【解析】
【分析】由抛物线开口向下与y轴交于正半轴，对称轴在y轴右侧，可判断①；由抛物线与轴有两个交点，可判断②；由抛物线与x轴的一个交点坐标为，可判断③；由抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，可得另一个交点坐标，可判断④；由，，可判断⑤，从而可得答案.
【详解】解：∵抛物线开口向下与y轴交于正半轴，对称轴在y轴右侧，
能得到：
∴abc＜0，故①不符合题意；
抛物线与轴有两个交点，
故②符合题意；
抛物线与x轴的一个交点坐标为，
故③符合题意；
抛物线的对称轴为直线，
与x轴的一个交点坐标为，
抛物线与x轴的另一个交点坐标为，
所以方程的两个根是，；故④符合题意；
∵抛物线的对称轴为，即，
而时，，即，
∴3a+c=0，
∵抛物线的开口向下，
∴a＜0， ∴5a＜0，
∴；故⑤符合题意；
综上：②③④⑤符合题意；
故选：A
【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系，利用数形结合思想是解答本题的关键.
二、填空题（本大题共6道小题，每题3分，共18分）
13. 已知关于x的一元二次方程的一个根是，则__________．
【答案】-2
【解析】
【分析】将一元二次方程的根代入该一元二次方程，再求解即可．
【详解】解：将代入，
得：，
解得：．
故答案为：-2．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解．掌握方程的解就是使其成立的未知数的值是解题关键．
14. 一个不透明的口袋中装有7个红球，4个黄球，这些球除了颜色外无其它差别．从袋中随机摸取一个小球，它是红球的概率__________．
【答案】
【解析】
【分析】求出口袋中球的总数，再利用概率公式计算即可．
【详解】解：口袋中共有7+4=11个球，
∴从袋中随机摸取一个小球，它是红球的概率．
故答案为：．
【点睛】本题考查简单的概率计算．掌握求概率的公式是解题关键．
15. 在函数的图象上有三点、、，比较函数值、、的大小，并用“<”号连接__________．
【答案】
【解析】
【分析】分别将三点坐标代入求值，再比较即可．
【详解】分别将、、代入，
得：，，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征．掌握反比例函数图象上的点的坐标满足其解析式是解题关键．
16. 如图，在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时，扳手张开的开口，则边长a为__________mm．
【答案】
【解析】
【分析】如图，连接OC、OD，过O作OH⊥CD于H．解直角三角形求出CD即可．
【详解】解：如图，连接OC、OD，过O作OH⊥CD于H．
∵∠COD=，OC=OD，
∴△COD是等边三角形，
∴∠COH=90°-60°=30°，
∵OH⊥CD，
∴CH=DH=CD，OH=b=20（mm），
∴CH=20×tan30°=（mm），
∴a=2CH=（mm），
故答案为：．
【点睛】本题考查了正多边形和圆的知识，构造一个由正多边形的半径、边长、边心距组成的直角三角形是解题的关键．
17. 某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是__________米．
【答案】4
【解析】
【分析】将一般式写成顶点式，求出顶点坐标即可得出结果．
【详解】∵，
∴顶点坐标是(2，4)，
∴最大高度是4米．
故答案为：4．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是掌握求二次函数图象顶点坐标的方法．
18. 如图，C为线段AB的中点，D为AB垂直平分线上一点，连接BD，将BD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，连接AE，若，，则CD的长为 __________ ．
【答案】9
【解析】
【分析】连接AD、BE，过点E作EH⊥AB于H，由旋转知，DE=DB，∠BDE=60°，可证△BDE是等边三角形，利用等边对等角结合三角形内角和为180°求出，从而得到，进而可求出∠HAE=30°．再根据含30度角的直角三角形的性质可求出EH，AH，再利用勾股定理即可先后求出BE和CD．
【详解】解：如图，连接AD、BE，过点E作EH⊥AB于H，

由旋转知，DE=DB，∠BDE=60°，
∴△BDE是等边三角形，
∴BE=BD．
∵C为AB中点，点D在AB的垂直平分线上，
∴AD=BD=DE，，
∴，
∴，即．
∵∠BDE=60°，
∴∠BAE=150°，
∴∠HAE=180°-150°=30°．
∵AE=6，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：9．
【点睛】本题考查了图形的旋转，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，勾股定理以及含30°的直角三角形的性质等知识，通过作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．
三、解答题
19. 如图，反比例函数的图像经过点和点．
（1）求该反比例函数的解析式和a的值．
（2）若点也在反比例函数的图像上，当时，求函数y的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）把代入求解即可，再把代入求解即可；
（2）先判断当时，随的增大而增大，再求解当时， 当时， 从而可得答案.
【小问1详解】
解： 反比例函数的图像经过点和点．

反比例函数

解得：
【小问2详解】
解： 点也在反比例函数的图像上，
当时，随的增大而增大，
当时，
当时，
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解反比例的函数解析式，反比例函数的增减性的理解，掌握“反比例函数的增减性”是解本题的关键.
20. 已知如图，在中，AB为直径，，，．
（1）求的度数．
（2）求CD的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用圆周角定理求解，再利用，结合三角形的内角和定理可得答案；
（2）先证明，再利用勾股定理求解，再利用垂径定理可得答案.
【小问1详解】
解： ，


【小问2详解】
解：




【点睛】本题考查的是三角形内角和定理的应用，垂径定理的应用，圆周角定理的应用，熟练的运用垂径定理进行求值是解本题的关键．
21. 用适当的方法解下列方程：
（1）；
（2）．
（3）如图，在一块长13m，宽7m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路分别与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，若栽种花草的面积是，则道路的宽应设计为多少m？
【答案】（1）
（2）
（3）道路的宽应设计为1米．
【解析】
【分析】（1）先把方程化为，再利用直接开平方的方法解方程即可；
（2）先求解根判别式的值，再利用公式法解方程即可；
（3）把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的部分是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程即可．
【小问1详解】
解：

或
解得：
【小问2详解】
解：
则


所以
【小问3详解】
解：设道路的宽应为x米，
由题意得，．
整理得：
解得x=1或x=19．
经检验：不符合题意，舍去，取
答：道路的宽应设计为1米．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法，一元二次方程的应用，矩形的定义，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是解本题的关键．
22. 已知二次函数
（1）填写表中空格处的数值
（2）根据上表，画出这个二次函数的图象；
（3）根据表格、图象，当时，y的取值范围__________．
【答案】（1）表格中的数值从左到右依次为：0，0，4，3，3；
（2）图象见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）将表格中的x值和y值分别代入二次函数中，求值即可填表；
（2）根据表格，利用描点法即可画出图象；
（3）计算出时，y的值，再结合图象即可解答．
【小问1详解】
将代入，得：；
将代入，得：，
解得：，；
将代入，得：；
将代入，得：；
将代入，得：，
解得：，；
故表格中的数值从左到右依次为：0，0，4，3，3；
【小问2详解】
根据表格可画出图象如下：
【小问3详解】
当时，
结合图象可知y的取值范围是．
故答案为．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．利用数形结合的思想是解题关键．
23. 四边形ABCD内接于，AC为其中一条对角线．
（1）如图①，若，，求的度数；
（2）如图②，若AD经过圆心O，CE为的切线，B为的中点，，求的大小．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据圆心角、弧、弦之间的关系即可解答；
（2）连接OC，由切线的性质可得，即可求出．再根据等边对等角即可求出，从而由圆内接四边形对角互补可求出．根据B为的中点，可得出，从而可求出．最后由求解即可．
【小问1详解】
解：∵四边形ABCD内接于，，∠BAD=70°
∴，
∴；
【小问2详解】
如图，连接OC．
∵CE为的切线，
∴．
∵，
∴．
∵AD经过圆心O，
∴，，
∴．
∵，
∴．
∵B为的中点，
∴，
∴，
∴．
∴．
【点睛】本题为圆的综合题．考查圆心角、弧、弦之间的关系，切线的性质，圆内接四边形的性质，圆周角定理以及等腰三角形的性质．熟练掌握圆的相关知识点，会连接常用的辅助线是解题关键．
24. 在平面直角坐标系中，已知点，点，点B在y轴正半轴上，且．
（1）如图1，绕着点O顺时针旋转，得，点A、B旋转后的对应点分别为、，记旋转角为．恰好经过点A时
①求此时旋转角的度数；
②求出此时点的坐标．
（2）如图2，若，设直线和直线交于点P，猜测与的位置关系，并说明理由．
（3）若，求（2）中的点P纵坐标的最小值（直接写出结果）．
【答案】（1）①；②；
（2），理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）①先根据点A（2，0），点，，求解点B的坐标，确定∠ABO=30°，证明是等边三角形，得旋转角α=60°；②如图1，过作轴于C，证明是30°的直角三角形，可得的坐标；
（2）依据旋转的性质可得，即可得出，再根据，四边形OBPA'的内角和为360°，即可得到，即；
（3）作AB的中点，连接MP，可得点P在以点M为圆心，以MP=AB=2为半径的圆上，即可得到当轴时，点P纵坐标的最小值为．
【小问1详解】
解：①∵点，点，．

∴∠ABO=30°，
由旋转得：
∴是等边三角形，
∴
②如图1，过作轴于C，
∵，，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
证明：如图2，∵，
∴，
∵，四边形的内角和为360°，
∴，
；
【小问3详解】
解：点P纵坐标的最小值为．
理由是： 如图，作AB的中点M，

，
则 连接MP，
∴点P在以点M为圆心，以MP=AB=为半径圆上．
∴当PM⊥x轴时，点P纵坐标最小值为．
【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，含30°角的直角三角形的性质，四边形内角和以及圆周角定理的综合运用，锐角三角函数的应用，解决问题的关键是判断点P的轨迹为以点M为圆心，以MP为半径的圆．
25. 已知抛物线交x轴交于和点，交y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点D是直线BC上一点，过点D作轴，交抛物线于点E（点E在点D的上方），再过点E作轴，交直线BC于点F．当的面积取最大值时，求点E的坐标；
（3）如图2，点M为抛物线对称轴l上的一点，点N为抛物线上的一点，当直线BC垂直平分MN时，求出点N的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）利用交点式设二次函数式，再代入抛物线与y轴的交点坐标，即可解答；
（2）利用待定系数法求直线BC解析式，设D(m,-m+3)，再表示出DE的长，根据题意求出△DEF为等腰直角三角形，然后把△DEF的面积用含m的代数式表示出来，最后利用二次函数性质求其最大值即可；
（3）连接ND，根据对称的性质和△AOB为等腰直角三角形推出△MDN是等腰直角三角形，得出ND=MD，设M(1,p)，然后分当M在D点上方时，当M在D点下方时两种情况分别表示出N点坐标，将其代入抛物线解析式建立方程求解，即可解决问题．
【小问1详解】
解：∵抛物线交x轴交于和点，
设，
∵当x=0时，y=3，
∴，
解得a=-1，
∴，
即．
【小问2详解】
解：设直线BC的解析式为：y=kx+b(k≠0)，
∵B(3,0)，C(0,3)，
则 ，
解得，
∴y=-x+3，
设D(m,-m+3)，
∴E(m,-m2+2m+3)，
∵DE= yE-yD=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m，
由（1）得，OB=OC=3，
∴△BOC为等腰直角三角形，
∵DE∥OC，EF∥OB，
∴△DEF为等腰直角三角形，
∴ ，
∵点E在点D的上方，
∴0∵ ，
∴当 时，DE的最大值为 ，
∴的最大值为 ；
【小问3详解】
解：如图，与直线相交与,连接ND，
∵BC是MN的对称轴，
∴ND=MD，
由（2）知△BOC是等腰直角三角形，
∴∠BDH=∠CBO=45°，
∴∠CDM=∠BDH=45°，
∴△MDN是等腰直角三角形，
∴抛物线的对称轴为 ，
设M(1,p)，D(1,-1+3)，即(1,2)，
∵ND=MD=p-2，
当M点在D点上方时，
∴xN=1-(p-2)=-p+3，
∴N(-p+3, 2)
∵N点在抛物线上，
∴ ，
解得或（舍去），
∴N点坐标 ；
当M点在D点下方时，
同理得出为等腰直角三角形，
∴ ，
设的坐标为 ，
∴ ，
∴xN’=(2-q)+1=3-q，
∴N’(3-q, 2)，
∵N’点在抛物线上，
∴ ，
解得（舍去）或，
∴，
综上，N点坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数图象和几何知识的综合，待定系数法求函数解析式，求最大值，轴对称图形等，解决问题的关键是能综合运用所学的数学知识和利用几何知识解决函数问题．
x
…
1
2
…

…
3
0
…