2021-2022学年天津市滨海新区九年级上学期数学期末试卷及答案

这是一份2021-2022学年天津市滨海新区九年级上学期数学期末试卷及答案，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 一元二次方程化成一般形式后，它的二次项系数和一次项系数分别是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先将原方程化为一般形式，进而作答即可．
【详解】一元二次方程化成一般形式为：
它的二次项系数和一次项系数分别是5，-4
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，即一元二次方程的一般形式是： (a，b，c是常数且a ≠ 0)特别要注意a≠ 0的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点，在一般形式中 叫二次项， 叫一次项，c是常数项，其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
2. 抛物线的开口方向、对称轴分别是（ ）
A. 向上，轴B. 向上，轴
C. 向下，轴D. 向下，轴
【答案】B
【解析】
【分析】利用二次函数的性质即可得到答案．
【详解】解： ，
抛物线开口向上，
，
对称轴为 ，对称轴为轴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查二次函数物线开口向上，，抛物线开口向下，对称轴为，掌握二次函数的性质是解题的关键．
3. 下列语句描述的事件为随机事件的是（ ）
A. 通常加热到时，水沸腾B. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
C. 任意画一个三角形，其内角和是D. 从三张扑克牌J，Q，K中取出一张是A
【答案】B
【解析】
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【详解】解：A. 通常加热到时，水沸腾是必然事件，不符合题意；
B. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，符合题意；
C. 任意画一个三角形，其内角和是是不可能事件，不符合题意；
D. 从三张扑克牌J，Q，K中取出一张是A是不可能事件，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，掌握必然事件、不可能事件、随机事件的概念是解题的关键．
4. 下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】解：A．此图案是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B．此图案仅是中心对称图形，不符合题意；
C．此图案既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
D．此图案既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，解题的关键是掌握轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
5. 抛物线y=2（x+3）2+5的顶点坐标是（ ）
A. （3，5）B. （﹣3，5）C. （3，﹣5）D. （﹣3，﹣5）
【答案】B
【解析】
【详解】解：抛物线y=2（x+3）2+5的顶点坐标是（﹣3，5），故选B．
6. 下列各点中与点关于原点对称的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用关于原点对称点的性质：关于原点对称的点的坐标为得出答案．
【详解】解：与点关于原点对称的点的坐标是：．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了关于点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键．
7. 不透明袋子中装有个红球、个绿球，这些球除了颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出个球，摸出红球的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】用红球数量除以总球数即可得到答案．
【详解】解：红球数量为5个，总的球数量为8个，
∴从中随机摸出一球为红球的概率是．
故选：D．
【点睛】本题考查概率公式的应用，熟练掌握概率公式是解题关键．
8. 如图，在中，，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据圆周角定理得，再由三角形的内角和是180°求解即可．
【详解】在中，，


故选：A．
【点睛】本题考查圆周角定理及三角形内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
9. 如图，在中，，，则的度数是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】连接OB，由垂径定理可得，再利用圆周角定理即可得到答案．
【详解】连接OB
，，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理和垂径定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
10. 如图，在长为33米宽为20米的矩形空地上修建同样宽的道路（阴影部分），余下的部分为草坪，要使草坪的面积为510平方米，则道路的宽为（ ）
A. 1米B. 2米C. 3米D. 4米
【答案】C
【解析】
【分析】设道路的宽为x，利用“道路的面积”作为相等关系可列方程20x+33x-x2=20×33-510，解方程即可求解．解题过程中要根据实际意义进行x的值的取舍．
【详解】设道路的宽为x,根据题意得20x+33x−x2=20×33−510
整理得x2−53x+150=0
解得x=50(舍去)或x=3
所以道路宽为3米.
故选C.
【点睛】此题考查一元二次方程的应用，解题关键在于理解题意找到等量关系.
11. 如图，在△中，，，点是的内心，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据内心为三角形角平分线的交点，结合三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：∵点是的内心，
∴BO平分，CO平分，
∴，，
∴．
故选A．
【点睛】本题考查三角形的内心与三角形内角和定理．掌握三角形的内心就是其角平分线的交点是解题关键．
12. 如图，二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐标为，其中，．下列结论：①，②，③中，正确的结论有（ ）
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意可当x=-2时，y＜0，可得，故①正确；再由二次函数的图象与轴交点的横坐标为，其中，．开口向下，可得，从而得到，故②正确；然后根据二次函数的图象经过点，且对称轴在直线x=-1的右侧，可得，从而得到，故③正确，即可求解．
【详解】解：根据题意得：当x=-2时，y＜0，
∴，故①正确；
∵二次函数的图象与轴交点的横坐标为，其中，．开口向下，
∴抛物线的对称轴，a＜0，
∴，
∴，故②正确；
∵二次函数的图象经过点，且对称轴在直线x=-1的右侧，
∴抛物线的顶点的纵坐标大于2，
∴，
∵a＜0，
∴，
∴，故③正确；
∴正确的有①②③，共3个．
故选：D
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
第Ⅱ卷（非选择题共84分）
注意事项：用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在“答题纸”上．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．
13. 抛物线可以由抛物线先向左平移个单位，再向下平移___________个单位得到的．
【答案】3
【解析】
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【详解】解：抛物线向左平移2个单位，向下平移3个单位得到的函数图象的解析式为：．
故答案为：3．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象平移变换，熟知函数图象平移变换的法则是解答此题的关键．
14. 在数学考试中，单项选择题（每个题目只有4个备选答案）是试卷的重要组成部分，当你遇到完全不会做的选择题时，如果你随便选择一个答案，那么你答对的概率为_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据概率公式计算，即可求解．
【详解】解：根据题意得：答对的概率为．
故答案为：
【点睛】本题考查了概率公式：熟练掌握随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数；P（必然事件）=1；P（不可能事件）=0是解题的关键．
15. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】由根的判别式可直接得到答案．
【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴∆，
解得<2．
故答案为：k<2．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．
16. 中，，则的内切圆的半径长是_________．
【答案】2
【解析】
【分析】设△ABC的内切圆为⊙O，内切圆的半径为r，由勾股定理的逆定理易得△ABC是直角三角形，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：设△ABC的内切圆为⊙O，内切圆的半径为r，
∵AB＝13，AC＝5，BC＝12，
∴AB2＝AC2+ BC2，
根据勾股定理的逆定理得△ABC是直角三角形，∠C=90°，
∴，
根据三角形的面积公式可得：
，
∴15r=30，即r=2，
故答案为：2．
【点睛】此题主要考查直角三角形内切圆半径求法，正确利用勾股定理的逆定理以及三角形的面积公式是解题关键．
17. 当或（）时，代数式的值相等，则时，代数式的值为_________．
【答案】3
【解析】
【分析】先由抛物线，可得抛物线的对称轴为直线x=2，从而得到以a、b为横坐标的点关于直线x=2对称，进而得到a+b=4，再把x=4代入，即可求解．
【详解】解：由抛物线，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
∵当或（）时，代数式的值相等，
∴当或（）时，抛物线的函数值相等，
∴以a、b为横坐标的点关于直线x=2对称，
∴，
∴a+b=4，
∵，
∴x=4，
当x=4时，，
即时，代数式的值为3．
故答案为：3
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的对称性和对称轴公式，是基础题，熟记性质和得出a+b=4是解题的关键．
18. 如图，为边长为的等边三角形，点分别为和的中点，点为内部一点，且，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到，连接．
（1）当三点共线时，线段的长度为_________；
（2）在旋转过程中，线段的最小值为_________．
【答案】 ①. ②. 1
【解析】
【分析】（1）在等边三角形中， 为中点，可得，由勾股定理可得长，又、、三点共线，即可求得；
（2）作线段的中点,连接,作,连接,将线段绕点按逆时针方向旋转得到,连接,此时的值最小，根据旋转性质可知,，可得，进而证明，即可求出的值.
【详解】解：（1）是等边三角形,边长为，
，
为的中点，
,,
，
，
点、、三点共线，，
，
线段的长度为；
(2)如图,作线段的中点,连接,作,连接,将线段绕点按逆时针方向旋转得到,连接,此时的值最小，
是等边三角形,边长为，
， ，
点为的中点，点为的中点，点为的中点，
，，，
,，
，
，
，
由旋转可知: ,，
，
，
在和中，
，
，
，
在旋转过程中,线段的最小值为.
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、勾股定理、三角形的全等，旋转的性质，正确地理解题意并且作出辅助线是解题的关键.
三、解答题：本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
19. （1）因式分解法解方程：；
（2）配方法解方程：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）根据因式分解法解方程；
（2）根据配方法解方程．
【详解】（1），
解：提公因式，得，
于是得，
．
（2），
解：移项，得，
配方，得，
，
由此可得，
．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握因式分解法和配方法解一元二次方程是解题的关键．
20. 如图，在半径为的中，弦的长为．
（1）求的度数；
（2）求点到的距离．
【答案】（1）
（2）到的距离为
【解析】
【分析】（1）利用可得为等边三角形，进而得到的度数；
（2）过点O作OC⊥AB于C，根据垂径定理求出AC，根据勾股定理求出OC即可．
【小问1详解】
解：在，，
∵，
∴为等边三角形，
∴；
【小问2详解】
过点 作于点，
在，于点，
∴，
∵ ，
∴，
在中，，，
∴＝，
∴到的距离为．
【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
21. 甲口袋中装有个相同的小球，它们分别写有数字和，乙口袋中装有个相同的小球，它们分别写有数字，和．从两个口袋中各随机取一个小球．请用画树状图或列表的方法求：
（1）取出的个小球上的数字之和是奇数的概率是多少？
（2）取出的个小球上的数字全是偶数的概率是多少？
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意画出树状图，得到所有可能出现的结果共有种，取出个小球上的数字之和是奇数有种，再根据概率公式，即可求解；
（2）根据题意画出树状图，得到所有可能出现的结果共有种，取出个小球上的数字全是偶数有种，再根据概率公式，即可求解．
【小问1详解】
解：根据题意，可以画出如下的树状图
所有可能出现的结果共有种等可能结果，取出个小球上的数字之和是奇数有种，
∴取出的个小球上的数字之和是奇数的概率是；
【小问2详解】
解：取出个小球上的数字全是偶数有种，
∴取出的个小球上的数字全是偶数的概率是．
【点睛】本题主要考查了利用树状图或列表法求概率，明确题意，准确画出树状图或列出表格是解题的关键．
22. 已知：内接于，．
（1）如图①，点在上，若，求和的大小；
（2）如图②，点在外，是的直径，与⊙相切于点，若，求的大小．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据圆内接四边形性质得到 的度数，再根据，得到，进而可求得的度数；
（2）根据切线的性质可得，根据可得的度数，根据直径所对的圆周角为直角可得，根据得出，进而可得出的度数．
【小问1详解】
解：∵四边形内接于，，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵与相切于点，
∴，
∴
∵在中，，
∴
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质、同弧所对弦相等、切线的性质、圆周角定理，掌握相关概念以及性质是解题的关键．
23. 某村种的水稻2018年平均每公顷产8000kg，2020年平均每公顷产9680kg，求该村水稻每公顷产量的年平均增长率．
解题方案：设该村水稻每公顷产量年平均增长率为x．
（1）用含的代数式表示：
①2019年种的水稻平均每公顷的产量为_________kg；
②2020年种的水稻平均每公顷的产量为_________kg；
（2）根据题意，列出相应方程_________；
（3）解这个方程，得_________；
（4）检验：_________；
（5）答：该村水稻每公顷产量的年平均增长率为_________%．
【答案】（1），
（2）
（3）
（4）当x＝－2.1时，不合题意，故舍去
（5）10
【解析】
【分析】解此类题时，先将所求问题设为x，根据增长后的产值=增长前的产值（1+增长率），即可用含x的代数式表示，再求解，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
【小问1详解】
解：根据题意，
①2019年种的水稻平均每公顷的产量为kg；
②2020年种的水稻平均每公顷的产量为kg；
故答案为：；；
【小问2详解】
解：由题意，可列出方程：；
故答案为：；
小问3详解】
解：，
解得：；
故答案为：；
【小问4详解】
解：检验：当x＝－2.1时，不合题意，故舍去；
故答案为：当x＝－2.1时，不合题意，故舍去；
【小问5详解】
解：该村水稻每公顷产量的年平均增长率为；
故答案为：10；
【点睛】解此类题时，先将所求问题设为x，然后用含x的代数式表示，再求解，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．
24. 四边形和四边形均为正方形，正方形绕点A顺时针旋转．
（1）正方形绕点A顺时针旋转到如图①位置时，且三点在同一直线上，则和的数量关系是_________；和的位置关系是_________；
（2）正方形绕点A顺时针旋转到如图②位置时，且点落在线段上．
①求证：；②若，求的长；
（3）如图③，若，，正方形绕点A顺时针旋转过程中，取的中点，连接，记的面积为S，求S的取值范围（直接写出结果即可）．
【答案】（1），
（2）①见解析；②
（3）
【解析】
【分析】（1）根据正方形的性质，结合全等三角形的性质，通过证明，得，，再根据三角形内角和的性质分析，即可完成证明；
（2）①根据正方形和全等三角形的性质分析，即可得到答案；
②根据正方形和全等三角形的性质，推导得点三点在一条直线上，根据勾股定理的性质，通过列一元二次方程并求解，即可得到答案；
（3）过点G作，交延长线于点Q，过点M作，根据三角形中位线性质，得；根据三角函数的性质，得，分点G在直线AB左侧和右侧两种情况，结合三角形面积的性质计算，即可得到答案．
【小问1详解】
根据题意，得：
∵四边形和四边形均为正方形
∴，，
和中

∴
∴，
如图，延长DG，交BE于点K
∵
∴
∴
∴
故答案为：，
【小问2详解】
①∵四边形和均为正方形，
∴
∴，即
在和中
∴；
②∵
∴，
∵
∴点三点在一条直线上
设正方形边长为，则，
在中，由勾股定理得，即，
整理得：，
解得：．
∴；
【小问3详解】
如图，过点G作，交延长线于点Q，过点M作
∴
∵点为的中点
∴为的中位线
∴
∵，，正方形形
∴，
∵
∴
∴
当点G在直线AB左侧时，
∴
当点G在直线AB右侧时，
∴
综上，
∴
∵
∴．
【点睛】本题考查了正方形、勾股定理、三角形、三角函数、一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握正方形、三角函数、三角形中位线的性质，从而完成求解．
25. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接，点是第一象限的抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点作于点．
①若，求点坐标；
②过点作轴于点，交于点，连接，当的周长取得最大值时，抛物线上是否存在一点，使，如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）①点D的坐标为(2，3)；②存在，点P的坐标为，，
【解析】
【分析】（1）把两点代入抛物线，利用待定系数法求解；
（2）①连接CD，证明△AOC为等腰直角三角形，△CDE为等腰直角三角形，根据角之间的关系推出CD∥OA，求出点C和D的纵坐标都等于3，把y＝3代入抛物线解析式即可求出；②DF⊥x轴，得出DH⊥OA，证明△DEF为等腰直角三角形，因为△DEF的周长等于．有，求出直线AC的解析式为y＝－x＋3，设点D的坐标为，，则，利用配方法研究最值．
【小问1详解】
解：把两点代入抛物线
则，
解得．
∴抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：①连接CD，
当x＝0时，y＝3，
即OC＝3，
∵OC＝OA＝3，∠AOC＝90°，
∴△AOC为等腰直角三角形，∠CAO＝45°．
∵DE⊥AC，DE＝CE，
∴△CDE为等腰直角三角形，∠DCE＝45°，
∴∠DCE＝∠OAC＝45°，即CD∥OA．
∴点C和D的纵坐标都等于3．
把y＝3代入抛物线解析式得，，
解得（舍去），，
∴点D的坐标为（2，3）．
②∵DF⊥x轴，
∴DH⊥OA，
∵∠CAO＝45°，
∴∠AFH＝45°，
∵DE⊥AC，∠DFE＝∠AFH＝45°，
∴△DEF为等腰直角三角形，
∴
则△DEF的周长等于．
∵，
∴直线AC的解析式为y＝－x＋3．
设点D的坐标为，，
则．
∴当时，DF取得最大值，此时△DEF的周长取得最大值．
点D的坐标为．
∵，
∴点P和D到直线AC的距离相等．
容易得知点P和D重合时符合题意，此时P的坐标为．
作直线l和k都和直线AC平行，且到直线AC的距离都相等，则直线l的解析式为
，直线k的解析式为．
联立直线与抛物线得，，
解得，
则点P的坐标为，．
综上所述：符合题意得点P的坐标为，，．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数、待定系数求解解析式、等腰直角形的判定及性质，解题的关键是利用属性结合的思想进行求解．