2022-2023学年北京朝阳区初三上学期数学期末试卷及答案

这是一份2022-2023学年北京朝阳区初三上学期数学期末试卷及答案，共25页。试卷主要包含了填空题，解答题．解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。

1. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．以下剪纸中，为中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据在平面内，把一个图形绕着某点旋转180度，如果旋转后得到的图形能够与原图形重合，那么这个图形就叫中心对称图形，据此即可解答．
【详解】A．不是中心对称图形，故不符合题意；
B．不是中心对称图形，故不符合题意；
C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意；
D．不是中心对称图形，故不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查中心对称图形的识别，解题的关键是熟练掌握中心对称图形的概念．
2. 下列事件中，为必然事件的是（ ）
A. 任意画一个三角形，其内角和180°B. 明天会下雪
C. 郑一枚骰子，向上一面的点数是7D. 足球运动员射门一次，未射进
【答案】A
【解析】
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念对各个选项进行判断即可
【详解】解：A、任意画一个三角形，其内角和是180°是必然事件，故选项符合题意；
B、明天会下雪是随机事件，故选项不符合题意；
C、郑一枚骰子，向上一面的点数是7是不可能事件，故选项不符合题意；
D、足球运动员射门一次，未射进是随机事件，故选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】此题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念，解题关键是熟记其有关概念．
3. 二次函数的顶点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数顶点式的图像与性质，直接写出二次函数的顶点坐标为，即可得到答案．
【详解】解：二次函数为顶点式，
二次函数的顶点坐标为，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数顶点式的图像与性质，熟记二次函数顶点式得到顶点坐标的方法是解决问题的关键．
4. 若关于x的方程有两个相等的实数根，则c的值是（ ）
A. 36B. C. 9D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据判别式的意义得到，然后解关于c的一次方程即可．
【详解】解：∵方程有两个相等的实数根
∴
解得
故选：C．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的跟与的关系，关键是分清楚以下三种情况：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
5. 如图，在中，弦，相交于点P，，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由圆周角定理可得，，然后由三角形外角的性质，求得的度数．
【详解】解：∵，，
∴；
故选：D．
【点睛】此题考查了圆周角定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
6. 不透明袋子中装有无差别的两个小球，分别写有“问天”和“梦天”．随机取出一个小球后，放回并摇匀，再随机取出一个小球，则两次都取到写有“问天”的小球的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】画树状图，共有4种等可能的结果，两次都取到写有“问天”的小球的结果有1种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：设“问天”为1，“梦天”为2，画树状图如图：
共有4种等可能的结果，两次都取到写有“问天”的小球的结果有1种，
∴两次都取到写有“问天”的小球的概率为，
故选：D．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
7. 如图，正方形的边长为4，分别以为圆心，2为半径作圆，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意可知阴影部分的面积为正方形的面积减去四个四分之一圆的面积求解即可．
【详解】解：∵正方形的边长为4，
∴正方形的面积为16，
又四个四分之一圆的面积等于一个半径为2的圆的面积为，
∴阴影部分的面积．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了圆的面积，正方形面积，解题关键是准确识图，构造等面积转化．
8. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，其中．将此抛物线向上平移，与轴交于，两点，其中，下面结论正确的是（ ）
A. 当时，，
B. 当时，，
C. 当时，，
D. 当时，，
【答案】A
【解析】
【分析】由二次函数的图象和性质，对分情况讨论，根据向上平移后对称轴不变，平移后的交点变化，进行判断即可
【详解】解：当时，抛物线开口向上，如图所示，
对称轴为，平移后的抛物线对称轴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴
∴
故A正确，B错误，
当时，抛物线开口向下，如图所示，
对称轴为，平移后的抛物线对称轴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
故C、D错误，
综上，故选：A．
【点睛】此题主要考查了二次函数的图象及性质，解题关键是利用二次函数的对称性．
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，然后直接作答即可．
【详解】解：根据中心对称的性质，可知：点关于原点O中心对称的点的坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题考查关于原点对称的点坐标的关系，是需要熟记的基本问题，记忆方法可以结合平面直角坐标系的图形．
10. 方程的根是______．
【答案】，
【解析】
【分析】根据直接开平方法求解即可．
【详解】解：，
，
∴，
即，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握用直接开平方法解一元二次方程是解题的关键．
11. 写出一个与抛物线开口方向相同的抛物线的表达式：______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据二次函数性质可得抛物线的开口方向是由二次项系数符号确定的，故只要二次项系数即可．
【详解】解：∵抛物线开口方向向上，
∴与抛物线开口方向相同的抛物线只要二次项系数，
∴与抛物线开口方向相同的抛物线为：，不唯一．
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，解题关键是熟记二次函数的性质．
12. 如图，矩形绿地的长和宽分别为和．若将该绿地的长、宽各增加，扩充后的绿地的面积为，则y与x之间的函数关系是______．（填“正比例函数关系”、“一次函数关系”或“二次函数关系”）
【答案】二次函数关系
【解析】
【分析】根据矩形面积公式求出y与x之间的函数关系式即可得到答案．
【详解】解：由题意得，
∴y与x之间的函数关系是二次函数关系，
故答案为；二次函数关系．
【点睛】本题主要考查了列函数关系式和二次函数的定义，正确列出y与x之间的函数关系式是解题的关键．
13. 如图，，是的两条切线，切点分别为连接，，若，则______°．
【答案】55
【解析】
【分析】根据切线的性质得到，，根据为等腰三角形，即，进而可得．
【详解】解：∵，是的两条切线，切点分别为
∴，，即，
∵为等腰三角形，
∴，
∴．
故答案为：55．
【点睛】此题主要考查了切线的性质，等腰三角形性质，解题关键是掌握切线的性质．
14. 如图是一个可以自由转动的质地均匀的转盘，被分成12个相同的小扇形．若把某些小扇形涂上红色，使转动的转盘停止时，指针指向红色的概率是，则涂上红色的小扇形有______个．
【答案】4
【解析】
【分析】由于转盘被分成12个大小相同的扇形，结合指针指向红色的概率为，让总份数乘以相应概率即为红色区域的份数．
【详解】解：要使转盘停止转动时，指针落在红色区域的概率为，
只需使红色区域占总面积的即可，而已知整个圆面被分成12等份，
故只需使红色占到等份．
故涂上红色的小扇形有4个，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
15. 某农科所在相同条件下做某种作物种子发芽率的试验，结果如下：
根据试验数据，估计该种作物种子能发芽的有______．
【答案】900
【解析】
【分析】大量重复试验下种子能发芽频率可以估计种子能发芽的概率，据此求解．
【详解】解：观察表格发现随着实验次数的增多频率逐渐稳定在0.9附近，
故种子能发芽的概率估计值为0.9．
∴估计该种作物种子能发芽的有，
故答案为：900(答案不唯一)．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中某个事件发生的频率能估计概率．
16. 某跨学科综合实践小组准备购买一些盒子存放实验材料．现有A，B，C三种型号的盒子，盒子容量和单价如下表所示：
其中A型号盒子做促销活动：购买三个及三个以上可一次性返现金4元，现有28升材料需要存放且每个盒子要装满材料．
（1）若购买A，B，C三种型号的盒子的个数分别为2，3，4，则购买费用为______元；
（2）若一次性购买所需盒子且使购买费用不超过58元，则购买A，B，C三种型号的盒子的个数分别为______．（写出一种即可）
【答案】 ①. 64 ②. 答案不唯一，如3，6，1
【解析】
【分析】（1）根据题意列整式，代入数据即可求解；
（2）先假设购买A型号的盒子3个，花费15元，能存放6升材料，设购买B，C两种型号的盒子的个数为，， 购买B，C两种型号的盒子的费用为，根据题意可得：，求得x得取值范围，分情况讨论找出符合条件的数值即可求解．
【详解】（1）购买费用为：（元），
故答案为：64；
（2）∵购买三个及三个以上A型号盒子可一次性返现金4元，
假设购买A型号的盒子3个，花费15元，能存放6升材料，实际花费为11元，
设购买B，C两种型号的盒子的个数为，， 购买B，C两种型号的盒子的费用为，根据题意可得：
整理得：
又，
解得：，
∵和需要同时满足正整数，
∴当，时，购买B，C两种型号的盒子的费用，不符合题意，
当，时，购买B，C两种型号的盒子的费用，符合题意，
∴购买A，B，C三种型号的盒子的个数分别为3，6，1（答案不唯一）．
【点睛】本题考查一次函数的应用—方案选择问题、一元一次不等式，解题的关键是正确解读题意，找出符合条件的取值范围，注意盒子的个数需要是正整数．
三、解答题（共68分，第17－22题，每题5分，第23－26题，每题6分，第27－28题，每题7分）．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 解方程：.
【答案】，
【解析】
【分析】直接因式分解即可求解．
【详解】
，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握方程解法是解题关键．
18. 已知二次函数几组x与y的对应值如下表：
（1）求此二次函数的表达式；
（2）直接写出当x取何值时，．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据表格数据特点可得出，二次函数图像经过点和点，顶点为，设该二次函数的表达式为，将代入即可；
（2）根据抛物线开口向上，经过点和点，根据二次函数的性质解答即可．
【小问1详解】
解：根据表格，二次函数图像经过点和点
对称轴为，
即顶点为，
设该二次函数的表达式为，
把代入，得
解得：，
二次函数的表达式为．
【小问2详解】
在中，
函数图像经过点和点，
且抛物线开口向上，
当时，．
【点睛】本题考查的是二次函数解析式，抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，掌握抛物线的对称性、灵活运用数形结合思想是解题的关键．
19. 已知是关于x的方程的一个根，求代数式的值．
【答案】4
【解析】
【分析】先将代入方程得到，再由，用整体代入法进行计算即可得到答案．
【详解】解：
．
∵是关于x的方程的一个根，
∴．
∴．
∴原式．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是掌握整体代入法进行求解．
20. 下面是小立设计的“过圆上一点作这个圆的切线”的尺规作图过程．
已知：及圆上一点A．
求作：直线，使得为的切线，A为切点．
作法：如图，
①连接并延长到点C；
②分别以点A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点D（点D在直线上方）；
③以点D为圆心，长为半径作；
④连接并延长，交于点B，作直线．
直线就是所求作的直线．
根据小立设计的尺规作图过程，完成下面的证明．（说明：括号里填推理的依据）
证明：连接．
∵ ①
∴点C在上，
∴是的直径．
∴ ② ．（ ③ ）
∴ ④ ．
∵是的直径，
∴是的切线．（ ⑤ ）
【答案】① ，② ，③ 直径所对的圆周角是直角，④ ，⑤ 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
【解析】
【分析】根据画法得，则点C在上，即是的直径即可得，即可得，根据是的直径得是的切线．
【详解】解：连接．
∵，
∴点C在上，
∴是的直径．
∴．（直径所对的圆周角是直角）
∴．
∵是的直径，
∴是的切线．（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）．
【点睛】本题考查了圆的性质，解题的关键是掌握圆周角的推论，切线的判定．
21. 如图，在中，，，，将绕点C逆时针旋转得到，使点A的对应点D落在边上，点B的对应点为E，求线段，的长．
【答案】；
【解析】
【分析】根据旋转的性质可得，继而即可求解．
【详解】解：由旋转可得， ，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，根据勾股定理，得，
∴．
【点睛】本题考查旋转的性质和全等三角形的性质，解题的关键是熟练掌握并运用旋转的性质．
22. 圆管涵是公路路基排水中常用的涵洞结构类型，它不仅力学性能好，而且构造简单、施工方便．某水平放置的圆管涵圆柱形排水管道的截面是直径为的圆，如图所示，若水面宽，求水的最大深度．
【答案】0.8m
【解析】
【分析】过点作于点，连接，根据垂径定理得到，再在中，根据勾股定理可求出，进而即可求解．
【详解】解：如图，作于点，连接，
∵，，
∵，
∴，
在中，根据勾股定理，得，
∴，
∴水的最大深度为0.8m．
【点睛】此题主要考查了垂径定理的应用，以及勾股定理，熟练掌握定理是解题的关键．
23. 已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+2m﹣1=0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为正整数，且该方程的根都是整数，求m的值．
【答案】（1）m＜；（2）m=2．
【解析】
【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的取值范围；
（2）找出m取值范围中的正整数，然后分别代入原方程，求出方程的根，经检验即可得到满足题意的m的值．
【详解】（1）∵依题意，得△=（-4）2﹣4（2m﹣1）＞0，
∴m＜，
即m的取值范围是m＜；
（2）∵m为正整数，
∴m=1或2，
当m=1时，方程为x2﹣4x+1=0的根不是整数；
当m=2时，方程为x2﹣4x+3=0的根x1=1，x2=3，都是整数，
综上所述，m=2．
【点睛】本题主要考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
24. 如图，的半径与弦互相垂直，垂足为D，连接，．
（1）求证：；
（2）延长交于点，过点作的切线交的延长线于点．若，，求的度数及的长．
【答案】（1）见解析 （2）；
【解析】
【分析】（1）根据圆周角定理得出，由，即可得证；
（2）根据平行线的性质得出，根据（1）的结论得出，即可求得，根据是的切线，在中，勾股定理求得的长，继而求得，进而即可求解．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∴
∵，
∴．
【小问2详解】
解：∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴
∵是的切线，
∴．
∵，
∴
在中，由勾股定理，得．
∴．
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
25. 一位运动员在距篮圈中心（点）水平距离处竖直跳起投篮（为出手点），球运行的路线是抛物线的一部分，当球运行的水平距离为时，达到最高点（点），此时高度为，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心（点）到地面的距离为，该运动员身高，在这次跳投中，球在头顶上方处出手，球出手时，他跳离地面的高度是多少？
【答案】0.15m
【解析】
【分析】设抛物线的表达式为，根据题意可知图象经过的坐标，由此可得的值，然后将代入抛物线解析式，得，再由即可求解．
【详解】解：如图，建立平面直角坐标系，
则，，
设抛物线的表达式为，
∵抛物线经过，
∴代入得，
∴抛物线的表达式为，
当时，，
，
∴球出手时，他跳离地面的高度是．
【点睛】此题主要考查了二次函数相关知识，利用二次函数解决抛物线形的实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上是解题关键．
26. 在平面直角坐标系中，点，在抛物线上．
（1）当时，求值；
（2）点在此抛物线上，若存在，使得，求的取值范围．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）将代入抛物线得到，再将点，代入抛物线即可求的值；
（2）由，，得，解得，再根据二次函数的性质以及对称轴进行分类讨论，即可求出的取值范围．
【小问1详解】
解：当时，函数表达式为，
当时，，
当时，，
∴，；
【小问2详解】
（2）由，，得
解得
根据题意，抛物线的对称轴为，
∵，
∴，
当时，
当时，；当时，，
∵，y随的增大而减小，
∴，
∵，
∴且，
∴，
当时，总有，不符合题意，
综上，的取值范围是．
【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上的点的坐标特征，解题关键是根据数形结合求解，注意分类讨论．
27. 如图，在中，，将边绕点逆时针旋转得到线段．
（1）判断与的数量关系并证明；
（2）将边绕点C顺时针旋转得到线段，连接与边交于点M（不与点重合）．
①用等式表示线段，之间的数量关系，并证明；
②若，，直接写出的长．（用含的式子表示）
【答案】（1），见解析
（2）①，见解析；②
【解析】
【分析】（1）根据三角形内角和定理得出，根据已知得出，等量代换及即可得证；
（2）①延长至点，使，证明，进而证明，即可得出；
②根据得出，根据，得出，根据即可求解．
【小问1详解】
.
证明：根据题意，.
∴
∵
∴
∴.
【小问2详解】
①.
证明：延长至点，使.
∵，，
∴.
∴，
∵，
∴
∵，
∴.
∵，
∴.
∴.
②∵，
∴，
∵，
∴
∴
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，旋转的性质，掌握以上知识是解题的关键．
28. 在平面直角坐标系中，已知点．对于点P的变换线段给出如下定义：点P关于原点O的对称点为M，将点M向上、向右各平移一个单位长度得到点N，称线段为点P的变换线段．
已知线段是点P的变换线段．
（1）若点，则点M的坐标为______，点N的坐标为______；
（2）若点P到点的距离为1
①的最大值为______；
②当点O到直线的距离最大时，点P的坐标为______．
【答案】（1），
（2））①；②或
【解析】
【分析】（1）根据中心对称及点的平移即可得出结果；
（2）①根据题意作出相应图象，然后得出当点P，M，N三点共线时，取得最大值为，结合平移即可得出结果；
②令点，连接，点P在以点E为圆心，1为半径的圆上，作直线使得且直线与圆E相切，连接，，过点E作，根据等腰直角三角形的性质结合图形求解即可．
【小问1详解】
解：∵P关于原点O的对称点为M，，
∴点M的坐标为，
将点M向上、向右各平移一个单位长度得到点N，
∴点N的坐标为，
故答案为：，；
【小问2详解】
①∵点P到点的距离为1，
∴点P在如图所示的圆上，
∵，点P关于原点O对称点为M，将点M向上、向右各平移一个单位长度得到点N，
∴当点P，M，N三点共线时，取得最大值为，
由图得：，
故答案为：
②令点，连接，点P在以点E为圆心，1为半径的圆上，作直线使得且直线与圆E相切，连接，，过点E作，
∴点O到直线的最大距离即为，
∴，
∴，
∴，
∴；
同理可得：，
综上可得：点P的坐标为或．
【点睛】题目主要考查中心对称及平移求点的坐标，点到直线的距离，勾股定理解三角形等，理解题意，利用树形结合思想求解是解题关键．
种子个数
100
200
300
400
500
800
1100
1400
1700
2000
发芽种子个数
94
187
282
337
436
718
994
1254
1531
1797
发芽种子频率
0.940
0.935
0.940
0.843
0.872
0.898
0.904
0.896
0.901
0.899
盒子型号
A
B
C
盒子容量/升
2
3
4
盒子单价/元
5
6
9
x
…
1
3
4
…
y
…
12
5
0
0
5
…