第1章 直线与方程 综合测试-新高二数学暑假精品课（苏教版必修第一册）

这是一份第1章 直线与方程 综合测试-新高二数学暑假精品课（苏教版必修第一册），文件包含第1章直线与方程综合测试原卷版docx、第1章直线与方程综合测试解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共14页， 欢迎下载使用。

1．经过两点A(4,2y＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为eq \f(3π,4)，则y＝( B )
A．－1 B．－3
C．0 D．2
【答案】B
【解析】由eq \f(2y＋1－－3,4－2)＝eq \f(2y＋4,2)＝y＋2，得y＋2＝taneq \f(3π,4)＝－1，∴y＝－3．故选B．
2．直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足( A )
A．ab>0，bc<0 B．ab>0，bc>0
C．ab<0，bc>0 D．ab<0，bc<0
【答案】A
【解析】由题意可知直线斜率小于0，纵截距大于0，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(a,b)<0，,－\f(c,b)>0，))，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ab>0,bc<0))，故选A．
3．直线2xcsα－y－3＝0(α∈[eq \f(π,6)，eq \f(π,3)])的倾斜角的变化范围是( B )
A．[eq \f(π,6)，eq \f(π,3)] B．[eq \f(π,4)，eq \f(π,3)]
C．[eq \f(π,4)，eq \f(π,2)] D．[eq \f(π,4)，eq \f(2π,3)]
【答案】A
【解析】直线2xcsα－y－3＝0的斜率k＝2csα.由于α∈[eq \f(π,6)，eq \f(π,3)]，所以eq \f(1,2)≤csα≤eq \f(\r(3),2)，
因此k＝2csα∈[1，eq \r(3)]．设直线的倾斜角为θ，则有tanθ∈[1，eq \r(3)]．
由于θ∈[0，π)，所以θ∈[eq \f(π,4)，eq \f(π,3)]，即倾斜角的变化范围是[eq \f(π,4)，eq \f(π,3)]．故选A．
4．直线xsinα＋y＋2＝0的倾斜角的范围是( B )
A．[0，π) B．[0，eq \f(π,4)]∪[eq \f(3π,4)，π)
C．[0，eq \f(π,4)] D．[0，eq \f(π,4)]∪(eq \f(π,2)，π)
【答案】B
【解析】设直线的倾斜角为θ，则tanθ＝－sinα，所以－1≤tanθ≤1，又θ∈[0，π]，所以0≤θ≤eq \f(π,4)或eq \f(3π,4)≤θ<π．故选B．
5．已知点A(1,3)，B(－2，－1)．若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，则k的取值范围是( D )
A．k≥eq \f(1,2) B．k≤－2
C．k≥eq \f(1,2)或k≤－2 D．－2≤k≤eq \f(1,2)
【答案】D
【解析】由已知直线l恒过定点P(2,1)，如图所示，若l与线段AB相交，则kPA≤k≤kPB，
∵kPA＝－2，kPB＝eq \f(1,2)，∴－2≤k≤eq \f(1,2)．故选D．
6．经过(2,0)且与曲线y＝eq \f(1,x)相切的直线与坐标轴围成的三角形面积为( A )
A．2 B．eq \f(1,2)
C．1 D．3
【答案】A
【解析】设切点为(m，eq \f(1,m))，m≠0，y＝eq \f(1,x)的导数为y′＝－eq \f(1,x2)，可得切线的斜率k＝－eq \f(1,m2)，切线方程为y－eq \f(1,m)＝－eq \f(1,m2)(x－m)，代入(2,0)，可得－eq \f(1,m)＝－eq \f(1,m2)(2－m)，解得m＝1，则切线方程为y－1＝－x＋1，切线与坐标轴的交点坐标为(0,2)，(2,0)，则切线与坐标轴围成的三角形面积为eq \f(1,2)×2×2＝2．故选A．
7．已知点(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于( C )
A．eq \r(2) B．2－eq \r(2)
C．eq \r(2)－1 D．eq \r(2)＋1
【答案】C
【解析】由题意得eq \f(|a－2＋3|,\r(1＋1))＝1．解得a＝－1＋eq \r(2)或a＝－1－eq \r(2)．∵a>0，∴a＝－1＋eq \r(2)．
8．“a＝2”是“两直线ax＋3y＋2a＝0和2x＋(a＋1)y－2＝0平行”的( A )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】两直线ax＋3y＋2a＝0和2x＋(a＋1)y－2＝0平行的充要条件为
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(aa＋1＝2×3,a×－2≠2a×2))，即a＝2或a＝－3，
又“a＝2”是“a＝2或a＝－3，的充分不必要条件，
即“a＝2”是“两直线ax＋3y＋2a＝0和2x＋(a＋1)y－2＝0平行”的充分不必要条件，故选A．
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
9．过点A(1,2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程不可能为( )
A．x－y＋1＝0B．x＋y－3＝0
C．2x－y＝0D．x－y－1＝0
【答案】AC
【解析】 当直线过原点时，可得斜率为eq \f(2－0,1－0)＝2，故直线方程为y＝2x，即2x－y＝0；当直线不过原点时，设直线方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,－a)＝1，代入点(1,2)，可得eq \f(1,a)－eq \f(2,a)＝1，解得a＝－1，直线方程为x－y＋1＝0，故所求直线方程为2x－y＝0或x－y＋1＝0．选项B、D不能同时满足题干中的两个条件．故选BD．
10．在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0不可能是( )
【答案】ACD
【解析】 由题意l1：y＝－ax－b，l2：y＝－bx－a，当a，b同号时，l1与l2的斜率与截距也同号，此时选项A、C不可能正确，选项B正确；当a，b异号时，l1与l2的斜率与截距也异号，此时选项D不可能正确．故选A、C、D．
11．下列说法错误的是( )
A．直线y＝ax－2a(a∈R)必过定点(2,0)
B．直线y＋1＝3x在y轴上的截距为1
C．直线x＋eq \r(3)y＋1＝0的倾斜角为120°
D．过点(－2,3)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方程为2x＋y＋1＝0
【答案】BC
【解析】 A，由直线方程有y＝a(x－2)，故必过(2,0)，正确；B，令x＝0得y＝－1，故在y轴上的截距为－1，错误；C，由直线方程知，斜率为－eq \f(\r(3),3)则倾斜角为150°，错误；D，由2x＋y＋1＝0，x－2y＋3＝0的斜率分别为－2，eq \f(1,2)，则有－2×eq \f(1,2)＝－1，故相互垂直，将(－2,3)代入方程2×(－2)＋3＋1＝0，正确．故选BC．
12．已知直线l1：ax－y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，a∈R，以下结论错误的是( )
A．无论a为何值，l1与l2都互相平行
B．当a变化时，l1与l2分别经过定点A(0,1)和B(－1,0)
C．无论a为何值，l1与l2都关于直线x＋y＝0对称
D．若l1与l2交于点M，则|MO|的最大值是eq \r(2)
【答案】AC
【解析】 对于A，a×1＋(－1)×a＝0，故l1与l2相互垂直恒成立，故A错误；
对于B，直线l1：ax－y＋1＝0，当a变化，x＝0时，y＝1恒成立，所以l1恒过定点A(0,1)；l2：x＋ay＋1＝0，当a变化，y＝0时，x＝－1恒成立，所以l2恒过定点B(－1,0)，故B正确；
对于C，在l1上任取一点(x，ax＋1)，关于直线x＋y＝0对称的点的坐标为(－ax－1，－x)，代入l2：x＋ay＋1＝0，得2ax＝0，不满足无论a为何值，2ax＝0成立，故C不正确；
对于D，联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ax－y＋1＝0，,x＋ay＋1＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(－a－1,a2＋1)，,y＝\f(－a＋1,a2＋1)，))
即Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－a－1,a2＋1)，\f(－a＋1,a2＋1)))，
所以|MO|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－a－1,a2＋1)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－a＋1,a2＋1)))2)＝eq \r(\f(2,a2＋1))≤eq \r(2)，所以|MO|的最大值是eq \r(2)，故D正确．故选AC．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 ．
【答案】3x－2y＝0或x＋y－5＝0_
【解析】当截距为0时，直线方程为3x－2y＝0；
当截距不为0时，设直线方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,a)＝1，
则eq \f(2,a)＋eq \f(3,a)＝1，解得a＝5.所以直线方程为x＋y－5＝0.
14．已知三角形的三个顶点A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，则BC边上中线所在的直线方程为 ．
【答案】x＋13y＋5＝0.
【解析】由题意可知BC的中点为H(eq \f(3,2)，－eq \f(1,2))，∴kAH＝eq \f(0－－\f(1,2),－5－\f(3,2))＝－eq \f(1,13).
故所求直线的方程为y－0＝－eq \f(1,13)(x＋5)，即x＋13y＋5＝0.
15．若直线l1：x＋2my－1＝0与l2：(3m－1)x－my－1＝0平行，则实数m的值为 ．
【答案】__0或eq \f(1,6)__.
【解析】因为直线l1：x＋2my－1＝0与l2：(3m－1)x－my－1＝0平行，则斜率相等或者斜率不存在，－eq \f(1,2m)＝eq \f(3m－1,m)或者m＝0，∴m＝eq \f(1,6)或0.
16．若两平行直线3x－2y－1＝0,6x＋ay＋c＝0之间的距离为eq \f(2\r(13),13)，则c的值是 ．
【答案】2或－6
【解析】依题意知，eq \f(6,3)＝eq \f(a,－2)≠eq \f(c,－1)，解得a＝－4，c≠－2，
即直线6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋eq \f(c,2)＝0，又两平行直线之间的距离为eq \f(2\r(13),13)，
所以eq \f(|\f(c,2)＋1|,\r(32＋－22))＝eq \f(2\r(13),13)，解得c＝2或－6.
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线l不过第四象限，求k的取值范围．
【解析】(1)证明：直线l的方程可化为y－1＝k(x＋2)，故无论k取何值，直线l必过定点(－2,1)．
(2)令x＝0得y＝2k＋1，即直线l在y轴上的截距为2k＋1.
由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k≥0，,2k＋1≥0))解得k≥0.
故取值范围是[0＋∞)．
18．(本小题满分12分)(1)求证：动直线(m2＋2m＋3)x＋(1＋m－m2)y＋3m2＋1＝0(其中m∈R)恒过定点，并求出定点坐标．
(2)求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程．
【解析】(1)证明：解法一：令m＝0，则直线方程为
3x＋y＋1＝0.
再令m＝1时，直线方程为6x＋y＋4＝0.
①和②联立方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x＋y＋1＝0，,6x＋y＋4＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝2.))
将点A(－1,2)的坐标代入动直线(m2＋2m＋3)x＋(1＋m－m2)y＋3m2＋1＝0中，
(m2＋2m＋3)×(－1)＋(1＋m－m2)×2＋3m2＋1＝(3－1－2)m2＋(－2＋2)m＋2＋1－3＝0，
故动直线(m2＋2m＋3)x＋(1＋m－m2)y＋3m2＋1＝0恒过定点A.
解法二：将动直线方程按m降幂排列整理，得m2(x－y＋3)＋m(2x＋y)＋3x＋y＋1＝0，①
不论m为何实数，①式恒为零，
∴有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＋3＝0，,2x＋y＝0，,3x＋y＋1＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝2.))
故动直线恒过点A(－1,2)．
(2)解法一：解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2y＋4＝0，,x＋y－2＝0，))得P(0,2)．
因为l3的斜率为eq \f(3,4)，且l⊥l3，所以直线l的斜率为－eq \f(4,3)，
由斜截式可知l的方程为y＝－eq \f(4,3)x＋2，
即4x＋3y－6＝0.
解法二：设所求直线方程为4x＋3y＋m＝0，
将解法一中求得的交点P(0,2)代入上式可得m＝－6，
故所求直线方程为4x＋3y－6＝0.
解法三：设直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，
即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0.
又∵l⊥l3，∴3×(1＋λ)＋(－4)×(λ－2)＝0，
解得λ＝11.
∴直线l的方程为4x＋3y－6＝0.
19．(本小题满分12分)已知直线l的方程为(m＋2)x－my－3m－8＝0，m∈R．
(1)求证：直线l恒过定点P，并求出定点P的坐标；
(2)若直线l在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程．
【解析】(1)证明：直线l的方程为(m＋2)x－my－3m－8＝0，m∈R，即m(x－y－3)＋(2x－8)＝0，
令eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y－3＝0，,2x－8＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝1，))
故直线l恒过定点P(4,1)．
(2)直线l方程为(m＋2)x－my－3m－8＝0，
当直线l不经过原点且在x轴，y轴上的截距相等时，
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋2·－m≠0，,－3m－8≠0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m≠－2且m≠0，,m≠－\f(8,3)，))
令y＝0，可得x＝eq \f(3m＋8,m＋2)，
再令x＝0，可得y＝－eq \f(3m＋8,m)，
由eq \f(3m＋8,m＋2)＝－eq \f(3m＋8,m)，可得m＝－1，
故直线l的方程为x＋y－5＝0．
当直线l经过原点时，－3m－8＝0，得m＝－eq \f(8,3)，
故直线l的方程为x－4y＝0．
综上，所求直线l的方程为x＋y－5＝0或x－4y＝0．
20．(本小题满分12分)(2021·镇江中学高二月考)已知▱ABCD中，A(－1，－1)，C(1,1)，点B位于第四象限．
(1)求直线AC的方程；
(2)若________时，求点B的坐标(从下面三个条件中任选一个，补充在问题中并作答)．
①△ABC是等边三角形；
②过点E(eq \r(3)，eq \r(3))垂直于AC的直线分别交坐标轴于M，N两点，且MN∥BD，MN＝BD；
③点E(－2,0)，AE∥BD，且▱ABCD的面积为4eq \r(3)．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】(1)因为A(－1，－1)，C(1,1)，所以kAC＝eq \f(－1－1,－1－1)＝1，所以直线AC的方程为y－1＝1(x－1)，即x－y＝0．
(2)若选①，若△ABC是等边三角形，则AC⊥BD，因为AC的中点坐标为(0,0)，所以BD过坐标原点，则直线BD的方程为y＝－x，设B(x，－x)(x>0)，由|AC|＝|BC|，得eq \r(－1－12＋－1－12)＝eq \r(x－12＋－x－12)，解得x＝eq \r(3)或x＝－eq \r(3)(舍去)，所以B点的坐标为(eq \r(3)，－eq \r(3))．
若选②，因为kAC＝1，所以过点E(eq \r(3)，eq \r(3))垂直于AC的直线方程为y－eq \r(3)＝－(x－eq \r(3))，即y＝－x＋2eq \r(3)，令x＝0则y＝2eq \r(3)，令y＝0则x＝2eq \r(3)，即M(2eq \r(3)，0)，N(0，2eq \r(3))，所以|MN|＝eq \r(2\r(3)2＋2\r(3)2)＝2eq \r(6)，
因为MN∥BD，AC的中点坐标为(0,0)，所以BD过坐标原点，所以直线BD的方程为y＝－x，设B(x，－x)(x>0)，则D(－x，x)，因为MN＝BD，所以eq \r(2x2＋－2x2)＝2eq \r(6)，解得x＝eq \r(3)或x＝－eq \r(3)(舍去)，所以B点的坐标为(eq \r(3)，－eq \r(3))．
若选③，因为点E(－2,0)，所以kAE＝eq \f(－1－0,－1－－2)＝－1，因为AE∥BD，AC的中点坐标为(0,0)，所以BD过坐标原点，所以直线BD的方程为y＝－x，设B(x，－x)(x>0)，则D(－x，x)，所以点B到AC的距离d＝eq \f(2x,\r(12＋－12))＝eq \r(2)x，又|AC|＝eq \r(－1－12＋－1－12)＝2eq \r(2)，所以S▱ABCD＝2S△ABC＝2×eq \f(1,2)×|AC|×d＝4eq \r(3)，即2eq \r(2)×eq \r(2)x＝4eq \r(3)，解得x＝eq \r(3)，所以B点的坐标为(eq \r(3)，－eq \r(3))．
21．(本小题满分12分)已知10条直线：
l1：x－y＋c1＝0，c1＝eq \r(2)，
l2：x－y＋c2＝0，
l3：x－y＋c3＝0，
…
l10：x－y＋c10＝0，其中c1这10条直线中，每相邻两条直线之间的距离依次为2,3,4，…，10．求：
(1)c10；
(2)x－y＋c10＝0与x轴、y轴围成的图形的面积．
【解析】(1)原点O到l1的距离为d1＝eq \f(|0－0＋\r(2)|,\r(12＋－12))＝1，
原点O到l2的距离为d2＝1＋2，
原点O到l3的距离为d3＝1＋2＋3，
…
原点O到l10的距离为d10＝1＋2＋3＋…＋10＝55．
因为d10＝eq \f(c10,\r(2))，所以c10＝55eq \r(2)．
(2)由(1)知，直线l10的方程为x－y＋55eq \r(2)＝0，其与x轴交于点M(－55eq \r(2)，0)，与y轴交于点N(0,55eq \r(2))，则△OMN的面积为S△OMN＝eq \f(1,2)×|OM|×|ON|＝eq \f(1,2)×(55eq \r(2))2＝3 025．
22．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，射线OA：x－y＝0(x≥0)，OB：x＋2y＝0(x≥0)，过点P(1,0)作直线分别交射线OA，OB于A，B两点．
(1)当AB中点为P时，求直线AB的方程；
(2)当AB中点在直线y＝eq \f(1,2)x上时，求直线AB的方程．
【解析】(1)因为A，B分别为直线与射线OA：x－y＝0(x≥0)及OB：x＋2y＝0(x≥0)的交点，所以可设A(a，a)，B(－2b，b)，又点P(1,0)是AB的中点，
所以有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a－2b,2)＝1，,\f(a＋b,2)＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(2,3)，,b＝－\f(2,3)，,))所以A，B两点的坐标为Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(2,3)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，－\f(2,3)))，所以kAB＝eq \f(－\f(2,3)－\f(2,3),\f(4,3)－\f(2,3))＝－2，
所以直线AB的方程为y－0＝－2(x－1)，即2x＋y－2＝0．
(2)①当直线AB的斜率不存在时，则AB的方程为x＝1，易知A，B两点的坐标分别为A(1,1)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(1,2)))，所以AB的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,4)))，显然不在直线y＝eq \f(1,2)x上，
即AB的斜率不存在时不满足条件；
②当直线AB的斜率存在时，记为k，易知k≠0且k≠1，则直线AB的方程为y＝k(x－1)．
分别联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx－1，,x－y＝0))及eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx－1，,x＋2y＝0，))
可求得A，B两 点的坐标分别为Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(k,k－1)，\f(k,k－1)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2k,1＋2k)，－\f(k,1＋2k)))，
所以AB的中点坐标为
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(k,2k－2)＋\f(k,1＋2k)，\f(k,2k－2)－\f(k,2＋4k)))，
又AB的中点在直线y＝eq \f(1,2)x上，所以eq \f(k,2k－2)－eq \f(k,2＋4k)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(k,2k－2)＋\f(k,1＋2k)))，解得k＝eq \f(5,2)，
所以直线AB的方程为y＝eq \f(5,2)(x－1)，即5x－2y－5＝0．