第3章 圆锥曲线与方程 综合测试-新高二数学暑假精品课（苏教版必修第一册）

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1．抛物线y＝2x2的焦点坐标是( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,8)))D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)，0))
【答案】C
【解析】 抛物线的标准方程为x2＝eq \f(1,2)y，焦点在y轴上，∴焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,8)))．
2．(2019·全国卷Ⅰ)双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为( )
A．2sin 40°B．2cs 40°
C．eq \f(1,sin 50°)D．eq \f(1,cs 50°)
【答案】D
【解析】 由题意可得－eq \f(b,a)＝tan 130°，所以e＝ eq \r(1＋\f(b2,a2))＝eq \r(1＋tan2130°)＝ eq \r(1＋\f(sin2130°,cs2130°))＝eq \f(1,|cs 130°|)＝eq \f(1,cs 50°)．故选D．
3．设椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B．若|BF2|＝|F1F2|＝2，则该椭圆的方程为( )
A．eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1B．eq \f(x2,3)＋y2＝1
C．eq \f(x2,2)＋y2＝1D．eq \f(x2,4)＋y2＝1
【答案】A
【解析】 ∵|BF2|＝|F1F2|＝2，∴a＝2c＝2，∴a＝2，c＝1，∴b＝eq \r(3)．∴椭圆的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1．
4．黄金分割起源于公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题，公元前300年前后欧几里得撰写《几何原本》时吸收了欧多克索斯的研究成果，进一步系统论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著．黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为eq \f(\r(5)－1,2)，把eq \f(\r(5)－1,2)称为黄金分割数．已知双曲线eq \f(x2,\r(5)－12)－eq \f(y2,m)＝1的实轴长与焦距的比值恰好是黄金分割数，则实数m的值为( )
A．2eq \r(5)－2B．eq \r(5)＋1
C．2D．2eq \r(5)
【答案】A
【解析】 在双曲线eq \f(x2,\r(5)－12)－eq \f(y2,m)＝1中，a2＝(eq \r(5)－1)2，b2＝m，所以c2＝a2＋b2＝(eq \r(5)－1)2＋m．因为双曲线的实轴长与焦距的比值为黄金分割数eq \f(\r(5)－1,2)，则eq \f(2a,2c)＝eq \f(a,c)＝eq \f(\r(5)－1,2)，所以eq \f(a2,c2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5)－1,2)))2＝eq \f(3－\r(5),2)，所以eq \f(\r(5)－12,\r(5)－12＋m)＝eq \f(3－\r(5),2)，解得m＝2eq \r(5)－2．故选A．
5．已知双曲线eq \f(x2,2)－eq \f(y2,b2)＝1(b＞0)的左、右焦点分别是F1，F2，其一条渐近线方程为y＝x，点P(eq \r(3)，y0)在双曲线上，则eq \(PF1,\s\up7(―→))·eq \(PF2,\s\up7(―→))等于( )
A．－12B．－2
C．0D．4
【答案】C
【解析】 由渐近线方程为y＝x，知双曲线是等轴双曲线，所以双曲线方程是x2－y2＝2，于是两焦点分别是F1(－2，0)和F2(2,0)，且P(eq \r(3)，1)或P(eq \r(3)，－1)．不妨取点P(eq \r(3)，1)，则eq \(PF1,\s\up7(―→))＝(－2－eq \r(3)，－1)，eq \(PF2,\s\up7(―→))＝(2－eq \r(3)，－1)．所以eq \(PF1,\s\up7(―→))·eq \(PF2,\s\up7(―→))＝(－2－eq \r(3)，－1)·(2－eq \r(3)，－1)＝－(2＋eq \r(3))(2－eq \r(3))＋1＝0．
6．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2,0)且斜率为eq \f(2,3)的直线与C交于M，N两点，则eq \(FM,\s\up7(―→))·eq \(FN,\s\up7(―→))＝( )
A．5B．6
C．7D．8
【答案】D
【解析】 过点(－2,0)且斜率为eq \f(2,3)的直线的方程为y＝eq \f(2,3)(x＋2)，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\f(2,3)x＋2，,y2＝4x))消y得x2－5x＋4＝0，解得x＝1或x＝4，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝4．))不妨设M(1,2)，N(4，4)，易知F(1,0)，所以eq \(FM,\s\up7(―→))＝(0,2)，eq \(FN,\s\up7(―→))＝(3,4)，所以eq \(FM,\s\up7(―→))·eq \(FN,\s\up7(―→))＝8．故选D．
7．我们把由半椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(x≥0)与半椭圆eq \f(y2,b2)＋eq \f(x2,c2)＝1(x＜0)合成的曲线称作“果圆”(其中a2＝b2＋c2，a＞b＞c＞0)，如图所示，其中点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点．若△F0F1F2是边长为1的等边三角形，则a，b的值分别为( )
A．eq \f(\r(7),2)，1B．eq \r(3)，1
C．5,3D．5,4
【答案】A
【解析】 ∵|OF2|＝eq \r(b2－c2)＝eq \f(1,2)，|OF0|＝c＝eq \r(3)|OF2|＝eq \f(\r(3),2)，∴b＝1，∴a2＝b2＋c2＝1＋eq \f(3,4)＝eq \f(7,4)，得a＝eq \f(\r(7),2)．
8．如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，A，B是椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥x轴，PF2∥AB，则此椭圆的离心率是( )
A．eq \f(1,2)B．eq \f(\r(5),5)
C．eq \f(1,3)D．eq \f(\r(2),2)
【答案】B
【解析】 由题意设椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，则点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－c，\f(b2,a)))，A(a,0)，B(0，b)，F2(c,0)，于是kAB＝－eq \f(b,a)，kPF2＝－eq \f(b2,2ac)，由kAB＝kPF2得b＝2c，故a＝eq \r(5)c，e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(5),5)．
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
9．已知曲线C：mx2＋ny2＝1，则下列说法正确的有( )
A．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m＝n＞0，则C是圆，其半径为eq \r(n)
C．若mn＜0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝± eq \r(－\f(m,n))x
D．若m＝0，n＞0，则C是两条直线
【答案】ACD
【解析】 对于选项A，∵m＞n＞0，∴0＜eq \f(1,m)＜eq \f(1,n)，方程mx2＋ny2＝1可变形为eq \f(x2,\f(1,m))＋eq \f(y2,\f(1,n))＝1，∴该方程表示焦点在y轴上的椭圆，正确；对于选项B，∵m＝n＞0，∴方程mx2＋ny2＝1可变形为x2＋y2＝eq \f(1,n)，该方程表示半径为eq \r(\f(1,n))的圆，错误；对于选项C，∵mn＜0，∴该方程表示双曲线，令mx2＋ny2＝0⇒y＝± eq \r(－\f(m,n))x，正确；对于选项D，∵m＝0，n＞0，∴方程mx2＋ny2＝1变形为ny2＝1⇒y＝±eq \r(\f(1,n))，该方程表示两条直线，正确．故选A、C、D．
10．设椭圆C：eq \f(x2,2)＋y2＝1的左右焦点为F1，F2，P是C上的动点，则下列结论正确的是( )
A．离心率e＝eq \f(\r(6),2)
B．△PF1F2面积的最大值为eq \r(2)
C．以线段F1F2为直径的圆与直线x＋y－eq \r(2)＝0相切
D．eq \(PF1,\s\up7(―→))·eq \(PF2,\s\up7(―→))的最小值为0
【答案】CD
【解析】 对于A，由椭圆C：eq \f(x2,2)＋y2＝1可知，a＝eq \r(2)，b＝1，c＝1，所以左、右焦点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2)，故选项A错误；
对于B，|F1F2|＝2，当P点与椭圆的上下顶点重合时，△PF1F2面积的最大，所以△PF1F2面积的最大值为eq \f(1,2)×2×b＝eq \f(1,2)×2×1＝1，故选项B错误；
对于C，以线段F1F2为直径的圆的圆心(0,0)，半径为1，由圆心(0,0)到直线x＋y－eq \r(2)＝0的距离d＝eq \f(\r(2),\r(12＋12))＝1＝c，所以以线段F1F2为直径的圆与直线x＋y－eq \r(2)＝0相切，故选项C正确；
对于D，设P(x，y)，eq \(PF1,\s\up7(―→))＝(－1－x，－y)，eq \(PF2,\s\up7(―→))＝(1－x，－y)，eq \(PF1,\s\up7(―→))·eq \(PF2,\s\up7(―→))＝x2＋y2－1＝x2＋1－eq \f(x2,2)－1＝eq \f(x2,2)≥0，则eq \(PF1,\s\up7(―→))·eq \(PF2,\s\up7(―→))的最小值为0，故选项D正确．故选C、D．
11．已知抛物线x2＝4y的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线上两点，则下列结论正确的是( )
A．点F的坐标为(0,1)
B．若A，F，B三点共线，则eq \(OA,\s\up7(―→))·eq \(OB,\s\up7(―→))＝3
C．若直线OA与OB的斜率之积为－eq \f(1,4)，则直线AB过点F
D．若|AB|＝6，则AB的中点到x轴距离的最小值为2
【答案】ACD
【解析】 抛物线x2＝4y的焦点为F(0,1)，A选项正确；
若A，F，B三点共线，则直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝kx＋1，联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋1，,x2＝4y，))
得x2－4kx－4＝0，x1x2＝－4，y1y2＝eq \f(x\\al(2,1),4)·eq \f(x\\al(2,2),4)＝1，所以eq \(OA,\s\up7(―→))·eq \(OB,\s\up7(―→))＝－3，B选项错误；
kOA·kOB＝eq \f(y1y2,x1x2)＝－eq \f(1,4)，即x1x2＋4y1y2＝0，x1x2≠0，
设直线AB的方程为y＝kx＋b，联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋b，,x2＝4y，))得x2－4kx－4b＝0，
x1x2＝－4b，y1y2＝eq \f(x\\al(2,1),4)·eq \f(x\\al(2,2),4)＝b2，Δ＝16k2＋16b＞0，k2＋b＞0，x1＋x2＝4k，
－4b＋4b2＝0，b＝0(舍去)或b＝1．所以直线AB的方程为y＝kx＋1，过F(0，1)，C选项正确；
|AB|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(x1＋x22－4x1x2)＝eq \r(1＋k2)·eq \r(16k2＋16b)＝6,4(1＋k2)(k2＋b)＝9，
b＝eq \f(9,41＋k2)－k2，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2b＝4k2＋2b，
所以AB的中点到x轴的距离d＝2k2＋b＝2k2＋eq \f(9,41＋k2)－k2＝k2＋eq \f(9,41＋k2)
＝k2＋1＋eq \f(9,41＋k2)－1≥2·eq \r(k2＋1·\f(9,41＋k2))－1＝2，当且仅当k2＋1＝eq \f(9,41＋k2)，k2＝eq \f(1,2)时等号成立．
故AB的中点到x轴的距离的最小值为2，D选项正确．故选A、C、D．
12．已知双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,3)＝1的两个顶点分别是A1，A2，两个焦点分别是F1，F2．P是双曲线上异于A1，A2的任意一点，则有( )
A．eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(|PA1|－|PA2|))＝4
B．直线PA1，PA2的斜率之积等于eq \f(3,4)
C．使得△PF1F2为等腰三角形的点P有8个
D．若eq \(PA1,\s\up7(―→))·eq \(PA2,\s\up7(―→))＝3，则eq \(PF1,\s\up7(―→))·eq \(PF2,\s\up7(―→))＝0
【答案】B
【解析】CD 设点P(x0，y0)(x0≠±2)，A1(－2,0)，A2(2，0)，F1(－eq \r(7)，0)，F2(eq \r(7)，0)．
A，不妨取点P(4,3)满足双曲线方程，此时eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(|PA1|－|PA2|))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\r(62＋32)－\r(22＋32)))＝3eq \r(5)－eq \r(13)≠4，故错误；
B，kPA1·kPA2＝eq \f(y0,x0＋2)·eq \f(y0,x0－2)＝eq \f(y\\al(2,0),x\\al(2,0)－4)，又因为eq \f(x\\al(2,0),4)－eq \f(y\\al(2,0),3)＝1，代入可得kPA1·kPA2＝eq \f(\f(3,4)x\\al(2,0)－3,x\\al(2,0)－4)＝eq \f(3,4)，故正确；
C，分别以F1，F2为圆心，以|F1F2|为半径作圆，与双曲线交于8个点，如图所示，故使得△PF1F2为等腰三角形的点P有8个，故正确；
D，因为eq \(PA1,\s\up7(―→))·eq \(PA2,\s\up7(―→))＝3，故可得(x0－2)(x0＋2)＋yeq \\al(2,0)＝3，解得xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)＝7．则eq \(PF1,\s\up7(―→))·eq \(PF2,\s\up7(―→))＝(x0＋eq \r(7))(x0－eq \r(7))＋yeq \\al(2,0)＝xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)－7＝0，故正确．故选B、C、D．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．写出一个对称中心在坐标原点并同时满足下列条件的椭圆方程：____________．
①焦点在x轴上；②离心率为eq \f(\r(6),3)．
【答案】eq \f(x2,3)＋y2＝1(答案不唯一，满足a2＝3b2即可)
【解析】由题意，设椭圆方程：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，椭圆的焦距为2c，
由e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2－b2,a2)＝1－eq \f(b2,a2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),3)))2＝eq \f(2,3)，从而a2＝3b2．
令b＝1，则a＝eq \r(3)，
故椭圆方程为eq \f(x2,3)＋y2＝1．
14．已知二次曲线eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,m)＝1，当m∈[－2，－1]时，该曲线的离心率的取值范围是________．
【答案】eq \f(\r(5),2)，eq \f(\r(6),2)
【解析】∵m∈[－2，－1]，
∴曲线方程化为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,－m)＝1，曲线为双曲线，
∴e＝eq \f(\r(4－m),2)．∵m∈[－2，－1]，∴eq \f(\r(5),2)≤e≤eq \f(\r(6),2)．
15．抛物线y2＝8x的焦点到双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1渐近线的距离为________，双曲线右焦点到抛物线准线的距离为________．
【答案】eq \f(6,5) 7
【解析】抛物线y2＝8x的焦点F(2,0)，双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1的一条渐近线方程为y＝eq \f(3,4)x，即3x－4y＝0，则点F(2,0)到渐近线3x－4y＝0的距离为eq \f(|3×2－4×0|,\r(32＋42))＝eq \f(6,5)．双曲线右焦点的坐标为(5,0)，抛物线的准线方程为x＝－2，所以双曲线右焦点到抛物线准线的距离为7．
16．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的离心率等于2，它的焦点到渐近线的距离等于1，则该双曲线的方程为________．
【答案】3x2－y2＝1
【解析】由题意可得e＝eq \f(c,a)＝2，则c＝2a，其中一个焦点为F(c,0)，渐近线方程为bx±ay＝0，
所以eq \f(bc,\r(b2＋a2))＝eq \f(bc,c)＝b＝1，又c2＝4a2＝a2＋b2，所以a2＝eq \f(1,3)，
所以所求双曲线的方程为3x2－y2＝1．
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交于点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\r(6)))，求抛物线的方程和双曲线的方程．
【解析】依题意，设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，
∵点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\r(6)))在抛物线上，∴6＝2p×eq \f(3,2)．∴p＝2，
∴所求抛物线的方程为y2＝4x．
∵双曲线的左焦点在抛物线的准线x＝－1上，
∴c＝1，即a2＋b2＝1，
又点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\r(6)))在双曲线上，∴eq \f(9,4a2)－eq \f(6,b2)＝1，
解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＋b2＝1，,\f(9,4a2)－\f(6,b2)＝1，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝\f(1,4)，,b2＝\f(3,4)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝9，,b2＝－8))(舍去)．
∴所求双曲线的方程为4x2－eq \f(4,3)y2＝1．
18．(本小题满分12分)某河道上有一抛物线型拱桥，在正常水位时，拱桥最高点距水面9 m，拱桥内水面宽30 m，一条船在水面以上部分高7 m，船顶部宽6 m．
(1)试建立适当的直角坐标系，求拱桥所在的抛物线的标准方程；
(2)近日由于水位暴涨了2．46 m，为此，必须加重船载，降低船身，才能通过桥洞，试问：船身至少应该降低多少？(精确到0．1 m)
【解析】(1)设抛物线型拱桥与水面两交点分别为A，B，
以AB垂直平分线为y轴，拱桥最高点O为坐标原点，建立平面直角坐标系，
则A(－15，－9)，B(15，－9)，
设拱桥所在的抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)，
因点A(－15，－9)在抛物线上，代入解得2p＝25，
故拱桥所在的抛物线方程是x2＝－25y．
(2)因x2＝－25y，故当x＝3时，y＝－0．36，
故当水位暴涨2．46 m后，船身至少应降低7＋2．46－(9－0．36)＝0．82，
因精确到0．1 m，故船身应降低0．9 m．
故船身应降低0．9 m，才能安全通过桥洞．
19．(本小题满分12分)设F1，F2分别为椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，F1到直线l的距离为2eq \r(3)．
(1)求椭圆C的焦距；
(2)如果eq \(AF2,\s\up7(―→))＝2eq \(F2B,\s\up7(―→))，求椭圆C的方程．
【解析】(1)设焦距为2c，由已知可得F1到直线l的距离eq \r(3)c＝2eq \r(3)，故c＝2．所以椭圆C的焦距为4．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由题意知y1＜0，y2＞0，直线l的方程为y＝eq \r(3)(x－2)．
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\r(3)x－2，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1))得(3a2＋b2)y2＋4eq \r(3)b2y－3b4＝0．
解得y1＝eq \f(－\r(3)b22＋2a,3a2＋b2)，y2＝eq \f(－\r(3)b22－2a,3a2＋b2)．
因为eq \(AF2,\s\up7(―→))＝2eq \(F2B,\s\up7(―→))，所以－y1＝2y2，
即eq \f(\r(3)b22＋2a,3a2＋b2)＝2·eq \f(－\r(3)b22－2a,3a2＋b2)，
得a＝3，而a2－b2＝4，所以b＝eq \r(5)，
故椭圆C的方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1．
20．(本小题满分12分)(2021·前黄高级中学高二月考)已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率e＝eq \f(2\r(2),3)，且________．
在①过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(\r(5),3)))；②过焦点且垂直于长轴的弦的长度为eq \f(2,3)；③长轴长为6．这三个条件中任选一个，补充在上面问题中，并解答．
(1)求椭圆的方程；
(2)过右焦点F的直线l交椭圆于P，Q两点．当直线l的倾斜角为eq \f(π,6)时，求△POQ的面积．
注：若选择不同的条件分别解答，则按第一个解答计分．
【解析】(1)设椭圆的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，
若选①有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(c,a)＝\f(2\r(2),3)，,\f(4,a2)＋\f(5,9b2)＝1，,a2＝b2＋c2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝9，,b2＝1，))所以椭圆的方程为eq \f(x2,9)＋y2＝1．
若选②有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(c,a)＝\f(2\r(2),3)，,\f(2b2,a)＝\f(2,3)，,a2＝b2＋c2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝9，,b2＝1，))所以椭圆的方程为eq \f(x2,9)＋y2＝1．
若选③有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(c,a)＝\f(2\r(2),3)，,2a＝6，,a2＝b2＋c2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝9，,b2＝1，))所以椭圆的方程为eq \f(x2,9)＋y2＝1．
(2)由(1)可知右焦点为(2eq \r(2)，0)，当直线l的倾斜角为eq \f(π,6)时，可得直线方程为y＝eq \f(\r(3),3)x－eq \f(2\r(6),3)．
可得坐标原点到直线的距离d＝eq \f(2\r(6),\r(3＋9))＝eq \r(2)，
直线联立椭圆方程整理化简得4x2－12 eq \r(2)x＋15＝0，
由弦长公式可得|PQ|＝eq \r(1＋\f(1,3))×eq \f(\r(12\r(2)2－4×4×15),4)＝2，所以S△POQ＝eq \f(1,2)×2×eq \r(2)＝eq \r(2)．
21．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中，直线y＝2x是双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的一条渐近线，点A(1,0)在双曲线C上，设M(m，n)(n≠0)为双曲线上的动点，直线AM与y轴相交于点P，点M关于y轴的对称点为N，直线AN与y轴相交于点Q．
(1)求双曲线C的方程；
(2)在x轴上是否存在一点T？使得eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(eq \(TP,\s\up7(―→))＋eq \(TQ,\s\up7(―→)) ))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(eq \(PQ,\s\up7(―→)) ))，若存在，求T点的坐标；若不存在，说明理由；
(3)求M点的坐标，使得△MPQ的面积最小．
【解析】(1)由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(b,a)＝2，,a＝1，))所以a＝1，b＝2，所以双曲线C的方程为x2－eq \f(y2,4)＝1．
(2)设T(x0,0)，因为AM∶y＝eq \f(n,m－1)(x－1)，令x＝0得Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(n,m－1)))，AN∶y＝eq \f(n,－m－1)(x－1)，令x＝0得Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(n,m＋1)))．
因为eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(eq \(TP,\s\up7(―→))＋eq \(TQ,\s\up7(―→)) ))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(eq \(PQ,\s\up7(―→))))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(eq \(TP,\s\up7(―→))－eq \(TQ,\s\up7(―→)) ))，平方可得eq \(TP,\s\up7(―→))·eq \(TQ,\s\up7(―→))＝0，所以xeq \\al(2,0)－eq \f(n,m＋1)·eq \f(n,m－1)＝0⇒xeq \\al(2,0)＝eq \f(n2,m2－1)，
因为m2－eq \f(n2,4)＝1，所以eq \f(n2,m2－1)＝4，故x0＝±2，所以存在
T(±2,0)满足条件．
(3)因为S△MPQ＝eq \f(1,2)·|m|·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(n,m＋1)＋\f(n,m－1)))＝eq \f(1,2)·|m|·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(2mn,m2－1)))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(m2n,m2－1)))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(4m2n,n2)))＝eq \f(4m2,|n|)＝4eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(n2,4))),|n|)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(n＋\f(4,n)))≥4，当且仅当|n|＝2时，取得最小值，
此时M的坐标是(eq \r(2)，2)或(eq \r(2)，－2)或(－eq \r(2)，2)或
(－eq \r(2)，－2)．
22．(本小题满分12分)
已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率e＝eq \f(\r(6),3)，过点A(0，－b)和B(a,0)的直线与原点的距离为eq \f(\r(3),2)．
(1)求椭圆的方程；
(2)已知定点E(－1,0)，若直线y＝kx＋2(k≠0)与椭圆交于C，D两点，问：是否存在k，使以CD为直径的圆过E点，请说明理由．
【解析】(1)直线AB的方程为bx－ay－ab＝0．
依题意eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(c,a)＝\f(\r(6),3)，,\f(ab,\r(a2＋b2))＝\f(\r(3),2)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\r(3)，,b＝1．))
∴椭圆方程为eq \f(x2,3)＋y2＝1．
(2)假设存在这样的k值，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋2，,x2＋3y2－3＝0，))得
(1＋3k2)x2＋12kx＋9＝0．
∴Δ＝(12k)2－36(1＋3k2)＞0．解得k＞1或k＜－1．①
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＋x2＝－\f(12k,1＋3k2)，,x1x2＝\f(9,1＋3k2)．))②
而y1y2＝(kx1＋2)(kx2＋2)＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4．要使以CD为直径的圆过点E(－1,0)，
当且仅当CE⊥DE时成立，则eq \f(y1,x1＋1)·eq \f(y2,x2＋1)＝－1．
即y1y2＋(x1＋1)(x2＋1)＝0．
∴(k2＋1)x1x2＋(2k＋1)(x1＋x2)＋5＝0．③
将②式代入③整理解得k＝eq \f(7,6)．经验证k＝eq \f(7,6)使①成立．
综上可知，存在k＝eq \f(7,6)，使得以CD为直径的圆过点E．