广东省肇庆市2024届高三上学期第二次教学质量检测数学试题（Word版附答案）

这是一份广东省肇庆市2024届高三上学期第二次教学质量检测数学试题（Word版附答案），共13页。试卷主要包含了已知，则，在中，若，则下列结论错误的是，已知曲线的方程为，则，若的三个内角的正弦值为，则等内容，欢迎下载使用。
数 学
本试题共4页，考试时间120分钟，满分150分
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的信息填写清楚､准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处.
2.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效.
3.答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破､弄皱，不得使用涂改液､修正带､刮纸刀.考试结束后，请将本试题及答题卡交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知，且，则（ ）
A.2 B. C.1 D.
2.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
3.已知是单位向量，且它们的夹角是.若，且，则（ ）
A.2 B.-2 C.2或-3 D.3或-2
4.为了研究我国男女性的身高情况，某地区采用分层随机抽样的方式抽取了100万人的样本，其中男性约占､女性约占，统计计算样本中男性的平均身高为，女性的平均身高为，则样本中全体人员的平均身高约为（ ）
A. B. C. D.
5.已知，则（ ）
A. B.
C. D.
6.已知数列是等差数列，是它的前项和，，则（ ）
A.100 B.101 C.110 D.120
7.已知双曲线，则过点与有且只有一个公共点的直线共有（ ）
A.4条 B.3条 C.2条 D.1条
8.在中，若，则下列结论错误的是（ ）
A.
B.
C.
D.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知曲线的方程为，则（ ）
A.当时，曲线表示双曲线
B.当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆
C.当时，曲线表示圆
D.当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆
10.若的三个内角的正弦值为，则（ ）
A.一定能构成三角形的三条边
B.一定能构成三角形的三条边
C.一定能构成三角形的三条边
D.一定能构成三角形的三条边
11.已知，函数，若在区间上单调递增，则的可能取值为（ ）
A.-1 B. C.2 D.4
12.定义在上的函数同时满足①；②当时，，则（ ）
A.
B.为偶函数
C.存在，使得
D.对任意
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.在的展开式中，的系数为__________.
14.抛物线的焦点坐标为，则的值为__________.
15.小明去书店买了5本参考书，其中有2本数学，2本物理，1本化学.小明从中随机抽取2本，若2本中有1本是数学，则另1本是物理或化学的概率是__________.
16.在四面体中，，若，则四面体体积的最大值是__________，它的外接球表面积的最小值为__________.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.（10分）
已知数列满足，数列满足，记为数列的前项和.
（1）是否存在，使为等比数列？若存在，求出所有满足条件的；若不存在，请说明理由；
（2）求.
18.（12分）
在中，是的平分线，，求：
（1）的长；
（2）的面积.
19.（12分）
如图，在三棱柱中，平面平面.
（1）若分别为的中点，证明：平面；
（2）当直线与平面所成角的正弦值为时，求平面与平面夹角的余弦值.
20.（12分）
已知函数.
（1）求的极值；
（2）对任意，不等式恒成立，求的取值范围.
21.（12分）
已知分别是椭圆的左､右焦点，点在上.
（1）证明：（其中为的离心率）；
（2）当时，是否存在过点的直线与交于两点，其中，使得成立？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
22.（12分）
某市12月的天气情况有晴天､下雨､阴天3种，第2天的天气情况只取决于第1天的天气情况，而与之前的无关.若第1天为晴天，则第2天下雨的概率为，阴天的概率为；若第1天为下雨，则第2天晴天的概率为，阴天的概率为；若第1天为阴天，则第2天晴天的概率为，下雨的概率为.已知该市12月第1天的天气情况为下雨.
（1）求该市12月第3天的天气情况为晴天的概率；
（2）记分别为该市12月第天的天气情况为晴天､下雨和阴天的概率，证明：为等比数列，并求出.
肇庆市2024届高中毕业班第二次教学质量检测
答案及评分标准（参考）数学
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.60 14. 15. 16.（2分）分
四､解答题：本题共6小题，共70分.
17.（10分）
解：（1）方法一：假设存在，使为等比数列，则至少满足的前3项成等比数列.的前3项为
则，解得.
以下证明：当时，为等比数列.
由，得.
因为是非零常数，且，所以为首项为4，公比为4的等比数列.
方法二：猜想时，为等比数列.
由，得，故.
因为是非零常数，且，所以为首项为4，公比为4的等比数列.
（2）由（1）得，所以，
所以
18.（12分）
方法一：解：（1）设，则.
由，得，
所以，得，
故，
所以.
（2）因为，所以，
所以，
所以.
方法二：（1）证明：由角平分线定理知，不妨设，则.
由可知，
即，解得（负值舍去），即.
（2）解：由（1）知.
在中，，
，
所以.
19.（12分）
方法一：（1）证明：如图，取的中点，连接交于点，连接.
因为是的中点，是的中点，
所以，所以四边形是平行四边形，
所以.
又平面平面，
所以平面.
（2）解：因为，平面平面，平面平面平面，所以平面，所以直线与平面所成的角为，则.
不妨设，则，连接.
因为，所以.
又平面平面，所以平面平面，
且平面平面平面，故平面.
设的中点为，连接，以为坐标原点，所在直线分别为轴､
轴､轴建立空间直角坐标系，如图，
则，
故.
设平面的法向量为，
则即不妨取，
则有.
易知平面的一个法向量为.
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
方法二：（1）证明：取的中点，连接，易知.
因为平面平面，且平面平面，
平面，所以平面，即平面.
以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，如图.
因为平面，
所以平面，所以直线与平面所成的
角为，则.
不妨设，则，
则，
，
故.
设平面的法向量为，
则即不妨取，则有.
又，故，
可得，故，即平面.
（2）解：易知平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
20.（12分）
解：（1）的定义域为.
当时，恒成立，此时单调递增，无极值；
当时，令，得.
故当时，单调递减；当时，单
调递增，此时，在处取到极小值，无极大值.
（2）方法一：对任意时，恒成立，即恒成立.
令，则.
令，则，即在区间上单
调递减.
又，
所以当时，，即，此时单调递增；
当时，，即，此时单调递减，
所以.
所以，即的取值范围为.
方法二：由（1）知，
当时，在区间上单调递增.
因为，所以不符合题意.
当时，当时单调递减，当时单调递增.
对任意时，恒成立，即，
即.
令
在区间上单调递增.
又
所以.
当时，在区间上单调递减.
所以，符合题意.
综上，的取值范围为.
21.（12分）
（1）证明：设，因为点在上，所以，故，
故.
又，所以，故，所以.
（2）解：假设存在这样的直线.
由（1）知.
由椭圆定义知.
因为，所以，
整理得①.
设.
联立得，
所以，且，，代入①式，
化简整理得，解得.
故直线存在，且它的方程为或.
22.（12分）
（1）解：设“该市12月第天的天气情况为晴天”为事件，“该市12月第天的天气情况为下雨”为事件，“该市12月第天的天气情况为阴天”为事件，且.
由图可得，，
由全概率公式可得，
故该市12月第3天的天气情况为晴天的概率为.
（2）证明：记.
由（1）可得，
由全概率公式可得
.
即①
同理可得②，③
②+③得
由①得，则，
代入④得，即，
故，即.
又，所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
所以当时，，
累加得.
又，所以.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
C
D
C
A
B
C
C
题号
9
10
11
12
答案
AC
AD
BC
ACD