四川省泸州市合江县马街中学校2023-2024学年高一上学期1月期末数学试题（Word版附解析）

这是一份四川省泸州市合江县马街中学校2023-2024学年高一上学期1月期末数学试题（Word版附解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用交集的概念运算即可.
【详解】由题意知.
故选：B
2. 命题：“”的否定形式是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据全称命题的否定分析判断.
【详解】由题意可得：“”的否定形式是“”.
故选：C.
3. 函数的定义域为.
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根号里面大于等于零，分母不等于零，对数函数真数大于零，列出不等式即可求出定义域的取值范围.
【详解】由题意可得：，即
故选C
【点睛】此题考查具体函数求定义域，根据根号里面大于等于零，分母不等于零，对数函数真数大于零，列出不等式求交集较易求的定义域，属于简单题目.
4. 若是幂函数，且在上单调递增，则的值为（ ）
A. 或 3B. 1 或C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】根据幂函数的性质即可求解.
【详解】因为是幂函数，
则，则或，
当，，不符合题意，
当，，则在区间上是单调递增函数，符合题意，则；
故选：D.
5. 设，则“”是的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】由，结合充要条件的定义得答案．
【详解】由．
可得设，，则“”是的充要条件．
故选：．
【点睛】本题考查充分必要条件的判定，考查指数函数的性质，是基础题．
6. 若sin(－110°)＝a，则tan70°等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用诱导公式可得sin(－110°)＝－sin70°，再由同角三角函数的平方关系求cs70°，最后应用商数关系求tan70°即可.
【详解】∵sin(－110°)＝－sin110°＝－sin(180°－70°)＝－sin70°＝a，
∴sin70°＝－a，
∴cs70°＝，
∴tan70°＝.
故选：B.
7. 已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用指数函数，对数函数和幂函数的单调性比较判断.
【详解】因为，
所以，
又，
所以
故选：C
8. 已知在区间上是增函数，则的取值范围( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据复合函数的单调性以及对数的性质即可求解.
【详解】令，则原函数由和复合而成的复合函数，
函数在上是增函数，，解得，
的取值范围是，
故选：D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列四个函数中，以为最小正周期且在区间上单调递增的函数是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据三角函数的性质可逐项判断最小正周期和单调性即可.
【详解】函数的最小正周期，时，，则函数在区间上不单调，故A不符合；
函数的最小正周期，时，，则函数在区间上单调递增，故B符合；
函数的最小正周期，故C不符合；
函数的最小正周期，时，函数单调递增，故D符合.
故选：BD.
10. 若“，”为假命题，则m的值可能为（ ）
A. 0B. C. 1D. 4
【答案】AC
【解析】
【分析】将存在命题等价转化为全称命题，再分类讨论参数，结合二次函数性质及即可求解
【详解】因为若“，”为假命题，所以若“，”为真命题，当时显然成立；当时，满足，解得，
故当或1时都满足.
故选：AC
11. 质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的⊙O上逆时针做匀速圆周运动，同时出发．P的角速度大小为1rad/s，起点为⊙O与x轴正半轴的交点；Q的角速度大小为3rad/s，起点为射线与⊙O的交点．则当Q与P重合时，Q的坐标可以为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】先求出点的初始位置的坐标，设经过s后，Q与P重合，得到方程，求出，从而分为偶数和奇数两种情况，得到答案.
【详解】点的初始位置的坐标为，且钝角
设经过s后，Q与P重合，坐标均为，
则，解得，
当为偶数时，Q的坐标为，C正确；
当为奇数时，Q的坐标为，即，B正确；
AD均不对，
故选：BC
12. 已知定义在上的函数满足：，，，且当时，，则下列说法正确的是（ ）
A. 是奇函数B. 是周期函数
C. 的值域为D. 在区间内无零点
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A：根据奇函数定义整理判断；对于B：根据周期函数的定义整理判断；对于C：利用正弦函数的有界性分析判断，注意等号成立的条件；对于D：结合对称性分析判断.
【详解】，，即，故是奇函数，A正确；
，，即，故是以为周期的周期函数，B正确；
当时，，注意到等号不能同时成立
∴，即
再由的对称性、周期性，可知不是的最大值，C错误；
当时，，则.
再由的图象关于直线对称，知在内恒正.
又，
故在区间内无零点，D正确.
故选：ABD.
第II卷 非选择题（90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. ______.
【答案】15
【解析】
【分析】根据指数幂以及对数运算法则求解.
【详解】
故答案为：15
【点睛】本题考查指数幂以及对数运算法则，考查基本分析求解能力，属基础题.
14. 已知函数，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据分段函数的解析式可先求得，继而可求得的值.
【详解】因为
所以，
所以．
故答案为：
15. 设实数，，且，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】先由得出，并可结合已知条件求出x的取值范围，然后将关系式代入转化为x的代数式，利用基本不等式可求出的取值范围．
【详解】由，可得，，，由，可得，则，
所以，，
当且仅当，即当时，等号成立，
所以，的取值范围是．
故答案为．
【点睛】本题考查利用基本不等式求代数式的取值范围，解决本题的关键在于将代数式进行转化，并进行灵活配凑，考查计算能力与化简变形能力，属于中等题．对于二元范围问题常见的方法有：二元化一元，变量集中或者利用不等式解决.
16. 已知函数若互不相等，且，则的取值范围是 ．
【答案】（10，12）
【解析】
【详解】
不妨设a作出f(x)的图象，如图所示：
由图象可知0由f(a)=f(b)得|lga|=|lgb|，即−lga=lgb，
∴lgab=0，则ab=1，
∴abc=c，
∴abc的取值范围是(10,12)，
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17 已知集合，或.
（1）当时，求；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出或，从而求出交集；
（2）根据题意得到是的真子集，从而得到不等式，求出实数的取值范围.
【小问1详解】
时，或，
故或=
【小问2详解】
是的充分不必要条件，
故是的真子集，
因为，故要满足是的真子集，
则或，
解得：或
故实数的取值范围是.
18. 已知函数，且.求：
（1）的值；
（2）的值.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用诱导公式以及弦化切可得出关于的方程，即可解得的值；
（2）利用弦化切可求得的值.
【小问1详解】
解：.
【小问2详解】
解：.
19. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.
（1）求在上的解析式；
（2）解不等式.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）由题意根据奇函数的定义以及当时，，可以求出当时的表达式，从而即可进一步求解.
（2）首先根据时，单调递增，从而得到在上是单调增函数，再结合奇函数性质即可将表达式等价转换，解一元二次不等式即可得解.
【小问1详解】
设，则，当时，，
因为，所以，即，
又，所以，
所以；
【小问2详解】
时，单调递增，则在上是单调增函数，
不等式可化为，
所以，解得或.
所以不等式的解集为或.
20. 已知函数的部分图象如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）若不等式，对任意恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由函数的最值求出的值，由图象可得出函数的最小正周期，可求出的值，再将点代入函数的解析式，结合的取值范围可得出的值，进而可得出函数的解析式；
（2）由求出的取值范围，利用正弦函数的基本性质求出函数在区间的最大值和最小值，由得出，可得出，由此可求出实数的取值范围.
【详解】（1）由图象知，，设函数的最小正周期为，则，
，，此时，，
，，
，，，解得，
因此，；
（2），，则，
所以，函数在区间最大值为，最小值为.
由，得，则有，
，解得.
因此，实数取值范围是.
【点睛】本题考查利用图象求三角函数的解析式，同时也考查了含绝对值不等式恒成立问题，涉及正弦型三角函数在区间上最值的求解，考查运算求解能力，属于中等题.
21. 2021年中国载人航天工程相继发射了第十二、第十三艘飞船，与空间站完成对接，进入太空站完成任务。在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式计算火箭的最大速度，其中是喷流相对速度，是火箭（除推进剂外）的质量，是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”，已知A型火箭的喷流相对速度为．
（1）当总质比为200时，利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度；
（2）经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，总质比变为原来的，若要使火箭的最大速度至少增加．求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值.
参考数据：，.
【答案】（1）
（2）74
【解析】
【分析】（1）代入公式中直接代入计算即可.
（2）根据题意列出不等式求解，即可得出答案.
【小问1详解】
由题意总质比，，代入公式，
即.
所以，当总质比为200时， A型火箭的最大速度为.
【小问2详解】
经过材料更新和技术改进后，A型火箭得喷流相对速度为，总质比为.
要使得速度至少增加到，则需，
化简得，
所以，
由的单调性易得，即，
因为，所以.
所以在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值为74.
22. 已知函数为奇函数，其中a为常数.
（1）求函数y=f(x)的解析式；
（2）若关于x的方程在上有解，求实数k的最大值；
（3）若关于x的不等式在恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）最大值为；（3）.
【解析】
【分析】（1）根据奇函数的性质可得，代入解析式求出a=2，再根据验证即可求解.
（2）令，，方程转化为在上有解，求出的取值范围即可求解.
（3）将不等式转化为，令，，可得令，根据函数的单调性可得，解不等式即可求解.
【详解】（1）因为函数为奇函数，且定义域为R，
所以，解得a=2.
此时，
所以，
所以函数f(x)为奇函数.
所以函数y=f(x)的解析式为.
（2）令，因为x∈[-1，1]，所以
在[-1，1]上有解,
在[-1，1]上有解,
在上有解，
因为，，
所以，所以实数k最大值为.
（3）设，则，
即f(x1)>f(x2)，所以函数R上单调递减，
因为，，
所以
，
(*)
令，则由x∈[-2，2]，得，
令，
则结合题设及(*)，得，，
所以，即，
解得，