江西省宜春市2020-2021学年八年级上学期期末数学试题

这是一份江西省宜春市2020-2021学年八年级上学期期末数学试题，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题，应用题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（共6小题，每小题3分，满分18分）
1．列四个图案中，不是轴对称图案的是（ ）
A．B．
C．D．
2．下列计算正确的是（ ）
A．a3⋅a2=a6B．x3+x3=x6
C．(−b2)3=−b6D．(m−n)2=m2−n2
3．若三角形的两边长为2和3，则第三边长可以是（ ）
A．1B．3C．5D．7
4．如图，在 △ABC 中， DE 是边 AC 的垂直平分线，交 AC 于点D，交 AB 于点E，点P是直线 DE 上的一个动点，若 AB=5 ，则 PB+PC 的最小值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
5．已知关于x的分式方程 m−2x−1=1 的解是正数，则m的取值范围是（ ）
A．m>1B．m≥1 且 m≠2
C．m>1D．m>1 且 m≠2
6．图（1）是一个长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，小长方形的长为a，宽为 b (a>b) ，然后按图（2）拼成一个正方形，通过计算，用拼接前后两个图形中阴影部分的面积可以验证的等式是（ ）
A．a2b2=(ab)2B．(a+b)2=(a−b)2+4ab
C．(a+b)2=a2+b2+2abD．a2−b2=(a+b)(a−b)
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
7．因式分解： a2−4b2 = ．
8．若分式 x−22x+1 的值为零，则x的值等于 ．
9．已知 a−2b=2 ，则 7−2a+4b= ．
10．如图，在 △ABC 中， ∠ABC 与 ∠ACB 的角平分线相交于点O，若 ∠A=50° ，则 ∠BOC= ．
11．上午9时，一条船从海岛A出发，以12海里/时的速度向正北航行，11时到达海岛B处，如图，海岛A在灯塔C的南偏西32°方向，灯塔C在海岛B的北偏东64°方向，则灯塔C到海岛B的距离是 海里．
12．如图，已知正五边形 ABCDE ，过点A作 CD 的平行线，交 CB 的延长线于点F，点P在正五边形的边上运动，运动路径为 A→B→C→D ．当 △AFP 为等腰三角形时，则 △AFP 的顶角为 度．
三、解答题（共5题，每题6分，满分30分）
13．（1）计算： 4a4b3÷(−2ab)2
（2）解方程： 1x−3−x3−x=2
14．先化简 (5x+2−1)÷x2−9x+3 ，再从 −3≤x≤3 中选择一个合适的整数作为x的值代入求值．
15．如图， △ABC 和 △BDE 是等边三角形，连接 AD 、 CE ．求证： △ABD ≌ △CBE ．
16．如图，等腰 △ABC 中， AB=AC ， ∠BAC=120° ， AD⊥AB 交 BC 于点D， AD=2 ，求 BC 的长．
17．如图，在正方形网格中， △ABC 的顶点在格点上，且 AB=BC ．请仅用无刻度直尺，完成以下作图（保留作图痕迹）
（1） 在图1中，找一格点D，使得 △ABC ≌ △CDA ；
（2）在图2中，作出 △ABC 中 AB 边上的高．
四、应用题（共4题，满分34分）
18．小明、小花和老师一起探究一个问题：将 m4+4 因式分解．
小花根据大家的提示，整理出解答过程：
m2+4
=(m2)2+22
=(m2)2+4m2+22−4m2
=(m2+2)2−(2m)2
=(m2+2+2m)(m2+2−2m)
请你依照上述做法，将下列各式因式分解：
（1）4x4+1 ；
（2）a4+c4−7a2c2
19．某市为缓解城区的交通压力，于2020年开工建设城市高架桥，某工程队承担了1千米长的改造任务，工程队在改造了400米后，引进了新设备，效率比原来提高了20%，结果共用30天完成了任务，问引进新设备之前，工程队每天改造多少米？
20．如图，在 △ABC 中，点D、E分别在边 AC 、 AB 上，且 ED=CD ， BD 平分 ∠ABC ，过 D 点作 DF⊥BC 于点F，作 DG⊥AB 于点G， ∠ACB=60° ．
（1）求 ∠GED 的度数；
（2）若 BC−BE=6 ，求 CD 的长．
21．在 Rt△ABC 中， ∠CAB=90° ， AB=AC ，点O是 BC 的中点，点P是射线 CB 上的一个动点（点P不与点C、O、B重合），过点C作 CE⊥AP 于点E，过点B作 BF⊥AP 于点F，连接 EO ， OF ．
（问题探究）如图1，当P点在线段 CO 上运动时，延长 EO 交 BF 于点G，
（1）求证： △AEC ≌ △BFA ；
（2）BG 与 AF 的数量关系为： （直接写结论，不需说明理由）；
（3）①如图2，当P点在线段 OB 上运动， EO 的延长线与 BF 的延长线交于点G， ∠OFE 的大小是否变化？若不变，求出 ∠OFE 的度数；若变化，请说明理由；
②当P点在射线 OB 上运动时，若 AE=2 ， CE=5 ，直接写出 △OEF 的面积，不需证明．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A．此图案是轴对称图形，不符合题意；
B．此图案不是轴对称图形，符合题意；
C．此图案是轴对称图形，不符合题意；
D．此图案是轴对称图形，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据对称轴的概念对各项分析判断利用排除法求解。
2．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；幂的乘方
【解析】【解答】解：A． a2⋅a3=a5 ，故 a3⋅a2=a6 不符合题意；
B． x2 和 x3 不是同类项，不能合并，故 x3+x3=x6 不符合题意；
C． (−b2)3=−b6 ，符合题意；
D． (m−n)2=m2−2mn+n2 ，故原选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用同底数幂的乘法运算法则以及幂的乘方运算法则，积的乘方运算法则，合并同类项法则，分别计算得出答案。
3．【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵三角形的两边长为3和2，
∴第三边x的长度范围是3-2＜x＜3+2，即1＜x＜5，
观察选项，只有选项B符合题意。
故答案为：B。
【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边即可求出其三边的取值范围，从而即可一一判断得出答案。
4．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：∵ED是AC的垂直平分线，
∴PC+PB=PA+PB，
∵P运动的过程中，P与E重合时有最小值，
∴PB+PC的最小值=AB=5．
故答案为：A
【分析】由条件可得出 DE 是边 AC 的垂直平分线，即求PC+PB的最小值就是求PB+PC的最小值，在P运动的过程中，P与E重合时有最小值。
5．【答案】D
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【解答】解：去分母得：m-2=x-1，
移项得：x=m-1，
由方程的解是正数得，
m-1≥0且m-1-1≠0，
解得：m≥1且m≠2，
故答案为：D．
【分析】根据题意，先解方程求出x=m-1，由方程的解是正数得，则m-1≥0且m-1-1≠0，解得：m≥1且m≠2，因此得解。
6．【答案】B
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：大正方形的边长为： a+b ，空白正方形边长： a−b ，
图形面积：大正方形面积 (a+b)2 ，空白正方形面积 (a−b)2 ，四个小长方形面积为： 4ab ，
∴(a+b)2 = (a−b)2 + 4ab ．
故答案为：B．
【分析】先求出图形的面积，根据图形面积的关系写出等式即可。
7．【答案】(a+2b)(a−2b)
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：原式=(a+2b)(a-2b) ．
【分析】利用因式分解法解题即可。
8．【答案】2
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：根据题意得：x﹣2=0，
解得：x=2．
此时2x+1=5，符合题意，
故答案是：2．
【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值．
9．【答案】3
【知识点】代数式求值
【解析】【解答】解：∵a−2b=2 ，
∴7−2a+4b=7−2(a−2b)=7−2×2=3 ．
故答案为：3．
【分析】根据题意将已知代数式变形，进而将a−2b=2代入求出答案即可。
10．【答案】115°
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵∠A=50° ，
∴∠ABC+∠ACB=130° ．
又 OC ， OB 分别平分 ∠ABC 和 ∠ACB ，
∴∠OBC+∠OCB=65°12∠ABC+12∠ACB=12×130°=65° ，
∴∠BOC=180°−65°=115° ．
故答案为：115°．
【分析】在 △ABC 中，利用三角形内角和定理可求出∠ABC+∠ACB的度数，结合角平分线的定义可求出∠OBC+∠OCB的度数，在△OBC中，利用三角形内角和定理可以求出∠BOC的度数。
11．【答案】24
【知识点】钟面角、方位角；角的运算
【解析】【解答】解：如图，作点C垂直AB于点D，BE垂直CE于点E，
由题意知：船的速度为12海里，时间为2小时，
∴AB=12×(11−9)=24 ，
∵∠CBD=64°，
∴∠BCD=90°-64°=26°，
∵∠ACE=32°，
∴∠BCA=90°-26°-32°=32°，
∴∠ACE=∠CAB=∠BCA=32°，
∴AB=BC=24，
故答案为：24．
【分析】作点C垂直AB于点D，BE垂直CE于点E，由题意知：船的速度为12海里，时间为2小时，可求出AB的长，继而根据方位角可求出∠ACE=∠CAB=∠BCA=32°，即可求解。
12．【答案】36或72或108
【知识点】角的运算；正多边形的性质
【解析】【解答】解：易知正五边形的内角为： 540°5=108° ；
∴∠CBA=108°=∠BAE，
∴∠ABF=180°-108°=72°，
∠BAF= 180°−108°2=36° ，
∴∠BFA=180°-72°-36°=72°；
∴AB=AF，
若P在AB边上，不可能有PF=FA，
①若PA=PF，则∠PAF=∠PFA=36°，∴顶角为∠APF=180°-36°×2=108°；
②若PA=AF，则P与B重合，此时顶角为∠PAF=36°；
若P在BC边上，连接AC，易知AC=CF，不存在PA=AF；
①若PF=FA，此时顶角为∠ PFA=72°，
②若PA=PF，则P与C重合，顶角为36°；
若P在CD上，不存在等腰三角形；
综上：顶角为108°或36°或72°；
故答案为：36或72或108；
【分析】根据题意分情况讨论：若P在AB边上，不可能有PF=FA，①若PA=PF，②若PA=AF，若P在BC边上，①若PF=FA，②若PA=PF，若P在CD上，分别求其顶角的度数即可。
13．【答案】（1）解：原式 =4a4b3÷(4a2b2)
=a2b
（2）解：方程左右两边乘 (x−3) 得
1+x=2(x−3)
1+x=2x−6
x=7
检验 x=7 时， x−3≠0 ，∴x=7 是原方程的解；
【知识点】解分式方程；单项式除以单项式
【解析】【分析】（1）利用单项式除以单项式的计算法则求解即可；
（2）先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，最后系数化为1并检验即可。
14．【答案】解：原式 =(5x+2−x+2x+2)⋅x+3(x+3)(x−3)
=3−xx+2⋅1x−3
=−1x+2
由已知， x≠−2，−3，3
令 x=−1 ，原式 =−1
（也可令 x=2 、1、0，答案分别为 −14 ， −13 ， −12 ）
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再将x的值代入计算即可。
15．【答案】证明：∵△ABC 和 △BDE 是等边三角形
∴∠ABC=∠DBE=60°
∴∠ABC−∠DBC=∠DBE−∠DBC
∴∠ABD=∠CBE
又∵AB=BC ， BD=BE ，
∴ 在 △ABD 和 △CBE 中
AB=BC∠ABD=∠CBEBD=BE
∴△ABD ≌ △CBE (SAS)
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】根据△ABC 和 △BDE 是等边三角形，得出∠ABD=∠CBE，利用全等三角形的性质即可证出 △ABD ≌ △CBE ．
16．【答案】解：∵AB=AC ， ∠BAC=120° ，
∴∠B=∠C=12(180°−∠BAC)=30° ，
∵AD⊥AB ，
∴∠BAD=90° ，
∴∠CAD=∠BAC−∠BAD=120°−90°=30°=∠C ，
∴CD=AD=2 ，
在 Rt△BAD 中， ∠B=30° ，
∴BD=2AD=4 ，
∴BC=BD+CD=4+2=6 ．
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】由AB=AC ， ∠BAC=120° ，得出∠B，∠C的度数 ， AD⊥AB ，得出∠CAD=∠C ，CD=AD=2 ，在 Rt△BAD 中， ∠B=30° ，推出BD=2AD=4 ，由此得出 BC的长．
17．【答案】（1）解：如图，D点即为所求；
（2）解：如图，线段 CE 即为所求．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；作图-三角形
【解析】【分析】（1）由图1易得AB=BC=5，再根据勾股定理及三角形全等判定可求解；
（2）由勾股定理及等腰三角形的性质可先作出AC边上垂线，与BC所在的高线交于一点，再连接此点与点C，并延长交AB于点E，即可求解。
18．【答案】（1）解： 4x4+1
=(2x2)2+12
=(2x2)2+4x2+12−4x2
=(2x2+1)2−(2x)2
=(2x2+1+2x)−(2x2+1−2x) ；
（2）解：原式 =a4+c4+2a2c2−2a2c2−7a2c2
=(a2+c2)2−9a2c2
=(a2+c2+3ac)(a2+c2−3ac) ．
【知识点】实数范围内分解因式；定义新运算
【解析】【分析】（1）根据题干所给的方法进行添项，构成乘法公式进行因式分解即可
（2）根据题干所给的方法进行添项，构成乘法公式进行因式分解即可。
19．【答案】解：设引进新设备之前，工程队每天改造x米．由题得，
400x+1000−400(1+20%)x=30 ，
解得： x=30 ，
经检验， x=30 是原方程的解，
答：引进新设备之前，工程队每天改造30米．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】设引进新设备之前，工程队每天改造x米．由题意列出方程，解之并检验即可。
20．【答案】（1）解：∵DF⊥BC ， DG⊥AB ， BD 平分 ∠ABC
∴DG=DF ， ∠DFB=∠DGB=90°
∵ED=CD
∴RtΔEDG ≌ RtΔCDF (HL)
∴∠GED=∠ACB=60° ．
（2）解：在 BC 上取一点H，使得 BH=BE ，
则∵BD 平分 ∠ABC ，
∴∠EBD=∠DBH ，
又∵BD=BD ，
∴ΔBED ≌ ΔBHD (SAS) ，
∴ED=HD ，
∵ED=CD ，
∴CD=HD ，
又∵∠ACB=60° ，
∴△CHD 是等边三角形，
∴CD=HC=BC−BH=BC−BE=6 ．
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）直接利用直角三角形一个直角边和一个斜边对应相等即可证明RtΔEDG ≌ RtΔCDF (HL)，从而得出结论；
（2）在 BC 上取一点H，使得 BH=BE ，即可证明ΔBED ≌ ΔBHD (SAS) ，再根据∠ACB=60° ，即可判断△CHD 是等边三角形，从而求出CD的值。
21．【答案】（1）证明：∵CE⊥AP ， BF⊥AP ，
∴∠CEA=∠AFB=90° ，
∴∠ABF+∠FAB=90° ，
又∵∠CAE+∠FAB=∠CAB=90° ，
∴∠ABF=∠CAE ，
又∵AB=AC ，
∴RtΔAEC ≌ RtΔBFA (AAS) ；
（2）BG=AF （拓展延伸）
（3）解： ①不变， ∠OFE=45° ，如图2，理由如下：
∵CE⊥AP ， BF⊥AP ，
∵∠CEA=∠AFG=90° ，
∴CE//BF ，
∴∠ECO=∠GBO ，
∵O 点是 BC 的中点，
∴OC=OB ，
又∵∠COE=∠BOG ，
∴ΔCOE ≌ ΔBOG (ASA) ，
∴OE=OG ， BG=CE ，
由（1）可得 RtΔAEC ≌ RtΔBFA ，
∴AF=CE ， AE=BF ，
∴BG=AF ，
∴在 Rt△EFG 中， FG=BG−BF=AF−AE=EF ，
∵BF⊥AP∴∠EFG=90° ，
又∵OE=OG ，
∴∠OFE=∠OFG=12∠EFG=12×90°=45° ．
②△OEF 的面积为 94 或 494
在图2中， FG=EF=AF−AE=CE−AE=5−2=3 ，
且 GF⊥EF ， OE=OG ，
∴S△OEF=12S△EFG=12×3×3×12=94 ；
在图3中， FG=EF=AF+AE=CE+AE=5+2=7 ，
且 GF⊥EF ， OE=OG ，
∴S△OEF=12S△EFG=12×7×7×12=494 ．
【知识点】三角形全等的判定（AAS）；三角形的综合；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：（2） BG=AF ，
∵RtΔAEC ≌ RtΔBFA ，
∴ AF=CE，
又∵ BO=CO，∠COE=∠BOG，∠OCE=∠OBG，
∴△BOG≌△COE，
∴BG=CE，
∴BG=AF；
【分析】（1）根据题意可知∠ABF+∠FAB=90° ，又因为∠CAE+∠FAB=∠CAB=90° ，得出∠ABF=∠CAE ，即可证明出RtΔAEC ≌ RtΔBFA (AAS) ；
（2）由（1）知RtΔAEC ≌ RtΔBFA ，所以AF=CE，又因为BO=CO，∠COE=∠BOG，∠OCE=∠OBG，即可证明△BOG≌△COE，即可得出结论；
（3）①由题意可证出 CE//BF ，由O 点是 BC 的中点，得出OC=OB ，即可证出ΔCOE ≌ ΔBOG (ASA) ，由（1）可得出RtΔAEC ≌ RtΔBFA ，根据∠OFE=∠OFG=12∠EFG，即可求出度数；②根据FG=EF=AF−AE=CE−AE=5−2=3 ，FG=EF=AF+AE=CE+AE=5+2=7 ，即可求出△OEF 的面积。