江西省赣州市大余县2020-2021学年八年级上学期数学期末试卷

这是一份江西省赣州市大余县2020-2021学年八年级上学期数学期末试卷，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列四个图形中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．以下列每组长度的三条线段为边能组成三角形的是（ ）
A．2、3、6B．2、4、6C．2、2、4D．6、6、6
3．下列运算：①a2⋅a3=a6 ；②(a3)2=a6 ；③a5÷a5=a ；④(ab)3=a3b3 ．其中结果正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．某种计算机完成一次基本运算的时间约为1纳秒（ns），已知1纳秒 =0.000000001 秒，该计算机完成15次基本运算，所用时间用科学记数法表示为（ ）
A．1.5×10−9 秒B．15×10−5 秒
C．1.5×10−8 秒D．15×10−8 秒
5．正八边形一个内角是（ ）度
A．45B．135C．112.5D．108
6．如图，在 △OAB 和 △OCD 中， OA=OB,OC=OD,OA>OC,∠AOB=∠COD=40° ，连接 AC,BD 交于点 M ，连接 OM ．下列结论：①AC=BD ；②∠AMB=40° ；③OM 平分 ∠BOC ；④MO 平分 ∠BMC ．其中正确的个数为（ ）．
A．4B．3C．2D．1
二、填空题
7．若一个三角形三个内角度数的比为 1：3：6 ，则其最大内角的度数是 ．
8．如图，在 △ABC 中， AB=AC ， ∠A=50° ，AB的垂直平分线MN交AC于D点，连接BD，则 ∠DBC 的度数是 ．
9．已知点 P(−2，4) ，与点P关于x轴对称的点的坐标是 ．
10．计算： (ab2)3÷(−ab)2= ．
11．若代数式 x+1x−3 有意义，则 x 的取值范围是 ．
12．如图， ∠AOB=80° ，OC平分 ∠AOB ，如果射线OA上的点E满足 △OCE 是等腰三角形，那么 ∠OEC 的度数为 ．
三、解答题
13．（1）因式分解： 2a3−8a ．
（2）如图， AB//CD ， ∠A=40° ， ∠D=45° ，求 ∠1 和 ∠2 的度数．
14．先化简 xx+3−3x−9x2−9 ，再选择一个合适的x代入求值．
15．如图所示，A，D，E三点在同一直线上，且 △BAD≌△ACE ，求证： BD=CE+DE ．
16．如图，在正五边形ABCDE中，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图。
（1）在图1中，画出过点A的正五边形的对称轴；
（2）在图2中，画出一个以点C为顶点的720的角.
17．如图，在 △ABC 中，P是 ∠ABC ， ∠ACB 的角平分线的交点．
（1）若 ∠A=80° ，求 ∠BPC 的度数；
（2）有位同学在解答（1）后得出 ∠BPC=90°+12∠A 的规律，你认为正确吗？请说明理由．
18．如图，已知 ∠AOB=60° ，点P在OA边上， OP=8cm ，点M，N在边OB上， PM=PN ．
（1）作出点P到OB的垂线段PC，垂足为C；
（2）若 MN=2cm ，求ON的长．
19．S316省道新城至樟斗公路目前已建成通车，部分配套设施及后续建设工作正在抓紧推进当中．现对铁路桥下部位限高问题进行整改．已知整改需要购进A种石料和B种石料若干立方米，且A种石料的单价比B种石料的单价少300元，用5000元购买的A种石料与用8000元购买的B种石料数量相等．
（1）求A种石料和B种石料的单价各是多少元？
（2）若购买A种石料和B种石料恰好用去12000元，请问有哪几种购买方案？
20．如图所示，∠BAC=∠ABD，AC=BD，点O是AD、BC的交点，点E是AB的中点．试判断OE和AB的位置关系，并给出证明．
21．仔细阅读下面的例题：
例题：已知二次三项式 x2+5x+m 有一个因式是 x+2 ，求另一个因式及m的值．
解：设另一个因式为 x+n ，得 x2+5x+m=(x+2)(x+n) ，
则 x2+5x+m=x2+(n+2)x+2n ，
∴n+2=5 ， m=2n ，
解得 n=3 ， m=6 ，
∴另一个因式为 x+3 ，m的值为6．
依照以上方法解答下列问题：
（1）若二次三项式 x2−5x+4 可分解为 (x−1)(x+a) ，则 a= ；
（2）若二次三项式 2x2+bx−6 可分解为 (2x+3)(x−2) ，则 b= ；
（3）已知二次三项式 2x2+9x−k 有一个因式是 2x−1 ，求另一个因式以及k的值．
22．解方程
①1x+1=2x+1−1 的解是 x= 0；
②2x+1=4x+1−1 的解是 x= 1；
③3x+1=6x+1−1 的解是 x= ；
④4x+1=8x+1−1 的解是 x= ；
（1）请完成上面的填空；
（2）根据你发现的规律直接写出第⑤个方程和它的解；
（3）请你用一个含正整数n的式子表述上述规律，并写出它的解.
23．如图，在等边 ΔABC 中，线段 AM 为 BC 边上的中线．动点 D 在直线 AM 上时，以 CD 为一边在 CD 的下方作等边 ΔCDE ，连结 BE ．
（1）求 ∠CAM 的度数；
（2）若点 D 在线段 AM 上时，求证： ΔADC≅ΔBEC ；
（3）当动点 D 在直线 AM 上时，设直线 BE 与直线 AM 的交点为 O ，试判断 ∠AOB 是否为定值？并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A是轴对称图形，符合题意，
B不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线叠合后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义，故不符合题意，
C不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线叠合后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义，故不符合题意，
D不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线叠合后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义，故不符合题意，
故答案为：A
【分析】根据轴对称图形的定义即可判断。
2．【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：根据三角形的三边关系，知
A、2+3＜6，不能组成三角形；
B、2+4=6，不能组成三角形；
C、2+2=4，不能组成三角形；
D、6+6＞6，能够组成三角形．
故选D．
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
3．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：①a2⋅a3=a5 ，原式不符合题意；
②(a3)2=a6 ，原式符合题意；
③a5÷a5=1 ，原式不符合题意；
④(ab)3=a3b3 ，原式符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方法则，积得乘方法则分别代入计算机即可得出答案。
4．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：所用时间=15×0.000 000 001=1.5×10-8（秒）．
故答案为：C．
【分析】用科学记数法表示出来即可。
5．【答案】B
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】解：正八边形的内角和为：
(8-2)×180°=1080°，
每一个内角的度数为1080°÷8 = 135°.
故答案为： B.
【分析】先根据多边形内角和定理求出内角和，再计算一个内角的度数即可。
6．【答案】B
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质
【解析】【解答】
解：∵∠AOB=∠COD=40° ，
∴∠AOB+∠AOD=∠COD+∠AOD ，
即 ∠AOC=∠BOD ，
在 △AOC 和 △BOD 中， OA=OB∠AOC=∠BODOC=OD ，
∴△AOC≌△BOD(SAS) ，
∴∠OCA=∠ODB,AC=BD ，①符合题意；
∴∠OAC=∠OBD ，
由三角形的外角性质得： ∠AMB+∠OAC=∠AOB+∠OBD,
∴∠AMB=∠AOB=40 °，②符合题意；
作 OG⊥MC 于 G ， OH⊥MB 于 H ，如图所示：
则 ∠OGC=∠OHD=90 °，
在 △OCG 和 △ODH 中， ∠OCA=∠ODB∠OGC=∠OHDOC=OD ，
∴△OCG≌△ODH(AAS) ，
∴OG=OH ，
∴MO 平分 ∠BMC ，④符合题意；
正确的个数有3个；
故答案为：B．
【分析】根据“SAS”可证△AOC≌△BOD，利用全等三角形的性质，可得∠OCA=∠ODB，AC=BD，据此判断①；根据三角形内角和定理，可得∠OAC=∠OBD，根据三角形的外角性质，可得∠AMB=∠AOB=40°，据此判断②；作 OG⊥MC 于 G ， OH⊥MB 于 H ，根据“AAS”可证△OCG≌△ODH，即可OG=OH，利用到角两边距离相等的点在角的平分线上，可得MO平分∠BMC，据此判断③④；
7．【答案】108°
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：设一份为x°，则三个内角的度数分别为x°，3x°，6x°，
根据三角形内角和定理，可知x+3x+6x＝180，
解得x＝18．
所以6x°＝108°，即最大的内角是108°．
故答案为108°
【分析】已知三角形三个内角的度数之比，设一份为x°，则三个内角的度数分别为x°，3x°，6x°，
根据三角形内角和定理列出方程，解之即可确定最大的内角度数。
8．【答案】15°
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠A=50∘，
∴ ∠ABC= 12 (180∘−∠A)= 12 (180∘−50∘)=65∘，
∵MN垂直平分线AB，
∴AD=BD，
∴ ∠ABD=∠A=50∘，
∴ ∠DBC=∠ABC−∠ABD=65∘−50∘=15∘.
故答案为：15∘.
【分析】根据等腰三角形两个底角相等，求出∠ABC的度数，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得AD=BD，根据等边对等角的性质可得出∠ABD=∠A=50∘，再求出∠DBC度数即可。
9．【答案】(-2，-4)
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点P（﹣2，4），
则点P关于x轴对称的点的坐标是（﹣2，﹣4），
故答案是：（﹣2，﹣4）．
【分析】根据点P关于x轴对称的点的横坐标相等纵坐标互为相反数可得答案。
10．【答案】ab4
【知识点】单项式除以单项式
【解析】【解答】解：原式 =a3b6÷a2b2=a3−2b6−2=ab4
故答案为： ab4
【分析】先进行积得乘方，在进行整式除法运算即可。
11．【答案】x≠3
【知识点】分式有意义的条件
【解析】【解答】∵分式 x+1x−3 有意义，
∴x-3≠0，
解得x≠3．
故答案为：x≠3．
【分析】根据分式有意义的条件列出不等式求解即可。
12．【答案】40°或70°或100°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：
∵∠AOB＝80°，OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝40°，
①当E在E1时，OE＝CE，
∵∠AOC＝∠OCE＝40°，
∴∠OEC＝180°﹣40°﹣40°＝100°；
②当E在E2点时，OC＝OE，
则∠OCE＝∠OEC＝ 12 （180°﹣40°）＝70°；
③当E在E3时，OC＝CE，
则∠OEC＝∠AOC＝40°；
故答案为：100°或70°或40°．
【分析】求出∠AOC的度数，根据等腰得出三种情况：①当E在E1时，OE＝CE，②当E在E2点时，OC＝OE，③当E在E3时，OC＝CE，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出即可。
13．【答案】（1）解：原式 =2a(a2−4)=2a(a+2)(a−2) ．
（2）解： ∵AB//CD ，
∴∠1=∠A=40° ，
∵∠D=45° ，
∴∠2=∠1+∠D=85° ．
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【分析】（1）先提取公因式2a，再利用平方差公式因式分解即可；
（2）根据平行线的性质可得∠1=∠A=40°，再利用三角形的外角的性质可得∠2=∠1+∠D=85°。
14．【答案】解：原式 =xx+3−3(x−3)(x+3)(x−3) ，
=xx+3−3x+3
=x−3x+3
当 x=0 时，原式 =−33=−1 ．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先化简原式，再把x=0代入求值即可。
15．【答案】证明： ∵△BAD≌△ACE ，
∴BD=AE ， AD=CE ，
∵AE=AD+DE ，
∴BD=CE+DE ．
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【分析】根据全等三角形的性质求出BD=AE ， AD=CE ，代入求出即可。
16．【答案】（1） 如图，过A点作AG⊥CD，垂足为G，AG所在直线即为所求
（2） 如图，连接CA
∠BCA= 12 ∠ACD= 13 ∠BCD
∵ ∠BCD=108°
∴ ∠ACD=72°
【知识点】作图﹣轴对称；作图-角
【解析】【分析】(1)根据对称轴的性质，过A点作AG⊥CD，垂足为G，AG所在直线即为所求.（2）根据正五边形的性质，过点C连接点A即可推出∠ACD=72°
17．【答案】（1）解： ∵∠A=80° ，得到∠ABC+∠ACB=100° ，
∵ BP，CP分别平分 ∠ABC ， ∠ACB ，
∴∠PBC+∠PCB=12(∠ABC+∠ACB)=50° ，
∴∠BPC=180°−50°=130° ．
（2）解：我认为正确．理由如下：
∵ BP，CP分别平分 ∠ABC ， ∠ACB ，
∴∠PBC+∠PCB=12(∠ABC+∠ACB) ，
∵∠ABC+∠ACB=180°−∠A
∴∠PBC+∠PCB=12(180°−∠A)=90°−12∠A ，
∴∠BPC=180°−(90°−12∠A)=90°+12∠A ．
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）先求出 ∠ABC+∠ACB=100° ， 再根据角平分线的定义求解即可；
（2）先求出 ∠PBC+∠PCB=12(∠ABC+∠ACB) ， 再计算求解即可。
18．【答案】（1）解：如图所示
（2）解： ∵PM=PN ， PC⊥MN ，
∴CM=CN=12MN=1cm ，
∵∠AOB=60° ， PC⊥MN ，
∴∠OPC=30° ，
∴OC=12OP=4cm ，
∴ON=OC+CN=4+1=5cm ．
【知识点】含30°角的直角三角形；作图-垂线
【解析】【分析】（1）作出点P到OB的垂线段PC，垂足为C；
（2）由PM=PN ， PC⊥MN ，得出CM、CN的值，由∠AOB=60° ， PC⊥MN ，得出∠OPC=30° ，由此得出OC的值，代入即可得出ON的值。
19．【答案】（1）解：设A种石料的单价为x元，则B种石料的单价为 (x+300) 元，
5000x=8000x+300 ，解得 x=500 ．
经检验， x=500 是原方程的解，
∴x+300=500+300=800 元，
答：A，B石料的单价分别为500元和800元．
（2）解：设可购买A种石料m立方米，B种石料n立方米，
则 500m+800n=12000 ，
500m=12000−800n ， m=24−85n ，
∵ m，n都是正整数，
故可得：m=8，n=10，或m=16，n=5；
∴ 方案一为购进A种石料16立方米，B种石料5立方米．
方案二为购进A种石料8立方米，B种石料10立方米．
【知识点】二元一次方程的应用；分式方程的实际应用
【解析】【分析】（1）设A种石料的单价为x元，则B种石料的单价为 (x+300) 元，根据题意列出方程，解之得出x的值，并检验即可；
（2）设可购买A种石料m立方米，B种石料n立方米，根据题意列出式子，得出m的值，因为m，n都是正整数，得出m=8，n=10，或m=16，n=5；由此得出最佳方案。
20．【答案】解：OE垂直且平分AB．
证明：在△BAC和△ABD中，
AC=BD∠BAC=∠ABDBA=AB ，
∴△BAC≌△ABD（SAS）．
∴∠OBA=∠OAB，
∴OA=OB．
又∵AE=BE，∴OE⊥AB．
又点E是AB的中点，
∴OE垂直且平分AB
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】首先进行判断：OE⊥AB，由已知条件不难证明△BAC≌△ABD，得∠OBA=∠OAB再利用等腰三角形“三线合一”的性质即可证得结论．
21．【答案】（1）-4
（2）-1
（3）解：设另一个因式为（x+n），得2x2+9x﹣k＝（2x﹣1）（x+n），
则2x2+9x﹣k＝2x2+（2n﹣1）x﹣n，
∴2n﹣1＝9，﹣k＝﹣n，
解得n＝5，k＝5，
∴另一个因式为x+5，k的值为5．
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：（1）∵(x−1)(x+a) ＝x2+（a﹣1）x﹣a＝ x2−5x+4 ，
∴a﹣1＝﹣5，
解得：a＝﹣4；
故答案是：﹣4
（2）∵（2x+3）（x﹣2）＝2x2﹣x﹣6＝2x2+bx﹣6，
∴b＝﹣1．
故答案是：﹣1．
【分析】（1）将(x−1)(x+a)展开，根据所给的二次三项式即可求出a的值；
（2）(2x+3)(x−2) 展开，可得出一次项的系数，捷克人求出b的值；
（3）设另一个因式为（x+n），得2x2+9x﹣k＝（2x﹣1）（x+n），可知2n﹣1＝9，﹣k＝﹣n，继而求出n、k的值及另一个因式。
22．【答案】（1）③2
④3
（2）解：⑤方程为 5x+1=10x+1−1 ，方程的解为 x=4 ；
（3）解：含正整数n的式子表示为 nx+1=2nx+1−1 ，方程的解为 x=n−1 .
【知识点】分式方程的解及检验；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）③方程两边都乘以（x+1）得，3=6-x-1，
解得x=2，
经检验x=2是原分式方程的解；
故答案为：2；
④方程两边都乘以（x+1）得，4=8-x-1，
解得x=3，
经检验x=3是原分式方程的解；
故答案为：3；
【分析】（1）方程两边同乘以（x+1）把分式方程化为整式方程，然后求解并检验即可；
（2）观察①②③④方程的解，找出规律，写出第⑤个方程和它的解即可；
（3）利用（2）发现的规律写出结论即可.
23．【答案】（1）解： ∵ΔABC 是等边三角形，
∴∠BAC=60° ．
∵ 线段 AM 为 BC 边上的中线，
∴∠CAM=12∠BAC ，
∴∠CAM=30°
（2）解： ∵ΔABC 与 ΔDEC 都是等边三角形，
∴AC=BC ， CD=CE ， ∠ACB=∠DCE=60° ，
∴∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠BCE ，
∴∠ACD=∠BCE ．
在 ΔADC 和 ΔBEC 中
AC=BC∠ACD=∠BCECD=CE ，
∴ΔACD≅ΔBCE(SAS)
（3）解： ∠AOB 是定值， ∠AOB=60° ，
理由如下：
①当点 D 在线段 AM 上时，如图1，
由（2）可知 ΔACD≅ΔBCE ，则 ∠CBE=∠CAD=30° ，
又 ∠ABC=60° ，
∴∠CBE+∠ABC=60°+30°=90° ，
∵ΔABC 是等边三角形，线段 AM 为 BC 边上的中线
∴AM 平分 ∠BAC ，即 ∠BAM=12∠BAC=12×60°=30°
∴∠BOA=90°−30°=60° ．
②当点 D 在线段 AM 的延长线上时，如图2，
∵ΔABC 与 ΔDEC 都是等边三角形，
∴AC=BC ， CD=CE ， ∠ACB=∠DCE=60° ，
∴∠ACB+∠DCB=∠DCB+∠DCE ，
∴∠ACD=∠BCE ，
在 ΔACD 和 ΔBCE 中
AC=BC∠ACD=∠BCECD=CE ，
∴ΔACD≅ΔBCE(SAS) ，
∴∠CBE=∠CAD=30° ，
同理可得： ∠BAM=30° ，
∴∠BOA=90°−30°=60° ．
③当点 D 在线段 MA 的延长线上时，
∵ΔABC 与 ΔDEC 都是等边三角形，
∴AC=BC ， CD=CE ， ∠ACB=∠DCE=60° ，
∴∠ACD+∠ACE=∠BCE+∠ACE=60° ，
∴∠ACD=∠BCE ，
在 ΔACD 和 ΔBCE 中
AC=BC∠ACD=∠BCECD=CE ，
∴ΔACD≅ΔBCE(SAS) ，
∴∠CBE=∠CAD ，
同理可得： ∠CAM=30°
∴∠CBE=∠CAD=150°
∴∠CBO=30° ，
∵∠BAM=30° ，
∴∠BOA=90°−30°=60° ．
综上，当动点 D 在直线 AM 上时， ∠AOB 是定值， ∠AOB=60°
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质可以直接得出结论；（2）根据等边三角形的性质就可以得出 AC=AC ， DC=EC ， ∠ACB=∠DCE=60° ，由等式的性质就可以 ∠BCE=∠ACD ，根据 SAS 就可以得出 ΔADC≅ΔBEC ；（3）分情况讨论：当点 D 在线段 AM 上时，如图1，由（2）可知 ΔACD≅ΔBCE ，就可以求出结论；当点 D 在线段 AM 的延长线上时，如图2，可以得出 ΔACD≅ΔBCE 而有 ∠CBE=∠CAD=30° 而得出结论；当点 D 在线段 MA 的延长线上时，如图3，通过得出 ΔACD≅ΔBCE 同样可以得出结论．