江西省赣州市寻乌县2020-2021学年八年级上学期数学期末试卷

这是一份江西省赣州市寻乌县2020-2021学年八年级上学期数学期末试卷，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列图标是生活垃圾分类标志，其中是轴对称图形的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．长度分别为1，6，x的三条线段能组成一个三角形，x的值可以是（ ）
A．4B．5C．6D．7
3．下列计算正确的是（ ）
A．a2⋅a4=a8B．(a2)4=a8C．(ab)2=ab2D．a6÷a2=a3
4．已知一个多边形的每一个外角都相等，一个内角与一个外角的度数之比是 4:1 ，这个多边形的边数是（ ）
A．6B．8C．9D．10
5．寒假快到了，为了让同学们过一个充实而有意义的假期，老师推荐给大家一本好书．已知小明每天比小芳多看5页书，并且小明看90页书所用的天数与小芳看80页书所用的天数相等，若设小明每天看书x页，则根据题意可列出方程为（ ）
A．90x=80x−5B．90x=80x+5C．90x−5=80xD．90x+5=80x
6．如图所示，在 △ABC 中， ∠BAC=90° ， ∠ACB=30° ， AD⊥BC 于D， BE 是 ∠ABC 的平分线，且交 AD 于P，如果 AP=1 ，则AC的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题
7．使分式 14−2x 有意义的x的取值范围是 ．
8．在实数范围内分解因式： 2x2y−2y= ．
9．如图，在 △ABC 中， ∠A=40°,∠ABC=70°,BD 平分 ∠ABC ，则 ∠BDC 的度数是 度．
10．如图， AC 与 BD 相交于点O， ∠D=∠C ，添加条件 （写一个）后，能使 △ADO≌△BCO ．
11．对于任意非零实数a，b，定义运算“※”如下：“ a※b ” =a−bab ，则 1※2+2※3+3※4+⋯+2020※2021 的值为 ．
12．如图， ∠AOB=50° ， OC 平分 ∠AOB ，如果射线 OA 上的点E满足 △OCE 是等腰三角形，那么 ∠OEC 的度数为 ．
三、解答题
13．计算：
（1）(10a3+8a2−4a)÷2a ；
（2）(−2ab−2)2⋅(a−2b)2 ．
14．解方程： 1x−3−2=33−x ．
15．当 (x−1)2+y−2=0 时，求代数式 1x+y÷x−yx2+2xy+y2−x+y−1x−y 的值．
16．如图， AE⊥DB,CF⊥DB ，垂足分别是点E，F， BF=DE,AE=CF ，求证： ∠B=∠D ．
17．如图，平面直角坐标系中， △ABC 的三个顶点坐标分别为 A(2,4),B(−3,−2),C(3,1) ．
（1）在图中画出 △ABC 关于x轴对称的 △A1B1C1 （不写画法），并写出点 A1 ， B1 ， C1 的坐标；
（2）求 △A1B1C1 的面积．
18．如图，在 △ABC 中，已知 AB=AC,AB 的垂直平分线交 AB 于点N，交 AC 于点M，连接 BM ．
（1）若 ∠ABC=65° ，求 ∠AMN 的度数．
（2）若 AB=6cm ， △MBC 的周长是 11cm ．
①求 BC 的长度；
②若点P为直线 MN 上一点，请你求出 △PBC 周长的最小值．
19．列方程解应用题：
为了创建全国卫生城市，某社区要清理一个卫生死角内的垃圾，租用甲､乙两车运送，两车各运6趟可完成，需支付运费3000元．已知单独分别租用甲､乙两车运完此堆垃圾，乙车所运趟数是甲车的1.5倍，且乙车每趟运费比甲车少100元．
（1）求甲､乙两车单独运完此堆垃圾各需运多少趟？
（2）若单独租用一台车，租用哪台车合算？还是两车的运费一样？
20．阅读材料：
我们定义：如果一个数的平方等于-1，记作 i2=−1 ，那么这个i就叫做虚数单位．虚数与我们学过的实数合在一起叫做复数．一个复数可以表示为 a+bi （a，b均为实数）的形式，其中a叫做它的实部，b叫做它的虚部．
复数的加､减､乘的运算与我们学过的整式加､减､乘的运算类似．
例如计算： (6+i)+(2−3i)=(6+2)+(i−3i)=8−2i ．
根据上述材料，解决下列问题：
（1）填空： i3= ， i6= ；
（2）计算： (3+2i)2 ；
（3）将 3+i2−i 化为 a+bi （a，b均为实数）的形式（即化为分母中不含i的形式）．
21．如图，已知 △ABC 中 AB=AC,BD,CD 分别平分 ∠ABE,∠ACE,BD 交 AC 于F，连接 AD ．
（1）当 ∠BAC=40° 时，求 ∠BDC 的度数；
（2）请直接写出 ∠BAC 与 ∠BDC 的数量关系；
（3）求证： AD//BE ．
22．如图
（1）问题背景：如图①，在四边形 ABCD 中， AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90° ．E，F分别是 BC，CD 上的点，且 ∠EAF=60° ，请探究图中线段 BE，EF，DF 之间的数量关系．小明同学探究此问题的方法是：延长 FD 到点G，使 DG=BE ．连接 AG ，先证明 △ABE≌△ADG ，得 AE=AG ；再由条件可得 ∠EAF=∠GAF ，证明 △AEF≌△AGF ，进而可得线段 BE，EF，DF 之间的数量关系是 ．
（2）探索延伸：如图②，在四边形 ABCD 中， AB=AD，∠B+∠D=180° ．E，F分别是 BC ， CD 上的点，且 ∠EAF=12∠BAD ．问（1）中的线段 BE，EF，DF 之间的数量关系是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）实际应用：如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西 20° 的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东 80° 的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以50海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东 30° 的方向以60海里/小时的速度前进.2小时后，甲､乙两舰艇分别到达E，F处，此时在指挥中心观测到两舰艇之间的夹角为 60° ，试求此时两舰艇之间的距离．
23．在等腰 Rt△ABC 中， ∠BAC=90°,AB=AC ，点A､点B分别是y轴，x轴上两个动点，直角边 AC 交x轴于点D，斜边 BC 交y轴于点E．
（1）如图①，已知C点的横坐标为 −2 ，直接写出点A的坐标 ；
（2）如图②，当等腰 Rt△ABC 运动到使点D恰为 AC 中点时，连接 DE ，求证： ∠ADB=∠CDE ；
（3）如图③，若点A在x轴上，且 A(−6,0) ，点B在y轴的正半轴上运动时，分别以 OB ､ AB 为直角边在第一､二象限作等腰直角 △BOD 和等腰直角 △ABC ，连接 CD 交y轴于点P，问当点B在y轴的正半轴上运动时， BP 的长度是否变化？若变化请说明理由；若不变化，请求出 BP 的长度．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：第一幅图和第四幅图是轴对称图形．
故答案为：B．
【分析】 轴对称图形，是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线就叫做对称轴。根据轴对称图形的定义对每个图形一一判断求解即可。
2．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：由三角形的三边关系，则
6−1∴5∴x的值可以是6；
故答案为：C．
【分析】根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，计算求解即可。
3．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：A. a2⋅a4=a2+4=a6 ，故A不符合题意；
B. (a2)4=a8 ，故B符合题意；
C. (ab)2=a2b2 ，故C不符合题意；
D. a6÷a2=a6−2=a4 ，故D不符合题意，
故答案为：B．
【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，同底数幂的除法法则，进行计算求解即可。
4．【答案】D
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；邻补角
【解析】【解答】设这个多边形的外角为x°，则内角为4x°，
由题意得：x+4x=180，
解得x=36，
这个多边形的边数：360°÷36°=10，
故答案为：D．
【分析】根据一个内角与一个外角的度数之比是 4:1 ，可列方程x+4x=180，再计算求解即可。
5．【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设小明每天看书x页，则小芳每天看书 (x−5) 页，
则 90x=80x−5 ．
故答案为：A．
【分析】根据小明看90页书所用的天数与小芳看80页书所用的天数相等，列方程求解即可。
6．【答案】C
【知识点】角平分线的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵在 △ABC 中， ∠BAC=90° ， ∠ACB=30° ，
∴∠ABC=60° ，
∵AD⊥BC 于D， BE 是 ∠ABC 的角平分线，
∴∠ABP=∠DBP=∠BAP=30° ，
∴AP=BP=1 ，
∵∠BAC=90° ， ∠ACB=30° ，
∴∠EAP=∠AEP=60° ，
∴△APE是等边三角形，
∴AP=BP=AE=PE=1，
∵∠DBP=∠C=30° ，
∴CE=BE=1+1=2，
∴AC=CE+AE=2+1=3 ；
故答案为：C．
【分析】先求出∠ABC=60° ，再证明△APE是等边三角形，最后计算求解即可。
7．【答案】x≠2
【知识点】分式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵分式 14−2x 有意义，
∴4−2x≠0 ，
∴x≠2 ；
故答案为：x≠2．
【分析】根据分式有意义的条件，分母不为0，进行计算求解即可。
8．【答案】2y(x+1)(x-1)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】 2x2y−2y= 2y(x2−1) =2y(x+1)(x−1)
故答案为：2y(x+1)(x-1)
【分析】先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可作答。
9．【答案】75
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵∠ABC=70° ，BD平分 ∠ABC ，
∴∠ABD= 12∠ABC=35°
∴∠BDC=∠ABD+∠A=35°+40°=75°
故答案为：75．
【分析】根据角平分线先求出∠ABD= 12∠ABC=35°，再计算求解即可。
10．【答案】OD=OC或OA=OB或AD=BC（写一个即可）
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：可以添加的条件有： OD=OC ， OA=OB ， AD=BC ，
根据条件，已知： ∠D=∠C ， ∠AOD=∠BOC ，
在已知两组角对应相等时，只需要再有一组边对应相等，即可证明全等．
故答案是：OD=OC或OA=OB或AD=BC．
【分析】根据全等三角形的判定方法，进行求解即可。
11．【答案】−20202021
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：根据题意，
∵“ a※b ” =a−bab ，
∴1※2 =1−21×2=−(1−12) ， 2※3=2−32×3=−(12−13) ，……，
∴1※2+2※3+3※4+⋯+2020※2021
= 1−21×2+2−32×3+⋯+2020−20212020×2021
= −(1−12)−(12−13)−⋯−(12020−12021)
= −(1−12+12−13+13−⋯+12020−12021)
= −(1−12021)
= −20202021 ．
故答案为： −20202021 ．
【分析】根据新运算 “ a※b ” =a−bab ，进行计算求解即可。
12．【答案】130°或77.5°或25°
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵∠AOB=50°，OC平分∠AOB，
∴∠AOC=25°，
①当E在E1时，OE=CE，
∵∠AOC=∠OCE=25°，
∴∠OEC=180°-25°-25°=130°；
②当E在E2点时，OC=OE，
则∠OCE=∠OEC= 12 （180°-25°）=77.5°；
③当E在E3时，OC=CE，
则∠OEC=∠AOC=25°；
故答案为：130°或77.5°或25°．
【分析】根据角平分线求出∠AOC=25°，再分类讨论，计算求解即可。
13．【答案】（1）解： (10a3+8a2−4a)÷2a
=10a3÷2a+8a2÷2a−4a÷2a
=5a2+4a−2
（2）解： (−2ab−2)2⋅(a−2b)2
=4a2b−4⋅a−4b2
=4a−2b−2
=4a2b2
【知识点】单项式乘单项式；整式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据多项式除以单项式法则，进行计算求解即可；
（2）根据负整数指数幂，幂的乘方，积的乘方，进行计算求解即可。
14．【答案】解：方程两边同乘 (x−3) ，得： 1−2(x−3)=−3
去括号，得： 1−2x+6=−3
移项，得： −2x=−3−1−6
合并同类项，得： −2x=−10
系数化为1，得： x=5
检验：5－3＝2≠0， x=5 是原方程的解
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】根据解分式方程的步骤解方程，再检验求解即可。
15．【答案】解：原式 =1x+y⋅(x+y)2x−y−x+y−1x−y
=x+yx−y−x+y−1x−y
=(x+y)−(x+y−1)x−y
=1x−y ；
当 (x−1)2+y−2=0 时，
可得 x=1,y=2 ，
∴原式 =11−2=−1
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先化简代数式，再求出 x=1,y=2 ， 最后代入计算求解即可。
16．【答案】证明：∵AE⊥DB,CF⊥DB ，垂足分别是E､F，
∴∠AEB=∠CFD=90°
∵BF=DE ，
∴BF+EF=DE+EF ，
即 BE=DF ．
在 △ABE 和 △CDF 中，
AE=CF,∠AEB=∠CFD,BE=DF,
∴△ABE≌△CDF(SAS) ，
∴∠B=∠D
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】先求出 ，再利用证明 ，最后作答即可。
17．【答案】（1）解：∵A(2,4),B(−3,−2),C(3,1) ，
∴关于x轴的对称点坐标分别为 A1(2,−4),B1(−3,2),C1(3,−1) ，
作图如下：
（2）解： S△A1B1C1=6×6−12×5×6−12×6×3−12×1×3
=36−15−9−112 ，
=1012
【知识点】点的坐标；三角形的面积；作图-三角形
【解析】【分析】（1）根据关于x轴对称的点的坐标特点作图，再求点的坐标即可；
（2）根据三角形的面积公式和平面直角坐标系，计算求解即可。
18．【答案】（1）解：∵AB=AC ，
∴∠C=∠ABC=65° ，
∴∠A=180°−65°−65°=50° ，
∵AB 的垂直平分线交 AB 于点N，
∴∠ANM=90° ，
∴∠AMN=180°−∠A−∠ANM=180°−50°−90°=40°
（2）解：①∵MN 是 AB 的垂直平分线，
∴AM=BM ，
∴△MBC 的周长 =BM+CM+BC=AM+CM+BC=AC+BC ，
∵AB=6cm ， △MBC 的周长是 11cm ，
∴BC=11−6=5(cm) ；
②△PBC 周长 =BP+PC+BC 最小，即 BM+MC 最小，
根据轴对称性质得,当点P与M重合时，即 AM+MC=AC 最小，
此时 △PBC 周长的值最小，
∴△PBC 周长的最小值 =AC+BC=6+5=11(cm)
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）先求出 ∠C=∠ABC=65° ， 再求出 ∠ANM=90° ， 最后利用三角形的内角和等于180°计算求解即可；
（2）①根据垂直平分线求出 AM=BM ， 再根据三角形的周长计算求解即可；
②根据轴对称的性质和三角形的周长计算求解即可。
19．【答案】（1）解：设租用甲车单独运完此堆垃圾需运x趟，则租用乙车单独运完此堆垃圾需运 1.5x 趟．根据题意得
1x+11.5x=16
解得 x=10 ，则 1.5x=15 ，
经检验， x=10 是原方程的解．
答：甲车单独运完需10趟，乙车单独运完需15趟
（2）解：设甲车每一趟的运费是a元，由题意得：
6a+6(a−100)=3000 ，
解得 a=300 ，
则乙车每一趟的费用是 300−100=200 （元），
单独租用甲车总费用是 10×300=3000 （元），
单独租用乙车总费用是 15×200=3000 （元），
3000=3000 ，
故单独租用一台车，两车的费用一样
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】（1）根据租用甲､乙两车运送，两车各运6趟可完成，列方程求解即可；
（2）根据需支付运费3000元可列方程 ，再计算求解即可。
20．【答案】（1）-i；-1
（2）解： (3+2i)2
=32+12i+4i2
=9+12i−4
=5+12i
（3）解： 3+i2−i
=(3+i)(2+i)(2−i)(2+i)
=6+5i+i24−i2
=5+5i5
=1+i
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：（1）∵i2=−1 ，∴i3=i2⋅i=−1⋅i=−i ， i6=i2⋅i2⋅i2=−1⋅(−1)⋅(−1)=−1 ．
故答案为： −i，−1 ；
【分析】根据如果一个数的平方等于-1，记作 i2=−1 ，那么这个i就叫做虚数单位，进行计算求解即可。
21．【答案】（1）解：∵AB=AC,∠BAC=40° ，
∴∠ACB=∠ABC=70°，
∴∠ACE=110°
∵BD,CD 分别平分 ∠ABE,∠ACE ，
∴∠DBC=12∠ABC=35° ， ∠DCE=12∠ACE=55° ，
∴∠BDC=∠DCE−∠DBC=20°
（2）解： ∠BAC=2∠BDC （或 ∠BDC=12∠BAC ）
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC，
∵BD，CD分别平分∠ABE，∠ACE，
∴∠DBC= 12 ∠ABC，∠DCE= 12 ∠ACE，
∴∠BDC=∠DCE−∠DBC= 12 （∠ACE-∠ABC）= 12 ∠BAC
（3）证明：如图，
过点D作 DN⊥AB,DK⊥AC,DM⊥BC ，垂足分别为点N，K，M．
∵BD,CD 分别平分 ∠ABE,∠ACE,DN⊥AB,DK⊥AC,DM⊥BC ，
∴DM=DN=DK ，
∴AD 平分 ∠GAC ，
∴∠GAD=∠DAC ，
∵∠GAC=∠GAD+∠DAC=∠ABC+∠ACB,∠ABC=∠ACB ，
∴∠GAD=∠ABC ，
∴AD//BE ．
【知识点】平行线的判定；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）先求出 ∠ACB=∠ABC=70°， 再根据角平分线求出 ∠DBC=12∠ABC=35° ， ∠DCE=12∠ACE=55° ， 最后计算求解即可；
（2）先求出 ∠ACB=∠ABC， 再根据 BD，CD分别平分∠ABE，∠ACE， 进行作答求解即可；
（3）先求出 AD 平分 ∠GAC ， 再根据平行线的判定方法进行证明即可作答。
22．【答案】（1）EF=BE+DF
（2）解： EF=BE+DF 仍然成立．
证明：如图1，延长 FD 到G，使 DG=BE ，连接 AG ，
∵∠B+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADG=180° ，
∴∠B=∠ADG ．
在 △ABE 和 △ADG 中，
BE=DG∠B=∠ADGAB=AD ，
∴△ABE≌△ADG(SAS) ，
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG ，
∵∠EAF=12∠BAD ，
∴∠BAE+∠DAF=∠EAF=12∠BAD ，
∵∠GAF=∠DAG+∠DAF ，
∴∠GAF=∠BAE+∠DAF ，
∴∠EAF=∠GAF ，
在 △AEF 和 △AGF 中，
AE=AG∠EAF=∠GAFAF=AF ，
∴△AEF≌△AGF(SAS) ，
∴EF=GF ，
∵GF=DG+DF=BE+DF ，
∴EF=BE+DF
（3）解：如图2，
连接 EF ，延长 AE ､ BF 相交于点G．
∵∠AOB=20°+90°+（90°-80°）=120°，∠EOF=60°，
∴∠EOF=12∠AOB ，
又∵OA=OB，∠OAG+∠OBG=(90°−20°)+(80°+30°)=180° ，
∴符合（2）中探索延伸中的条件，
∴结论 EF=AE+BF 成立，
即 EF=2×(50+60)=220 海里．
答：此时两舰艇之间的距离是220海里．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：（1）在△ABE 和 △ADG 中，
BE=DG∠B=∠ADGAB=AD ，
∴△ABE≌△ADG(SAS) ，
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG ．
∵∠BAD=120°，∠EAF=60°，
∴∠EAF=12∠BAD ，
∴∠BAE+∠DAF=60° ，
∵∠GAF=∠DAG+∠DAF ，
∴∠GAF=∠BAE+∠DAF=60° ，
∴∠EAF=∠GAF ，
在 △AEF 和 △AGF 中，
AE=AG∠EAF=∠GAFAF=AF ，
∴△AEF≌△AGF(SAS) ，
∴EF=GF ，
∵GF=DG+DF=BE+DF ，
故答案为： EF=BE+DF ；
【分析】（1）先证明 △ABE≌△ADG(SAS)，再证明△AEF≌△AGF(SAS)，进行作答即可；
（2）先求出 ∠B=∠ADG ，再证明 △ABE≌△ADG(SAS) 和 △AEF≌△AGF(SAS) ，最后根据全等的性质进行证明即可；
（3）先求出 ∠EOF=12∠AOB ，再根据题意作答即可。
23．【答案】（1）（0,2）
（2）解：如图②，过点C作 CG⊥AC 交y轴于点G．
∴∠ACG=∠DAB=90°,
∵∠CAG+∠OAB=90°，∠OAB+∠ABO=90°，
∴∠CAG=∠ABD,
∵AC=AB,
∴ △ACG≌△BAD(ASA) ，
∴CG=AD,∠ADB=∠AGC ，
∵D 为 AC 的中点，
∴CD=AD=CG,
∵∠ACB=45°,∠ACG=90° ，
∴∠DCE=∠GCE=45° ，
∵CE=CE,
∴ △DCE≌△GCE(SAS) ，
∴∠CDE=∠CGE ，
∴∠ADB=∠CDE
（3）解： BP 的长度不变．理由如下：
如图③，过点C作 CE⊥y 轴于点E．
∵∠ABC=90° ，
∴∠CBE+∠ABO=90° ．
∵∠BAO+∠ABO=90° ，
∴∠CBE=∠BAO ．
∵∠CEB=∠AOB=90°,AB=AC ， A(−6,0),
∴△CBE≌△BAO(AAS) ，
∴CE=BO,BE=AO=6 ，
∵BD=BO ，
∴CE=BD ．
∵∠CEP=∠DBP=90°,∠CPE=∠DPB ，
∴△CPE≌△DPB(AAS) ，
∴BP=EP=12BE=3
【知识点】三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（ASA）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：（1）如图①，过 C 作 CF⊥y 轴于 F,
∴∠CFA=∠AOB=90°, ∠ACF+∠CAF=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠CAF+∠OAB=90°，
∴∠ACF=∠OAB,
∵AC=AB,
∴△ACF≌△BAO(AAS),
∴CF=AO,
∵xC=−2,
∴CF=AO=2，
∴A(0,2).
故答案为： (0,2) ．
【分析】（1）先求出∠ACF=∠OAB，再证明三角形全等，最后进行求解即可；
（2）根据题意先证明 ，再求出CD=AD=CG，再证明三角形全等，进行求解即可；
（3）先求出 ，再证明 ，最后根据全等三角形的判定与性质进行求解即可。