北师大版2023—2024学年九年级上册数学期中复习试卷(含答案)

这是一份北师大版2023—2024学年九年级上册数学期中复习试卷(含答案)，共23页。

1．若一元二次方程x2+px+2p＝0的一个根为2，则p的值为（ ）
A．1B．2C．﹣1D．﹣2
2．如图，在离某围墙AB的6米处有一棵树CD，在某时刻2米长的竹竿垂直地面，太阳光下的影长为3米，此时，树的影子有一部分映在地面上，还有一部分影子映在墙上AE处，墙上的影高为4米，那么这棵树高约为（ ）米．
A．6B．8C．9D．10
3．两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（ ）
A．抛一枚硬币，正面朝上的概率
B．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率
C．转动如图所示的转盘，转到数字为奇数的概率
D．从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率
4．如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A．正方体B．圆锥C．四棱柱D．圆柱
5．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，E，F分别是AB，BC边的中点，连接EF．若EF＝，BD＝4，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．4B．C．4D．28
6．如图，矩形ABCD中，BD＝2，AB在x轴上．且点A的横坐标为﹣1，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交x轴的正半轴于M，则点M的坐标为（ ）
A．（2+，0）B．（ 2+1，0）C．（ 2﹣1，0）D．（2，0）
7．下列一元二次方程中，无实数根的是（ ）
A．x2﹣2x﹣3＝0B．x2+3x+2＝0C．x2﹣2x+1＝0D．x2+2x+3＝0
8．已知一元二次方程x2﹣8x+c＝0有一个根为2，则另一个根为（ ）
A．10B．6C．8D．﹣2
9．如图，EB为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面BE的距离为1.6米，车头FACD近似看成一个矩形，且满足3FD＝2FA，若盲区EB的长度是6米，则车宽FA的长度为（ ）米．
A．2B．C．D．
10．如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边△CDE，BE与AC相交于点M，则下列结论中：
①BM＝DM；
②∠BEC＝∠MDC＝15°；
③∠AMD的度数是75°；
④△AMB≌△AMD≌△EMD．
正确的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．在△ABC中，点D，E分别在边AB和AC上，且DE∥BC，如果AD＝2，DB＝4，AE＝3，那么AC＝ ．
12．今年五月上旬我市空气质量指数如下表，省外某单位组织了一次退休职工到我市旅游3天，则他们在我市旅游3天时，空气质量都是优良（空气质量指数不大于100表示空气质量优良）的概率是 ．
13．如图，小芸用灯泡O（看作一个点）照射一个矩形相框ABCD，在墙上形成矩形影子A'B'C'D'．现测得OA＝20cm，OA'＝50cm，相框ABCD的周长为36cm，则影子A'B'C'D'的周长为 cm．
14．如图，某同学拿着一把12cm长的尺子，站在距电线杆30m的位置，把手臂向前伸直，将尺子竖直，看到尺子恰好遮住电线杆，已知臂长60cm，则电线杆的高度是 m．
15．如图，已知四边形ABCD为矩形，且AB＝3，AD＝4，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转一定角度得到矩形A'B'CD'，B'C与AD交于点O，且DO＝B'O，则AO的长为 ．
三．解答题（共7小题，满分75分）
16．用适当的方法解一元二次方程：
（1）2x2﹣3x＝2；
（2）x2+6x﹣111＝0．
17．为推进社会主义新农村建设，东胜区某社区决定组建社区文体团队，现围绕“你最喜欢的文体活动项目（每人仅限一项）”，在全社区范围内随机抽取部分居民进行问卷调查，并将调查结果绘制如下两幅不完整的统计图．请你根据统计图解答下列问题：
（1）扇形统计图中“纸牌”所在扇形的圆心角的度数为 ；并补全条形统计图；
（2）若在“纸牌、象棋、跳棋、军棋”这四个项目中任选两项组队参加元旦节庆典活动，请用列表法或画树状图的方法，求恰好选中“象棋、军棋”这两个项目的概率．
18．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣3，2），B（1，5），C（3，4），画出△ABC，并画出以原点O为位似中心，将△ABC三条边放大为原来的2倍后的△A1B1C1．
19．操作作图
如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．点D在边AC上，请用圆规和直尺作菱形DEFG，使点E、F在边AB上，点G在边BC上（不写作法，但要保留作图痕迹）．
阅读理解
我们把图①中的菱形DEFG称为△ABC的有一边平行于AB的内接菱形，简称AB类内接菱形．类似的可得到AB类内接矩形．若公共顶点为D的AB类内接菱形DEFG恰好以BC类内接矩形DFMC的一边为对角线，求CD的长．
深入探究
（1）当CD长度满足什么条件时，可作2个AB类内接菱形DEFG？说明理由；
（2）直接写出AB类内接菱形DEFG面积的最大值．
20．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，AD＝6，若OA，OB的长是关于x的一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两个根，且OA＞OB．
（1）直接写出：OA＝ ，OB＝ ；
（2）若点E为x轴上的点，且△AOE∽△DAO．求此时点E的坐标．
21．小琴的父母承包了一块荒山地种植一批香梨树，今年收获一批香梨，小琴的父母打算以m元/斤的零售价销售5000斤香梨；剩余的5000（m+1）斤香梨以比零售价低1元的批发价批给外地客商，总共的销售额为55000元．
（1）小琴的父母今年共收获这种香梨多少斤？
（2）批发商买回这批香梨后，零售平均每天可售出200斤，每斤盈利2元．为了加快销售和获得较好的利润，采取了降价措施，发现销售单价每降低0.1元，平均每天可多售出40斤，应降价多少元使得每天销售利润为600元？
22．综合与实践
问题情境：
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为斜边AB上的动点（不与点A，B重合）．
操作发现：
（1）如图①，当AC＝BC时，把线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE，BE．
①∠CBE的度数为 ；
②探究发现AD和BE有什么数量关系，请写出你的探究过程；
探究证明：
（2）如图2，当BC＝2AC时，把线段CD绕点C逆时针旋转90°后并延长为原来的两倍，记为线段CE．
①在点D的运动过程中，请判断AD与BE有什么数量关系？并证明；
②若AC＝2，在点D的运动过程中，当△CBE的形状为等腰三角形时，直接写出此时△CBE的面积．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．解：∵一元二次方程x2+px+2p＝0的一个根为2，
∴22+2p+2p＝0．
∴4p＝﹣4．
∴p＝﹣1．
故选：C．
2．解：过点A作AF∥DE交CD于点F，
则DF＝AE＝4m，△CAF∽△C′CD′．
∴D′C′：C′C＝CF：CA，即2：3＝CF：6．
∴CF＝4．
∴DC＝4+4＝8（m）．
即：这棵树高8m．
故选：B．
3．解：A、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为，故此选项不符合题意；
B、掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率为，故此选项不符合题意；
C、转动如图所示的转盘，转到数字为奇数的概率为，故此选项不符合题意；
D、从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率，故此选项符合题意；
故选：D．
4．解：该几何体的视图为一个圆形和两个矩形．
则该几何体可能为圆柱．
故选：D．
5．解：∵E，F分别是AB，BC边上的中点，EF＝，
∴AC＝2EF＝2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝AC＝，OB＝BD＝2，
∴AB＝＝，
∴菱形ABCD的周长为4．
故选：C．
6．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴BD＝AC＝2，
由题意可知：AM＝AC＝2，
∵OA＝|﹣1|＝1，
∴OM＝AM﹣OA＝2﹣1，
∴点M的坐标为（2﹣1，0），
故选：C．
7．解：在x2﹣2x﹣3＝0中，Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＝16＞0，即该方程有两个不等实数根，故选项A不符合题意；
在x2+3x+2＝0中，Δ＝b2﹣4ac＝32﹣4×1×2＝1＞0，即该方程有两个不等实数根，故选项B不符合题意；
在x2﹣2x+1＝0中，Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，即该方程有两个相等实数根，故选项C不符合题意；
在x2+2x+3＝0中，Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×3＝﹣8＜0，即该方程无实数根，故选项D符合题意；
故选：D．
8．解：设方程的另一个根为t，
根据题意得2+t＝8，解得t＝6，
即方程的另一个根是6．
故选：B．
9．解：如图，过点P作PM⊥BE，垂足为M，交AF于点N，则PM＝1.6，
设FA＝x米，由3FD＝2FA得，FD＝x＝MN，
∵四边形ACDF是矩形，
∴AF∥CD，
∴△PAF∽△PBE，
∴＝，
即＝，
∴PN＝x，
∵PN+MN＝PM，
∴x+x＝1.6，
解得，x＝，
故选：D．
10．解：∵四边形ABCD为正方形，AC为对角线，
∴BC＝DC，∠BCA＝∠DCA＝45°，BC＝DC，∠BCD＝90°，
在△BCM和△DCM中，
，
∴△BCM≌△DCM（SAS），
∴BM＝DM，故结论①正确；
∵△CDE为等边三角形，
∴∠DCE＝60°，DC＝CE，
∴BC＝CE，
∴∠BEC＝∠EBC，
∵∠BCE＝∠BCD+∠DCE＝90°+60°＝150°，
∴°，
∵△BCM≌△DCM，
∴∠MBC＝∠MDC，
即：∠BEC＝∠MDC＝15°；故结论②正确；
∵∠MDC＝15°，∠DCA＝45°，
∴∠AMD＝∠MDC+∠DCA＝60°，故结论③不正确；
在△AMB和△AMD中，
，
∴△AMB≌△AMD（SAS），
∵四边形ABCD为正方形，△CDE为等边三角形，
∴AD＝ED，∠ADC＝90°，∠EDC＝60°，
∵∠MDC＝15°，
∴∠ADM＝∠ADC﹣∠MDC＝75°，∠EDM＝∠MDC+∠EDC＝75°，
∴∠ADM＝∠EDM＝75°，
在△AMD和△EMD中，
，
∴△AMD≌△EMD（SAS），
∴△AMB≌△AMD≌△EMD，故结论④正确，
综上所述：正确的结论是①②④，共有3个．
故选：C．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．解：∵DE∥BC，
∴AD：AB＝AE：AC，
∵AD＝2，DB＝4，AE＝3，
∴2：6＝3：AC，
∴AC＝9，
故答案为：9．
12．解：由表格可得，
所有的可能性是：（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），（4，5，6），（5，6，7），（6，7，8），（7，8，9），（8，9，10），其中旅游3天，空气质量都是优良的有5种结果，
所以空气质量都是优良的概率是，
故答案为：．
13．解：∵OA＝20cm，OA'＝50cm，
∴OA：OA′＝20：50＝2：5，
∵AB∥A′B′，
∵∠AOB＝∠A′OB′，
∴△AOB∽△A′OB′，
∴AB：A′B′＝OA：OA′＝2：5，
∴矩形ABCD的周长：矩形A′B′C′D′的周长为2：5，
又矩形ABCD的周长为36cm，则矩形A′B′C′D′的周长为90cm．
故答案为：90．
14．解：如图，作AN⊥EF于N，交BC于M，
∵BC∥EF，
∴AM⊥BC于M，
∴△ABC∽△AEF，
∴，
∵AM＝0.6，AN＝30，BC＝0.12，
∴EF＝＝＝6（m）．
答：电线杆的高度是6m．
故答案为：6．
15．解：∵将矩形ABCD绕点C顺时针旋转一定角度得到矩形A'B'CD'，
∴AB＝CD＝3，B′C＝BC＝AD＝4，∠D＝90°．
设OD＝x，则B'O＝x，OC＝4﹣x．
在Rt△COD中，∵∠D＝90°，
∴OC2＝OD2+CD2，
即（4﹣x）2＝x2+32，
解得x＝，
∴AO＝AD﹣OD＝4﹣＝．
故答案为：．
三．解答题（共7小题，满分75分）
16．解：（1）2x2﹣3x＝2，
2x2﹣3x﹣2＝0，
（2x+1）（x﹣2）＝0，
∴2x+1＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝﹣，x2＝2；
（2）x2+6x﹣111＝0，
x2+6x+9＝111+9，即（x+3）2＝120，
∴x+3＝，
∴x1＝﹣3+2，x2＝﹣3﹣2．
17．解：（1）这次参与调查的居民人数为：24÷20%＝120（人）；
∴喜欢“纸牌”的人数为：120﹣24﹣15﹣30﹣9＝42（人），
∴扇形统计图中“纸牌”所在扇形的圆心角的度数为360°×＝126°，
故答案为：126°，
补全条形图如图所示：
（2）设：纸牌为A，象棋为B，跳棋为C，军棋为D，
根据题意画树状图：
由树状图可知：一共有12种等可能的情况，其中恰好选中“象棋、军棋”这两个项目的有2种，
∴恰好选中“象棋、军棋”这两个项目的的概率是同时选中B、D的概率为＝．
18．解：如图，△ABC和△A1B1C1为所作．
19．解：操作作图：
如图所示中的四边形DEFG为符合条件的其中一个菱形．
阅读理解：
符合条件的图形如图所示：
∵公共顶点为D的AB类内接菱形DEFG恰好以BC类内接矩形DFMC的一边为对角线，
∴DG＝GF，DC＝FM，∠C＝∠FMC＝90°＝∠FMB．
∴Rt△DCG≌Rt△FMG（HL）．
∴CG＝MG．
∵DG∥AB，
∴∠DGC＝∠B．
∴△DCG≌△DMB（AAS）．
∴CG＝BM．
∴．
∵△DCG∽△ACB，
∴．
即，
∴DC＝2．
深入探究：
（1）如图所示，当点E与点A重合时，此时存在符合条件的两个菱形．
在Rt△ABC中，．
∵四边形DEFG为菱形，
∵DG∥AB，
∴，
即．
解得DC＝．
如图，当DE⊥AB时，
过点C作CH⊥AB，交DG于点Q，交AB于点H．
在Rt△ABC中，
．
∵DG∥AB，
∴△ABC∽△DGC．
∴．
即，
∴．
∴．
即，
∴．
∴当＜CD≤时，可作2个AB类内接菱形DEFG．
（2）如图，过点C作CH⊥AB于点H，交DG于点Q．
∵四边形DEFG为菱形，
设DG＝x，
∵DG∥AB，
∴△ABC∽△DGC．
∴．
即，
∴CQ＝．
则QH＝．
∴S菱形DEFG＝DG×CH＝．
配方得．
当点F与点B重合时，
可求得DG＝，
由（1）可知：
．
在此范围内S菱形DEFG随x的增大而增大，
∴当x＝时，S菱形DEFG最大，
最大值为．
∴AB类内接菱形DEFG面积的最大值为．
20．解：（1）方程x2﹣7x+12＝0，
分解因式得：（x﹣3）（x﹣4）＝0，
可得：x﹣3＝0，x﹣4＝0，
解得：x1＝3，x2＝4，
∵OA＞OB，
∴OA＝4，OB＝3；
故答案为4，3；
（2）设点E的坐标为（m，0），
则OE＝|m|，
∵△AOE∽△DAO，
∴＝，
∴＝，
∴|m|＝，
∴m＝±，
∴点E的坐标为：（，0）或（﹣，0）．
21．解：（1）依题意，得5000m+（m﹣1）×5000（m+1）＝55000，
整理，得m2+m﹣12＝0，
解得：m1＝3，m2＝﹣4（不合题意，舍去），
∴5000+5000（m+1）＝25000．
答：小琴的父母今年共收获这种香梨25000斤．
（2）设降价x元，则每斤的利润为（2﹣x）元，每天的销售量为200+＝（200+400x）斤，
依题意，得（2﹣x）（200+400x）＝600，
整理，得2x2﹣3x+1＝0，
解得：x1＝0.5，x2＝1，
又∵为了加快销售，
∴x＝1．
答：应降价1元使得每天销售利润为600元．
22．解：（1）①∵线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，
∴∠DCE＝90°，DC＝CE，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE，
∵AC＝BC，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CBE＝∠CAD＝45°，
故答案为：45°；
②AD＝BE，理由如下：
由①知△ACD≌△BCE，
∴AD＝BE；
（2）①，理由如下：
∵BC＝2AC，CE＝2CD，
∴，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACD+∠DCB＝∠DCB+∠BCE，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD∽△BCE，
∴，
∴；
②过C作CF⊥AB于F，CG⊥BE于G，如图：
∵AC＝2，BC＝2AC，
∴BC＝4，AB＝＝2，
∴sin∠ABC＝＝＝＝，cs∠ABC＝＝＝，
∴＝，＝，
∴CF＝，BF＝，
∵四边形CGBF是矩形，
∴CG＝BF＝，BG＝CF＝，
（Ⅰ）当CB＝CE时，如图：
∴BE＝2BG＝，
∴△CBE的面积为××＝；
（Ⅱ）当BC＝BE时，如图：
此时BE＝BC＝4，
∵CG＝BF＝，
∴△CBE的面积为×BE•CG＝×4×＝
（Ⅲ）当CE＝BE时，如图：
设BE＝CE＝t，则EG＝t﹣，
在Rt△CEG中，
t2＝（）2+（t﹣）2，
解得t＝2，
∴BE＝2，
∴△CBE的面积为CG•BE＝××2＝8，
综上所述，△CBE的面积为或或8．
日期
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
空气质
量指数
30
42
36
58
80
95
70
115
56
101