07平面向量-天津市2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（人教版A版，2019新版）

这是一份07平面向量-天津市2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（人教版A版，2019新版），共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2017上·天津红桥·高三统考期末）等腰直角三角形ABC中，，，D是斜边BC上一点，且，则( )
A．2B．3C．4D．5
2．（2019上·天津红桥·高三统考期末）在中，若，则角的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022上·天津河西·高三统考期末）已知单位向量与的夹角为，则向量与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
4．（2020上·天津红桥·高三统考期末）如图，在平行四边形中，已知，，，，则的值是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2021上·天津河西·高三统考期末）在梯形中，，，，，若点在线段上，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
6．（2020上·天津南开·高三统考期末）四边形ABCD中，，则的取值范围是
A．B．C．D．
7．（2020上·天津·高三校联考期末）在四边形中，，，，，，点在线段的延长线上，且，点在边所在直线上，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
8．（2020上·天津滨海新·高三校联考期末）在梯形中，已知，，，，若，则（ ）
A．B．C．D．
9．（2019上·天津蓟州·高三校联考期末）在中，为的中点，，则
A．B．C．3D．-3
10．（2019上·天津和平·高三校联考期末）如图，在梯形中，，，为边上一点，则的最小值为
A．10B．12
C．15D．16
11．（2019上·天津蓟州·高三校联考期末）如图，圆是边长为4的正方形的内切圆，是圆的内接正三角形，若绕着圆心旋转，则的最大值是
A．B．
C．D．
12．（2018上·天津·高三统考期末）如图，平面四边形中，，，点在对角线上，，，则的值为（ ）.
A．17B．13C．5D．1
二、填空题
13．（2024上·天津南开·高三统考期末）在中，，则 ；若为所在平面内的动点，且，则的取值范围是 .
14．（2023上·天津·高三统考期末）已知三角形的外接圆半径为1，外接圆圆心为O，且O点满足，则 ， ．
15．（2023上·天津蓟州·高三天津市蓟州区第一中学校考期末）已知向量，，若向量与向量平行，则实数 ．
16．（2023上·天津南开·高三南开大学附属中学校考期末）已知为等腰直角三角形，，圆M为的外接圆，，则 ；若P为圆M上的动点，则的取值范围为 ．
17．（2023上·天津河西·高三校考期末）在四边形中，，，，且，，则实数的值为 ，若是线段上的动点，是线段上的动点，且满足，则的最小值为 .
18．（2022上·天津静海·高三静海一中校考期末）在等腰梯形中，已知，动点和分别在线段和上，且，则的最大值为 ．
19．（2023上·天津南开·高三天津市第九中学校考期末）如图，在中，，，，，分别是边，上的点，，且，则 ，若是线段的中点，且，则 .
20．（2022上·天津滨海新·高三天津市滨海新区塘沽第一中学校考期末）在梯形中，，，，，、分别为线段和线段上的动点，且，，则的取值范围为 ．
21．（2022上·天津南开·高三天津二十五中校考期末）在四边形ABCD中，，，，，点E在线段CB的延长线上，且，则 .
三、解答题
22．（2022上·天津河西·高三统考期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上顶点，，原点到直线的距离为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设斜率不为0的直线过点，与椭圆交于，两点，若椭圆上一点满足，求直线的方程.
参考答案：
1．C
【分析】以为基底表示向量，根据向量数量积的运算律即可计算．
【详解】，∴，
∵，
．
故选：C．
2．C
【分析】根据数量积定义可得.
【详解】因为
所以，即
又因为角为的内角，
所以.
故选：C
3．D
【分析】利用平面向量运算法则计算出与的数量积，接着求出两个向量的模长，从而求解出夹角的余弦值，求出夹角.
【详解】，
，故，，故，所以，所以向量与的夹角为.
故选：D
4．B
【分析】根据基底表示再根据向量数量积化简，即得结果.
【详解】
故选B
5．B
【分析】根据，，，，建立空间直角坐标系，
设，得到，再求得的坐标，利用数量积的坐标运算求解.
【详解】建立如图所示平面直角坐标系：

因为，，，，
所以，
设
所以，
所以，，
所以，
当时，的最小值为，
故选：B.
6．C
【解析】数形结合分析数量积的取值范围即可.
【详解】画出图象,因为,故四点共圆.又,
易得.
.
易得当在时取最小值,
当在时取最大值.故的取值范围是.

故选：C
【点睛】本题主要考查了向量数量积的综合运用,需要数形结合分析的轨迹再分析数量积的取值范围,属于中等题型.
7．A
【解析】依题意，如图以为坐标原点建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，根据求出的坐标，求出边所在直线的方程，设，利用坐标表示，根据二次函数的性质求出最大值.
【详解】解：依题意，如图以为坐标原点建立平面直角坐标系，由，，，，
，，，
因为点在线段的延长线上，设，
解得
，
所在直线的方程为
因为点在边所在直线上，故设
当时
故选：
【点睛】本题考查向量的数量积，关键是建立平面直角坐标系，属于中档题.
8．D
【解析】根据向量的运算法则，化简得到，得到，即可求解.
【详解】由题意，根据向量的运算法则，可得：
，
又因为，所以，
所以.
故选：D.
【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理的应用，其中解答中熟练应用平面向量的基本定理，熟练应用向量的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
9．A
【分析】本题中、长度已知，故可以将、作为基底，将向量用基底表示，从而解决问题．
【详解】解：在中，因为为的中点，
所以，
故选A
【点睛】向量数量积问题常见解题方法有1.基底法，2.坐标法．基底法首先要选择两个不共线向量作为基向量，然后将其余向量向基向量转化，然后根据数量积公式进行计算；坐标法则要建立直角坐标系，然后将向量用坐标表示，进而运用向量坐标的运算规则进行计算．
10．C
【分析】先取CD中点N，化简，再根据N到直线AB距离最小值得结果.
【详解】取CD中点N，则,在AB上取AE=2，连接CE，则四边形AECD为平行四边形，则CE=AD=5,因为BE=3,BC=4,所以,即,,选C.
【点睛】以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程、解不等式、求函数值域或直线与曲线位置关系，是解决这类问题的一般方法.
11．D
【分析】由题意，利用两个向量的数量积的定义求得，再求得，又由，即可求解.
【详解】由题意，可得，
又由，
所以，
又因为,
所以，
所以的最大值为，故选D.
【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的应用问题，其中解答中利用两个向量的数量积的定义求得和，再由求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
12．D
【分析】根据题目提供的边长信息得到∠BCE=60°，然后利用余弦定理求出EB的长度，再用余弦定理和二倍角公式求出cs∠BED，最后求数量积即可.
【详解】由题意可知CE=3，∠BCE=60°，
∴EB==，
∴cs∠BEC==．
∴cs∠BED=2cs2∠BEC﹣1=．
∴==1．
故选：D．
13．
【分析】建立，利用向量的坐标运算求；设，利用向量的坐标运算结合辅助角公式可得，再结合正弦函数的有界性分析求解.
【详解】如图，以C为坐标原点，分别为轴所在直线，建立平面直角坐标系，
则，
可得，则，
所以；
因为，设，
可得，
则，
，
其中，
因为，所以.
故答案为：；.
14． /0.875
【分析】得到，平方后求出，从而得到，先求出，由二倍角公式得到，求出答案.
【详解】因为，所以，
两边平方得：，
因为三角形的外接圆半径为1，所以，
故，解得：，
所以，
因为，而，
所以，
因为，
故.
故答案为：
15．/
【分析】根据题意，由平面向量平行的坐标公式，代入计算即可得到结果.
【详解】由题可得，因为向量与向量平行，所以，解得．
故答案为:
16． 0
【分析】根据给定条件，利用垂直的向量求解即可；再建立平面直角坐标系，利利用向量的坐标表示列出函数式，并求出函数值域作答.
【详解】在等腰直角中，，由得，点E是弦的中点，
在圆M中，，因此；
依题意，以圆M的圆心M为原点，直线CB为x轴，点A在y轴正半轴上，建立平面直角坐标系，如图，
则有，圆M的方程为，因为P为圆M上的动点，
设，，
于是得，
而，因此当时，，当时，，
所以的取值范围为.
故答案为：0；
17．
【分析】根据和向量的数量积定义式计算；建立平面直角坐标系，设，用表示出，根据二次函数性质即得．
【详解】在四边形中，，
，，
，又，，
，
；
如图以为原点建立平面直角坐标系，设，，
则，
所以，
所以，
所以，
所以当时，取得最小值．
故答案为：；．
【点睛】方法点睛：向量数量积问题常用方法
一是利用基底法，结合平面向量基本定理及数量积的定义求解；
二是利用坐标法，结合图形建立坐标系，求出向量的坐标，进而求其数量积.
18．
【分析】运用数量积的定义求得，，，，确定的取值范围，再由向量的三角形法则和基本不等式及函数单调性，即可得到所求最大值．
【详解】解：由题可得图形如下：
由于，，
，，
因为，所以，
则
，，
当且仅当，即时取等号，即取最小值，函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，；当时，，
所以的最大值为.
故答案为：．
19．
【分析】由向量的数量积计算可得，平面向量的线性运算可得，由平面向量的基本定理可得的值，进而可得结论.
【详解】由，，所以，
所以；
由是的中点，所以,
所以
又，
所以，
化简可得，
又，所以，
所以
故答案为:
20．
【分析】以点为坐标原点，直线为轴，过点且垂直于直线的直线为轴建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算可得出关于的函数关系式，求出的取值范围，利用对勾函数的单调性可求得的取值范围.
【详解】以点为坐标原点，直线为轴，过点且垂直于直线的直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则、、、，则，
由题意可得，解得，
，
所以，，
由对勾函数的单调性可知，函数在区间上单调递增，
当时，.
因此，的取值范围是.
故答案为：.
21．1
【分析】建立坐标系利用向量的坐标运算分别写出向量而求解．
【详解】建立如图所示的直角坐标系，
因为，，，
则，
又则，
因为，所以，
所以直线的斜率为，
其方程为，
直线的斜率为，
其方程为,
由得，，
所以,
由，，
所以，
故答案为：1.
22．(1)
(2)或
【分析】（1）根据及原点到直线的距离可求，从而可求椭圆的方程.
（2）设直线的方程为，，，可用所设两点的坐标表示，联立直线方程和椭圆方程 ，消元后利用韦达定理结合在椭圆上可求直线的方程.
【详解】（1）由题意得，，
因为，所以，
由原点到直线：的距离为，
可得，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）因为直线的斜率不为0，且过点，
所以设直线的方程为，
设点，，
联立方程，得，
则，，
因为，所以，
将点的坐标代入椭圆方程得，
而，整理得到，
即，
解得，所以直线的方程为或.