12平面解析几何（圆锥曲线）-天津市2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（人教版A版，

这是一份12平面解析几何（圆锥曲线）-天津市2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（人教版A版，，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2024上·天津河西·高三统考期末）已知双曲线（，），是双曲线的半焦距，则当取得最小值时，双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024上·天津和平·高三统考期末）已知双曲线的右焦点为点，过点作双曲线的其中一条渐近线的垂线，垂足为点（点在第一象限），直线与双曲线交于点，若点为线段的中点，且，则双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024上·天津河北·高三统考期末）若双曲线的离心率为2.抛物线的焦点为，抛物线的准线交双曲线于两点.若为等边三角形，则双曲线的焦距为（ ）
A．2B．4C．D．
4．（2023上·天津宁河·高三天津市宁河区芦台第一中学校考期末）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线准线与一条渐近线交于点，则双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023上·天津·高三统考期末）已知双曲线的实轴长为，其中一个焦点与抛物线的焦点重合，则双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
6．（2023上·天津河北·高三统考期末）设双曲线的焦距为，若成等差数列，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023上·天津河西·高三校考期末）已知双曲线的左，右焦点分别为，，为的左顶点，以为直径的圆与的一条渐近线交于，两点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．（2022上·天津滨海新·高三天津市滨海新区塘沽第一中学校考期末）已知双曲线（，）的两条渐近线均和圆：相切，且双曲线的右焦点为圆的圆心，则该双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
9．（2022上·天津和平·高三统考期末）已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，且点到双曲线的渐近线的距离为4，则双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
10．（2019上·天津红桥·高三统考期末）双曲线的左、右焦点分别为、，点在上，为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
11．（2022上·天津·高三天津市武清区杨村第一中学校联考期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线与双曲线在第二象限的交点为，若，则此双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
二、填空题
12．（2024上·天津河西·高三统考期末）已知抛物线的焦点为，以点为圆心的圆与直线相切于点，则 .
13．（2024上·天津河东·高三统考期末）已知抛物线C：的焦点为F，过F且垂直于x轴的直线l与C交于A，B两点，则以线段AB为直径的圆被y轴所截得的弦长为 .
14．（2023上·天津·高三统考期末）若双曲线的渐近线与圆相切，则 ．
15．（2022上·天津河西·高三校考期末）已知直线过双曲线的左焦点，且与双曲线的一条渐近线平行，若过抛物线的焦点，则的值为 ．
16．（2022上·天津河西·高三统考期末）已知抛物线：的焦点为，抛物线上一点位于第一象限，且满足，则以点为圆心，为半径的圆的方程为 .
17．（2021上·天津红桥·高三统考期末）若一个圆的圆心是抛物线的焦点，且被直线截得的弦长为2，则该圆的标准方程是 .
18．（2019上·天津南开·高三统考期末）已知抛物线的焦点为F，准线与x轴的交点M，N为抛物线上的一点，且满足，则 ．
19．（2021上·天津·高三统考期末）已知双曲线的方程为，则此双曲线的离心率为 ，其焦点到渐近线的距离为 ．
三、解答题
20．（2024上·天津南开·高三统考期末）设椭圆经过点，且其左焦点坐标为.
(1)求椭圆的方程；
(2)对角线互相垂直的四边形的四个顶点都在上，且两条对角线均过的右焦点，求的最小值.
21．（2023上·天津·高三统考期末）已知椭圆的右焦点为F，左顶点为A，上顶点为B，且．
(1)求椭圆的离心率；
(2)已知以椭圆的离心率为斜率的直线经过点A，且与椭圆相交于点P（点P异于点A），若，求椭圆的方程．
22．（2023上·天津南开·高三校考期末）已知椭圆C：的离心率为，四个顶点所围成菱形的面积为.
(1)求椭圆的方程；
(2)若A、B两点在椭圆C上，坐标原点为O，且满足，
（i）求的取值范围；
（ii）求的面积.
23．（2023上·天津河西·高三校考期末）已知椭圆的离心率为，椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合.椭圆的左顶点为A，直线与椭圆的另一个交点为，点关于原点的对称点为点，直线，与轴分别交于，两点.
(1)求椭圆的方程.
(2)是否存在定点，使得，若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由.
参考答案：
1．B
【分析】结合双曲线的的关系及基本不等式即可求解.
【详解】由
，
当且仅当，即且时等号成立，
则，得.
故选：B
2．A
【分析】先求出焦点到渐近线的距离，再联立直线直线与渐近线得点坐标，得中点的坐标，代入双曲线方程计算化简即可.
【详解】双曲线的渐近线方程为，
由对称性，不妨取其中一条渐近线，即，点，
则，则.
且，
由，解得，所以，
由点为线段的中点，则，
由点在双曲线上，则，化简得，
又，得，则双曲线方程为.
故选：A.
3．D
【分析】由题可得代入双曲线，即可得解.
【详解】抛物线的准线交双曲线于两点.设，
,到准线距离为,
为等边三角形,
代入双曲线,可得，
解得，
故选:D．
4．D
【分析】根据题意，求得双曲线的右焦点为，得到，再由抛物线的准线方程为，求得，将代入渐近线方程，得到，进而求得的值，即可求解.
【详解】由抛物线的焦点为，
因为双曲线与抛物线的焦点重合，可得双曲线的右焦点为，
即，可得，
又由双曲线的一条渐近线方程为，抛物线的准线方程为，
因为抛物线准线与一条渐近线交于点，可得，
即交点为，代入渐近线方程，可得，可得，
将代入，可得，所以，
所以双曲线的方程为.
故选：D.
5．B
【分析】求出抛物线焦点坐标，得到，由实轴长求出，进而求出，得到双曲线方程.
【详解】的焦点坐标为，故，
由题意得：，所以，
故双曲线方程为.
故选：B
6．A
【分析】根据等差数列定义和双曲线关系可求得，由此可得渐近线方程.
【详解】成等差数列，，又，
，即，，
双曲线的渐近线方程为：.
故选：A.
7．C
【分析】根据双曲线的性质在，中结合余弦定理运算求，再在根据余弦定理得到齐次式求离心率.
【详解】如图，由题意可得：，
不妨设渐近线，即直线l的斜率，则，故，
在中，，即，
在中，，即，
在中，，即，
整理可得：，即，解得或（舍去），
故双曲线的离心率为.
故选：C.
8．C
【分析】根据条件转化为关于的方程组，即可求解.
【详解】圆，整理为，圆心，半径，双曲线的渐近线方程，
由题意可知，，解得：，
所以双曲线的方程为.
故选：C
9．C
【分析】由题易得，知，双曲线焦点在轴上，渐近线方程为，又由点到双曲线的渐近线的距离为4，得，即可解决.
【详解】由题知，抛物线开口向右，，
所以焦点为，
因为焦点与双曲线的一个焦点重合，
所以，且双曲线焦点在轴上，渐近线方程为，即，
因为点到双曲线的渐近线的距离为4，即，
所以，
所以双曲线的方程为，
故选：C
10．B
【分析】由双曲线的对称性不妨令点P在第一象限，可得，，再借助双曲线定义及离心率公式计算即可得出答案.
【详解】由双曲线的对称性不妨令点P在第一象限，其半焦距为c，因为等腰直角三角形，
则，，，由双曲线定义得，即，于是得，
所以双曲线的离心率为.
故选：B.
11．C
【分析】根据得到三角形为等腰三角形，然后结合双曲线的定义得到，设，由余弦定理最后求出答案.
【详解】由，，由双曲线的定义知，，设，，易得，化简得：，同时除以，
则，求出或（舍去）.
故选：C.
12．
【分析】由题意可得直线与直线垂直，进而可得出答案.
【详解】，
因为以点为圆心的圆与直线相切于点，
所以直线与直线垂直，
则，解得.
故答案为：.
13．
【分析】由题意得A，B两点的坐标，进一步得以线段AB为直径的圆的方程，令，即可求解.
【详解】由题意过点且垂直于x轴的直线l的方程为，将其与抛物线方程联立，得，
解得，不妨设，
则以线段AB为直径的圆即以点为圆心半径为的圆，它的方程为，
设以线段AB为直径的圆和y轴的交点为，
在中令，得，
所以以线段AB为直径的圆被y轴所截得的弦长为.
故答案为：.
14．
【分析】根据双曲线方程，写出渐近线方程，整理圆的标准方程，明确圆心与半径，结合直线与圆相切，建立方程，可得答案.
【详解】由双曲线方程，则其渐近线方程，
由圆方程，整理可得，其圆心为，半径，
由两个渐近线关于对称，则不妨只探究渐近线，整理可得，
由题意，可得，解得.
故答案为：.
15．
【分析】先求出双曲线的左焦点，然后求出直线的方程，再根据线过抛物线的焦点即可求解.
【详解】双曲线的左焦点为：，因为双曲线的一条渐近线方程为，所以直线的方程为，
因为直线过抛物线的焦点，所以，则，
故答案为：.
16．
【分析】设，根据抛物线的定义求得，进而求出，结合圆的标准方程即可得出结果.
【详解】由题意，抛物线，可得焦点，
设，根据抛物线的定义，可得，
解得，代入方程，由可得，
即，又，
所以圆的方程为：.
故答案为：.
17．
【解析】根据抛物线的焦点，可求得圆心坐标，根据弦长为2，结合弦长公式，可求得，代入方程，即可得答案.
【详解】因为的焦点为（0,1），
所以所求圆的圆心为（0,1），设该圆半径为r，
则圆心（0,1）到直线的距离，
所以弦长，解得，
故该圆的标准方程为：，
故答案为：
18．
【分析】先过点N作准线，交准线于P，由抛物线的定义得到，再由题意即可求出结果.
【详解】过点N作准线，交准线于P，由抛物线定义知，在中，，，，．
故答案为．
【点睛】本题主要考查抛物线的定义，熟记抛物线的定义，即可求解，属于基础题型.
19． 1
【详解】（1），所以，故离心率为，渐近线方程为，所以焦点到它们的距离为.

20．(1)
(2).
【分析】（1）根据焦点坐标和椭圆所过点，利用椭圆的定义可求方程；
（2）设出直线方程，联立，结合韦达定理表示出，利用二次函数可得答案.
【详解】（1）因为椭圆的左焦点坐标为，
所以右焦点坐标为.
又椭圆经过点，
所以.
所以椭圆的方程为.
（2）①当直线中有一条直线的斜率不存在时，.
②当直线的斜率存在且不为0时，
设直线的方程，
由，得，
则，
.
设直线的方程为，同理得，
所以，
设，则，
则，
所以时，有最小值.
综上，的最小值是.
21．(1)
(2)
【分析】（1）表达出，列出方程，得到，得到离心率；
（2）设出直线方程，联立椭圆方程，求出，得到，得到方程，求出，得到椭圆方程.
【详解】（1）由题意可得，，
因为，所以，可得，
又，所以，
所以椭圆离心率为；
（2）由（1）知，，直线为，
设，联立，
化简得，解得：或
其中点P异于点，而，
故，即，
又，所以，，，，
则
，
故，解得：，故，
故椭圆方程为.
22．(1)
(2)（i）（ii）
【分析】（1）利用菱形的面积和椭圆的性质列方程组即可得出；
（2）（i）设直线的方程为，与椭圆的方程联立可得根与系数的关系、再利用斜率的计算公式、数量积运算即可得出；
（ii）利用弦长公式和点到直线的距离公式及三角形的面积公式即可得出.
【详解】（1）由已知可得，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）（i）设直线的方程为，设，
联立，得，
，即，
，.
，.
,
，即，
，
，，
，
又直线的斜率不存在时,
的取值范围是.
（ii）设原点到直线的距离为，
则
，
由化简可得.
的面积为.
23．(1)
(2)存在，T为或
【分析】（1）先根据抛物线的方程求焦点为，再根据椭圆性质列式求解即可；（2）根据椭圆方程先证，利用表示点，，根据向量垂直的坐标表示整理可得，根据恒成立分析运算即可结果.
【详解】（1）抛物线的焦点为，
由题意可得：，解得，
故椭圆方程为.
（2）存在定点，使得，理由如下：
由（1）可得：，
设，则，
故直线的斜率，直线的斜率，
则，
∵点在椭圆上，则，即，
∴，即，
直线的方程为，
令，则，即，
同理可得：，
设，则，
故，
若，则对任意恒成立，
可得，解得，
故存在定点T为或，使得.
【点睛】思路定睛：存在性问题求解的思路及策略：
(1)思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在；若结论不正确则不存在.
(2)策略：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；③当条件和结论都不知，按常规法解题很难时，可先由特殊情况探究，再推广到一般情况.