13计数原理与概率统计-天津市2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（人教版A版，201

这是一份13计数原理与概率统计-天津市2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（人教版A版，201，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．（2024上·天津和平·高三统考期末）为深入学习宣传党的二十大精神，某校开展了“奋进新征程，强国伴我行”二十大主题知识竞赛，选派了10名同学参赛，且该10名同学的成绩依次是：．针对这一组数据，以下说法正确的个数有（ ）
①这组数据的中位数为90；
②这组数据的平均数为89；
③这组数据的众数为90；
④这组数据的第75百分位数为93；
⑤这组数据的每个数都减5后，这组数据的平均数与方差均无变化．
A．2个B．3个C．4个D．5个
2．（2024上·天津南开·高三统考期末）某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示，则的值为（ ）
A．0.02B．0.2C．0.04D．0.4
3．（2023上·天津·高三统考期末）从某小区抽取100户居民用户进行月用电调查，发现他们的用电量都在之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示．在被调查的用户中，用电量落在区间内的户数为（ ）
A．45B．46C．54D．70
4．（2023上·天津河北·高三统考期末）将三颗骰子各掷一次，记事件“三个点数都不同”，“至少出现一个点”，则条件概率，分别等于（ ）
A．，B．，C．，D．，
5．（2022上·天津滨海新·高三天津市滨海新区塘沽第一中学校考期末）下面是追踪调查200个某种电子元件寿命（单位：）频率分布直方图，如图：
其中300-400、400-500两组数据丢失，下面三个说法中，只有一个是正确的，正确的是（ ）
①寿命超过的频率为0.3；
②用频率分布直方图估计电子元件的平均寿命为：
③寿命在400-500的矩形的面积可能是0.2
A．①B．②C．③D．以上均不正确
6．（2022上·天津·高三统考期末）某大品牌家电公司从其全部200名销售员工中随机抽出50名调查销售情况，销售额都在区间（单位：百万元）内，将其分成5组：，，，，，并整理得到如下的频率分布直方图，据此估计其全部销售员工中销售额在区间内的人数为（ ）
A．16B．22C．64D．88
7．（2022上·天津·高三天津市武清区杨村第一中学校联考期末）某射击运动员7次的训练成绩分别为:86，88，90，89，88，87，85，则这7次成绩的第80百分位数为（ ）
A．88.5B．89C．91D．89.5
8．（2022上·天津河北·高三统考期末）某公司决定每个月给推销员确定一个具体的销售目标，对推销员实行目标管理.销售目标确定的适当与否直接影响公司的经济效益和推销员的工作积极性，为此该公司随机抽取了50位推销员上个月的月销售额（单位：万元），并绘制成如图所示的频率分布直方图.根据图中数据，月销售额在内的频率为（ ）
A．0.18B．0.12C．0.10D．0.06
9．（2020上·天津红桥·高三统考期末）袋中共有个球，其中有个红球、个黄球和个绿球，这些球除颜色外完全相同，若从袋中一次随机抽出个球，则取出的个球颜色相同的概率为（ ）
A．B．
C．D．
10．（2022上·天津红桥·高三统考期末）一名学生申请加入学校的个社团，假设各个社团通过这名学生的申请是相互独立的，并且概率都是，设是这名学生申请被通过的次数，则随机变量的期望为（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
11．（2024上·天津河西·高三统考期末）的展开式中的常数项为 .
12．（2024上·天津和平·高三统考期末）将3个黑球和2个白球放入一个不透明的盒中，各球除颜色不同外完全相同，现从盒中两次随机抽取球，每次抽取一个球．
（ⅰ）若第一次随机抽取一个球之后，将抽取出来的球放回盒中，第二次随机抽取一个球，则两次抽到颜色相同的球的概率是 ；
（ⅱ）若第一次随机抽取一个球之后，抽取出来的球不放回盒中，第二次从盒中余下的球中随机抽取一个球，则在已知两次抽取的球颜色相同的条件下，第一次抽取的球是白球的概率是 ．
13．（2024上·天津和平·高三统考期末）在的二项展开式中，的系数为 ．
14．（2024上·天津河北·高三统考期末）甲乙两人射击，甲射击两次，乙射击一次.甲每次射击命中的概率是，乙命中的概率是，两人每次射击是否命中都互不影响，则甲乙二人全部命中的概率为 ；在两人至少命中两次的条件下，甲恰好命中两次的概率为 .
15．（2024上·天津河北·高三统考期末）已知，若的展开式中含项的系数为40，则 .
16．（2024上·天津南开·高三统考期末）设甲乘汽车､动车前往某目的地的概率分别为，汽车和动车正点到达目的地的概率分别为，则甲正点到达目的地的概率为 .
17．（2022上·天津河北·高三统考期末）甲、乙两人参加玩游戏活动，每轮游戏活动由甲、乙各玩一盘，已知甲每盘获胜的概率为，乙每盘获胜的概率为.在每轮游戏活动中，甲和乙获胜与否互不影响，各轮结果也互不影响，则甲、乙两人在两轮玩游戏活动中共获胜3盘的概率为 .
18．（2024·天津滨海新·高三天津市滨海新区塘沽第一中学校联考期末）下列说法中正确的有 （填正确说法的序号）．
①回归直线恒过点，且至少过一个样本点；
②若样本数据的方差为4，则数据的标准差为4；
③已知随机变量，且，则；
④若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关性越弱；
⑤是用来判断两个分类变量是否相关的随机变量，当的值很小时可以推断两个变量不相关．
三、解答题
19．（2019上·天津红桥·高三统考期末）某校有高一学生人，高二学生人，高三学生人，现用分层抽样的方法从中抽取人进行关于作息时间的问卷调查.设问题的选择分为“同意”和“不同意”两种，且每人都做了一种选择，下面表格中提供了被调查人答卷情况的部分信息.
(1)完成下面的统计表；
(2)从被调查的高二学生中选取人进行访谈，求选到的两名学生中至少有一人“同意”的概率.
20．（2020上·天津西青·高三期末）为弘扬中华优秀传统文化，某中学高三年级利用课余时间组织学生开展小型知识竞赛．比赛规则：每个参赛者回答A、B两组题目，每组题目各有两道题，每道题答对得1分，答错得0分，两组题目得分的和做为该选手的比赛成绩．小明估计答对A组每道题的概率均为，答对B组每道题的概率均为．
（Ⅰ）按此估计求小明A组题得分比B组题得分多1分的概率；
（Ⅱ）记小明在比赛中的得分为ξ，按此估计ξ的分布列和数学期望Eξ．
21．（2020上·天津滨海新·高三校联考期末）某校高三实验班的60名学生期中考试的语文、数学成绩都在内，其中语文成绩分组区间是：，，，，.其成绩的频率分布直方图如图所示，这60名学生语文成绩某些分数段的人数与数学成绩相应分数段的人数之比如下表所示：
（1）求图中的值及数学成绩在的人数；
（2）语文成绩在的3名学生均是女生，数学成绩在的4名学生均是男生，现从这7名学生中随机选取4名学生，事件为：“其中男生人数不少于女生人数”，求事件发生的概率；
（3）若从数学成绩在的学生中随机选取2名学生，且这2名学生中数学成绩在的人数为，求的分布列和数学期望.
22．（2020上·天津·高三校联考期末）每年的12月4日为我国“法制宣传日”.天津市某高中团委在2019年12月4日开展了以“学法、遵法、守法”为主题的学习活动.已知该学校高一、高二、高三的学生人数分别是480人、360人、360人.为检查该学校组织学生学习的效果，现采用分层抽样的方法从该校全体学生中选取10名学生进行问卷测试.具体要求：每位被选中的学生要从10个有关法律、法规的问题中随机抽出4个问题进行作答，所抽取的4个问题全部答对的学生将在全校给予表彰.
⑴求各个年级应选取的学生人数；
⑵若从被选取的10名学生中任选3人，求这3名学生分别来自三个年级的概率；
⑶若被选取的10人中的某学生能答对10道题中的7道题，另外3道题回答不对，记表示该名学生答对问题的个数，求随机变量的分布列及数学期望.
23．（2019上·天津南开·高三统考期末）2012年“双节”期间，高速公路车辆较多某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速分成六段：，，，，后得到如图的频率分布直方图．
某调查公司在采样中，用到的是什么抽样方法？
求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值．
若从车速在的车辆中任抽取2辆，求车速在的车辆至少有一辆的概率．
同意
不同意
合计
高一
高二
高三
分组区间
语文人数
24
3
数学人数
12
4
参考答案：
1．B
【分析】根据中位数、平均数、众数、百分位数概念及方差的概念和性质，逐项进行计算验证即可求解.
【详解】①中位数为，①正确；
②平均数为，②正确；
③众数为，③正确；
④因为，则第百分位数为第个数，
所以的第百分位数为，④错误；
⑤根据平均数和方差的性质可得，每个数都减5后平均数对应的减5，但方差不发生改变，⑤错误.
所以正确的个数有个.
故选：B.
2．A
【分析】根据题意结合频率和为1列式求解.
【详解】由频率分布直方图可知：每组频率依次为，
则，解得.
故选：A.
3．B
【分析】根据频率分布直方图，利用频率、频数与样本容量的关系进行解答即可.
【详解】由题知，这些用户中，
用电量落在区间内的频率为，
则用电量落在区间内的户数为.
故选：B
4．B
【分析】由古典概型概率公式分别求得，代入条件概率公式求解即可.
【详解】由题意知：事件“三个点数都不同且至少出现一个点”，
，，，
，.
故选：B.
5．C
【分析】分别设其中一个正确，来推断另外两个说法，即可判断选项.
【详解】若①正确，寿命超过的频率为，那么寿命在400-500的频率为0.15，这样电子元件的平均寿命为，②正确，③错误，不满足条件，故①正确不成立；
若②正确，则①正确，③错误，故②正确不成立；
若③正确，则寿命超过的频率为0.35，①③都不正确，故③正确.
故选：C
6．C
【分析】先由各组的频率和为1，求出，从而可求得区间的频率，进而可求出在区间内的人数
【详解】由题意得，，解得，
所以销售额在区间内的频率为，
所以全部销售员工中销售额在区间内的人数为，
故选：C
7．B
【分析】根据百分位数的定义进行求解即可.
【详解】7次的训练成绩从小到大排列为：85，86，87，88，88，89，90，
，所以第80百分位数为从小到大排列的数据中的第个数据，即89，
故选：B
8．B
【分析】利用频率分布直方图可直接求出月销售额在[14，16）内的频率．
【详解】月销售额在[14，16）内的频率为： ，
故选：B
9．C
【分析】分别求出抽中两个红球、黄球、绿球的概率，然后利用加法原理即可求出答案
【详解】抽中两个红球的概率为：
抽中两个黄球的概率为：
抽中两个绿球的概率为：
取出的个球颜色相同的概率为：
故选C
10．D
【分析】由题意服从二项分布，由二项分布的期望公式可得解
【详解】由题意，服从二项分布，即
由二项分布的期望公式可得：
故选：D
11．40
【分析】根据二项展开式公式求解即可.
【详解】依题意，的展开式的通项为，令可得.
故常数项为.
故答案为：40
12． / /
【分析】放回和不放回两种抽取时，考查抽取的所有情况及不同条件下的情况，利用古典概型概率计算公式计算即可.
【详解】放回的抽取时，两次抽取共有种情况，
其中两次抽取颜色相同共有种情况，
其中黑色相同的有种，白色相同的共有种，
故所求概率为；
当不放回的抽取时，颜色相同的有种情况，
其中其中黑色相同的有种，白色相同的共种，
所以在已知两次抽取的球颜色相同的条件下，
第一次抽取的球是白球的概率为.
故答案为：；
13．/
【分析】利用二项式展开式的通项公式，根据条件赋值后，计算即可.
【详解】根据二项式展开式的通项公式得：
，
令，
则.
故答案为：.
14．
【分析】利用互斥事件的概率加法公式、相互独立事件的概率乘法公式，分别计算对应概率，即可选出答案. 根再根据条件概率的计算公式即可求解.
【详解】甲射击目标恰好命中两次的概率为，则甲乙二人全部命中的概率为，
两人至少命中两次为事件A,甲恰好命中两次为事件B,，
，
所以.
故答案为：,.
15．
【分析】求出展开式的通项公式，然后令的指数为4，由此建立方程即可求解
【详解】展开式的通项公式为，
令，解得，
所以项的系数为，解得,又，所以
故答案为：
16．0.82/
【分析】利用全概率公式求解即可.
【详解】设事件“甲乘汽车前往某目的地”， 事件“甲乘动车前往某目的地”， 事件“甲正点到达目的地”.
.
故答案为：0.82
17．
【分析】分别求出甲、乙两人在两轮玩游戏活动中共获胜1盘、3盘的概率，再根据相互独立事件以及互斥事件的概率公式，即可求得答案.
【详解】设分别表示甲在两轮玩游戏活动中共获胜1盘、2盘的事件，
设分别表示乙在两轮玩游戏活动中共获胜1盘、2盘的事件，
根据相互独立事件的概率公式可得，
，
则甲、乙两人在两轮玩游戏活动中共获胜3盘的事件为，
且互斥，故
，
故答案为：
18．②③
【分析】根据线性回归方程的概念可以判断①，根据方差的性质可以判断②，根据正态分布的性质可以判断③，根据相关系数的概念可以判断④，根据独立性检验的基本概念可以判断⑤.
【详解】因为回归直线可以不过样本点，所以①错误；
由于，所以数据的方差为16，故标准差为4，因此②正确；
根据正态分布的概念，，故，即，故，因此③正确；
根据相关系数的概念，若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关性越强，故④错误；
的值很小时只能说明两个变量的相关性不强，故⑤错误.
故答案为：②③
19．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）用分层抽样的方法从中抽取13人进行关于作息时间的问卷调查，高一学生抽取5人，高二学生抽取6人，高三学生抽取2人，由此能完成统计表．
（2）设“同意”的两名学生编号为1，2，“不同意”的编号为3，4，5，6，从被调查的高二学生中选取2人进行访谈，基本事件有15个，利用列举法能求出选到的两名学生中至少有一人“同意”的概率．
【详解】（1）解： 某校有高一学生105人，高二学生126人，高三学生42人，
用分层抽样的方法从中抽取13人进行关于作息时间的问卷调查．
高一学生抽取：人，
高二学生抽取：人，
高三学生抽取：人，
设问题的选择分为“同意”和“不同意”两种，且每人都做了一种选择，
则完成统计表如下：
（2）解：设“同意”的两名学生编号为1，2，“不同意”的编号为3，4，5，6，
从被调查的高二学生中选取2人进行访谈，基本事件有15个，
分别为：，，，，，，，，，，，，，，，
列举可知：选出两人有15种结果，至少有一人“同意”的有，，，，，，，，，共有9种
选到的两名学生中至少有一人“同意”的概率为．
20．（Ⅰ）；（Ⅱ）分布列见详解，
【解析】（1）分析满足题意的事件，然后分别计算出概率，再用概率加法公式计算即可；
（2）先根据题意求得ξ可取的值，再根据题意，分别求出概率，通过分布列计算数学期望即可.
【详解】（Ⅰ）设小明A组题得1分，B组题得0分为事件M，
A组题得2分，B组题得1分为事件N，
则小明A组题得分比B组题得分多1分的概率：
P（M∪N）＝P（M）+P（N）
．
（Ⅱ）由题意小明在比赛中的得分ξ的可能取值为0，1，2，3，4（单位：分）
则P（ξ＝0）＝（1）2（1）2，
P（ξ＝1），
P（ξ＝2），
P（ξ＝3），
P（ξ＝4）＝（）2（）2，
∴ξ的分布列为：
Eξ．
【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求解，属基础题；此类题目要认真分析题意，搞清楚每个事件背后的具体情况，是重中之重.
21．（1）数学成绩在的人数为8人（2）（3）详见解析
【解析】（1）由根据频率分布直方图的性质，求得，再根据频率分布直方图数据，即可求解；
（2）由事件可分为①2个男生，2个女生；②3个男生1个女生；③4个男生三种情况，即可求解相应的概率；
（3）由题意，得到可能取值有，求得相应的概率，求得随机变量的分布列，利用期望的公式，即可求解.
【详解】（1）由题意，根据频率分布直方图的性质，
可得，解得.
则语文成绩在，，，，中的人数分别为，
则数学成绩在，，，，中的人数分别
为，
所以数学成绩在的人数为8人.
（2）从这7名学生中随机选取4名学生，事件为：“其中男生人数不少于女生人数”，
可分为①2个男生，2个女生；②3个男生1个女生；③4个男生，三种情况：
所以事件发生的概率.
（3）由题意可知可能取值有0，1，2.
，，，
的分布列为
所以.
【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，以及离散型随机变量的分布列与数学期望的求解，其中解答中认真审题，熟记频率分布直方图的性质，以及准确求解随机变量对应的概率，得到随机变量的分布列是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
22．（1）高一年级应选取人，高二年级应选取人，高三年级应选取人.（2）（3）详见解析
【分析】（1）利用分层抽样求得各年级应抽取的人数；
（2）利用计算原理求得基本事件的总数为，再求出所求事件的基本事件数，再代入古典概型概率计算公式；
（3）随机变量的所有可能取值为，利用超几何分计算（），最后求得期望值.
【详解】（1）由题意，知高一、高二、高三年级的人数之比为，由于采用分层抽样方法从中选取人，因此，高一年级应选取人，高二年级应选取人，高三年级应选取人.
（2）由（1）知，被选取的名学生高一、高二、高三年级分别有人、人、人，所以，从这名学生任选名，且名学生分别来自三个年级的概率为.
（3）由题意知，随机变量的所有可能取值为，
且服从超几何分布，（）.
所以，随机变量的分布列为
所以，随机变量的数学期望为
.
【点睛】本题考查统计中的分层抽样、古典概型、超几何分布，考查统计与概率思想的应用，考查数据处理能力，求解的关键是确定随机变量的概率模型.
23．（1）系统抽样；（2）众数的估计值等于，中位数的估计值为；（3）．
【分析】由抽样特点确定为系统抽样；（2）选出直方图中最高的矩形求出其底边的中点即为众数；求出从左边开始小矩形的面积和为0.5对应的横轴即为中位数；（3）从图中可知，车速在[60，65）的车辆数和车速在[65，70）的车辆数．从车速在（60，70）的车辆中任抽取2辆，设车速在[60，65）的车辆设为a，b，车速在[65，70）的车辆设为c，d，e，f，列出各自的基本事件数，从而求出相应的概率即可．
【详解】由题意知这个抽样是按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，是一个具有相同间隔的抽样，并且总体的个数比较多，这是一个系统抽样．
故调查公司在采样中，用到的是系统抽样．
众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值等于.
设图中虚线所对应的车速为x，则中位数的估计值为：
，
解得，即中位数的估计值为．
从图中可知，车速在的车辆数为：辆，
车速在的车辆数为：辆．
设车速在的车辆设为a，b，车速在的车辆设为c，d，e，f，
则所有基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，共15种．
其中车速在的车辆至少有一辆的事件有：，，，，，，，，，，，，，共14种
所以，车速在的车辆至少有一辆的概率为
【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，古典概型，熟记直方图中中位数，众数求解方法，正确计算是关键，是中档题.
同意
不同意
合计
高一
3
2
5
高二
2
4
6
高三
1
1
2
ξ
0
1
2
3
4
P





0
1
2
1
2
3
4