天津市八所重点学校2023-2024学年高三上学期期末联考数学试题（Word版附答案）

这是一份天津市八所重点学校2023-2024学年高三上学期期末联考数学试题（Word版附答案），共15页。

本试卷分第Ⅰ卷(选择题) 和第Ⅱ卷(非选择题) 两部分，共 150分，考试时间 120分钟.考试结束后，上交答题卡.
第Ⅰ 卷(选择题, 共45分)
一. 选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分. 在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填涂到答题卡上.
1、已知全集U ={1,2,3,4,5}, 集合 A={3,5}, B={1,2,5},则 B∩CᵤA=
A. {2} B. {1,2} C. {2,4} D. {1,2,4}
2、若xy≠0,则 “x²=y²”是 “ yx+xy=-2”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3、已知 a=ln52,b=lg031.5,c=25-0s, 则( )
A. b>c>a B. b>a>c C. c>a>b D. c>b>a
4、函数f(x)的部分图象如下图所示，则f(x)的解析式可能为( )
A.fx=sinxex+e-x D.fx=ex+e-x-sinx-14
C.fx=ex+e-xsinx D.fx=ex+e-x+sinx-14
5、已知某公路上经过的货车与客车的数量之比为3：1，货车和客车中途停车修理的概率分别为 0.03 和0.01，则t辆汽车中途停车修理的概率为( )
A.1 B.150 C.140 D.130
6、已知 a=11,b=m-1,m为实数，若 a⊥a-b,则向量a在b上的投影向量为( )
A.1535 B.-1535 C.3515 D.35-15
7、清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”，其可由相同的两个正交的正四面体组合而成(如图1)，也可由正方体切割而成(如图2).在“蒺藜形多面体”中，若正四面体的棱长为2，则该几何体的体积为( )
A.2 B. 2 C.22 D. 4
8、 已知过原点O的直线l与双曲线 Z:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)交于 A，B两点(点 A 在第一象限), F₁,F₂分别为双曲线E 的左、右焦点, 延长AF₂交E于点C,若 |BF2|=|AC|,∠F1BF2=π3,则双曲线 E的渐近线方程为 ( )
A.y=±2x x=±2y C.y=±3x D.x=±3y
9、 已知函数 fx=Asinωx+φ(ω>0,A>0,|φ|<π2的对称中心到对称轴的最小距离为 π4,将f(x)的图象向右平移π3个单位长度后所得图象关于y轴对称，且|fx₁-fx₂|max=1,关于函数f(x)有下列四种说法：
= 1 \* GB3 ① x=π6是f(x)的一个对称轴： = 2 \* GB3 ②-π30是 f(x)的一个对称中心；
③f(x)在 0π2上单调递增： ④若 fx₁=fx₂=0,则 x1-x2=kπ2k∈Z.
以上四个说法中，正确的个数为 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
第Ⅱ卷 (非选择题, 共 105 分)
二. 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 请将正确的答案填写到答题纸上.
10.若复数z满足 z=1+3i1-i(其中i 是虚数单位)，则z的虚部为 .
11. 在 x-2x5的展开式中，x³项的系数为 .(用数字填写答案)
12. 已知直线x-my+2=0与⊙ C:x²+y²=4交于 A,B 两点, 写出满足“△ABC 面积为 3”的实数m的 个值 (写出其中 个即可)
13.学习于才干信仰，犹如运动于健康体魄，持之已久、行之愈远愈受益. 为实现中华民族伟大复兴，全国各行各业掀起了“学习强国”的高潮. 某老师很喜欢“学习强国”中“挑战答题”模块，他记录了自己连续七天每天一次最多答对的题数如下表：
参考数据： x=4,y=19,∑ i=17xi2=140,∑ i=17yi2=2695,∑ i=17xiyi=600,6≈2.45,
相关系数 r=∑ i=1nxi-xyi-y∑ i=1nxi-x2,∑ i=1nxi-y)2=∑ i=1nxiyi-nxy∑ i=1nxi2-nx-2 ∙ 1∑ i=1nyi2-ny-2∙
由表中数据可知该老师每天一次最多答对题数y与天数x之间是 相关(填“正”或“负”)，其相关系数r≈ (结果保留两位小数)
14.已知点 A为抛物线 y²=2x上一点(点 A在第一象限)，点F 为抛物线的焦点，准线为l，线段 AF 的中垂线交准线l于点D，交x轴于点E(D、E在 AF 的两侧)，四边形ADFE为菱形，若点P、 Q分别在边 DA、EA上, DP=λDA,EQ=μEA,若 2λ+μ=52, 则 FP⋅FQ的最小值为 , |tFA-14FE|+|tFA-FE|t∈R的最小值为 .
15.函数 fx=lnx+2,x>-2x+22+a+3x+2+3a,x≤-2 ,函数 gx=a|x-2|,若函数 hx=fx-2-gx+2-2恰有2个零点，则实数a的取值范围是 .
三. 解答题：本大题共5小题，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16.(本小题满分 14分)
在 △ABC中, 内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知c-2b+2acsC=0.
(1) 求角 A的大小;
(2) 若 a=3,c=62,
(i) 求sin(2C+A)的值; (ii ) 求△ABC的面积.
17.(本小题满分 15分)
如图，正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在平面互相垂直，已知. AB‖CD,AD⊥CD, AB=AD=12CD=1.点 P 为线段EC 的中点.
(1) 求证: BF ∥平面CDE;
(2) 求直线DP与平面 BDF 所成角的正弦值；
(3) 求平面 BDF 与平面CDE 夹角的余弦值.
18.(本小题满分 15分)
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),F1,F2分别是椭圆C的左、右焦点，点 A为左顶点，椭圆上的点到左焦点距离的最小值是焦距的 14.
(1) 求椭圆C的离心率；
(2)直线l过椭圆C的右焦点F₂，与椭圆C交于P，O两点(点P在第一象限). 且 △APQ面积的最大值为 253,
(i) 求椭圆C 的方程;
(ii) 若直线 AP, AQ分别与直线 x=34交于M,N 两点,
求证：以 MN 为直径的圆恒过右焦点F₂.
19.(本小题满分 15分)
已知数列{an}是正项等比数列，{bₙ}是等差数列，且 a₁=2b₁=2,a₂=b₄,a₅=4a₃,
(1) 求数列{an}和{bₙ}的通项公式;
(2) [x]表示不超过x的最大整数，T₄ₙ表示数列 -1[n2] ⋅bn2的前4n项和， 集合 A=n|λ≤T4n⋅bn+2an+2n∈N*共有4个元素，求λ范围；
(3) cn=4ba-1-bnan+2bn2+2bn,n为奇数an∙bn，n为偶数 ，数列 {cₙ}的前2n项和为 S₂ₙ,求证： S2n<2518+2n3-294n+1.
20.(本小题满分 16 分)
已知函数 fx=ex-xex-aln1x(e是自然对数的底数) .
(1) 当 a=11时, 求函数f(x)在点(1,f(1)) 处的切线方程;
(2) 当 a>e时,
(i) 求证：函数f(x)存在唯一的极值点 x₁;
天数x
1
2
3
4
5
6
7
一次最多答对题数y
12
15
16
18
21
24
27