2022-2023学年江苏省南通市启东市九年级上学期数学期中试题及答案

这是一份2022-2023学年江苏省南通市启东市九年级上学期数学期中试题及答案，共27页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. （1，2）B. （1，）C. （，2）D. （，）
【答案】C
【解析】
【分析】根据顶点式直接写出顶点坐标即可．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是（，2），
故选：C．
【点睛】本题考查了抛物线的顶点坐标，解题关键是明确二次函数顶点式的顶点坐标为．
2. 书架上有2本数学书、1本物理书．从中任取1本书是物理书的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据概率公式直接求概率即可；
【详解】解：一共有3本书，从中任取1本书共有3种结果，
选中的书是物理书的结果有1种，
∴从中任取1本书是物理书的概率=.
故选： B．
【点睛】本题考查了概率的计算，掌握概率=所求事件的结果数÷总的结果数是解题关键．
3. 如图，点，，在⊙O上，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用圆周角定理即可得．
【详解】解：，
由圆周角定理得：，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键．
4. 将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】按照“左加右减，上加下减”的平移法则，变换解析式，然后化简即可．
【详解】解：将抛物线向左平移3个单位长度，得到，
再向下平移2个单位长度，得到，
整理得，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，掌握“左加右减，上加下减”的法则是解题关键．
5. 在一次心理健康教育活动中，张老师随机抽取了40名学生进行了心理健康测试，并将测试结果按“健康、亚健康、不健康”绘制成下列表格，其中测试结果为“健康”的频率是（ ）．
A. 32B. 7C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】结合题意，根据频率的定义计算，即可得到答案．
【详解】根据题意，得测试结果为“健康”的频率是
故选：D．
【点睛】本题考查了抽样调查的知识；解题的关键是熟练掌握频率的性质，从而完成求解．
6. 如图，在⊙O中，AB是⊙O的弦，⊙O的半径为3．C为⊙O上一点，∠ACB=45°，则AB的长为（ ）
A. 2B. 3C. 3D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】连接、，如图，根据圆周角定理得到，则可判断为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求解．
【详解】解：连接OA、OB，如图，
，
而，
为等腰直角三角形，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
7. 根据表格中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，可以判断方程 ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（ ）
A. 0＜x＜0.5B. 0.5＜x＜1
C. 1＜x＜1.5D. 1.5＜x＜2
【答案】B
【解析】
【分析】利用二次函数和一元二次方程的性质．
【详解】解：观察表格可知：当x=0.5时，y=-0.5；当x=1时，y=1，
∴方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）一个解x的范围是0.5＜x＜1．
故选：B．
【点睛】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y由正变为负时，自变量的取值即可．
8. 如图，已知△ABC中，，，边的垂直平分线交于点O，以为半径的交于点D，则的长为（ ）
A. 3B. C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】连接，根据圆周角定理、等腰三角形的性质得出，根据含角的直角三角形的性质求出，根据线段垂直平分线的性质推出，根据等腰三角形的性质得出，根据勾股定理求解，根据线段的和差即可得解．
【详解】解：如图，连接，
∵，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】此题考查了含角的直角三角形的性质，熟记含角的直角三角形的性质是解题的关键．
9. 如图①，点A，B是上两定点，圆上一动点P从圆上一定点B出发，沿逆时针方向匀速运动到点A，运动时间是，线段的长度是．图②是y随x变化的关系图象，则图中m的值是（ ）
A. B. C. D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】从图2看，当时，，即此时A、O、P三点共线，则圆的半径为，当时，由勾股定理逆定理可知，，则点P从点B走到A、O、P三点共线的位置时，此时，走过的角度为，可求出点P运动的速度，当时，，即是等边三角形，进而求解．
【详解】解：从图②看，当时，，即此时A、O、P三点共线，
则圆的半径为，
当时，，
∴是直角三角形，且，
则点P从点B走到A、O、P三点共线的位置时，如图所示，
此时，走过的角度为，则走过的弧长为，
∴点P的运动速度是 ，
当时，，即是等边三角形，
∴，
∴，
此时点P走过的弧长为：，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系．
10. 如图，已知，在正方形中，，以点B为圆心，1为半径作，点P在上移动，连接．将绕点A逆时针旋转至，连接．在点P移动过程中，长度的最小值是（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】通过画图发现，点的运动路线为以D为圆心，以1为半径的圆，可知：当在对角线上时，最小，先证明，则，再利用勾股定理求对角线的长，则得出的长．
【详解】解：如图，当在对角线上时，最小，
连接，
由旋转得：，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
在中，∵，
由勾股定理得：，
∴，
即长度的最小值为．
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质和最小值问题，寻找点的运动轨迹是本题的关键，通过证明两三角形全等求出长度的最小值．
二、填空题《本大题共8小题，第11～12题每题3分，第13～18题每题4分，共30分．不需写出解答过程．请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11. 小红说：“明天下雨”，你认为这是____(填“随机事件”、“不可能事件”或“必然事件”)．
【答案】随机事件
【解析】
【分析】根据事件发生可能性大小判断相应事件的类型即可．
【详解】解：小红说：“明天下雨”，你认为这是随机事件，
故答案为随机事件．
【点睛】本题主要考查“随机事件”、“不可能事件”或“必然事件”的概念，根据“事件发生的可能性大小”进行判断是关键．
12. 若一个正多边形的边长等于它的外接圆的半径，则这个正多边形是正______边形．
【答案】六
【解析】
【分析】由半径与边长相等，易判断等边三角形，然后根据角度求出正多边形的边数．
【详解】解：当一个正多边形的边长与它的外接圆的半径相等时，画图如下：
∵半径与边长相等，
∴这个三角形是等边三角形，
∴正多边形的边数：360°÷60°＝6，
∴这个正多边形是正六边形
故答案为：六．
【点睛】本题考查了正多边形和圆，等边三角形的性质和判定，结合题意画出合适的图形是解题的关键．
13. 如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=8cm，DC=2cm，则OC=_____cm．
【答案】5
【解析】
【详解】试题分析：连接OA，∵OC⊥AB，∴AD=AB=4cm，设⊙O的半径为R，由勾股定理得，OA2=AD2+OD2，∴R2=42+（R﹣2）2，解得R=5，∴OC=5cm．故答案为5．
考点：垂径定理；勾股定理．
14. 如图1，校运动会上，初一的同学们进行了投实心球比赛，我们发现，实心球在空中飞行的轨迹可以近似看作是抛物线．如图2建立平面直角坐标系，已知实心球运动的高度与水平距离之间的函数关系是，则该同学此次投掷实心球的成绩是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令，解方程即可．
【详解】解：该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，
∴令，则，
整理得：，
解得：（舍去），
∴该同学此次投掷实心球的成绩为，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，关键是理解题意把函数问题转化为方程问题．
15. 已知一个圆锥的侧面展开图是圆心角为120°，半径为3cm的扇形，则这个圆锥的底面圆半径是 ___________cm．
【答案】1
【解析】
【分析】根据展开图扇形的弧长等于圆锥的底面圆周长，计算即可得出答案．
【详解】解：展开图扇形的弧长．
根据题意展开图扇形的弧长等于圆锥的底面圆周长，
∴这个圆锥的底面圆半径是（cm）．
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了圆锥的计算，熟练掌握圆锥原图与展开图扇形之间的关系进行求解是解决本题的关键．
16. 一只蜘蛛爬到到如图所示的一面墙上，最终停在白色区域上的概率是 ___________．
【答案】
【解析】
【分析】设每小格的面积为1，易得整个方砖的面积为9，黑色色区域的面积3，则白色区域的面积为，然后根据概率的定义（反映随机事件出现的可能性大小）计算即可．
【详解】解：设每小格的面积为1，
∴整个方砖的面积为9，
黑色区域的面积为3，
∴白色区域的面积为，
∴最终停在白色区域上的概率为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了求几何概率的方法，解决本题的关键是先利用几何性质求出整个几何图形的面积n，再计算出其中某个区域的几何图形的面积m，然后根据概率的定义计算出落在这个几何区域的事件的概率．
17. 如图，已知中直径，半径，点D是半圆的三等分点，点P是半径上的动点，当的值最小时，的长为 ___________．
【答案】4
【解析】
【分析】根据两点之间线段最短，可以找到使的值最小时，点P的位置，然后根据锐角三角函数即可得到的长．
【详解】解：连接与交于点P，
∵，点O为的中点，
∴点B关于对称点是点A，
∴与的交点P使得的值最小，
∵点D是半圆的三等分点，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
故答案为：4．
【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、圆心角、弧、弦的关系、最短路径，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
18. 实数a，b满足a2+b2﹣2a＝0，则4a+b2的最大值________．
【答案】8
【解析】
【分析】根据条件变形为，确定出a的取值范围，将4a+b2转化为即可．
【详解】∵a2+b2﹣2a＝0，
∴，2a＝a2+b2，
∴，
∵b2≥0，
∴，
∴0≤a≤2，
∴4a+b2=，
∵-1<0，
∴当a<3时，式子的值随a的增大而增大，
∴当时，4a+b2的最大值为8．
故答案为8．
【点睛】本题考查代数式的最值问题，将代数式变形，利用完全平方公式配方，利用非负数的性质是解题关键．
三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 已知二次函数的图象经过点．
（1）求a的值；
（2）求此抛物线的对称轴；
（3）直接写出函数y随自变量的增大而减小的x的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）把A点坐标代入抛物线解析式可得到关于a的方程，可求得a的值；
（2）把二次函数解析式化为顶点式可求得其及对称轴；
（3）利用二次函数的开口方向、增减性可求得答案．
【小问1详解】
解：∵二次函数y＝ax2＋4x＋2的图象经过点A（3，−4），
∴−4＝9a＋12＋2，
解得：a＝−2，
∴a的值为−2；
【小问2详解】
解：由（1）可知抛物线解析式为y＝−2x2＋4x＋2＝−2（x−1）2＋4，
∴抛物线对称轴为直线x＝1；
【小问3详解】
解：∵抛物线开口向下，对称轴为x＝1，
∴当x≥1时，y随x的增大而减小．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，由函数图象上的点的坐标满足函数解析式求得a的值是解题的关键．
20. 某校在数学实践活动中，数学组准备了4个活动课题，活动1用作图软件探究抛物线的性质；活动2用旋转设计图案；活动3探究四点共圆的条件；活动4探究旋转前后对应点坐标关系．九1班数学老师准备采取随机抽签的方式把学生分成4组，共同“研学”活动课题．
（1）九1班学生小海希望能抽签到活动1，则他能心想事成的概率是 ___________；
（2）小海和他的好朋友小江希望能在不同小组，这样可以相互分享学习成果，则他们在不同小组的可能性能否大于70%？请用树形图或列表法来验证你的判断是否正确．
【答案】（1）
（2）大于70%，见解析
【解析】
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）设四个小组分别为A、B、C、D，根据题意，可以列出如下表格，从表格中找到两个人不在同一小组的情况，根据概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：九1班学生小海希望能抽签到活动1，则他能心想事成的概率是，
故答案为：；
【小问2详解】
解：他们不在同一小组的可能性能大于70%，
理由：设四个小组分别为A、B、C、D，根据题意，可以列出如下的表格：
由表可知，共有16种等可能情况，其中两个人不在同一小组的情况有12种，
所以P（两人不在同一小组），
所以他们不在同一小组的可能性能大于70%．
【点睛】本题主要考查了列举法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21. 如图，A、B是⊙O上的两点，C是弧AB中点．求证：∠A＝∠B．
【答案】见解析
【解析】
【分析】连接，通过证明即可得结论．
【详解】证明：如图，连接，
是的中点，
，
，
在和中，
，
，
．
【点睛】本题考查弧、弦、圆心角的关系，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用全等三角形的判定和性质解决问题，属于中考常考题型．
22. 在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：
（1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近______．（结果保留小数点后一位）
（2）试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？
（3）如果再加入若干个白球后，使摸到白球的概率为0.8，求加入的白球数量．
【答案】（1）0.6；（2）黑球有8个，白球有12个；（3）20
【解析】
【分析】（1）根据题意得：当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6；
（2）先求出摸到白球和黑球的概率，再由20乘以概率，即可求解；
（3）设加入的白球有 个，则白球一共有 个，根据题意列出方程，即可求解．
【详解】解：（1）根据题意得：当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6；
（2）∵当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6，
∴摸到白球的概率为 ，
∴摸到黑球的概率为 ，
∴口袋中黑球有（个） ，白球有 （个）；
（3）设加入的白球有 个，则白球一共有 个，根据题意得：
，
解得： ．经检验，符合题意
【点睛】本题主要考查了用频率估计概率，求概率，熟练掌握概率的公式是解题的关键．
23. 如图，是的直径，C，D都是上的点，平分，过点D的切线交的延长线于点E，交的延长线于点F．
（1）求证：；
（2）若，
①求长；
②求图中阴影部分（区域）的面积．
【答案】（1）见解析 （2）①4，②
【解析】
【分析】（1）先证明得到，再根据切线的性质得到，然后根据平行线的性质得；
（2）①连接，如图，先根据平行线的性质得到，再根据圆周角定理得到，所以，然后利用含30度角的直角三角形三边的关系得到；
②先计算出，则，然后根据扇形的面积公式，利用进行计算．
【小问1详解】
证明：∵平分，
∴，
∵，
∴．
∴，
∴，
∵为的切线，D为切点，
∴，
∴；
【小问2详解】
①连接，如图，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴；
②∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，∵，
∴，
∵，
，
∴．
【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理、平行线的性质和含30度直角三角形的性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
24. 我市某水产店销售一种销售成本为元/千克的水产品，若按元/千克销售，一个月可售出，销售价每涨一元，月销售量就减少．
（1）写出月销售利润y（单位：元）与售价x（单位：元/千克）之间的函数解析式；
（2）当销售价定为元时，计算月销售量和利润；
（3）水产店老板想通过自己的勤奋努力，争取月收入达万元，他的愿望能实现吗？
【答案】（1）
（2）千克，元
（3）能实现
【解析】
【分析】（1）由月销售利润每千克的利润可卖出千克数，把相关数值代入即可；
（2）根据“销售单价每涨1元，月销售量就减少千克”，可知：月销售量（销售单价），然后再求出利润即可；
（3）根据（1）中解析式，由函数性质求函数最值．
【小问1详解】
解：设该水产品的售价为x元，
根据题意每月可卖出水产品，
∴，
∴y与x的函数表达式为；
【小问2详解】
当销售单价定为每千克元时，
月销售量为：（千克），
利润元；
【小问3详解】
∵，
∴当时，利润最大为元，
∵，
∴老板的愿望能实现．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，能正确表示出月销售量是解题的关键．
25. 如图，四边形是内正方形，P是圆上一点（点P与点A，B，C，D不重合），连接．
（1）若点P是弧上一点，
①∠BPC度数为 ___________；
②求证：；小明的思路为：这是线段和差倍半问题，可采用截长补短法，请按小明思路完成下列证明过程（也可按自己的想法给出证明）．证明：在的延长线上截取点E．使，连接．
（2）探究当点P分别在，，上，求的数量关系，直接写出答案，不需要证明．
【答案】（1）①，②见解析
（2）；；；证明见解析
【解析】
【分析】（1）①理由正方形的性质和圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半解答即可；
②在的延长线上截取点E．使，连接，利用全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的判定与性质解答即可；
（2）利用截长补短法，依题意画出相应图形，按小明思路完成解答即可．
【小问1详解】
①解：，理由：
∵四边形是正方形，
∴，
∴的度数为，
∴，
故答案为：；
②证明：在的延长线上截取点E，使．连接，如图，
∵四边形是内接正方形，
∴，
又∵点P在上，
∴四边形为内接四边形
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴；
【小问2详解】
当点P在上时，；
在上取点E，使，连接，如图，
∵四边形是内接正方形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴；
当点P在上时，，
在上取点E，使，连接，如图，
∵四边形是内接正方形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴；
当点P在上时，，理由：
在的延长线上截取点E，使，连接，如图，
∵四边形是内接正方形，
∴，
又∵点P在上，
∴四边形为内接四边形
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的内接四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，本题是阅读型题目，理解并熟练应用截长补短法，构造恰当的辅助线解答是解题的关键．
26. 已知抛物线经过点，当时，y的最小值为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当时，y的取值范围是，求n的值．
【答案】（1）
（2）n＝－1
【解析】
【分析】（1）根据抛物线经过点（2，－1），可知b＝－2a，对称轴为直线x＝1，而当时，y的最小值为－2，可得到方程a－2a－1＝－2，求出a，即可求解；
（2）由当n＜x＜n＋1时，y的取值范围是2n＋1＜y＜2n＋4，可知y不能取最小值－2，即n，n＋1在对称轴x＝1的同侧．分n＋1＜1和n＞1两种情况，当x＝n和x＝n＋1代入解析式，可得n的值．
【小问1详解】
解：∵抛物线经过点（2，－1），
∴4a＋2b－1＝－1，
∴b＝－2a．
∴，对称轴为直线x＝1．
∵当时，y的最小值为－2．
∴当x＝1时，a－2a－1＝－2，解得a＝1．
∴．
【小问2详解】
解：由（1）知，抛物线为．
∵当n＜x＜n＋1时，y的取值范围是2n＋1＜y＜2n＋4，
∴y不能取最小值－2，即n，n＋1在对称轴x＝1的同侧．
分两种情况讨论：
①n＋1＜1，即n＜0时，在对称轴左侧y随x的增大而减小，
当x＝n时，，解得n＝－1或n＝5，
当x＝n＋1时，，解得n＝－1或n＝3，
∵n＜0，
∴n＝－1．
②n＞1时，在对称轴左侧y随x的增大而增大，
当x＝n时，，解得或，
当x＝n＋1时，，解得或，
不合题意，舍去．
综上所述，n＝－1．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，弄清题意，把n分成两种情况进行分类讨论是解题的关键．
类型
健康
亚健康
不健康
数据（人）
32
7
1
x
0
0.5
1
1.5
2
y＝ax2+bx+c


1
3.5
7
A
B
C
D
A
AA
AB
AC
AD
B
BA
BB
BC
BD
C
CA
CB
CC
CD
D
DA
DB
DC
DD
摸球的次数n
100
150
200
500
800
1000
摸到白球的次数m
58
96
116
295
484
601
摸到白球的频率
0.58
0.64
0.58
0.59
0.605
0.601