资料中包含下列文件，点击文件名可预览资料内容
还剩9页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
初中数学北师大版七年级下册第二章 相交线与平行线1 两条直线的位置关系精品练习题
展开
这是一份初中数学北师大版七年级下册第二章 相交线与平行线1 两条直线的位置关系精品练习题，文件包含专题21两条直线的位置关系原卷版-七年级数学同步精品讲义北师大版docx、专题21两条直线的位置关系教师版-七年级数学同步精品讲义北师大版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共29页， 欢迎下载使用。
1. 理解相交线的定义、对顶角的定义和性质、邻补角的定义，正确识别“三线八角”；
2. 理解垂线的定义、点到直线的距离的定义，掌握垂线的性质；
3. 熟练掌握利用垂线性质与角平分线综合运算；
4．理解并掌握对顶角的概念及性质，会用对顶角的性质解决一些实际问题；
5．理解并掌握补角和余角的概念及性质，会运用其解决一些实际问题。
知识点01. 对顶角的概念和性质
1. 相交线的定义
在同一平面内，如果两条直线只有一个公共点，那么这两条直线叫做相交线，公共点称为两条直线的交点。如图1所示，直线AB与直线CD相交于点O。
图1 图2 图3
2. 对顶角
定义：若一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角叫做对顶角。如图2所示，∠1与∠3、∠2与∠4都是对顶角。
注意：两个角互为对顶角的特征是：
（1）角的顶点公共；
（2）角的两边互为反向延长线；
（3）两条相交线形成2对对顶角。
性质：
文字语言：对顶角相等。
符号语言：如图2，∵∠2和∠4是对顶角，
∴∠2=∠4
知识点02. 余角和补角的概念和性质
1.余角
定义：一般地，如果两个角的和等于90°，那么称这两个角互为余角，其中的一个角是另一个角的余角．
性质：文字语言：同角(等角)的余角相等．
符号语言：∵∠1+∠2=90°，∴∠1与∠2互余
∵∠1与∠2互余，∴∠1+∠2=90°.
2.补角
定义：一般地，如果两个角的和等于180°，那么称这两个角互为补角，其中一个角是另一个角的补角．
性质：文字语言:同角（等角）的补角相等．
符号语言：∵∠1+∠2=180°，∴∠1与∠2互补，
∵∠1与∠2互补，∴∠1+∠2=180°.
补充：
① 邻补角的定义
如果把一个角的一边反向延长，这条反向延长线与这个角的另一边构成一个角，此时就说这两个角互为邻补角。如图3所示，∠1与∠2互为邻补角，由平角定义可知∠1＋∠2＝180°。
② 余角和补角的判断是看两个角的和，与角的位置无关。
知识点03. 垂线
定义：如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．如下图，两条直线互相垂直，记作或AB⊥CD垂直于点O.
注意：垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有：
⇔ CD⊥AB．
画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)．
注意：
(1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上．
(2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段．
性质：
（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短．
知识点04. 点到直线的距离
定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离．
如上图所示，m 的垂线段PB 的长度叫做点P 到 直线m 的距离。
注意：
点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离；
（2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度
知识点01 对顶角的概念和性质
典例：下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据对顶角的定义判断。
【详解】解：A、∠1与∠2是三条直线相交所成，故A选项不符合题意；
B、∠1与∠2是对顶角，故B选项符合题意；
C、∠1与∠2的两边不是反向延长线，不是对顶角，故C选项不符合题意；
D、∠1与∠2三条直线相交所成，不是对顶角，故D选项不符合题意．
故选：B．
【点拨】本题考查了对顶角的概念，正确掌握定义是解决问题的关键。
巩固练习
1.如图，直线AC，BD相交于点O，∠AOB＝48°，则∠COD的度数是（ ）
A．42°B．48°C．96°D．132°
知识点02 余角和补角的概念和性质
典例：1.如果∠1和∠2互补，∠1比∠2的2倍少15°，则∠1＝ 115 °．
【答案】115
【分析】根据题意可得∠1+∠2＝180°，∠1＝2∠2﹣15°，从而可求解．
【详解】解：∵∠1和∠2互补，∠1比∠2的2倍少15°，
∴∠1+∠2＝180°，∠1＝2∠2﹣15°，
∴2∠2﹣15°+∠2＝180°，
解得：∠2＝65°，
∴∠1＝115°．
故答案为：115．
【点拨】本题考查了补角的定义，知道∠1+∠2＝180°是本题的关键．
典例：2.若一个角的补角比它的余角的2倍还多70°，则这个角的度数为多少度？
【答案】70°
【分析】利用余角和补角的定义解决本题。
【详解】解：设这个角的度数是x°，则它的补角为：180°﹣x°，余角为90°﹣x°，
由题意，得：（180﹣x）﹣2（90﹣x）＝70．
解得：x＝70．
答：这个角的度数为70°．
【点拨】本题考查了余角和补角的定义，应用概念列方程是本题的关键．
巩固练习
1.一个角的余角的3倍与它的补角相等，则这个角的度数为 ．
2.如图，直线a与直线b相交于一点．若∠1+∠3＝240°，则∠2的度数为（ ）
A．55°B．60°C．62°D．120°
知识点03 垂线
典例：1.过点向线段所在的直线画垂线，正确的画法是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】根据过直线外一点作已知直线的垂线的作法判断即可．
【详解】解：选项，没有过点，过该选项不符合题意；
选项，过点作的垂线，垂线是直线，故该选项符合题意；
选项，为垂线段，不是直线，故该选项不符合题意；
选项，没有垂直于，故该选项不符合题意；
故选：．
【点拨】本题考查垂线的画法。
巩固练习
1.某工程队计划把河水引到水池A中，他们先过A点作AB⊥CD，垂足为B，CD为河岸，然后沿AB开渠，可以节约人力、物力和财力，这样设计的数学依据是（ ）
A．两点之间线段最短
B．过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
C．经过两点有一条直线，并且只有一条直线
D．垂线段最短
2.如图，在铁路旁边有一李庄，现要建一火车站，使李庄的人乘火车最方便（即距离最近），请你在铁路边选一点来建火车站，并说明理由．
知识点04 点到直线的距离
典例：如图，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为A，D，则图中能表示点到直线距离的线段共有（ ）
A. 2条B. 3条C. 4条D. 5条
【答案】D
【分析】点到直线的距离，首要要有垂直，点与垂足所连线段的长度就是点到直线的距离。
【详解】如图所示，根据点到直线的距离就是这个点到这条直线垂线段的长度可知，
线段AB是点B到AC的距离，
线段CA是点C到AB的距离，
线段AD是点A到BC的距离，
线段BD是点B到AD的距离，
线段CD是点C到AD的距离，
所以图中能表示点到直线距离的线段共有5条．
故选：D.
【点拨】本题考查点到直线的距离，正确理解概念是解决本题的关键。
巩固练习
1.如图，AC⊥BC，点C为垂足，则下列说法错误的是( )
A. 在线段AB、BC、CA中，AB最长B. BC的长是点C到直线AB的距离
C. AC的长是点A到直线BC的距离D. BC的长是点B到直线AC的距离
2.如图，在直线外一点与直线上各点的连线中，，，，，则点到直线的距离为
A．3B．4C．4.3D．5
能力提升
选择题
1. 下列说法正确的是( )
A. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B. 从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离
C. 在平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直
D. 直线a外一点M与直线a上各点连接而成所有线段中最短线段的长是3cm，则点M到直线a的距离是3cm
2．下列说法：①等角的余角相等；②两点确定一条直线；③同角的补角相等；④两点之间直线最短．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3.如图，，，点B，O，D在同一条直线上，∠2＝（ ）
A．B．C．D．
4.已知∠A＝65°，则∠A的余角等于（ ）
A．25°B．35°C．115°D．45°
5.如图，AD⊥BD，CD⊥BC，AB＝5cm，BC＝3cm，则线段BD的长度的取值范围是( )
A. 大于3cmB. 小于5cmC. 大于3cm且小于5cmD. 大于3cm或小于5cm
6.如图，已知AB⊥CD于O，直线EF经过点O，与AB的夹角∠AOE＝52°，则∠COF的度数是( )
A. 52°B. 128°C. 38°D. 48°
填空题
7.如图，现要从幸福小区修建一条连接街道的最短小路，过点作于点，沿修建道路就能满足小路最短，这样做的依据是 ．
8..如图，直线、相交于点O，，垂足为点O，，则的度数为___________．
9.为了丰富学生的课余生活，进一步增强学生的身体素质，某校决定召开春季运动会．各班积极准备，选拔优秀队员参加比赛．如图，是该校七年级1班王明同学在跳远选拔比赛中最好的一跳，甲、乙、丙三名同学分别测得PA＝5.55米，PB＝5.42米，MA＝5.63米，那么他的跳远成绩应该为______米．
10.如图，直线AB、CD相交于点O，若∠1∶∠2＝1∶4，则∠1＝___，∠3＝______.
三、解答题
11.如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB．
(1)图中∠1的余角是 ；补角是 ；
(2)若∠1＝∠2，判断ON与CD的位置关系，并说明理由；
12.如图，汽车站、码头分别位于两点，直线和波浪线分别表示公路与河流．
(1)从汽车站到码头怎样走最近？画出最近路线，并说明理由；
(2)从码头到公路怎样走最近？画出最近路线，并说明理由．
13.如图，直线AB、CD、EF相交于点O，∠DOB是它的余角的2倍，∠AOE＝2∠DOF，且有OG⊥AB，求∠EOG的度数．
14.如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CD．
（1）图中∠AOF的余角是 （把符合条件的角都填出来）．
（2）图中除直角相等外，还有相等的角，请写出三对：
① ；② ；③ ．
（3）①如果∠AOD＝140°．那么根据 ，可得∠BOC＝ 度．
②如果，求∠EOF的度数．
1. 理解相交线的定义、对顶角的定义和性质、邻补角的定义，正确识别“三线八角”；
2. 理解垂线的定义、点到直线的距离的定义，掌握垂线的性质；
3. 熟练掌握利用垂线性质与角平分线综合运算；
4．理解并掌握对顶角的概念及性质，会用对顶角的性质解决一些实际问题；
5．理解并掌握补角和余角的概念及性质，会运用其解决一些实际问题。
知识点01. 对顶角的概念和性质
1. 相交线的定义
在同一平面内，如果两条直线只有一个公共点，那么这两条直线叫做相交线，公共点称为两条直线的交点。如图1所示，直线AB与直线CD相交于点O。
图1 图2 图3
2. 对顶角
定义：若一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角叫做对顶角。如图2所示，∠1与∠3、∠2与∠4都是对顶角。
注意：两个角互为对顶角的特征是：
（1）角的顶点公共；
（2）角的两边互为反向延长线；
（3）两条相交线形成2对对顶角。
性质：
文字语言：对顶角相等。
符号语言：如图2，∵∠2和∠4是对顶角，
∴∠2=∠4
知识点02. 余角和补角的概念和性质
1.余角
定义：一般地，如果两个角的和等于90°，那么称这两个角互为余角，其中的一个角是另一个角的余角．
性质：文字语言：同角(等角)的余角相等．
符号语言：∵∠1+∠2=90°，∴∠1与∠2互余
∵∠1与∠2互余，∴∠1+∠2=90°.
2.补角
定义：一般地，如果两个角的和等于180°，那么称这两个角互为补角，其中一个角是另一个角的补角．
性质：文字语言:同角（等角）的补角相等．
符号语言：∵∠1+∠2=180°，∴∠1与∠2互补，
∵∠1与∠2互补，∴∠1+∠2=180°.
补充：
① 邻补角的定义
如果把一个角的一边反向延长，这条反向延长线与这个角的另一边构成一个角，此时就说这两个角互为邻补角。如图3所示，∠1与∠2互为邻补角，由平角定义可知∠1＋∠2＝180°。
② 余角和补角的判断是看两个角的和，与角的位置无关。
知识点03. 垂线
定义：如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．如下图，两条直线互相垂直，记作或AB⊥CD垂直于点O.
注意：垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有：
⇔ CD⊥AB．
画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)．
注意：
(1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上．
(2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段．
性质：
（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短．
知识点04. 点到直线的距离
定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离．
如上图所示，m 的垂线段PB 的长度叫做点P 到 直线m 的距离。
注意：
点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离；
（2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度
知识点01 对顶角的概念和性质
典例：下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据对顶角的定义判断。
【详解】解：A、∠1与∠2是三条直线相交所成，故A选项不符合题意；
B、∠1与∠2是对顶角，故B选项符合题意；
C、∠1与∠2的两边不是反向延长线，不是对顶角，故C选项不符合题意；
D、∠1与∠2三条直线相交所成，不是对顶角，故D选项不符合题意．
故选：B．
【点拨】本题考查了对顶角的概念，正确掌握定义是解决问题的关键。
巩固练习
1.如图，直线AC，BD相交于点O，∠AOB＝48°，则∠COD的度数是（ ）
A．42°B．48°C．96°D．132°
知识点02 余角和补角的概念和性质
典例：1.如果∠1和∠2互补，∠1比∠2的2倍少15°，则∠1＝ 115 °．
【答案】115
【分析】根据题意可得∠1+∠2＝180°，∠1＝2∠2﹣15°，从而可求解．
【详解】解：∵∠1和∠2互补，∠1比∠2的2倍少15°，
∴∠1+∠2＝180°，∠1＝2∠2﹣15°，
∴2∠2﹣15°+∠2＝180°，
解得：∠2＝65°，
∴∠1＝115°．
故答案为：115．
【点拨】本题考查了补角的定义，知道∠1+∠2＝180°是本题的关键．
典例：2.若一个角的补角比它的余角的2倍还多70°，则这个角的度数为多少度？
【答案】70°
【分析】利用余角和补角的定义解决本题。
【详解】解：设这个角的度数是x°，则它的补角为：180°﹣x°，余角为90°﹣x°，
由题意，得：（180﹣x）﹣2（90﹣x）＝70．
解得：x＝70．
答：这个角的度数为70°．
【点拨】本题考查了余角和补角的定义，应用概念列方程是本题的关键．
巩固练习
1.一个角的余角的3倍与它的补角相等，则这个角的度数为 ．
2.如图，直线a与直线b相交于一点．若∠1+∠3＝240°，则∠2的度数为（ ）
A．55°B．60°C．62°D．120°
知识点03 垂线
典例：1.过点向线段所在的直线画垂线，正确的画法是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】根据过直线外一点作已知直线的垂线的作法判断即可．
【详解】解：选项，没有过点，过该选项不符合题意；
选项，过点作的垂线，垂线是直线，故该选项符合题意；
选项，为垂线段，不是直线，故该选项不符合题意；
选项，没有垂直于，故该选项不符合题意；
故选：．
【点拨】本题考查垂线的画法。
巩固练习
1.某工程队计划把河水引到水池A中，他们先过A点作AB⊥CD，垂足为B，CD为河岸，然后沿AB开渠，可以节约人力、物力和财力，这样设计的数学依据是（ ）
A．两点之间线段最短
B．过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
C．经过两点有一条直线，并且只有一条直线
D．垂线段最短
2.如图，在铁路旁边有一李庄，现要建一火车站，使李庄的人乘火车最方便（即距离最近），请你在铁路边选一点来建火车站，并说明理由．
知识点04 点到直线的距离
典例：如图，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为A，D，则图中能表示点到直线距离的线段共有（ ）
A. 2条B. 3条C. 4条D. 5条
【答案】D
【分析】点到直线的距离，首要要有垂直，点与垂足所连线段的长度就是点到直线的距离。
【详解】如图所示，根据点到直线的距离就是这个点到这条直线垂线段的长度可知，
线段AB是点B到AC的距离，
线段CA是点C到AB的距离，
线段AD是点A到BC的距离，
线段BD是点B到AD的距离，
线段CD是点C到AD的距离，
所以图中能表示点到直线距离的线段共有5条．
故选：D.
【点拨】本题考查点到直线的距离，正确理解概念是解决本题的关键。
巩固练习
1.如图，AC⊥BC，点C为垂足，则下列说法错误的是( )
A. 在线段AB、BC、CA中，AB最长B. BC的长是点C到直线AB的距离
C. AC的长是点A到直线BC的距离D. BC的长是点B到直线AC的距离
2.如图，在直线外一点与直线上各点的连线中，，，，，则点到直线的距离为
A．3B．4C．4.3D．5
能力提升
选择题
1. 下列说法正确的是( )
A. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B. 从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离
C. 在平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直
D. 直线a外一点M与直线a上各点连接而成所有线段中最短线段的长是3cm，则点M到直线a的距离是3cm
2．下列说法：①等角的余角相等；②两点确定一条直线；③同角的补角相等；④两点之间直线最短．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3.如图，，，点B，O，D在同一条直线上，∠2＝（ ）
A．B．C．D．
4.已知∠A＝65°，则∠A的余角等于（ ）
A．25°B．35°C．115°D．45°
5.如图，AD⊥BD，CD⊥BC，AB＝5cm，BC＝3cm，则线段BD的长度的取值范围是( )
A. 大于3cmB. 小于5cmC. 大于3cm且小于5cmD. 大于3cm或小于5cm
6.如图，已知AB⊥CD于O，直线EF经过点O，与AB的夹角∠AOE＝52°，则∠COF的度数是( )
A. 52°B. 128°C. 38°D. 48°
填空题
7.如图，现要从幸福小区修建一条连接街道的最短小路，过点作于点，沿修建道路就能满足小路最短，这样做的依据是 ．
8..如图，直线、相交于点O，，垂足为点O，，则的度数为___________．
9.为了丰富学生的课余生活，进一步增强学生的身体素质，某校决定召开春季运动会．各班积极准备，选拔优秀队员参加比赛．如图，是该校七年级1班王明同学在跳远选拔比赛中最好的一跳，甲、乙、丙三名同学分别测得PA＝5.55米，PB＝5.42米，MA＝5.63米，那么他的跳远成绩应该为______米．
10.如图，直线AB、CD相交于点O，若∠1∶∠2＝1∶4，则∠1＝___，∠3＝______.
三、解答题
11.如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB．
(1)图中∠1的余角是 ；补角是 ；
(2)若∠1＝∠2，判断ON与CD的位置关系，并说明理由；
12.如图，汽车站、码头分别位于两点，直线和波浪线分别表示公路与河流．
(1)从汽车站到码头怎样走最近？画出最近路线，并说明理由；
(2)从码头到公路怎样走最近？画出最近路线，并说明理由．
13.如图，直线AB、CD、EF相交于点O，∠DOB是它的余角的2倍，∠AOE＝2∠DOF，且有OG⊥AB，求∠EOG的度数．
14.如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CD．
（1）图中∠AOF的余角是 （把符合条件的角都填出来）．
（2）图中除直角相等外，还有相等的角，请写出三对：
① ；② ；③ ．
（3）①如果∠AOD＝140°．那么根据 ，可得∠BOC＝ 度．
②如果，求∠EOF的度数．
相关试卷
数学七年级下册第四章 三角形2 图形的全等精品当堂达标检测题： 这是一份数学七年级下册<a href="/sx/tb_c9987_t7/?tag_id=28" target="_blank">第四章 三角形2 图形的全等精品当堂达标检测题</a>，文件包含专题42图形的全等原卷版-七年级数学同步精品讲义北师大版docx、专题42图形的全等教师版-七年级数学同步精品讲义北师大版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共27页， 欢迎下载使用。
北师大版七年级下册第二章 相交线与平行线4 用尺规作角精品一课一练： 这是一份北师大版七年级下册<a href="/sx/tb_c9976_t7/?tag_id=28" target="_blank">第二章 相交线与平行线4 用尺规作角精品一课一练</a>，文件包含专题24用尺规作角原卷版-七年级数学下册同步精品讲义北师大版docx、专题24用尺规作角教师版-七年级数学下册同步精品讲义北师大版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共36页， 欢迎下载使用。
北师大版七年级下册7 整式的除法精品同步测试题： 这是一份北师大版七年级下册<a href="/sx/tb_c9971_t7/?tag_id=28" target="_blank">7 整式的除法精品同步测试题</a>，文件包含专题17整式的除法原卷版-七年级数学下册同步精品讲义北师大版docx、专题17整式的除法教师版-七年级数学下册同步精品讲义北师大版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共26页， 欢迎下载使用。
