初中数学北师大版七年级下册2 探索轴对称的性质精品巩固练习

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1.理解轴对称的性质；
2.掌握轴对称性质的综合应用；
3.认识轴对称中的对应线段、对应角.
知识点01. 轴对称图形的性质
性质：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等。
知识点01 轴对称图形的性质
典例：1. 如图，将长方形沿线段折叠到的位置，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由翻折可知，再利用即可得出答案．
【详解】解：由翻折知，，
∴，
∴，
故选：A．
【点拨】本题考查了平行线的性质、折叠的性质、长方形的性质等知识；熟练掌握折叠的性质和平行线的性质是解题的关键．
典例：2.如图，将长方形纸片沿对角线折叠，点的对应点为．若，则的度数为________．
【答案】
【分析】根据折叠的性质和平行线的性质，可以得到和的度数，然后即可得到的度数．
【详解】解：由折叠的性质可得：
，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点拨】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
巩固练习
1．如图：将一张长方形纸条折叠． 如果，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由折叠的性质得到，结合平行线的性质求的度数．
【详解】解：由折叠的性质得到：．
∵长方形对边平行，
∴，即．
故选A．
【点拨】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．也考查了折叠的性质．
2．如图，将长方形沿折叠，使点B落在边上的点G处，点C落在点H处，已知，连接，则___．
【答案】##40度
【分析】由折叠的性质可知：，，从而可证明，然后再根据，即：，由平行线的性质可知，从而易证，据此可得答案．
【详解】解：由折叠的性质可知：，，
∴．
∴，即：．
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查翻折变换，解题的关键是熟练掌握翻折变换的性质：折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
能力提升
一、单选题
1．如图，把一张长方形纸片沿折叠后，点，分别落在点，的位置，交于点，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】如图，首先运用翻折变换的性质证明，，借助，求出的度数，进而求出，即可解决问题．
【详解】解：∵四边形为长方形，
∴，；
由题意得：，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【点拨】该题主要考查了翻折变换的性质、平行线的性质等几何知识点及其应用问题；应牢固掌握翻折变换的性质、平行线的性质等几何知识点，这是灵活运用、解题的基础和关键．
2．如图，长方形沿对折后，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据翻折的性质可得，进而求出，然后根据两直线平行，内错角相等即可得解．
【详解】解：如图所示，
∵长方形沿对折后两部分重合，，
∴，，
∴．
故选：A．
【点拨】本题考查的是平行线的性质及图形翻折变换的性质，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，熟练掌握知识点是解题的关键．
3．如图，将一个正方形纸片对折3次后，得到如图所示的图形，然后将阴影部分剪掉，把剩余部分展后的平面图形是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】严格按照图中的方法亲自动手操作一下， 即可很直观地呈现出来．
【详解】解∶将阴影部分剪掉，把剩余部分展开后的平面图形是∶
故选∶ A．
【点拨】本题主要考查学生的动手能力及空间想象能力以及轴对称．对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现，同时要注意正方形的性质．
4．如图，将书页一角斜折过去，使角的顶点A落在处，为折痕，平分，则等于多少度（ ）
A．70°B．80°C．90°D．100°
【答案】C
【分析】先根据折叠的性质得到，再根据角平分线的定义得到，由此即可利用平角的定义得到，即．
【详解】解：由折叠的性质得，
∵平分，
∴，
∵，
∴，即，
故选C．
【点拨】本题主要考查了折叠的性质，角平分线的定义，正确推出是解题的关键．
5．如图，在三角形纸片中，，把沿翻折，若点B落在点C的位置，则线段（ ）．
A．是边上的中线B．是边上的高
C．是的平分线D．以上三种都成立
【答案】D
【分析】根据折叠的性质即可得到结论．
【详解】解：∵把沿翻折，若点B落在点C的位置，
∴，
∴，
∴线段是边上的中线，也是边上的高，还是的平分线，
故选D．
【点拨】本题考查了翻折变换（折叠问题），熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
6．将一张正方形纸片按图①、图②所示的方式依次对折后，再沿图③中的虚线剪裁，最后将图④中的纸片打开铺平，得到的图案是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题中所给剪纸方法，进行动手操作，答案就会很直观地呈现．
【详解】解：严格按照图中的顺序进行操作，展开得到的图形如选项B中所示．
故选：B．
【点拨】本题考查折叠问题-剪纸，此类题目主要考查学生的动手能力及空间想象能力，对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．
7．如图所示，取一张正方形纸，两次对折后得到一个等腰直角三角形，小明在这个等腰直角三角形上剪掉一个小正方形，然后打开折叠的纸，并将其铺平，得到的图案是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】依据折叠的性质，将图形依次展开，得到结果，进行判断即可．
【详解】解：将 展开一次得到：
再展开得到：最后一幅图形得到
故选：B．
【点拨】本题考查了图形的折叠与展开；正确将折叠图形进行展开是解题的关键．
8．如图所示，，若，为了使白球反弹后能够将黑球直接撞入袋中，那么打白球时必须保证为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
【答案】C
【分析】要使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，，根据，则能求出的度数
【详解】解：，
，
．
故选：C．
【点拨】本题是考查图形的对称，理清图形是解题的关键．
9．如图，已知，不一定能使的条件是（ ）．
A．B．
C．D．点与点关于所在的直线对称
【答案】C
【分析】根据全等三角形的判定方法，逐一进行判断即可．
【详解】解：由题意和图，可知：；
A、，利用可证，不符合题意；
B、，利用可证，不符合题意；
C、，不能证明，符合题意；
D、点与点关于所在的直线对称，可知，利用可证，不符合题意；
故选C．
【点拨】本题考查全等三角形的判定，轴对称的性质．熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键．
10．如图，在正方形中，E 为边上一点,沿线段对折后，若比大，则的度数是（ ）
A．24度B．20度C．26度D．30度
【答案】A
【分析】根据折叠角相等已知进行等量代换即可求得的度数．
【详解】解：∵是折叠形成，
∴，
∵，，
∴,
解得：，
故选：A．
【点拨】本题考查了折叠的性质，角度的计算，本题中求得是解题的关键．
11．如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中不一定正确的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】B
【分析】根据轴对称的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：与关于直线对称，
，故A、C、D选项正确，
不一定成立，故B选项错误，
所以，不一定正确的是B．
故选：B．
【点拨】本题考查轴对称的性质与运用，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．
12．一平面镜以与水平面成45°角固定在水平面上，如图所示，一个小球以1m/s的速度沿桌面向点O匀速滚去，则小球在平面镜中的像是（ ）
A．以1m/s的速度，做竖直向下运动
B．以1m/s的速度，做竖直向上运动
C．以2m/s的速度运动，且运动路线与地面成45°角
D．以2m/s的速度，做竖直向下运动
【答案】A
【分析】利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称．
【详解】解：根据镜面对称的性质，在平面镜中的顺序与现实中的恰好相反，且关于镜面对称，
则小球在平面镜中的像是以的速度，做竖直向下运动．
故选：A．
【点拨】本题考查了镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧，充分发挥想象能力．
二、填空题
13．如图1，有一个足够长的矩形纸片，、分别是、上的点，．将纸片含的部分沿折叠，称为第1次操作；继续将纸片含的部分沿折叠，称为第2次操作；以后，重复上述这两步操作，分别记作第3次，第4次，第5次……第操作，则的最大值为___________．
【答案】6
【分析】观察可得，第2次操作比第1次操作减少一个，根据此规律可得出的最大值．
【详解】解：∵矩形纸片，∴，
∴，
∵将纸片含的部分沿折叠，
图2中，，
图3中，，
∴，
观察可得，第2次操作比第1次操作减少一个，以后每次重复操作，都减少，
∴每次重复操作后的角的度数为，
由题意得，
解得，
∵n为正整数，
∴的最大值为6，
故答案为：6．
【点拨】本题考查折叠的综合应用，平行线的性质，熟练掌握折叠的性质和平行线的性质是解题关键．
14．如图，把一张对边互相平行的纸条沿折叠，若，则下列结论：；；；．其中正确的有_________个．
【答案】4
【分析】根据平行线的性质由，得到；根据折叠的性质得，则，利用平角的定义得到；再根据折叠性质有，利用平角的定义得到；根据平行线性质可得．
【详解】解：∵，，
∴，
∴①正确；
根据翻折可知，，
∴，
∴，
∴②正确；
∵，
∴④正确；
∵，
∴③正确．
故答案为：4．
【点拨】本题考查了平行线的性质及翻折变换的性质，熟知图形翻折中不变量是解答此题的关键．
15．在一条数轴上有、、三点，其中点、表示的数分别是、，现以点C为折点，将数轴向右对折（如图1），若点对应的点落在点的右边（如图2），并且，则点表示的数是_______．
【答案】##
【分析】设出点所表示的数，根据点、所表示的数，可以表示出的距离，在根据，表示出，由折叠得，，列方程求解即可．
【详解】解：设点所表示的数为，
∵点、表示的数分别是、，
∴，
∵，点表示的数是，
∴点表示的数为，
根据折叠得：，
∴，
解得：．
故答案为：．
【点拨】本题考查折叠的性质，数轴表示数的意义，数轴上两点之间的距离公式，掌握数轴上两点之间的距离公式是解题的关键．点、在数轴上表示的数为、，则、两点之间的距离为．
16．已知线段，、为直线上任意两点，将线段、分别沿着点和折叠，使得的对应点为，的对应点为，若，则的最大值和最小值的差为________________．
【答案】12
【分析】把线段放在数轴上，点A与原点重合，则A表示0，点B表示10，设M对应的数为x，N对应的数为y，确定的最大值和最小值，再作差即可．
【详解】解：把线段放在数轴上，点A与原点重合，则A表示0，点B表示10，
设M对应的数为x，N对应的数为y，
由题意得：表示，表示，
∵，
∴，即或，
∵，
∴或
当时，的最小值为，最大值为4，
当时，的最小值为，最大值为6，
∴的最大值和最小值的差为：
故答案为：12．
【点拨】本题考查线段折叠，线段的和差，数轴上点表示的数，绝对值的意义，运用了分类讨论的思想是解题的关键．
17．如图，将一张长方形的纸片沿折痕翻折，使点B、C分别落在点M、N的位置，且，则______．
【答案】
【分析】先由折叠的性质得到，再由平行线的性质得到，结合已知条件推出，则，再由平角的定义求出，则，由此即可求出的度数．
【详解】解：由折叠的性质可得，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．
三、解答题
18．如图，把一张长方形的纸片沿折叠，若，求的度数．
【答案】70°
【分析】先根据平角的定义得到，再由折叠的性质即可得到．
【详解】解：∵，
∴，
由折叠的性质可得 ．
【点拨】本题主要考查了折叠的性质，熟知折叠的性质是解题的关键．
19．有一长方形纸带，E、F分别是边，上一点，度（），将纸带沿折叠成图1，再沿折叠成图2．
(1)如图1，当度时， 度；
(2)如图2，若，求α的值；
(3)作平分交直线与点P，请直接写出与的数量关系 ．
【答案】(1)120
(2)
(3)或
【分析】（1）由长方形的对边是平行的，得到，根据三角形外角的性质得到，由对顶角的性质得到，即可得到；
（2）由折叠可得，，由长方形的对边是平行的，得，由此可以求得，，由可以求出，即可以得到α的值；
（3）①如图3中，结论：．利用翻折不变性以及三角形的内角和定理解决问题即可；
②如图4中，结论：．利用翻折不变性以及三角形的内角和定理解决问题即可．
【详解】（1）解：由折叠可得，
∵长方形的对边是平行的，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
∴当度时，的度数是．
故答案为：120；
（2）解：由折叠可得，，
∵长方形的对边是平行的，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴α的值是30；
（3）解：①如图3中，结论：．
理由：∵，
又平分，
∴，
∴；
②如图4中，结论：．
理由：∵，
，
∴．
故答案为：或．
【点拨】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，三角形外角的性质，角平分线的定义，利用邻补角求角度，解题的关键是作出图形，数形结合，注意分类讨论．
20．如图1，点是直线上一点，射线从开始以每秒的速度绕点顺时针转动，射线从开始以每秒的速度绕点逆时针转动，当、相遇时，停止运动；将、分别沿、翻折，得到、，设运动的时间为（单位：秒）
(1)如图2，当、重合时，_______；
(2)当时，_______，当时，_______；
(3)如图3，射线在直线的上方，且，在运动过程中，当射线、、其中一条射线是另外两条射线组成角的平分线时，求出的值
【答案】(1)90
(2)20，12
(3)t的值为10或或．
【分析】（1）利用折叠性质得，，再利用邻补角即可求解；
（2）利用折叠性质得求出、、、的度数，即可得解；
（3）根据角平分线的不同，分是的角平分线、是的角平分线、是的角平分线三种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵将、分别沿、翻折，得到、，
∴，，
∵，
∴，
故答案为90；
（2）解：当时， ，，
∴，
当时，如下图，，，
∴，
故答案为20，12；
（3）解：当是的角平分线时，则，如图，
由折叠可知，，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
解得；
当是的角平分线时，则，如下图，
由折叠可知，，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
解得；
当是的角平分线时，则，如下图，
由折叠可知，，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
解得；
综上，的值为或或．
【点拨】本题主要考查了邻补角的性质、折叠的性质，解一元一次方程，根据题意正确分类讨论是解题的关键．
21．如图，和关于直线对称，和的交点在直线上．
(1)图中点的对称点是点__________，的对应角是___________；
(2)若，，则____________；
(3)连接和，则和的位置关系为：__________．
【答案】(1)；
(2)
(3)
【分析】（1）根据轴对称的性质求解即可；
（2）根据轴对称的性质得，从而即可求解；
（3）根据轴对称的性质得，，从而即可求解；
【详解】（1）解：图中点的对称点是点，的对应角是，
故答案为∶，；
（2）解：∵和关于直线对称，和的交点在直线上，，．
∴，
∴，
故答案为∶ 3；
（3）解：如下图，
∵和关于直线对称，和的交点在直线上，
∴，，
∴，
∴和的位置关系为∶．
故答案为∶．
【点拨】本题考查轴对称的性质，掌握轴对称的性质是解题的关键．如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，两个图形的对应线段，对应角，分别相等．
22．同学们，我们已学习了角平分线的概念和性质，那么你会用它们解决有关问题吗？
(1)如图（1），已知，填空：
∵是的平分线（已知）
∴________________________
(2)如图（2），已知，若将沿着射线翻折，射线落在处，请你画出射线，射线一定平分．为什么？
理由如下：∵是由翻折而成，而翻折不改变图形的形状和大小，
∴________，
∴射线________是∠________的角平分线．
拓展应用
(3)如图（3），将长方形纸片的一角折叠，使顶点A落在C处，折痕为，再将它的另一个角也折叠，顶点B落在D处并且使过点C，折痕为．直接利用（2）的结论；
①若度，求的度数；
②若度，求的度数；
③的补角有________；的余角有________．
【答案】(1)，，
(2)，，
(3)①；②；③；和
【分析】（1）根据角平分线的画法画出的平分线，再根据角平分线的定义进行解答；
（2）根据图形反折不变性的性质可知，故可得出射线是的角平分线；
（3）①根据图形反折变换的性质可知，，故可得出结论；②根据图形反折变换的性质可知，，故可得出结论；③根据补角及余角的定义进行解答即可．
【详解】（1）解：如图所示：
是的平分线，
，
故答案为：，，；
（2）如图所示：
是由翻折而成，而翻折不改变图形的形状和大小，
，
射线是的角平分线，
故答案为：，，；
（3）①由翻折而成，由翻折而成，，
，，
；
②由翻折而成，由翻折而成，
，，
；
③由②知，，，
的补角是；
，
的余角是和．
【点拨】本题考查的是角平分线的定义及图形翻折变换的性质，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．