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北师大版七年级下册3 简单的轴对称图形精品同步测试题
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这是一份北师大版七年级下册3 简单的轴对称图形精品同步测试题，文件包含专题53简单的轴对称图形原卷版-七年级数学同步精品讲义北师大版docx、专题53简单的轴对称图形教师版-七年级数学同步精品讲义北师大版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共41页， 欢迎下载使用。
2.认识和探索30°直角三角形的性质；
3.会综合运用等腰三角形的性质和判定进行有关的计算和推理.
知识点01. 等腰三角形
1、等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
2、等腰三角形的性质：
（1）等腰三角形的两个底角相等，简写成“等边对等角”
（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”）
（3）等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴。
3、等腰三角形的判定：
（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形。（2）如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等
知识点02. 线段的垂直平分线（简称中垂线）：
定义：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。
性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
作法：作已知线段的垂直平分线。
知识点03. 角平分线的性质：
1、角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴。
2、性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
3、作已知角的角平分线。
知识点01 等腰三角形
典例：1. 如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于点P，若AB=10cm，BC=6cm，则△PBC的周长等于（ ）
A．8cmB．10cmC．12cmD．16cm
【答案】D
【分析】先根据等腰三角形的性质得出，再根据线段垂直平分线的性质得出，进而得出结论．
【详解】∵中，，
∴，
AB的垂直平分线交AC于P点，
∴，
∴
∴的周长=(BP+PC)+BC=AC+BC=，
故选：D．
【点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解题的关键．
巩固练习
1．下列正确的有（ ）
三角形的三条角平分线的交点在三角形内三角形三条中线的交点在三角形内三角形的三条高线的交点在三角形内 三角形的三条高线的交点在三角形外
A．个B．个C．个D．个
【答案】B
【分析】根据三角形角平分线的，中线，高线的交点逐项分析判断即可求解．
【详解】解：三角形的三条角平分线的交点在三角形内，正确；
三角形三条中线的交点在三角形内，正确；
锐角三角形的三条高线的交点在三角形内，错误；
钝角三角形的三条高线的交点在三角形外，错误；
故选：B．
【点拨】本题考查了三角形角平分线的，中线，高线的定义，掌握以上知识是解题的关键．
知识点02 线段的垂直平分线（简称中垂线）
典例：1. 如图，在中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，连接，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据内角和定理求得，由中垂线性质知，即，从而得出答案．
【详解】解：在中，∵，，
∴，
由作图可知为的中垂线，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【点拨】本题主要考查作图—基本作图，熟练掌握中垂线的作图和性质以及等边对等角是解题的关键．
巩固练习
1．在中，，的垂直平分线交与点，若，，则___________．
【答案】1.4
【分析】连接，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可以得到，再设，由，根据勾股定理得出，列出方程求解即可．
【详解】解：连接，
垂直平分，
，．
设．
，
，
即，
，
；
故答案为1.4．
【点拨】本题主要考查线段垂直平分线的性质和勾股定理的运用，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
知识点03 角平分线的性质
典例：1.如图，在中，以点A为圆心，小于的长为半径作弧，分别交于点E，F，再分别以E，F为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点G．若，则的长为（ ）
A．B．6C．D．
【答案】A
【分析】根据作图过程可得AG平分∠DAB，再根据角平分线的性质和平行四边形的性质可证明∠DAG=∠DGA，进而得到AD=DG，过A作AM⊥CD于M，依次求出MD、AM、AG即可解决问题．
【详解】解：过A作AM⊥CD于M，
根据作图的方法可得AG平分∠DAB，
∵AG平分∠DAB，
∴∠DAG=∠BAG，
∵,，
∴CD∥AB，AD=BC=6，，
∴∠DGA=∠BAG，
∴∠DAG=∠DGA，
∴AD=DG=BC=6，
∵，
∴∠DGA=30°，∠ADM=60°，
∴在Rt△ADM中，，
∴，
∴在Rt△AGM中，，
故选：A．
【点拨】此题主要考查了平行四边形的性质、角平分线的作法、30°直角三角形的性质；根据尺规作图的步骤判断是作角平分线是解决问题的关键．
巩固练习
1．如图，，分别是的中线和角平分线，则：____________________；____________________．
【答案】
【分析】根据，分别是的中线和角平分线，得到为线段的中点，平分，进行作答即可．
【详解】解：∵是的中线，
∴是线段的中点，
∴，
∵是的角平分线，
∴平分，
∴；
故答案为：，，，．
【点拨】本题考查三角形的中线和角平分线的定义．熟练掌握三角形的中线是连接三角形顶点和它的对边中点的线段，三角形的一个角的平分线与这个内角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫三角形的角平分线，是解题的关键．
知识点04 三角形的角
典例：1.如图所示，是的内角平分线，是的外角平分线，若 ，则____．
【答案】##度
【分析】根据三角形外角的性质结合角平分线的定义进行求解即可．
【详解】解：∵是的内角平分线，是的外角平分线，
∴，，
∴
，
∵，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题考查了三角形外角的性质以及角平分线的定义，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解本题的关键．
巩固练习
1．如图，，外角，是的平分线，求的度数．
【答案】
【分析】由角平分线的定义可求出，再根据三角形外角性质即可求出．
【详解】∵，是的平分线，
∴．
∵，
∴．
【点拨】本题考查角平分线的定义，三角形外角的性质．掌握三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和是解题关键．
能力提升
一、单选题
1．下列图形中，对称轴最多的图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据轴对称图形的定义：沿一条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，由此找出各个选项中对称轴的条数，进而比较即可得出答案．
【详解】解：A、此图有无数条对称轴；
B、此图有1条对称轴；
C、此图有4条对称轴；
D、此图有3条对称轴；
故选：A．
【点拨】本题考查了轴对称图形的对称轴，明确轴对称图形的定义是解题关键．
2．下列说法正确的是（ ）
①三角形的角平分线可能在三角形的内部或外部 ②三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形 ③三角形三条高都在三角形内部 ④三角形的三条中线交于一点
A．①②③④B．②④C．①③D．④
【答案】D
【分析】根据三角形的角平分线的定义和性质判断①；根据三角形分类判断②；根据三角形的高的定义及
性质判断③；根据三角形的中线的定义及性质判断④即可．
【详解】解：三角形的三条角平分线都在三角形内部，故①说法错误；
三角形按边分类可分为等腰三角形、和不等边三角形，等腰三角形分为等边三角形和底和腰不相
等的等腰三角形，故②说法错误；
锐角三角形的三条高都在三角形内部；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内
部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部．故③说法错误；
三角形的三条中线交于一点，故④说法正确；
所以说法正确的是④，
故选：D．
【点拨】本题考查了三角形的角平分线、三角形的按边分类，中线和高的定义及性质，是基础题．从三角
形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高；三角形一个内角的平
分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线
； 连接三角形一边的中点与此边所对顶点的线段叫做三角形的中线．
3．如图，以的顶点为圆心，以为半径作弧交边于点，分别以点，点为圆心，长为半径作弧，两弧相交于不同于点的另一点，再过点和点作直线，则作出的直线是（ ）
A．线段的垂直平分线B．的中线所在的直线
C．的平分线所在的直线D．线段的垂线但不一定平分线段
【答案】D
【分析】根据尺规作图，可以得到直线线段的垂直平分线，根据题意做出判断即可．
【详解】解：连接、、，
由作图得，，，
点、在线段的垂直平分线上，
直线是线段的垂直平分线，
，，
点与不一定重合，
A、B、C不一定正确．
故选：D．
【点拨】本题考查了尺规作图线段垂直平分线的做法，解题的关键是熟练掌握尺规基本作图．
4．下列说法错误的是（ ）
A．三角形的三条边的中线都在三角形内部B．三角形的三个内角的平分线都在三角形内部
C．三角形的三条高都在三角形内部D．直角三角形有两条高与三角形的边重合
【答案】C
【详解】A，三角形的中线是指一边的中点与对顶点的连线，作图知三角形的三条边的中线都在三角形内部，A选项说法正确，不符合题意；
B，三角形的三个内角的平分线都在三角形内部， B选项说法正确，不符合题意；
C，钝角三角形的两条高在形外，直角三角形两条高与两边重合，C错误，符合题意；
D，直角三角形有两条高与三角形的两直角边重合，D选项说法正确，不符合题意．
【点拨】本题考查了三角形中的几条重要的线段，关键是理解各种线段的概念，并且尝试画出对应的图形．
5．如图，由作图痕迹做出如下判断，其中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由作图痕迹得平分，垂直平分，根据角的平分线的性质，作，依据垂线段最短，可得结论；
【详解】解：由作图痕迹得平分，垂直平分，
过点作于点，如图，
，
，
，
故选：．
【点拨】本题考查角的平分线作图和线段的垂直平分线的作图，解题关键判断出角的平分线、线段的垂直平分线．
6．如图，在中，平分交于点D，若的面积为4，则的面积是（ ）
A．8B．12C．16D．20
【答案】C
【分析】过分别作，根据角平分线的性质，得到：，利用等高的两个三角形的面积比等于底边的比，进行求解即可．
【详解】解：过分别作，垂足分别为：，
∵平分，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故选C．
【点拨】本题考查角平分线的性质．熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
7．如图，△ABC的面积为16cm2，AP垂直∠B的平分线BP于P，则△PBC的面积为（ ）
A．7cm2B．8cm2C．9cm2D．10cm2
【答案】B
【详解】延长AP交BC于E，根据AP垂直∠B的平分线BP于P，即可求出△ABP≌△BEP，又知△APC和△CPE等底同高，可以证明两三角形面积相等，即可证明三角形PBC的面积．
【解答】解：延长AP交BC于E，
∵AP垂直∠B的平分线BP于P，
∴∠ABP=∠EBP，
又∵BP=BP，∠APB=∠EPB=90°，
∴△ABP≌△EBP，
∴，AP=PE，
∴△APC和△CPE等底同高，
∴，
∴=×16=8（cm2），
故选：B．
【点拨】本题主要考查面积及等积变换的知识点.证明出三角形PBC的面积和原三角形的面积之间的数量关系是解题的难点．
8．在三条边都不相等的三角形中，同一条边上的中线、高和这边所对角的角平分线，最短的是（ ）
A．角平分线B．高C．中线D．不能确定
【答案】B
【分析】根据垂线段最短解答．
【详解】∵是三条边都不相等的三角形的同一条边上的中线、高和这边所对角的角平分线，
∴最短的是高线．
故选：B．
【点拨】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，理解垂线段最短是解题的关键．
9．如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．依此即可求解．
【详解】解：∵CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，
∴CD⊥AB，∠ACE＝∠ACB，AB＝2BF，无法确定AE＝BE．
故选：C．
【点拨】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，熟练掌握它们的定义和性质是解题的关键．
二、填空题
10．如图，等腰中，，AB的垂直平分线交AC于D，那么的度数为___________．
【答案】##30度
【分析】根据等腰三角形两底角相等，求出的度数，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得，根据等边对等角的性质，可得，然后求∠DBC的度数即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵AB的垂直平分线交AC于D，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形两底角相等的性质，以及等边对等角的性质的综合应用，熟记性质是解题的关键．
11．如图，在▱中，．分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点E和点F；作直线EF，交AC于点G，连接GB．若GB与BC恰好垂直，则CG的长为_______．
【答案】5
【分析】利用基本作图得到垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，再利用平行四边形的性质得到，设，则，然后再中利用勾股定理得到，再解方程即可；
【详解】由作法得到垂直平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
设，则，
∵，
∴，
在中，，
解得：，即的长为5；
故答案是5．
【点拨】本题主要考查了基本作图，熟练掌握基本作图的方法是解题的关键，同时也考查了垂直平分线的性质和平行四边形的性质．
12．如图，在中，，，，，平分交于D点，E，F分别是，上的动点，则的最小值为______．
【答案】
【分析】在上取一点，使，连接，判断出，得出，进而得出当点C，E，在同一条线上，且时，最小，即最小，其值为，最后用面积法，即可求出答案．
【详解】解：如图，在上取一点，使，连接，
平分，
，
，
∴，
，
，
∴当点C，E，在同一条线上，且时，最小，即最小，其值为，
，
，
即的最小值为，
故答案为：．
【点拨】此题主要考查了角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，点到直线的距离，垂线段最短，三角形的面积公式，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键．
13．如图，在△ABC中，∠BAC=90，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD 于点G，交BE于点H，①S△ABE=S△BCE；②∠AFG=∠AGF；③∠FAG=2∠ACF；④BH=CH．上面说法中正确的有____________________________（填正确的序号）．
【答案】①②③
【分析】①利用三角形的中线，可知△ABE和△BEC是等底同高的两个三角形，即可判断；
②根据等角的补角相等先证明∠AFC=∠DGC，再利用对顶角相等即可判断；
③根据同角的余角相等证明∠FAG =∠ACD即可判断；
④根据已知条件不能推出∠HBC和∠HCB的关系，即可判断．
【详解】解：∵BE是AC边的中线，
∴AE= EC，
∴，
故①正确；
∵ CF平分∠ACB，
∴，
∵∠BAC= 90°，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故②正确；
∵∠BAC = 90°
∴，
∵ ，
∴，
∴，
∵，
∴，
故③正确；
∵根据已知条件不能推出∠HBC=∠BCF，
∴，
故④错误；
∴上面说法中正确的有3个，
故答案为：①②③．
【点拨】本题考查了三角形中线、高和角平分线的性质，熟练三角形的内角和定理、外角性质是解题的关键．
14．如图，在中，，按以下步骤作图：①以B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AB，BC于点M，N；②分别以M、N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点P；③作射线BP，交AC于点D．若，，则线段AD的长为_______．
【答案】
【分析】利用基本作图得BD平分∠ABC，过D点作DE⊥AB于E，如图，根据角平分线的性质得到则DE=DC，再利用勾股定理计算出AC=4，然后利用面积法得到•DE×5+•CD×3=×3×4，最后解方程即可．
【详解】解：由作法得BD平分∠ABC，
过D点作DE⊥AB于E，如图，则DE=DC，
在Rt△ABC中，，
∵S△ABD+S△BCD=S△ABC，
∴•DE×5+•CD×3=×3×4，，
即5CD+3CD=12，
∴CD=，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作已知角的角平分线）．也考查了角平分线的性质．
三、解答题
15．如图，在中，，垂足为D．垂直平分，交于点F，交于点E，且．
(1)若，求的度数；
(2)若的周长为，，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据线段垂直平分线性质得出，再由 对等角求出和，由三角形外角的性质即可求出答案；
（2）根据已知能推出，即可得出答案．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
又∵，
∴．
（2）解：由（1）可知：，
∴，
∵的周长为，，
∴，
∴．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质，三角形外角性质的应用，综合运用相关性质进行推理和计算是解题关键．
16．如图，中，，，的垂直平分线分别交、于点、．求的度数．
【答案】
【分析】根据等腰三角形的性质求出，根据线段垂直平分线的性质得到，得到答案．
【详解】解： ，，
，
垂直平分，
，
，
【点拨】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
17．如图，是的角平分线，、分别是和的高．求证．
【答案】见解析
【分析】由角平分线的定义可得出，再根据三角形高的定义可得出，最后根据，即可利用“”证明．
【详解】证明：∵是的角平分线，
∴．
∵、分别是和的高，
∴．
又∵，
∴．
【点拨】本题主要考查角平分线的定义，三角形全等的判定．熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．
18．如图．
(1)尺规作图 边上的中线；
(2)如果，，求与的周长之差；
(3)直接写出与的面积之间的大小关系．
【答案】(1)见详解；
(2)3
(3)
【分析】（1）先作的垂直平分线找到D点，连接即可；
（2）根据中线得到，直接用两周长作差即可得到答案；
（3）根据中线性质即可得到答案．
【详解】（1）解：根据题意分别以A，B为圆心大于 为半径画圆弧交于两侧各一点，连接两点交于一点即为中点D，连接如图所示，
（2）解：∵是 边上的中线，
∴，
，
∵，，
∴
（3）解：由题意可得，
∵是 边上的中线，
∴ ．
【点拨】本题考查三角形中线作法及三角形中线的性质，三角形中线分得线段相等及面积相等的两个三角形．
19．如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC＝70°，OF⊥OE．
(1)求∠BOD的度数；
(2)求∠DOF的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接利用角平分线的定义、结合对顶角的定义分析得出答案；
（2）利用（1）中所求，进而得出答案．
【详解】（1）解：平分，，
，
；
（2）解：平分，
，
，
，
．
【点拨】本题主要考查了角平分线的定义，对顶角，解题的关键是正确得出的度数．
20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，且E为AB的中点．
(1)求证：△ADE≌△BDE；
(2)求∠B的度数．
【答案】(1)见解析
(2)30°
【分析】（1）根据中点的性质可得AE＝BE，利用SAS即可求证结论．
（2）根据三角形全等的性质及角平分线的性质即可求解．
(1)
证明：∵DE⊥AB，
∴∠AED＝∠BED＝90°，
∵E为AB的中点，
∴AE＝BE，
在△AED和△BED中，
，
∴△AED≌△BED（SAS），
(2)
∵△AED≌△BED，
∴∠B＝∠DAE，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠DAE，
∵∠C=90°
∴∠B+∠CAD+∠DAE＝90°，
∴3∠B＝90°，
∴∠B＝30°．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，中点的性质及角平分线的性质，掌握全等三角形的判定与性质和角平分线的性质是解题的关键．
21．已知：图1，，直线分别交，于点，．的平分线与的平分线交于点．
(1)求的度数；
(2)在图1的基础上，分别作的平分线与的平分线交于点，得到图2，则________度；
(3)如图3， ，直线分别交，于点，．点在直线，之间，且在直线右侧，的平分线与的平分线交于点，则与满足的数量关系是________
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用平行线的性质解决问题即可；
（2）利用基本结论求解即可；
（3）利用基本结论，，求解即可．
【详解】（1）解：如图，过作，
，
，
，
，
平分，平分，
，，
，
在中，，
；
（2）解：如图2中，由题意，，
平分，平分，
，
，
故答案为：；
（3）解：如图3中，由题意，，，
平分，平分，
，，
，
故答案为：．
【点拨】本题考查平行线的性质和判定，角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．
2.认识和探索30°直角三角形的性质；
3.会综合运用等腰三角形的性质和判定进行有关的计算和推理.
知识点01. 等腰三角形
1、等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
2、等腰三角形的性质：
（1）等腰三角形的两个底角相等，简写成“等边对等角”
（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”）
（3）等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴。
3、等腰三角形的判定：
（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形。（2）如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等
知识点02. 线段的垂直平分线（简称中垂线）：
定义：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。
性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
作法：作已知线段的垂直平分线。
知识点03. 角平分线的性质：
1、角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴。
2、性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
3、作已知角的角平分线。
知识点01 等腰三角形
典例：1. 如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于点P，若AB=10cm，BC=6cm，则△PBC的周长等于（ ）
A．8cmB．10cmC．12cmD．16cm
【答案】D
【分析】先根据等腰三角形的性质得出，再根据线段垂直平分线的性质得出，进而得出结论．
【详解】∵中，，
∴，
AB的垂直平分线交AC于P点，
∴，
∴
∴的周长=(BP+PC)+BC=AC+BC=，
故选：D．
【点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解题的关键．
巩固练习
1．下列正确的有（ ）
三角形的三条角平分线的交点在三角形内三角形三条中线的交点在三角形内三角形的三条高线的交点在三角形内 三角形的三条高线的交点在三角形外
A．个B．个C．个D．个
【答案】B
【分析】根据三角形角平分线的，中线，高线的交点逐项分析判断即可求解．
【详解】解：三角形的三条角平分线的交点在三角形内，正确；
三角形三条中线的交点在三角形内，正确；
锐角三角形的三条高线的交点在三角形内，错误；
钝角三角形的三条高线的交点在三角形外，错误；
故选：B．
【点拨】本题考查了三角形角平分线的，中线，高线的定义，掌握以上知识是解题的关键．
知识点02 线段的垂直平分线（简称中垂线）
典例：1. 如图，在中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，连接，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据内角和定理求得，由中垂线性质知，即，从而得出答案．
【详解】解：在中，∵，，
∴，
由作图可知为的中垂线，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【点拨】本题主要考查作图—基本作图，熟练掌握中垂线的作图和性质以及等边对等角是解题的关键．
巩固练习
1．在中，，的垂直平分线交与点，若，，则___________．
【答案】1.4
【分析】连接，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可以得到，再设，由，根据勾股定理得出，列出方程求解即可．
【详解】解：连接，
垂直平分，
，．
设．
，
，
即，
，
；
故答案为1.4．
【点拨】本题主要考查线段垂直平分线的性质和勾股定理的运用，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
知识点03 角平分线的性质
典例：1.如图，在中，以点A为圆心，小于的长为半径作弧，分别交于点E，F，再分别以E，F为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点G．若，则的长为（ ）
A．B．6C．D．
【答案】A
【分析】根据作图过程可得AG平分∠DAB，再根据角平分线的性质和平行四边形的性质可证明∠DAG=∠DGA，进而得到AD=DG，过A作AM⊥CD于M，依次求出MD、AM、AG即可解决问题．
【详解】解：过A作AM⊥CD于M，
根据作图的方法可得AG平分∠DAB，
∵AG平分∠DAB，
∴∠DAG=∠BAG，
∵,，
∴CD∥AB，AD=BC=6，，
∴∠DGA=∠BAG，
∴∠DAG=∠DGA，
∴AD=DG=BC=6，
∵，
∴∠DGA=30°，∠ADM=60°，
∴在Rt△ADM中，，
∴，
∴在Rt△AGM中，，
故选：A．
【点拨】此题主要考查了平行四边形的性质、角平分线的作法、30°直角三角形的性质；根据尺规作图的步骤判断是作角平分线是解决问题的关键．
巩固练习
1．如图，，分别是的中线和角平分线，则：____________________；____________________．
【答案】
【分析】根据，分别是的中线和角平分线，得到为线段的中点，平分，进行作答即可．
【详解】解：∵是的中线，
∴是线段的中点，
∴，
∵是的角平分线，
∴平分，
∴；
故答案为：，，，．
【点拨】本题考查三角形的中线和角平分线的定义．熟练掌握三角形的中线是连接三角形顶点和它的对边中点的线段，三角形的一个角的平分线与这个内角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫三角形的角平分线，是解题的关键．
知识点04 三角形的角
典例：1.如图所示，是的内角平分线，是的外角平分线，若 ，则____．
【答案】##度
【分析】根据三角形外角的性质结合角平分线的定义进行求解即可．
【详解】解：∵是的内角平分线，是的外角平分线，
∴，，
∴
，
∵，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题考查了三角形外角的性质以及角平分线的定义，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解本题的关键．
巩固练习
1．如图，，外角，是的平分线，求的度数．
【答案】
【分析】由角平分线的定义可求出，再根据三角形外角性质即可求出．
【详解】∵，是的平分线，
∴．
∵，
∴．
【点拨】本题考查角平分线的定义，三角形外角的性质．掌握三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和是解题关键．
能力提升
一、单选题
1．下列图形中，对称轴最多的图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据轴对称图形的定义：沿一条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，由此找出各个选项中对称轴的条数，进而比较即可得出答案．
【详解】解：A、此图有无数条对称轴；
B、此图有1条对称轴；
C、此图有4条对称轴；
D、此图有3条对称轴；
故选：A．
【点拨】本题考查了轴对称图形的对称轴，明确轴对称图形的定义是解题关键．
2．下列说法正确的是（ ）
①三角形的角平分线可能在三角形的内部或外部 ②三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形 ③三角形三条高都在三角形内部 ④三角形的三条中线交于一点
A．①②③④B．②④C．①③D．④
【答案】D
【分析】根据三角形的角平分线的定义和性质判断①；根据三角形分类判断②；根据三角形的高的定义及
性质判断③；根据三角形的中线的定义及性质判断④即可．
【详解】解：三角形的三条角平分线都在三角形内部，故①说法错误；
三角形按边分类可分为等腰三角形、和不等边三角形，等腰三角形分为等边三角形和底和腰不相
等的等腰三角形，故②说法错误；
锐角三角形的三条高都在三角形内部；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内
部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部．故③说法错误；
三角形的三条中线交于一点，故④说法正确；
所以说法正确的是④，
故选：D．
【点拨】本题考查了三角形的角平分线、三角形的按边分类，中线和高的定义及性质，是基础题．从三角
形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高；三角形一个内角的平
分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线
； 连接三角形一边的中点与此边所对顶点的线段叫做三角形的中线．
3．如图，以的顶点为圆心，以为半径作弧交边于点，分别以点，点为圆心，长为半径作弧，两弧相交于不同于点的另一点，再过点和点作直线，则作出的直线是（ ）
A．线段的垂直平分线B．的中线所在的直线
C．的平分线所在的直线D．线段的垂线但不一定平分线段
【答案】D
【分析】根据尺规作图，可以得到直线线段的垂直平分线，根据题意做出判断即可．
【详解】解：连接、、，
由作图得，，，
点、在线段的垂直平分线上，
直线是线段的垂直平分线，
，，
点与不一定重合，
A、B、C不一定正确．
故选：D．
【点拨】本题考查了尺规作图线段垂直平分线的做法，解题的关键是熟练掌握尺规基本作图．
4．下列说法错误的是（ ）
A．三角形的三条边的中线都在三角形内部B．三角形的三个内角的平分线都在三角形内部
C．三角形的三条高都在三角形内部D．直角三角形有两条高与三角形的边重合
【答案】C
【详解】A，三角形的中线是指一边的中点与对顶点的连线，作图知三角形的三条边的中线都在三角形内部，A选项说法正确，不符合题意；
B，三角形的三个内角的平分线都在三角形内部， B选项说法正确，不符合题意；
C，钝角三角形的两条高在形外，直角三角形两条高与两边重合，C错误，符合题意；
D，直角三角形有两条高与三角形的两直角边重合，D选项说法正确，不符合题意．
【点拨】本题考查了三角形中的几条重要的线段，关键是理解各种线段的概念，并且尝试画出对应的图形．
5．如图，由作图痕迹做出如下判断，其中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由作图痕迹得平分，垂直平分，根据角的平分线的性质，作，依据垂线段最短，可得结论；
【详解】解：由作图痕迹得平分，垂直平分，
过点作于点，如图，
，
，
，
故选：．
【点拨】本题考查角的平分线作图和线段的垂直平分线的作图，解题关键判断出角的平分线、线段的垂直平分线．
6．如图，在中，平分交于点D，若的面积为4，则的面积是（ ）
A．8B．12C．16D．20
【答案】C
【分析】过分别作，根据角平分线的性质，得到：，利用等高的两个三角形的面积比等于底边的比，进行求解即可．
【详解】解：过分别作，垂足分别为：，
∵平分，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故选C．
【点拨】本题考查角平分线的性质．熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
7．如图，△ABC的面积为16cm2，AP垂直∠B的平分线BP于P，则△PBC的面积为（ ）
A．7cm2B．8cm2C．9cm2D．10cm2
【答案】B
【详解】延长AP交BC于E，根据AP垂直∠B的平分线BP于P，即可求出△ABP≌△BEP，又知△APC和△CPE等底同高，可以证明两三角形面积相等，即可证明三角形PBC的面积．
【解答】解：延长AP交BC于E，
∵AP垂直∠B的平分线BP于P，
∴∠ABP=∠EBP，
又∵BP=BP，∠APB=∠EPB=90°，
∴△ABP≌△EBP，
∴，AP=PE，
∴△APC和△CPE等底同高，
∴，
∴=×16=8（cm2），
故选：B．
【点拨】本题主要考查面积及等积变换的知识点.证明出三角形PBC的面积和原三角形的面积之间的数量关系是解题的难点．
8．在三条边都不相等的三角形中，同一条边上的中线、高和这边所对角的角平分线，最短的是（ ）
A．角平分线B．高C．中线D．不能确定
【答案】B
【分析】根据垂线段最短解答．
【详解】∵是三条边都不相等的三角形的同一条边上的中线、高和这边所对角的角平分线，
∴最短的是高线．
故选：B．
【点拨】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，理解垂线段最短是解题的关键．
9．如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．依此即可求解．
【详解】解：∵CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，
∴CD⊥AB，∠ACE＝∠ACB，AB＝2BF，无法确定AE＝BE．
故选：C．
【点拨】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，熟练掌握它们的定义和性质是解题的关键．
二、填空题
10．如图，等腰中，，AB的垂直平分线交AC于D，那么的度数为___________．
【答案】##30度
【分析】根据等腰三角形两底角相等，求出的度数，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得，根据等边对等角的性质，可得，然后求∠DBC的度数即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵AB的垂直平分线交AC于D，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形两底角相等的性质，以及等边对等角的性质的综合应用，熟记性质是解题的关键．
11．如图，在▱中，．分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点E和点F；作直线EF，交AC于点G，连接GB．若GB与BC恰好垂直，则CG的长为_______．
【答案】5
【分析】利用基本作图得到垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，再利用平行四边形的性质得到，设，则，然后再中利用勾股定理得到，再解方程即可；
【详解】由作法得到垂直平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
设，则，
∵，
∴，
在中，，
解得：，即的长为5；
故答案是5．
【点拨】本题主要考查了基本作图，熟练掌握基本作图的方法是解题的关键，同时也考查了垂直平分线的性质和平行四边形的性质．
12．如图，在中，，，，，平分交于D点，E，F分别是，上的动点，则的最小值为______．
【答案】
【分析】在上取一点，使，连接，判断出，得出，进而得出当点C，E，在同一条线上，且时，最小，即最小，其值为，最后用面积法，即可求出答案．
【详解】解：如图，在上取一点，使，连接，
平分，
，
，
∴，
，
，
∴当点C，E，在同一条线上，且时，最小，即最小，其值为，
，
，
即的最小值为，
故答案为：．
【点拨】此题主要考查了角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，点到直线的距离，垂线段最短，三角形的面积公式，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键．
13．如图，在△ABC中，∠BAC=90，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD 于点G，交BE于点H，①S△ABE=S△BCE；②∠AFG=∠AGF；③∠FAG=2∠ACF；④BH=CH．上面说法中正确的有____________________________（填正确的序号）．
【答案】①②③
【分析】①利用三角形的中线，可知△ABE和△BEC是等底同高的两个三角形，即可判断；
②根据等角的补角相等先证明∠AFC=∠DGC，再利用对顶角相等即可判断；
③根据同角的余角相等证明∠FAG =∠ACD即可判断；
④根据已知条件不能推出∠HBC和∠HCB的关系，即可判断．
【详解】解：∵BE是AC边的中线，
∴AE= EC，
∴，
故①正确；
∵ CF平分∠ACB，
∴，
∵∠BAC= 90°，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故②正确；
∵∠BAC = 90°
∴，
∵ ，
∴，
∴，
∵，
∴，
故③正确；
∵根据已知条件不能推出∠HBC=∠BCF，
∴，
故④错误；
∴上面说法中正确的有3个，
故答案为：①②③．
【点拨】本题考查了三角形中线、高和角平分线的性质，熟练三角形的内角和定理、外角性质是解题的关键．
14．如图，在中，，按以下步骤作图：①以B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AB，BC于点M，N；②分别以M、N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点P；③作射线BP，交AC于点D．若，，则线段AD的长为_______．
【答案】
【分析】利用基本作图得BD平分∠ABC，过D点作DE⊥AB于E，如图，根据角平分线的性质得到则DE=DC，再利用勾股定理计算出AC=4，然后利用面积法得到•DE×5+•CD×3=×3×4，最后解方程即可．
【详解】解：由作法得BD平分∠ABC，
过D点作DE⊥AB于E，如图，则DE=DC，
在Rt△ABC中，，
∵S△ABD+S△BCD=S△ABC，
∴•DE×5+•CD×3=×3×4，，
即5CD+3CD=12，
∴CD=，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作已知角的角平分线）．也考查了角平分线的性质．
三、解答题
15．如图，在中，，垂足为D．垂直平分，交于点F，交于点E，且．
(1)若，求的度数；
(2)若的周长为，，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据线段垂直平分线性质得出，再由 对等角求出和，由三角形外角的性质即可求出答案；
（2）根据已知能推出，即可得出答案．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
又∵，
∴．
（2）解：由（1）可知：，
∴，
∵的周长为，，
∴，
∴．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质，三角形外角性质的应用，综合运用相关性质进行推理和计算是解题关键．
16．如图，中，，，的垂直平分线分别交、于点、．求的度数．
【答案】
【分析】根据等腰三角形的性质求出，根据线段垂直平分线的性质得到，得到答案．
【详解】解： ，，
，
垂直平分，
，
，
【点拨】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
17．如图，是的角平分线，、分别是和的高．求证．
【答案】见解析
【分析】由角平分线的定义可得出，再根据三角形高的定义可得出，最后根据，即可利用“”证明．
【详解】证明：∵是的角平分线，
∴．
∵、分别是和的高，
∴．
又∵，
∴．
【点拨】本题主要考查角平分线的定义，三角形全等的判定．熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．
18．如图．
(1)尺规作图 边上的中线；
(2)如果，，求与的周长之差；
(3)直接写出与的面积之间的大小关系．
【答案】(1)见详解；
(2)3
(3)
【分析】（1）先作的垂直平分线找到D点，连接即可；
（2）根据中线得到，直接用两周长作差即可得到答案；
（3）根据中线性质即可得到答案．
【详解】（1）解：根据题意分别以A，B为圆心大于 为半径画圆弧交于两侧各一点，连接两点交于一点即为中点D，连接如图所示，
（2）解：∵是 边上的中线，
∴，
，
∵，，
∴
（3）解：由题意可得，
∵是 边上的中线，
∴ ．
【点拨】本题考查三角形中线作法及三角形中线的性质，三角形中线分得线段相等及面积相等的两个三角形．
19．如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC＝70°，OF⊥OE．
(1)求∠BOD的度数；
(2)求∠DOF的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接利用角平分线的定义、结合对顶角的定义分析得出答案；
（2）利用（1）中所求，进而得出答案．
【详解】（1）解：平分，，
，
；
（2）解：平分，
，
，
，
．
【点拨】本题主要考查了角平分线的定义，对顶角，解题的关键是正确得出的度数．
20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，且E为AB的中点．
(1)求证：△ADE≌△BDE；
(2)求∠B的度数．
【答案】(1)见解析
(2)30°
【分析】（1）根据中点的性质可得AE＝BE，利用SAS即可求证结论．
（2）根据三角形全等的性质及角平分线的性质即可求解．
(1)
证明：∵DE⊥AB，
∴∠AED＝∠BED＝90°，
∵E为AB的中点，
∴AE＝BE，
在△AED和△BED中，
，
∴△AED≌△BED（SAS），
(2)
∵△AED≌△BED，
∴∠B＝∠DAE，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠DAE，
∵∠C=90°
∴∠B+∠CAD+∠DAE＝90°，
∴3∠B＝90°，
∴∠B＝30°．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，中点的性质及角平分线的性质，掌握全等三角形的判定与性质和角平分线的性质是解题的关键．
21．已知：图1，，直线分别交，于点，．的平分线与的平分线交于点．
(1)求的度数；
(2)在图1的基础上，分别作的平分线与的平分线交于点，得到图2，则________度；
(3)如图3， ，直线分别交，于点，．点在直线，之间，且在直线右侧，的平分线与的平分线交于点，则与满足的数量关系是________
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用平行线的性质解决问题即可；
（2）利用基本结论求解即可；
（3）利用基本结论，，求解即可．
【详解】（1）解：如图，过作，
，
，
，
，
平分，平分，
，，
，
在中，，
；
（2）解：如图2中，由题意，，
平分，平分，
，
，
故答案为：；
（3）解：如图3中，由题意，，，
平分，平分，
，，
，
故答案为：．
【点拨】本题考查平行线的性质和判定，角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．
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