专题04 一线三等角模型-2023-2024学年七年级数学下册全等三角形的七大模型全攻略（北师大版，成都专用）

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例题精讲
例1．（直角K字型）如图，在中，，，直线经过点C，且于D，于E．
(1)当直线绕点C旋转到①的位置时，求证：
①；
②；
(2)当直线绕点C旋转到②的位置时，求证：；
(3)当直线MN绕点C旋转到③的位置时，试问具有怎样的数量关系？请直接写出这个等量关系，不需要证明．
例2．（非直角K字型）【探究】如图①，点B、C在的边上，点E、F在内部的射线上，分别是、的外角．若，，求证：．
【应用】如图②，在等腰三角形ABC中，，，点D在边上，，点E、F在线段上，，若的面积为9，则与的面积之和为 ．
【变式训练1】（1）如图1，已知中，90°，，直线经过点直线，直线，垂足分别为点．求证：．
证明：（2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有．请写出三条线段的数量关系，并说明理由．
【变式训练2】（1）观察理解：
如图1，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l过点C，点A，B在直线l同侧，BD⊥l，AE⊥l，垂足分别为D，E，求证：△AEC≌△CDB．
（2）理解应用：
如图2，过△ABC边AB、AC分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I．利用（1）中的结论证明：I是EG的中点．
（3）类比探究：
①将图1中△AEC绕着点C旋转180°得到图3，则线段ED、EA和BD的关系_______；
②如图4，直角梯形ABCD中，，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，将腰DC绕D点逆时针旋转90°至DE，△AED的面积为 ．
【变式训练3】已知：中，，，D为直线BC上一动点，连接AD，在直线AC右侧作，且．
(1)如图1，当点D在线段BC上时，过点E作于H，连接DE，求证：；
(2)如图2，当点D在线段BC的延长线上时，连接BE交CA的延长线于点M．
求证：；
(3)当点D在射线CB上时，连接BE交直线AC于M，若，则的值为______．
【变式训练4】【问题背景】（1）如图1，在中，，，，，垂足为E．求证：；
【变式运用】（2）如图2，在中，，，．求；
【拓展迁移】（3）如图3，在中，，，与交于点，，，直接写出的值．
课后训练
1．如图，为等边三角形，是边上一点，在上取一点，使，在边上取一点，使，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB，E、F分别是直线CD上两点，且．
(1)若直线CD经过∠BCA的内部，且E、F在射线CD上．
①如图1，若∠BCA＝90°，，则BE_________CF．
②如图2，若0°<∠BCA<180°，请添加一个关于与∠BCA关系的条件__________________，使①中的结论仍然成立，并说明理由；
(2)如图3．若线CD经过∠BCA的外部，，请提出关于EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想，并简述理由
3．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是线段CA延长线上一点，且AD＝AB．点F是线段AB上一点，连接DF，以DF为斜边作等腰Rt△DFE．连接EA，且EA⊥AB．
(1)若∠AEF＝20°，∠ADE＝50°，则∠ABC＝ °；
(2)过D点作DG⊥AE，垂足为G．
①填空：△DEG≌△ ；
②求证：AE＝AF+BC；
(3)如图2，若点F是线段BA延长线上一点，其他条件不变，请写出线段AE，AF，BC之间的数量关系，并简要说明理由．
4．已知：等腰和等腰中，，，．
(1)如图1，延长交于点，若，则的度数为 ；
(2)如图2，连接、，延长交于点，若，点为中点，求证：；
(3)如图3，连接、，点是的中点，连接，交于点，，，则的面积为 ．
5．如图ABD与AEC均为等腰直角三角形，AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝90°．
（1）如图1，若反向延长ABC的高AM交DE于点N，过D作DH⊥MN．求证：DH＝AM，DN＝EN；
（2）如图2，若AM为ABC的中线，反向延长AM交DE于点N，试探究AM与DE的数量关系，并说明理由；
（3）由（1）（2）的探究我们发现 ．（填“＜”“＞”或“＝”号，无需证明）
6．如图1所示，已知AB为直线a上两点，点C为直线a上方一动点，连接AC、BC，分别以AC、BC为边向△ABC外作△ACD和△BCE，且，，，过点D作于点，过点E作于点．
（1）【问题探究】小华同学想探究图1中线段、、AB之间的数量关系．他的方法是：作直线于点H，可以先证明和________，于是可得：________和________，所以得到线段、、AB之间的数量关系是________；
（2）【方法应用】在图2中，当D、E两点分别在直线a的上方和下方时，试探究三条线段、、AB之间的数量关系，并说明理由；
（3）【拓展延伸】在图2中，当D、E两点分别在直线a的上方和下方时，小华同学测得线段，，请用含有m、n的代数式表示△ABC的面积为________．
7．（1）如图1，已知：在中，，，直线经过点，，垂足分别为点、．证明：①；②．
（2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，，、、三点都在上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）如图3，过的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点，求证：是的中点．
8．已知点C是AB上的一个动点．
（1）问题发现
如图1，当点C在线段AB上运动时，过点C作，垂足为点C，过点A作，垂足为点A，且，．
①与全等吗？请说明理由；
②连接DE，试猜想的形状，并说明理由；
③是否成立？_________（填“成立”或“不成立”）．
（2）类比探究
如图2，当点C在线段AB的延长线上时，过点C作，垂足为点C，过点作，垂足点A，且，．试直接写出的形状为___________；此时线段DC、AE和AC之间的数量关系为__________（直接写出结论，不用说明理由）．
9．已知：中，过B点作BE⊥AD，．
(1)如图1，点在的延长线上，连，作于，交于点．求证：；
(2)如图2，点在线段上，连，过作，且，连交于，连，问与有何数量关系，并加以证明；
(3)如图3，点在CB延长线上，且，连接、的延长线交于点，若，请直接写出的值．
10．（1）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E，当直线MN旋转到图1的位置时，求证：DE＝AD+BE；
（2）在（1）的条件下，当直线MN旋转到图2的位置时，猜想线段AD，DE，BE的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，在△ABC中，AD⊥BC于D，AD＝BC，BF⊥BC于B，BF＝CD，CE⊥BC于C，CE＝BD，求证：∠EAF+∠BAC＝90°．