39两条直线的位置关系 点到直线的距离 专项训练—2024届艺术班高考数学一轮复习（文字版 含答案）

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A．平行 B．垂直
C．相交但不垂直 D．不能确定
解析：选C 直线2x＋y＋m＝0的斜率k1＝－2，直线x＋2y＋n＝0的斜率k2＝－eq \f(1,2)，则k1≠k2，且k1k2≠－1．
2．(2023·上海高三联考)已知直线l1：x＋ay－2＝0，l2：(a＋1)x－ay＋1＝0，则a＝－2是l1∥l2的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A 当l1∥l2时，－a＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋1))，解得a＝0或a＝－2，
当a＝－2时，直线l1：x－2y－2＝0，l2：－x＋2y＋1＝0，此时两直线不重合，
当a＝0时，直线l1：x－2＝0，l2：x＋1＝0，此时两直线不重合，
即a＝0或a＝－2时，l1∥l2，
故a＝－2是l1∥l2的充分不必要条件．
3．(2023·重庆模拟)两条平行线3x＋4y－12＝0与ax＋8y＋11＝0之间的距离为( )
A．eq \f(22,5) B．eq \f(23,10)
C．7D．eq \f(7,2)
解析：选D 因为3x＋4y－12＝0与ax＋8y＋11＝0平行，所以eq \f(a,3)＝eq \f(8,4)≠eq \f(11,－12)，解得a＝6，所以直线ax＋8y＋11＝0
即为6x＋8y＋11＝0，又3x＋4y－12＝0为6x＋8y－24＝0，
所以6x＋8y＋11＝0与6x＋8y－24＝0的距离d＝eq \f(|－24－11|,\r(62＋82))＝eq \f(7,2)．故选：D．
4．过两直线x－eq \r(3)y＋1＝0和eq \r(3)x＋y－eq \r(3)＝0的交点，并与原点的距离等于1的直线有( )
A．0条B．1条
C．2条 D．3条
解析：选B 由题意得两直线的交点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，故该点与原点的距离为1，则符合题意的直线只有1条．
5．(2023·北京海淀二模)已知直线l：x＋ay＋2＝0，点A(－1，－1)和点B(2，2)，若l∥AB，则实数a的值为( )
A．1B．－1
C．2 D．－2
解析：选B kAB＝eq \f(2＋1,2＋1)＝1，由于l∥AB，则直线l的斜率为1，即－eq \f(1,a)＝1，a＝－1．
故选B．
6．已知直线l1的方程为：x＋ay－2＝0，直线l2的方程为：2x－y＋1＝0，若l1⊥l2，则直线l1与l2的交点坐标为( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)，－\f(5,3)))B．(0，1)
C．(2，5)D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，\f(5,2)))
解析：选B 因为直线l1的方程为：x＋ay－2＝0，直线l2的方程为：2x－y＋1＝0，且l1⊥l2，
所以2－a＝0，解得a＝2
所以直线l1的方程为x＋2y－2＝0，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋2y－2＝0，,2x－y＋1＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝1，))
所以直线l1与l2的交点坐标为(0，1)，故选B．
7．(2023·海口模拟)设Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,8)))，若函数y＝ax2(a>0)图象上任意一点P(x0，y0)满足|PA|＝y0＋eq \f(1,8)，则a＝( )
A．eq \f(1,4) B．eq \f(1,2)
C．2 D．4
解析：选C 因为点P(x0，y0)在函数y＝ax2(a>0)图象上，则y0＝axeq \\al(2,0)≥0，即xeq \\al(2,0)＝eq \f(y0,a)，
又因为|PA|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0－0))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y0－\f(1,8)))\s\up12(2))＝y0＋eq \f(1,8)，则xeq \\al(2,0)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y0－\f(1,8)))eq \s\up12(2)＝eq \f(y0,a)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y0－\f(1,8)))eq \s\up12(2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y0＋\f(1,8)))eq \s\up12(2)，
整理得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－2))y0＝0，
由于eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－2))y0＝0对y0恒成立，则a－2＝0，解得a＝2．故选：C．
8．过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，0))作一条直线l，它夹在两条直线l1：2x－y－2＝0和l2：x＋y＋3＝0之间的线段恰被点P平分，则直线l的方程为( )
A．8x＋y－24＝0B．8x－y－24＝0
C．8x＋y＋24＝0 D．x＋8y＋24＝0
解析：选B 如果直线斜率不存在时，直线方程为：x＝3，不符合题意；
所以直线斜率存在设为k，
则直线l方程为y＝keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－3))，
联立直线l1得： eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝k（x－3），,2x－y－2＝0))⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(3k－2,k－2)，,y＝\f(4k,k－2).))
联立直线l2得：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝k（x－3），,x＋y＋3＝0))⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(3k－3,k＋1)，,y＝\f(－6k,k＋1).))
所以直线l与直线l1，直线l2的交点为：
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3k－2,k－2)，\f(4k,k－2)))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3k－3,k＋1)，\f(－6k,k＋1)))，
又直线l夹在两条直线l1和l2之间的线段恰被点P平分，
所以eq \f(3k－2,k－2)＋eq \f(3k－3,k＋1)＝6，eq \f(4k,k－2)＋eq \f(－6k,k＋1)＝0，
解得k＝8，
所以直线l的方程为8x－y－24＝0，故选：B．
9．点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为__________．
解析：直线y＝k(x＋1)恒过点A(－1，0)，
则点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)的距离的最大值为点(－1，0)到点A的距离，
∴点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为：d＝eq \r(（0＋1）2＋（－1－0）2)＝eq \r(2)．
答案：eq \r(2)
10．(2023·保定质检)已知l1，l2是分别经过A(1，1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是________．
解析：当直线AB与l1，l2垂直时，l1，l2间的距离最大．因为A(1，1)，B(0，－1)，所以kAB＝eq \f(－1－1,0－1)＝2，所以两平行直线的斜率为k＝－eq \f(1,2)，所以直线l1的方程是y－1＝－eq \f(1,2)(x－1)，即x＋2y－3＝0．
答案：x＋2y－3＝0
11．直线2x－y＋3＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程是________．
解析：设所求直线上任意一点P(x，y)，
则P关于x－y＋2＝0的对称点为P′(x0，y0)，
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x＋x0,2)－\f(y＋y0,2)＋2＝0，,x－x0＝－（y－y0），))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0＝y－2，,y0＝x＋2))
由点P′(x0，y0)在直线2x－y＋3＝0上，
∴2(y－2)－(x＋2)＋3＝0，
即x－2y＋3＝0．
答案：x－2y＋3＝0
12．若直线m被两平行线l1：eq \r(3)x－y＋1＝0与l2：eq \r(3)x－y＋3＝0所截得的线段的长为2，则直线m的倾斜角为______．
解析：设直线m与两平行线l1，l2的交点分别为C，A，过A点作l1的垂线，垂足为B，如图，
两平行线间的距离d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(1－3)),\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\r(3)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1))\s\up12(2)))＝1，则eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AB))＝1，又eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AC))＝2，
所以直线m与两平行线的夹角θ满足sin θ＝eq \f(1,2)，则θ＝30°，
因为两平行线斜率为eq \r(3)，所以倾斜角为60°，
所以直线m的倾斜角为30°或90°．
答案：30°或90°