43双曲线 专项训练—2024届艺术班高考数学一轮复习（文字版 含答案）

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A.eq \r(5) B．3
C．5 D．4eq \r(2)
解析：选A 因为抛物线y2＝12x的焦点坐标为(3，0)，
依题意，4＋b2＝9，所以b2＝5，
所以双曲线的方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1，
所以其渐近线方程为y＝±eq \f(\r(5),2)x，
所以双曲线的一个焦点到渐近线的距离为eq \f(|±\r(5)×3－0|,\r(5＋4))＝eq \r(5)，故选A.
2．(2023·成都模拟)已知点F1，F2分别为双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,3a2)＝1的左、右焦点，点A是双曲线C的一条渐近线上一点，且F1A⊥F2A.若△F1AF2的面积为eq \f(\r(3),2)，则双曲线C的实轴长为( )
A.eq \f(1,2) B．1
C．2 D．4
解析：选B 双曲线的渐近线方程为y＝±eq \r(3)x.如图，由F1A⊥F2A，知eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(OA))＝c，
过点A作AH⊥F1F2于点H，则∠AOH＝eq \f(π,3)，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AH))＝eq \f(\r(3),2)c，
因为S△F1AF2＝eq \f(1,2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(F1F2))×eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AH))＝c×eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AH))＝eq \f(\r(3),2)c2＝eq \f(\r(3),2)，所以c＝1.
由a2＋3a2＝c2，得a＝eq \f(1,2)，
故双曲线C的实轴长为1.
故选：B.
3．(2023·天津河北区二模)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的焦点F到渐近线的距离与顶点A到渐近线的距离之比为3∶1，则双曲线C的渐近线方程为( )
A．y＝±2eq \r(2)x B．y＝±eq \r(2)x
C．y＝±eq \f(\r(2),2)x D．y＝±eq \f(\r(2),4)x
解析：选A 因为焦点F到渐近线的距离与顶点A到渐近线的距离之比为3∶1，
所以eq \f(ac,\r(a2＋b2))∶eq \f(a2,\r(a2＋b2))＝3∶1，
即eq \f(c,a)＝3，eq \f(b,a)＝eq \r(\f(c2,a2)－1)＝2eq \r(2)，
所以双曲线的渐近线方程为y＝±2eq \r(2)x.
故选A.
4．已知双曲线C：eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的上焦点为F，M是双曲线虚轴的一个端点，过F，M的直线交双曲线的下支于A点．若M为AF的中点，且|eq \(AF,\s\up6(→))|＝6，则双曲线C的方程为( )
A.eq \f(y2,2)－eq \f(x2,8)＝1 B.eq \f(y2,8)－eq \f(x2,2)＝1
C．y2－eq \f(x2,4)＝1 D.eq \f(y2,4)－x2＝1
解析：选C 双曲线C：eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的上焦点为F，M是双曲线虚轴的一个端点，过F，M的直线交双曲线的下支于A点，若M为AF的中点，且|eq \(AF,\s\up6(→))|＝6，
可得F(0，c)，M(b，0)，则A(2b，－c)．
由题意可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b2＋c2＝9，,\f(c2,a2)－\f(4b2,b2，)＝1,c2＝a2＋b2))，解得a＝1，b＝2，
所以双曲线C的方程为y2－eq \f(x2,4)＝1，故选C.
5．(2023·石嘴山三中模拟)过双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的右顶点作x轴的垂线与C的一条渐近线相交于点A，若以C的右焦点为圆心，以2为半径的圆经过A、O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为( )
A.eq \f(x2,3)－y2＝1 B．x2－eq \f(y2,3)＝1
C.eq \f(x2,2)－eq \f(y2,2)＝1 D.eq \f(x2,2)－eq \f(y2,6)＝1
解析：选B 连接AF，FO＝2，故c＝2，不妨设渐近线方程为y＝eq \f(b,a)x，则A(a，b)．故22＝b2＋(2－a)2，解得a＝1，b＝eq \r(3)，故双曲线方程为x2－eq \f(y2,3)＝1.故选B.
6．已知双曲线的中心在原点，一个焦点为F1(－eq \r(5)，0)，点P在双曲线上，且线段PF1的中点坐标为(0，2)，则此双曲线的方程是( )
A．x2－eq \f(y2,4)＝1 B.eq \f(x2,4)－y2＝1
C.eq \f(x2,2)－eq \f(y2,3)＝1 D.eq \f(x2,3)－eq \f(y2,2)＝1
解析：选A 据已知条件中的焦点坐标判断出焦点在x轴上，设双曲线的方程为： eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1.
∵一个焦点为(－eq \r(5)，0)，∴a2＋b2＝5①.
∵线段PF1的中点坐标为(0，2)，∴P的坐标为(eq \r(5)，4)，将其代入双曲线的方程得：eq \f(5,a2)－eq \f(16,b2)＝1②，解①②得，a2＝1，b2＝4，所以双曲线的方程为x2－eq \f(y2,4)＝1.故选A.
7．(多选)(2023·青岛模拟)已知双曲线C过点(3，eq \r(2))且渐近线为y＝±eq \f(\r(3),3)x，则下列结论正确的是( )
A．C的方程为eq \f(x2,3)－y2＝1
B．C的离心率为eq \r(3)
C．曲线y＝ex＋2－1经过C的一个焦点
D．直线x－eq \r(2)y－1＝0与C有两个公共点
解析：选AC 由双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(\r(3),3)x，可设双曲线方程为eq \f(x2,3)－y2＝λ，
把点(3，eq \r(2))代入，得eq \f(9,3)－2＝λ，即λ＝1.
∴双曲线C的方程为eq \f(x2,3)－y2＝1，故A正确；
由a2＝3，b2＝1，得c＝eq \r(a2＋b2)＝2，
∴双曲线C的离心率为eq \f(2,\r(3))＝eq \f(2\r(3),3)，故B错误；
取x＋2＝0，得x＝－2，y＝0，曲线y＝ex＋2－1过定点(－2，0)，故C正确；
双曲线的渐近线x±eq \r(3)y＝0，直线x－eq \r(3)y－1＝0与双曲线的渐近线平行，直线x－eq \r(3)y－1＝0与C有1个公共点，故D不正确．故选AC.
8．(多选)(2023·沈阳模拟)关于双曲线x2－eq \f(y2,2)＝1有下列四个说法，正确的是( )
A．P为双曲线上一点，F1，F2分别为左、右焦点，若|PF1|＝2|PF2|，此时∠F1PF2＝eq \f(π,3)
B．与椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1有相同的焦点
C．与双曲线eq \f(y2,2)－x2＝4有相同的渐近线
D．过右焦点的弦长最小值为4
解析：选ABC 因为双曲线x2－eq \f(y2,2)＝1，所以a＝1，b＝eq \r(2)，c＝eq \r(3).对A：因为P为双曲线上一点，F1，F2分别为左、右焦点，由|PF1|＝2|PF2|，|PF1|－|PF2|＝2，
可得|PF1|＝4，|PF2|＝2，|F1F2|＝2eq \r(3)，
所以|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，
所以PF2⊥F1F2，
又sin ∠F1PF2＝eq \f(|F1F2|,|PF1|)＝eq \f(\r(3),2)，
所以∠F1PF2＝eq \f(π,3)，故选项A正确；
对B：因为椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1，所以c＝eq \r(4－1)＝eq \r(3)，
所以椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1的焦点坐标为(±eq \r(3)，0)，
而双曲线x2－eq \f(y2,2)＝1的焦点坐标也为(±eq \r(3)，0)，故选项B正确；
对C：因为双曲线x2－eq \f(y2,2)＝1的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x＝±eq \r(2)x，而双曲线eq \f(y2,2)－x2＝4，即eq \f(y2,8)－eq \f(x2,4)＝1的渐近线方程为y＝±eq \f(a,b)x＝±eq \r(2)x，所以选项C正确；
对D：双曲线x2－eq \f(y2,2)＝1过右焦点的弦长最小值为左右两个顶点之间的距离2a＝2，故选项D错误．故选ABC.
9．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,4)＝1(a>0)的一条渐近线与圆(x－3)2＋y2＝8相交于M，N两点，且eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MN))＝4，则此双曲线的离心率为___________．
解析：由题意可知双曲线的一渐近线方程为2x－ay＝0，∵eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MN))＝4，圆的半径为2eq \r(2)，
∴圆心到渐近线的距离为 eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(2)))\s\up12(2)－22)＝2，
即eq \f(6,\r(a2＋4))＝2，解得a＝eq \r(5)(负舍)，
∴c＝eq \r(a2＋b2)＝3，
∴双曲线的离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \f(3\r(5),5).
答案：eq \f(3\r(,5),5)
10．已知直线x－y－2＝0过双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一个焦点，且与双曲线的一条渐近线垂直，则双曲线的实轴长为________．
解析：因为x－y－2＝0过点(2，0)，(0，－2)，且双曲线的焦点在x轴上，所以c＝2，又因为x－y－2＝0与一条渐近线垂直，所以eq \f(b,a)＝1，所以a＝eq \r(c2－b2)＝eq \r(4－a2)，所以a＝eq \r(2)，所以实轴长为2eq \r(2).
答案：2eq \r(2)
11．(2023·顺德模拟)若直线y＝2x与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是________．
解析：双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x，
由双曲线与直线y＝2x有交点，则有eq \f(b,a)>2，
所以e＝eq \f(c,a)＝eq \r(\f(a2＋b2,a2))＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))\s\up12(2))>eq \r(1＋4)＝eq \r(5)，则双曲线的离心率的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(5)，＋∞)).
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(5)，＋∞))
12．(2023·甘肃庆阳期末)已知双曲线C的两个焦点坐标分别为F1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，0))，F2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，0))，双曲线C上一点P到F1，F2距离差的绝对值等于2.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)经过点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，1))作直线l交双曲线C的右支于A，B两点，且M为AB的中点，求直线l的方程；
(3)已知定点Geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，2))，点D是双曲线C右支上的动点，求eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(DF1))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(DG))的最小值．
解：(1)由题可设双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a>0，b>0))，
由双曲线C的焦点为F1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，0))，
F2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，0))，得c＝2.
又双曲线C上一点P到F1，F2距离差的绝对值等于2，则a＝1.
所以b＝eq \r(c2－a2)＝eq \r(3)，
所以双曲线方程为x2－eq \f(y2,3)＝1.
(2)设Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1，y1))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2，y2))，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(xeq \\al(2,1)－\f(yeq \\al(2,1),3)＝1，,xeq \\al(2,2)－\f(yeq \\al(2,2),3)＝1，))
作差可得xeq \\al(2,1)－xeq \\al(2,2)－eq \f(yeq \\al(2,1)－yeq \\al(2,2),3)＝0，
即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1＋x2))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1－x2))－eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y1＋y2))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y1－y2)),3)＝0，
又Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，1))为AB的中点，即x1＋x2＝4，
y1＋y2＝2，
代入得eq \f(y1－y2,x1－x2)＝6，
即直线AB的斜率kAB＝6，
∴直线l的方程为y－1＝6eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－2))，即6x－y－11＝0，
此时由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(6x－y－11＝0，,3x2－y2＝3，))可得33x2－132x＋124＝0，
Δ＝1322－4×33×124＝1056>0，故所求直线为6x－y－11＝0.
(3)由题可知eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(DF1))－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(DF2))＝2，即eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(DF1))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(DF2))＋2，
所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(DF1))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(DG))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(DF2))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(DG))＋2≥eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(GF2))＋2，当且仅当D在线段GF2上时等号成立，
又Geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，2))，F2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，0))，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(GF2))＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－2))\s\up12(2)＋22)＝eq \r(5)，
所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(DF1))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(DG))的最小值为eq \r(5)＋2.