2024年重庆市普通高等学校招生全国统一考试高三第一次联合诊断检测数学试卷（重庆一诊）（含解析）

这是一份2024年重庆市普通高等学校招生全国统一考试高三第一次联合诊断检测数学试卷（重庆一诊）（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={1,2,3,4,5}，B={x|2x2−11x+12<0}，则A∩B=( )
A. {1,2}B. {2,3}C. {3,4}D. {4,5}
2.已知复数z=a+bi，若z=i⋅z，则( )
A. a+b=0B. a−b=0C. ab=0D. ab=1
3.对一个样本进行统计后得到频率分布直方图如图所示，并由此估计总体集中趋势，则a，b可以分别大致反映这组数据的( )
A. 平均数，中位数B. 平均数，众数C. 中位数，平均数D. 中位数，众数
4.若4cs2α+sin(π+2α)=2，则tan 2α=
A. −2B. −12C. 1D. 2
5.在经济学中，常用Lgistic回归模型来分析还款信度评价问题．某银行统计得到如下Lgistic模型：P(x)=e−0.97+0.127x1+e−0.97+0.127x，其中x是客户年收入(单位：万元)，P(x)是按时还款概率的预测值．如果某人年收入是10万元，那么他按时还款概率的预测值大约为(参考数据：ln 1.35≈0.3)
A. 0.35B. 0.46C. 0.57D. 0.68
6.已知f(x)=ln(1+x)−ln(a−bx)是奇函数，则f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为( )
A. y=2xB. y=xC. y=0D. y=−2x
7.将一副三角板拼接成平面四边形ABCD(如图)，BC=1，将其沿BD折起，使得面ABD⊥面BCD，若三棱锥A−BCD的顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为
A. 2πB. 7π3C. 8π3D. 3π
8.已知函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)−2，f(1)=4且当x>0时，f(x)>2，若存在x∈[1,2]，使得f(ax2−4x)+f(2x)=1，则a的取值范围是( )
A. 0,12B. 12,58C. 58,23D. 12,23
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数中，其图象关于点π6,0对称的是
A. y=sin2x+π3B. y=sin2x−π3
C. y=cs2x+π6D. y=tan2x+π6
10.已知椭圆E1：x2+4y2=a2(a>0)和E2：y2+4x2=4a2(a>0)，则
A. E1与E2的长轴长相等B. E1的长轴长与E2的短轴长相等
C. E1与E2的离心率相等D. E1与E2有4个公共点
11.已知三棱柱ABC−A1B1C1，D，E，F分别是棱AB，BC，CA的中点，记三棱柱ABC−A1B1C1的体积为V，则
( )
A. 棱锥A1−DEF的体积为124VB. 棱锥A1−ADEF的体积为16V
C. 多面体A1B1ABEF的体积为512VD. 多面体A1B1C1DEF的体积为23V
12.若不相等的两个正数a，b满足a2+b2+ab=a+b，则( )
A. a+b>1B. a+b<43C. ab>13D. ab<12
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.一个袋子中有5个大小相同的球，其中有编号为1，2的黑球和编号为1，2，3的白球，从中随机取出两个球，在取出的球颜色不同的条件下，球的编号之和为奇数的概率为________．
14.若向量a，b满足|a|=1，|b|=2，若b与a的夹角为锐角，则a⋅(a+b)的取值范围是________．
15.记数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=2an+λ，且S6=252，则λ=________．
16.已知F1，F2分别是双曲线C：x2−y2=a2(a>0)的左、右焦点，过F2作一直线交C于M，N两点，若∠MF2F1=120°，且△MNF1的周长为1，则C的焦距为________．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
已知数列{an}是等差数列，且a5=1，a8+a10=−2．
(1)求{an}的通项公式；
(2)[x]表示不超过x的最大整数，如[1.7]=[1]=1，[−1.5]=[−2]=−2.若bn=2an，Tn是数列{bn}的前n项和，求[T11].
18.(本小题12分)
2024年1月18日是中国传统的“腊八节”，“腊八”是中国农历十二月初八(即腊月初八)这一天．腊八节起源于古代祭祀祖先和神灵的仪式，后逐渐成为民间节日，盛行于中国北方．为调查不同年龄人群对“腊八节”民俗文化的了解情况，某机构抽样调查了某市的部分人群．
(1)在100名受调人群中，得到如下数据：
根据小概率值α=0.1的χ2独立性检验，分析受调群体中对“腊八节”民俗的了解程度是否存在年龄差异；
(2)调查问卷共设置10个题目，选择题、填空题各5个．受调者只需回答8个题：其中选择题必须全部回答，填空题随机抽取3个进行问答．某位受调者选择题每题答对的概率为0.8，知道其中3个填空题的答案，但不知道另外2个的答案．求该受调者答对题目数量的期望．
参考公式：①χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．
独立性检验常用小概率值和相应临界值：
②随机变量X，Y的期望满足：E(X+Y)=E(X)+E(Y)
19.(本小题12分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积S=a2sinBsinCcsA．
(1)求tanA；
(2)若csBcsC=− 55，a=1，求b2+c2．
20.(本小题12分)
如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB= 2，BC=2，∠BAD=45°，PA=PD．
(1)证明：PB⊥BC；
(2)若PA=3，PC= 13，求二面角A−PB−C的余弦值．
21.(本小题12分)
已知A(2,2)，B，C是抛物线E：x2=2py上的三点，且直线AB与直线AC的斜率之和为0．
(1)求直线BC的斜率；
(2)若直线AB，AC均与圆M：x2+(y−2)2=r2(022.(本小题12分)
已知函数f(x)=ex+(1−a)x−lnax.(e为自然对数的底数)
(1)当a=1时，证明f(x)存在唯一的极小值点x0，且f(x0)>2；
(2)若函数f(x)存在两个零点，记较小的零点为x1，s是关于x的方程ln(1+x)−csx=ax1−2的根，证明：s>x1．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查交集的运算，属于基础题．
可求出集合B，然后进行交集的运算即可．
【解答】
解：B={x|2x2−11x+12<0}={x|32∴A∩B={2,3}．
故选：B．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查复数的运算及复数相等，考查共轭复数，属于基础题．
根据复数的乘法公式及复数相等即可求解．
【解答】
解：因为z=a+bi，z=i⋅z，
所以a−bi=ia+bi=−b+ai，
所以a=−b−b=a，可得a+b=0．
故选A．
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查通过频率分布直方图判断数据的平均数、众数和中位数，属于基础题。
首先，根据众数为频率分布直方图最高矩形底边中点的横坐标，排除BD，然后再估计矩形面积判断中位数和平均数。
【解答】
解：已知频率分布直方图，根据众数为频率分布直方图最高矩形底边中点的横坐标，排除BD，
因为中位数为找到一条线，能将两边的频率面积平分，则该条线所在的横坐标即中位数，
所以设第一个到第七个矩形面积依次为S1，，再根据图示设各个矩形最高点对应纵坐标(频率组距)依次为0.005、0.015、0.02、0.03、0.05、0.07、0.01，记组距为5。
则可知矩形面积依次为0.025、0.075、0.1、0.15、0.25、0.35、0.05，
所以S1+S2+S3+S4=0.35=S6，
因为S6+S7=0.4，所以要完成两边的频率面积平分，只需要再给它0.1即可，
故而b为中位数，a为平均数。
故答案为A。
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了二倍角的余弦公式，同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，考查了方程思想，属于基础题．
利用二倍角的余弦公式，得2cs2α=sin2α，用同角三角函数基本关系式得tan2α的值．
【解答】
解：若4cs2α+sin(π+2α)=2，化简得2(2cs2α−1)−sin2α=0．
即2cs2α=sin2α，
即tan2α=2．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查指数函数的简单应用，属于基础题．
直接求P(10)即可．
【解答】
解：由题意可知x=10时，P(10)=e−0.97+1.271+e−0.97+1.27=e0.31+e0.3，
因为已知ln1.35≈0.3，
所以P(10)≈eln1.351+e ln1.35=1.351+1.35=≈0.57．
故选C．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查函数的奇偶性，考查导数几何意义求切线方程，属于中档题．
先由函数奇偶性确定参数值，对函数求导，确定切点处切线斜率，从而求解．
【解答】
解：因为函数f(x)=ln(1+x)−ln(a−bx)是奇函数，所以f(−x)=−f(x)，
ln(1−x)−ln(a+bx)=−ln(1+x)+ln(a−bx)，
即ln(1−x2)=ln(a2−b2x2)，因为f(x)为奇函数，所以定义域关于原点对称，
1+x>0a−bx>0，解得a=1，b=1，
f(x)=ln(1+x)−ln(1−x)，f′(x)=11+x+11−x，
f(0)=0，f′(0)=2，
f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为：y−0=2(x−0)，
即y=2x．
7.【答案】C
【解析】【分析】本题考查球的内接多面体，求解球的球心与半径是关键，属于中档题。
先根据已知条件求平面四边形的各个边长，然后利用面面垂直在三棱锥A−BCD里求球的半径即可得到球的表面积。
【解答】因为BC=1，∠DCB=90°，所以DC=BC=1，BD= 2，
又因为在直角三角形ABD中，∠DAB=60°，所以AB= 63，AD=2 63，
又因为面ABD⊥面BCD，AB⊥BD，面ABD∩面BCD=BD，AB⊂面ABD，所以AB⊥面BCD，又因为BC⊂面BCD，所以AB⊥BC，所以在三棱锥A−BCD中，其外接球球心在AD的中点，所以球的半径R=12AD= 63，所以外接球表面积为4πR2=8π3，故选C．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查的是抽象函数的单调性，求函数值，函数的值域，属于中档题．
易证明函数f(x)为递增函数，原命题可转化为f(ax2−2x)=−1，利用赋值法可求得f−32=−1，原命题转化为2a=4x−3x2在[1,2]上有解，求出令t=1x，求出y=−3t2+4t的值域即可得到a的取值范围．
【解答】
解：对任意x1>x2，fx1−x2>2，
有fx1−fx2=fx1+x2−x2−fx2=fx1−x2+fx2−2−fx2=fx1−x2−2>0，所以f(x)是增函数，
f(ax2−4x)+f(2x)=f[(ax2−4x)+2x]+2=f(ax2−2x)+2=1，
所以f(ax2−2x)=−1．
令x=y=0，得f(0)=2；
令x=1，y=−1，得f(−1)=0；令x=−1，y=−1，得f(−2)=−2；令x=−2，y=−1，得f(−3)=−4；
令x=y=−32，得f−32=−1，
所以ax2−2x=−32．
原命题等价于2a=4x−3x2在[1,2]上有解．
令t=1x，则2a=−3t2+4t在t∈12,1时有解，
从而2a∈1,43，则a∈12,23．
故选D．
9.【答案】BCD
【解析】【分析】本题主要考查三角函数的图象的对称性，属于基础题．
把x=π6代入各个选项，检验可得结论．
【解答】解：∵当x=π6时，y=sin(2x+π3)= 32，故排除A；
当x=π6时，y=sin(2x−π3)=0，故它的图象关于点(π6,0)对称；
当x=π6时，y=cs(2x+π6)=0，故它的图象关于点(π6,0)对称；
当x=π6时，y=tan(2x+π6)=tanπ2，无意义，故它的图象关于点(π6,0)对称，
故选：BCD．
10.【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查椭圆的离心率、轴长以及曲线相交问题，属于中档题．
根据椭圆的性质求出椭圆的短轴长、长轴长以及离心率，然后再联立E1与E2的方程判断公共点个数即可．
【解答】
解：已知椭圆方程化为标准方程
则E1:x2a2+y2(a2)2=1(a>0)，E2:x2a2+y2(2a)2=1(a>0)，
化简后E1和E2长轴长并不相等，E1长轴长为2a，短轴长为a，E2长轴长为4a，短轴长为2a，故A错误，B正确，
E1中c= 32a，所以离心率为 32，同理，E2的离心率为 32，故C正确，
联立方程，x2+4y2=a2y2+4x2=4a2⇒y=0x=a或y=0x=−a，故E1与E2有2个公共点，D错误．
11.【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查棱锥、棱柱与棱台的体积计算，属于中档题．
设三棱柱ABC−A1B1C1的高为ℎ，对于A，根据S△DEF=14S△ABC即可判断；对于B：根据S▱ADEF=12S△ABC即可判断；对于C，根据VA1B1ABEF=VABC−A1B1C1−VFCE−A1B1C1即可判断；对于D，根据VA1B1C1DEF=VABC−A1B1C1−VA1−ADF−VB1−BDE−VC1−CEF即可判断．
【解答】
解：设三棱柱ABC−A1B1C1的高为ℎ，
对于A，因为D，E，F分别是棱AB，BC，CA的中点，
所以S△DEF=14S△ABC，
所以VA1−DEF=13AA1·S△DEF
=13ℎ·14S△ABC=112V，故A错误；
对于B，S▱ADEF=12S△ABC，
所以VA1−ADEF=13ℎ·S▱ADEF
=13ℎ·12S△ABC=16V，故B正确；
对于C，VA1B1ABEF=VABC−A1B1C1−VFCE−A1B1C1
=V−13ℎ·S△FCE+S△A1B1C1+ S△FCE·S△A1B1C1
=V−13ℎ·14S△ABC+S△ABC+12S△ABC
=V−712ℎ·S△ABC=V−712V=512V，
故C正确；
对于D，VA1B1C1DEF=VABC−A1B1C1−VA1−ADF−VB1−BDE−VC1−CEF
=V−3VA1−ADF=V−3×13×14S△ABC·ℎ
=V−14V=34V，
故D错误．
12.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查不等式的关系以及等式和不等式的化简求解，属于较难题。
先根据已知的等式利用完全平方公式化简得到(a+b)2−(a+b)=ab，然后利用a和b均为正数得到不等式，然后再带入选项依此证明选项即可。
【解答】
由a2+b2+ab=a+b，得(a+b)2−(a+b)=ab
因为a，b是正数，所以ab>0，从而(a+b)2−(a+b)>0解得a+b>1
因为a≠b，所以ab<(a+b)24，
从而(a+b)2−(a+b)<(a+b)24，解得a+b<43因为1所以ab=(a+b)2−(a+b)∈(0,49)，从而ab<12．
故选ABD．
13.【答案】12
【解析】【分析】
本题考查概率的求法，考查条件概率，是基础题．
利用条件概率公式直接求解．
【解答】
解：记事件A为取出的球颜色不同，事件B为球的编号之和为奇数，
则P(A)=C21·C31C52=35，P(AB)=1+2C52=310，
则P(B|A)=P(AB)P(A)=31035=12．
14.【答案】1,3
【解析】【分析】
本题考查平面向量数量积，平面向量夹角，属于基础题．
由b与a的夹角为锐角确定a⋅b的范围，即可求解．
【解答】
解：因为b与a的夹角为锐角，设b与a的夹角为θ，0<θ<π2，
则a⋅(a+b)=a2+a⋅b=1+|a||b|csθ=1+2csθ，
因为0即a⋅(a+b)的取值范围为1,3．
15.【答案】−4
【解析】【分析】
本题考查数列的递推式的运用，以及等比数列的定义和通项公式，考查运算能力，属于基础题．
由数列的递推式和等比数列的定义、通项公式，可得所求．
【解答】
解：由Sn=2an+λ，可得a1=−λ，
n≥2时，Sn−1=2an−1+λ，又Sn=2an+λ，
相减可得an=2an−2an−1，即an=2an−1，
可得an=−λ⋅2n−1，
则Sn=λ−λ⋅2n，
由S6=252，可得λ−λ⋅26=252，
解得λ=−4．
故答案为：−4．
16.【答案】 26
【解析】【分析】
本题考查了双曲线的定义和直线与双曲线的位置关系，是中档题．
设双曲线的焦距为2c，点M(x1,y1)，N(x2,y2)直线MN的方程为y= 3(x−c)，代入x2−y2=a2，由韦达定理和△MNF1的周长得出a，可得C的焦距．
【解答】
解：设双曲线的焦距为2c，点M(x1,y1)，N(x2,y2)，
则|MN|=|MF2|+|NF2|= 1+3·x1−x2=2 x1+x22−4x1x2
由题意，直线MN的方程为y= 3(x−c)，代入x2−y2=a2得2x2−6 2ax+7a2=0，
所以x1+x2=3 2a，x1x2=7a22，从而|MN|=4a．
△MNF1的周长为|MF1|+|NF1|+|MN|=4a+2|MN|=12a，
由题意，a=112.所以焦距2c=2 2a= 26．
17.【答案】解：(1)设{an}的公差为d，由题意，得a1+4d=1，2a1+16d=−2，
所以a1=3，d=−12，
故an=3−12(n−1)=7−n2．
(2)由题意，[a1]=3，[a2]=[a3]=2，[a4]=[a5]=1，⋯，[a10]=[a11]=−2．
T11=b1+b2+b3+b4+b5+⋯+b10+b11
=23+2(22+2+⋯+2−2)=2312．
所以[T11]=23．
【解析】本题考查了等差数列的通项公式、数列求和，是中档题．
(1)结合等差数列的通项公式可得{an}的通项公式;
(2)结合分组求和及[x]定义可得答案．
18.【答案】解：(1)零假设H0：对“腊八节”民俗的了解程度与年龄相互独立，
由题意得χ2=10016×44−16×24240×60×32×68=10051<2.706，
根据小概率的值α=0.1的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，
即认为对“腊八节”民俗的了解程度没有年龄差异．
(2)设选择题部分和填空题部分答对题目分别为X和Y，
因为X服从B(5,0.8)，E(X)=5×0.8=4．
由题意，Y的可能取值为1，2，3，
PY=1=C31C22C53=310,PY=2=C32C21C53=35,PY=3=C33C53=110，
所以EY=310+2×35+3×110=1.8，
设受调者答对题目数量的期望为EX+Y=EX+EY=4+1.8=5.8个.
【解析】本题主要考查的是独立性检验，离散型随机变量的均值，二项分布，属于中档题．
(1)由独立性检验直接计算即可；
(2)根据离散型随机变量求得填空题部分的期望，与选择题的期望相加即可．
19.【答案】解：(1)由题意三角形面积S=a2sinBsinCcsA=12absinC，
因为a和b均不等于0，sinC≠0，所以asinB=12bcsA.
由正弦定理得sinAsinB=12sinBcsA，
因为sinB≠0，所以sinA=12csA，故tanA=12
(2)由(1)sinA=12csA以及sin2A+cs2A=1得sinA= 55，csA=2 55
所以cs(B+C)=−csA=−2 55，
由cs(B+C)=csBcsC−sinBsinC以及csBcsC=− 55，得sinBsinC= 55
由正弦定理得bcsin Bsin C=a2sin2A，所以bc= 5
所以由余弦定理得b2+c2=a2+2bccsA=1+4=5．
【解析】本题考查解三角形、正弦定理和余弦定理，属于中档题。
(1)根据三角形的面积公式和正弦定理进行计算即可；
(2)先由条件计算出csA，sinA，再根据正弦定理和余弦定理求解即可。
20.【答案】解：取AD中点O，连接OB，OP．
(1)△PAD中，因为PA=PD，所以OP⊥AD．
△AOB中，因为AB= 2，AO=12BC=1，∠BAD=45∘，
由余弦定理，得OB=1，所以OB2+AO2=AB2，即OB⊥AD．
因为OP，OB是平面BOP内的两条相交直线，
所以AD⊥平面BOP．
因为PB⊂平面BOP，所以AD⊥PB．
因为AD/​/BC，所以PB⊥BC．
(2)由(1)知，PB⊥BC，所以PB2=PC2−BC2，则PB=3，
又PO= PA2−AO2=2 2，PO2+OB2=9=PB2，所以PO⊥OB．
因为OP⊥AD，AD,OB是平面ABCD内的两条相交直线，
所以PO⊥平面ABCD．
如图，建立空间直角坐标系O−xyz，
则A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(−2,1,0)，D(−1,0,0)，P(0,0,2 2).
则AB=(−1,1,0)，PB=(0,1,−2 2)，BC=(−2,0,0)．
设平面PAB的法向量为m=(x,y,z)，
则AB⋅m=0,PB⋅m=0，即−x+y=0,y−2 2z=0，取m=(2 2,2 2,1)．
设平面PBC的法向量为n=(a,b,c)，
则BC⋅n=0,PB⋅n=0，即−2a=0,b−2 2c=0，取n=(0,−2 2,−1)．
因为csm,n=m⋅n|m||n|=−9 17×3=−3 1717．
由图可得二面角A−PB−C为钝角，
所以二面角A−PB−C的余弦值为−3 1717．
【解析】本题考查线面垂直的判断与性质，考查向量法求二面角，属于中档题．
(1)取AD中点O，连接OB，OP，可得OP⊥AD，由余弦定理及勾股逆定理可得OB⊥AD，从而可证明；
(2)可证明PO⊥OB，PO⊥平面ABCD，以O为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解．
21.【答案】(1)解：因为点A(2,2)在抛物线E:x2=2py上，所以p=1，
所以抛物线E的方程为：x2=2y．
设B(x1,x122)，C(x2,x222)，x1≠2，x2≠2且x1≠x2．
由题意x122−2x1−2+x222−2x2−2=0，化简得x1+x2=−4，
所以，直线BC的斜率为x122−x222x1−x2=x1+x22=−2；
(2)解：由(1)设直线BC的方程为y=−2x+m，代入x2=2y，
消去y得：x2+4x−2m=0则△=16+8m>0，
x1+x2=−4，x1x2=−2m，
因为直线BC被圆M截得的线段长为2 305，
所以(2−m)25=r2−( 305)2，
化简得：(m−2)2=5r2−6 ①
由0直线AB的方程为y−2=x1+22(x−2)，即(x1+2)x−2y−2x1=0．
因为直线AB与圆M相切，所以|−4−2x1| (x1+2)2+4=r，
化简得(x1+2)2=4r24−r2，
同理，(x2+2)2=4r24−r2，
因为x1，x2是方程x2+4x+4−4r24−r2=0的两根，
所以x1x2=4−4r24−r2，
故−2m=4−4r24−r2 ②
由 ① ②解得m=0(m=± 26舍)，则r= 2．
【解析】本题主要考查了抛物线方程以及直线与曲线方程的综合运用，属于较难题．
(1)先求抛物线的方程，然后设坐标利用直线AB与直线AC的斜率之和为0以及韦达定理求解即可;
(2)结合(1)的信息先设直线BC的方程与抛物线联立得到一元二次方程x2+4x−2m=0，然后利用直线BC被圆M截得的线段长求m的范围，接着根据直线AB，AC均与圆M:x2+(y−2)2=r2(022.【答案】解：(1)当a=1时，f(x)=ex−lnx，x>0．
因为f′(x)=ex−1x在(0,+∞)上单调递增，且f′(12)<0，f′(1)>0，
所以，存在x0∈(12,1)，使得当x∈(0,x0)时，f′(x)<0;当x∈(x0,+∞)时，f′(x)>0．
且f′(x0)=0，即ex0=1x0．
故f(x)在(0,x0)上单调递减，在(x0,+∞)上单调递增，f(x)存在唯一的极小值点x0．
因为f(x0)−2=ex0−lnx0−2=1x0+x0−2=(x0−1)2x0>0，所以f(x0)>2．
(2)令f(x)=ex+(1−a)x−lnax=0，得ex+x=ax+lnax，设g(x)=ex+x，
因为g′(x)=ex+1>0，所以g(x)在定义域上单调递增，
而ax+lnax=elnax+lnax，则有g(x)=g(ln(ax))，
由题意，x1为x=lnax的两个根中较小的根，即ex1=ax1，x1>0．
又由题意，有ax1=ln(1+s)−css+2，从而ex1=ln(1+s)−css+2，
则有ln(1+s)−css+1>0，
设φ(s)=ln(1+s)−css+1，s>−1，
当s>0时，ln(1+s)>0，−1≤−css≤1，所以φ(s)>0符合题意，
当−10，
所以φ(s)在(−1,0]上单调递增，φ(s)⩽φ(0)=0，不合题意，
所以s>0．
设m(x)=ex−ln(1+x)+csx−2，则m′(x)=ex−11+x−sinx，
因为x>0，令p(x)=ex−x−1，q(x)=x−sinx，则p′(x)=ex−1>0，q(x)=1−csx≥0，
所以p(x)，q(x)在(0,+∞)上单调递增，从而p(x)>0，q(x)>0，即ex>x+1，x>sinx.
故m′(x)>1−11+x=x1+x>0，即m(x)在(0,+∞)单调递增，所以m(x)>0，
所以ex>ln(1+x)−csx+2，从而es>ln(1+s)−css+2=ex1，即s>x1．
【解析】本题考查了函数的单调性问题，极值点，考查函数的零点，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，分类讨论思想，是难题．
(1)求出函数的导数f′(x)=ex−1x，判断函数的单调性当x∈(0,x0)时，f′(x)<0;当x∈(x0,+∞)时，f′(x)>0，即可得出极值点，判断f(x0)−2与0的大小即可求解；
(2)令f(x)=0，得ex+x=ax+lnax，设g(x)=ex+x，g(x)在定义域上单调递增，得x=lnax，判断得x1>0.s>0.设m(x)=ex−ln(1+x)+csx−2，m(x)在(0,+∞)单调递增，得ex>ln(1+x)−csx+2，从而es>ex1，即s>x1．年龄
了解程度
不了解
了解
30岁以下
16
24
50岁以上
16
44
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828