人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.1 数列的概念精品练习

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考点一 数列的有关概念和分类
【例1-1】（2022秋·吉林白山）现有下列说法：
①元素有三个以上的数集就是一个数列；
②数列1，1，1，1，…是无穷数列；
③每个数列都有通项公式；
④根据一个数列的前若干项，只能写出唯一的通项公式；
⑤数列可以看着是一个定义在正整数集上的函数．
其中正确的有（ ）．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】B
【解析】对于①，数列是按一定次序排成的一列数，而数集的元素无顺序性，①不正确；
对于②，由无穷数列的意义知，数列1，1，1，1，…是无穷数列，②正确；
对于③，不是每个数列都有通项，如按精确度为得到的不足近似值，
依次排成一列得到的数列没有通项公式，③不正确；
对于④，前4项为1，1，1，1的数列通项公式可以为，等，
即根据一个数列的前若干项，写出的通项公式可以不唯一，④不正确；
对于⑤，有些数列是有穷数列，不可以看着是一个定义在正整数集上的函数，⑤不正确，
所以说法正确的个数是1.
故选：B
【例1-2】（2023春·高二课时练习）下列数列哪些是有穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？
(1)2017，2018，2019，2020，2021；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)9，9，9，9，9，9.
【答案】答案见解析
【解析】（1）因数列（1）只有5项，且依次增大，故（1）为有穷数列，且为递增数列.
（2）因数列（2）有无限项，所以不是有穷数列，当的增大时，也增大，故为递增数列.
（3）因数列（3）有无限项，所以不是有穷数列，当的增大时，减小，故为递减数列.
（4）因数列（4）有无限项，所以不是有穷数列，因数列正负交替，故数列不是递增数列，也不是递减数列，也不是常数列.
（5）因数列（5）有无限项，所以不是有穷数列，因数列为1，0，-1，0循环，故数列不是递增数列，也不是递减数列，也不是常数列.
（6）因数列（6）只有5项，故（1）为有穷数列，且各项均为9，故为常数数列.
【一隅三反】
1．（2023·全国·高二专题练习）下列有关数列的说法正确的是（ ）
A．同一数列的任意两项均不可能相同B．数列，0，2与数列2，0，是同一个数列
C．数列2，4，6，8可表示为D．数列中的每一项都与它的序号有关
【答案】D
【解析】对于A中，常数列中任意两项都是相等的，所以A不正确；
对于B中，数列，0，2与2，0，中数字的排列顺序不同，不是同一个数列，所以B不正确；
对于C中，表示一个集合，不是数列，所以C不正确；
对于D中，根据数列的定义知，数列中的每一项与它的序号是有关的，所以D正确.
故选：D.
2．（2023北京）下列有关数列的说法正确的是（ ）
A．同一数列的任意两项均不可能相同
B．数列，，与数列，，是同一个数列
C．数列1，3，5，7可表示为
D．数列2，5，2，5，…，2，5，…是无穷数列
【答案】D
【解析】例如无穷个3构成的常数列3，3，3，…的各项都是3，故A错误；
数列，0，1与数列0，1，中项的顺序不同，即表示不同的数列，故B错误；
是一个集合，故C错误；根据数列的分类，数列2，5，2，5，…，2，5，…中的项有无穷多个，所以是无穷数列，D正确.
故选：D.
3．（2023云南）（多选）下列结论正确的是（ ）
A．数列1，2，3与3，2，1是两个不同的数列．
B．任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．
C．若数列用图象表示，则从图象上看是一群孤立的点．
D．若数列的前n项和为，则对任意，都有.
【答案】ACD
【解析】由数列的定义可知选项A正确；
一个数列可以是常数列，因此选项B错误；
根据数列的图象特征可知选项C正确；
由的意义可知选项D正确，
故选：ACD
4．（2022·全国·高二专题练习）下列各式哪些是数列？若是数列，哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？
（1）{0，1，2，3，4}；
（2）0，1，2，3，4；
（3）所有无理数；
（4）1，－1，1，－1，1，－1，…；
（5）6，6，6，6，6
【答案】答案见解析
【解析】数列是按照一定次序排列的一列数.
（1）是集合，不是数列.
（3）不能构成数列，因为无法把所有的无理数按一定顺序排列起来.
（2）（4）（5）是数列，其中（4）中项数有无穷多，故是无穷数列，（2）（5）中项数是有限的，故是有穷数列.
考点二 数列的前几项和数列的通项公式互化
【例2-1】（2023·全国·高二随堂练习）观察以下各数列的特点，用适当的数填空，并对每一个数列各写出一个通项公式：
(1)2，4，______，8，10，12；
(2)2，4，______，16，32，______，128，______；
(3)______，4，3，2，1，______，，______；
(4)______，4，9，16，25，______，49.
【答案】(1)，
(2)，
(3)，
(4)，
【解析】（1）根据数列的规律可知其是偶数数列，于是空格填，符合的通项为；
（2）根据数列的规律发现后一个数是前一个数的倍，故三个空分别填，符合的通项为；
（3）根据数列的规律发现后一个数比前一个数少，故三个空分别填，符合的通项为；
（4）根据数列的规律可知其是每个正整数的平方，故两个空分别填，符合的通项为.
【例2-2】（2023·安徽）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数．他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的1，3，6，10称为三角形数，第二行的1，4，9，16称为正方形数，则三角形数、正方形数所构成的数列的第5项分别为（ ）
A．14，20B．15，25C．15，20D．14，25
【答案】B
【解析】三角形数：第一个数1，第二个数1+2=3，第三个数1+2+3=6，第四个数1+2+3+4=10，第五个数1+2+3+4+5=15．
正方形数：第一个数，第二个数，第三个数，第四个数，第五个数．
故选:B．
【例2-3】（2023春·广东佛山 ）是数列的（ ）
A．第6项B．第7项C．第8项D．第9项
【答案】A
【解析】观察条件式可知原数列为：，而，即为第6项，故选：A
【一隅三反】
1．（2023秋·新疆·高二校联考期末）已知数列，则该数列的第项为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意知：该数列的通项公式为，.故选：A.
2.（2023·山东）数列的第8项是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】观察可看为
分母是，分子为，故第8项为，故选：A.
3．（2023·福建）若数列的前四项依次是2，0，2，0，则的通项公式不可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意知，.
对于A，由得符合条件，故A正确；
对于B，由得符合条件，故B正确；
对于C，由得符合条件，故C正确；
对于D，由得，，
不符合条件，故D错误.
故选：D.
4．（2023·全国·高三专题练习）如图，第个图形由第边形“扩展”而来的.记第个图形的顶点数为，则 .

【答案】
【解析】由图易知：，，，，
从而易知，
所以.
故答案为：
5．（2023秋·高二课时练习）观察下面数列的变化规律，用适当的数填空，并写出每个数列的一个通项公式．
(1)（ ），7，12，（ ），22，27，…；
(2)，，（ ），，，，（ ），…；
(3)1，，（ ），2，，（ ），，…；
(4)，，（ ），，…．
【答案】(1)2，17，
(2) ， ，
(3) ， ，
(4) ，
【解析】（1）因为 ， ，
原数列为2，7，12，17，22，27，…，相邻两项的差都是5，
故 .
（2）由 ，原数列可化为，， ，，，， ，…，
可得 .
（3）由 ， ，原数列可化为 ，， ， ，，，，
得 .
（4）因为原数列可化为 ， ， ， ，…，
所以 .
考点三 由递推公式求数列的指定项
【例3-1】（2023春·广东韶关·高二校考期中）已知数列满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，所以，.
故选：C
【例3-2】（2023·湖南）在数列中，，，则（ ）
A．B．1
C．D．2
【答案】D
【解析】，，，
，
可得数列是以3为周期的周期数列，
.
故选：D.
【一隅三反】
1．（2023春·新疆喀什）已知首项为1的数列{}中，，...，则=（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【解析】因为
，
故正确.
故选：.
2．（2022秋·甘肃天水·高二统考期中）在数列中，，，则（ ）
A．B．C．D．3
【答案】A
【解析】在数列中，由，得，
于是，因此数列是以4为周期的周期数列，
所以.
故选：A
3．（2023秋·高二课时练习）写出下列数列的前5项：
(1)，；
(2)，；
(3)，．
【答案】(1)，，，，
(2)，，，，
(3)，，， ，
【解析】（1）由题意, ，，，
，.
（2）由题意, ，，，
，.
（3）由题意，，，，，.
考点四 数列的单调性及应用
【例4-1】（2023秋·高二课时练习）已知数列满足，若为递增数列，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】若为递增数列，则，
则有，对于恒成立．
，对于恒成立，．
故选：A．
【例4-2】（2023春·北京怀柔·高二统考期末）数列的通项公式为，若是递增数列，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为数列的通项公式为，且是递增数列，
所以对于都成立，
所以对于都成立，
即对于都成立，
所以对于都成立，
所以，即的取值范围是，故选：D
【一隅三反】
1．（2023春·辽宁沈阳·高二沈阳二中校考阶段练习）已知数列的通项公式为，若对于，数列为递增数列，则实数k的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为数列为递增数列，
所以，即，
整理得：，
因为当时，单调递减，
，
所以.
故选：C.
2．（2023·河北）已知数列的通项公式为，其最大项和最小项的值分别为（ ）
A．1，B．0，C．，D．1，
【答案】A
【解析】因为，所以当时，，且单调递减；
当时，，且单调递减，且，
所以最小项为，最大项为.
故选：A.
3．（2023·湖南）已知函数，设数列的通项公式为，则下列选项错误的是（ ）
A．的值域是R；
B．的最小值为；
C．；
D．数列是单调递增数列.
【答案】A
【解析】由于，故A选项错误；
，，
，
是递增数列，又，，
，即，
即的最小值为，故B,C,D选项正确：
故选：A.
4．（2023秋·高二课时练习）已知数列满足，，若对于任意都有，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为时，，而要满足，故要单调递减，所以，解得，
时，，而要满足，故要单调递减，所以，
从而，还需满足，解得，所以实数的取值范围是.故选：C
考点五 由递推公式求通项公式
【例5-1】（2023春·高二单元测试）已知数列满足，则 .
【答案】
【解析】因为，，所以，
所以为常数数列，且，所以.
故答案为：.
【例5-2】（2023春·上海浦东新·高一华师大二附中校考期末）已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式 ．
【答案】
【解析】由题知，，
则，
，
又，符合上式，
所以.
故答案为：
【一隅三反】
1．（2022春·吉林长春·高二东北师大附中校考期中）已知数列，且，则的通项公式 ．
【答案】
【解析】因为，
所以数列为常数列，所以，即.
故答案为:.
2．（2022春·浙江嘉兴·高二浙江省海盐高级中学校考开学考试）已知数列的前项和为，则数列的通项公式 .
【答案】
【解析】当时，；
当时，；
显然时也符合上式，所以.
故答案为：
3．（2023秋·黑龙江牡丹江·高二牡丹江市第二高级中学校考期末）已知是数列的前n项和，且满足，则数列的通项公式 .
【答案】
【解析】当时，，
当时，，
显然，故.
故答案为：