人教A版 (2019)选择性必修 第二册第四章 数列4.1 数列的概念精品练习

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1（2023·北京）已知数列满足，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】∵数列满足，，
∴，，，
故选：D．
2．（2023春·辽宁铁岭 ）已知数列，则该数列的第2024项为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】该数列的通项公式为，所以.
故选：D.
3．（2023春·四川遂宁·高二射洪中学校考阶段练习）下面图形由小正方形组成，请观察图①至图④的规律，并依此规律，写出第n个图形中小正方形的个数是（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，，，，，，，，
等式两边同时累加得，即，也符合该式，
所以第个图形中小正方形的个数是．故选：C
4．（2023春·江西上饶·高二上饶市第一中学校考阶段练习）数列，3，，15，的一个通项公式可以是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】数列各项正､负交替，故可用来调节，
又，
所以通项公式为
故选：A.
5．（2023春·四川眉山）图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到．图二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第n代“勾股树”所有正方形的个数与面积的和分别为（ ）

A．；nB．；
C．；nD．；
【答案】D
【解析】第一代“勾股数”中正方形的个数为，面积和为2，
第二代“勾股数”中正方形的个数为，面积和为3，
第三代“勾股数”中正方形的个数为，面积和为4，
…
第n代“勾股数”中正方形的个数为，面积和为，
故选：D
6．（2023秋·福建宁德·高二福建省宁德第一中学校考阶段练习）数列的通项公式为，那么“”是“为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当时，，
数列为递增数列，充分性成立；
当数列为递增数列时，，
恒成立，又，
，必要性不成立；
“”是“为递增数列”的充分不必要条件.
故选：A.
7．（2023春·上海浦东新）已知数列的通项公式为，且为递增数列，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】∵数列的通项公式为，数列是递增数列，
∴，恒成立
即，恒成立，而随n的增大而增大，
即当时，取得最小值2，则，
所以实数 的取值范围是 ，
故选：B.
8．（2023·河南安阳）将正整数排成下表：
则在表中数字2021出现在（ ）
A．第44行第77列B．第45行第82列
C．第45行第85列D．第45行第88列
【答案】C
【解析】因为每行的最后一个数分别为1，4，9，16，…，
所以可归纳出第行的最后一个数为，
又因为，，
所以2021在第45行，且第45行最后一个数为2025，
又因为第1行有1个数，第2行有3个数，第3行有5个数，第4行有7个数，…，
由此可归纳出第行有个数为，
所以第45行共有89个数，
又因为最后一个数是2025，第89个数是2025，
所以第88个数是2024，第87个数是2023，第86个数是2022，第85个数是2021.
故选：C.
多选题（每道题目至少有两个选项为正确答案，每题5分，4题共20分）
9．（2023秋·高二课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．数列可以用图象来表示
B．数列的通项公式不唯一
C．数列中的项不能相等
D．数列可以用一群孤立的点表示
【答案】ABD
【解析】对于A，由数列定义知，数列是以项数为自变量，项为因变量的特殊函数，故可以用图象来表示，A正确；
对于B，若数列有通项公式，则该数列的通项公式不一定唯一，
例如：数列的通项公式可以为，
也可以为，B正确；
对于C，数列中的项可以相等，如常数列，C不正确；
对于D，由数列是特殊的函数且知，数列可以用一群孤立的点表示，D正确.
故选：ABD
10．（2022秋·福建宁德·高二统考期中）已知数列，则下列说法正确的是（ ）
A．此数列的通项公式是B．是它的第项
C．此数列的通项公式是D．是它的第项
【答案】AB
【解析】数列，即，
则此数列的通项公式为，A正确，C错，令，解得，故B正确，D错.
故选：AB
11．（2023·湖北）数列满是，则（ ）
A．数列的最大项为B．数列的最大项为
C．数列的最小项为D．数列的最小项为
【答案】BD
【解析】因为，所以，
由，得到，且易知，时，，当时，，
所以
所以数列的最大项为，最小项为，
故选：BD.
12．（2023春·湖北省直辖县级单位·高二校考阶段练习）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题目，该数列从第一项起依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则（ ）
A．数列第16项为144B．数列第16项为128
C．200是数列第20项D．200不是数列中的项
【答案】BC
【解析】数项分别为2，8，18，32，50，即，，，，，
即偶数项对应的通项公式为，则数列的第16项为第8个偶数
即，故选:BC．
填空题（每题5分，4题共20分）
13．（2023·福建宁德）在数列中，，则数列的最大项是第 项．
【答案】4
【解析】，当时，取得最大值.故答案为：4
14．（2023·北京）已知数列的前n项和，则 .
【答案】
【解析】当时，，
当时，，
不满足上式.故.
故答案为：.
15．（2023·湖南）公元前四世纪，毕达哥拉斯学派对数和形的关系进行了研究．他们借助几何图形（或格点）来表示数，称为形数．形数是联系算术和几何的纽带．如图，数列1，6，15，28，45，…，从第二项起每一项都可以用六边形表示出来，故称它们为六边形数，那么该数列的第8项对应的六边形数为 ．
【答案】120
【解析】由题意，从第二个图形开始，把最外面六边形右侧两条边延长构成一个新的六边形，
新六边形每条边上的点数比原来多一个，
因此我们有：， ，，
,,
，，
．
故答案为:120.
16．（2023春·江西南昌 ）已知数列满足，若对于任意的都有成立，则实数a的取值范围为 .
【答案】
【解析】根据题意，数列满足成立，则数列为递增数列，
又由数列满足，则有，解可得：，
即a的取值范围是；故答案为：.
解答题（17题10分，18-22题每题12分，6题共70分）
17．（2023秋·高二课时练习）根据规律写出数列的通项
(1)；
(2)；
(3)
(4)；
(5)
【答案】(1)(2)(3)(4)（5）
【解析】（1）解：，，，，，
归纳猜想得.
（2）解：，，，，。
归纳猜想得.
（3）解：，，，，
，，，
归纳猜想得.
（4）解：，，，，，
归纳猜想得.
（5）解：，，，，，
归纳猜想得.
18．（2023春·黑龙江鸡西·高二鸡西市第四中学校考期中）已知数列.
(1)这个数列的第4项是多少?
(2)150是不是这个数列的项？若是，求出它是第几项；若不是，请说明理由；
(3)该数列从第几项开始各项都是正数？
【答案】(1)；(2)是，第16项；(3)第7项.
【解析】（1）；
（2）令，即，
即，解得或（舍去），
故150是这个数列的项，为第16项；
（3）令，，解得或，
因为n为正整数，所以从第7项开始都为正数.
19．（2023秋·湖北襄阳）已知数列的通项公式为．
(1)判断数列的单调性，并证明你的结论；
(2)若数列中存在的项，求的值．
【答案】(1)是递减数列，证明见解析
(2)
【解析】（1）因为，故数列是递减数列，
证明：数列中，，则，
所以，故数列是递减数列；
（2）若，即，变形可得，解得：或（舍去），故．
20．（2023秋·高二课时练习）已知无穷数列，，，…，，…．
(1)求这个数列的第10项和第31项．
(2)是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？
(3)证明：不是这个数列中的项．
【答案】(1)，
(2)是这个数列中的第项
(3)证明见解析
【解析】（1）因为无穷数列，，，…，，…，
所以该数列的通项公式为，
则，.
（2）因为，
将代入，得，解得或（舍去），
所以是这个数列中的第项.
（3）因为，
将代入，得，即，解得（负值舍去），
又，故也不满足题意，
所以不是这个数列中的项.
21（2023·北京昌平）在数列中，若，且，
则称为“数列”.设为“数列”，记的前项和为.
(1)若，求，，的值；
(2)若，求的值；
(3)证明：中总有一项为1或3.
【答案】(1)，，
(2)
(3)证明见解析
【解析】（1）当时，中的各项依次为10，5，8，4，2，1，4，2，1，，
即数列从第四项开始每三项是一个周期，
所以，，
，，，
所以.
（2）①若是奇数，则是偶数，，
由，得，解得，适合题意.
②若是偶数，不妨设，则.
若是偶数，则，由，
得，此方程无整数解；
若是奇数，则，由，
得，此方程无整数解.
综上，.
（3）证明：首先证明：一定存在某个，使得成立.
否则，对每一个，都有，
则在为奇数时，必有；
在为偶数时，有，或.
因此，若对每一个，都有，则，，，单调递减，
注意到，显然这一过程不可能无限进行下去，
所以必定存在某个，使得成立.
经检验，当，或，或时，中出现1；
当时，中出现3，
综上，中总有一项为1或3.
22．（2023·江苏）数列满足，.
(1)求数列是单调递减数列的充分必要条件；
(2)求c的取值范围，使得数列是单调递增数列.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【解析】本题的递推关系式对应的背景为二次函数，对称轴为.
（1）当时，由于初始值即为，故，为常数列；
当时，由图4的迭代过程可知数列是单调递减数列不成立；
当时，由图5的迭代过程可知函数图像上点始终往负方向迭代，因而数列是单调递减数列.

（2）由第（1）问可知，若要让数列是单调递增数列，由图4和图5的分析显然需满足.若二次函数的顶点在的上方，如图4所示，由条件①设的两根为、，由，取，而此时，则不满足条件②，从而数列是单调递增数列不成立.因此，二次函数的顶点需落在的下方，如图6所示，此时由函数迭代图像得，且趋向于q，即，从而可得到.