高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列精品同步练习题

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A．60B．45C．30D．15
【答案】B
【解析】因为，所以．故选：B．
2．（2023春·江苏镇江·高二江苏省丹阳高级中学校考期中）一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一，塔的排列顺序自上而下，第一层1座，第二层3座，第三层3座，第四层5座，第五层5座，从第五层开始，每一层塔的数目构成一个首项为5，公差为2的等差数列，总计一百零八座，则该塔共有（ ）
A．八层B．十层C．十一层D．十二层
【答案】D
【解析】设该塔共有层，则，即，
解得或（舍），即该塔共有层.故选：D
3．（2023春·江西宜春·高二校考期中）已知数列的前n项和为，且，则=（ ）
A．0B． C． D．
【答案】D
【解析】由可得，故数列为等差数列，
又，故也成等差数列，
即 ，故选：D
4．（2023·高二课时练习）在等差数列中，，其前项和为，若，则（ ）
A．0B．2018C．D．2020
【答案】D
【解析】设等差数列的公差为d，
由等差数列的性质可得为等差数列，的公差为.
，，解得.则.
故选：D.
5．（2023·全国·高二专题练习）已知等差数列的公差，，那么（ ）
A．80B．120C．135D．160
【答案】C
【解析】在等差数列中，公差，，
所以,
所以，
故选：C
6．（2023秋·湖北武汉·高二武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期末）若数列是等差数列，首项，公差，则使数列的前项和成立的最大自然数是（ ）
A．4043B．4044C．4045D．4046
【答案】B
【解析】因为是等差数列，首项，公差，
所以是递减数列，
又因为，
所以，
所以，
，
所以使数列的前项和成立的最大自然数是4044.
故选：B.
7．（2022·高二单元测试）已知等差数列的前项和为，则（ ）
A．若，，则，B．若，，则，
C．若，，则，D．若，，则，
【答案】B
【解析】设等差数列的公差为，
A选项，若，，，，则，
，则，
，无法判断符号，A选项错误.
B选项，，则，
所以，所以.
，则，
所以，，B选项正确.
C选项，若，，，
，则，
，则，
则，，C选项错误.
D选项，若，，则，
当时，所以，
但，所以D选项错误.
故选：B
8．（2023春·浙江·高二杭州市萧山区第五高级中学校联考期中）等差数列的公差不为0，其前n和满足，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】等差数列的公差不为0，其前n和满足，因此是的最大值，显然，
从而，即，，，
．
故选：C．
多选题（每道题目至少有两个选项为正确答案，每题5分，4题共20分）
9．（2023春·云南大理·高二统考期末）记为等差数列的前项和，已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【解析】设等差数列的公差为．
∵，∴，且，解得：，，
∴，．
故选：BC．
10．（2023秋·福建龙岩·高二福建省连城县第一中学校考阶段练习）设等差数列的前n项的和为，公差为d．已知，，，则（ ）
A．B．
C．与均为的最大值D．当时，n的最小值为13
【答案】ABD
【解析】等差数列中，则，即，
所以由等差数列的性质可得，又，所以，故A正确；
已知，，，，
所以，，，
解得，故B正确；
等差数列中，，可知的最大值为，故C错误；
等差数列中，所以，
继而可得，又，故D正确.
故选: ABD.
11．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨德强学校校考阶段练习）等差数列前项和为，已知，下列结论正确的是（ ）
A．最大B．C．D．
【答案】ABC
【解析】设等差数列的公差为
对于A，，
，故
可得等差数列单调递减，且，则最大，故A正确；
对于B和D，，故B正确，D错误；
对于C，因为，所以，故C正确
故选:ABC.
12．（2023秋·河北邯郸·高二统考期末）某公司超额完成上一年度制定的销量计划，准备在年终奖的基础上再增设20个“幸运奖”，随机抽取“幸运奖”，按照名次，发放的奖金数由多到少依次成等差数列.已知第3名对应的“幸运奖”奖金为1500元，前8名对应的“幸运奖”奖金共11400元，则（ ）
A．第1名对应的“幸运奖”奖金为1600元
B．第1名对应的“幸运奖”奖金为1650元
C．该公司共需准备“幸运奖”奖金22000元
D．该公司共需准备“幸运奖”奖金22500元
【答案】AD
【解析】设第1名，第2名，…，第20名所得“幸运奖”奖金分别为元，元，…，元，
等差数列的前n项和为，公差为d，
依题意可知，，
解得，，则，
故第1名对应的“幸运奖”奖金为1600元，该公司共需准备“幸运奖”奖金22500元.
故选：AD
填空题（每题5分，4题共20分）
13．（2023春·高二课时练习）等差数列共有项，所有的奇数项之和为，所有的偶数项之和为，则等于 ．
【答案】
【解析】因为等差数列共有项，
所有奇数项之和为，
所有偶数项之和为，
所以，，解得.
故答案为：.
14．（2023春·安徽·高二校联考期末）公元前1800年，古埃及的“加罕纸草书”上有这样一个问题：将100德本（德本是古埃及的重量单位）的食物分成10份，第一份最大，从第二份开始，每份比前一份少德本，求各份的大小.在这个问题中，最小的一份是 德本.
【答案】
【解析】题意得，将份数从小到大构成等差数列，且，，，
∴，解得.
故答案为：
15．（2023·全国·高二专题练习）一个等差数列共有偶数项,偶数项之和为84,奇数项之和为51,最后一项与第一项之差为63,则该数列公差为 .
【答案】3
【解析】题知不妨设等差数列为,首项为,公差为,项数为,
故有
,
两式相减,
因为,
故,
故.
故答案为:3
16．（2023春·福建福州·高二校考期末）在等差数列中,,其前项和为,则 .
【答案】110
【解析】由题知为等差数列,记数列,
所以,由,可知,
所以是以2为首项,1为公差的等差数列,
所以,
所以,所以.
故答案为:110
解答题（17题10分，18-22题每题12分，6题共70分）
17．（2023春·广东佛山·高二校联考阶段练习）设数列的前项和为，数列是公差为的等差数列，且
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前20项和．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为数列是公差为的等差数列，且，
所以，即，
当时，，
当时，，
经检验，当时，依然成立，
故.
（2）因为，
所以，
故.
18．（2023·全国·高二专题练习）已知为等差数列的前n项和，，.
(1)求的通项公式；
(2)若，的前项和为，求.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）设数列的公差为，则
解得，，
所以
（2）由，可得，
数列的最小正周期，
所以，
所以
19（2023春·湖北省直辖县级单位·高二校考阶段练习）设单调递减的等差数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式及前项和；
(2)设数列的前项和为，求.
【答案】(1)，
(2)
【解析】（1）因为数列为等差数列，所以，
又，解得，或，
又因为数列单调递减，所以，
所以，所以，解得，
所以.
（2）由，解得，
，解得，即，
所以当时，，
当时，，
综上.
20（2023春·贵州黔东南·高二校考阶段练习）已知数列的前n项和为，满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列中的最大项和最小项．
【答案】(1)
(2)最大项为，最小项为
【解析】（1）由题意，当时，，
当时，，
当时，也满足上式，
（2）由（1）可知，，
则数列是单调递增的等差数列，
当，即时，，
当，即时，，
而
所以当时，，且数列单调递减，即；
当时，，且数列单调递减，即，
数列中的最大项为，最小项为.
21．（2023春·北京丰台·高二北京市第十二中学校考期中）已知等差数列的前n项和公式为，，．
(1)求的通项公式；
(2)若对，恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）设等差数列的公差为，
由题意可得，
且，则，
可得，
所以.
（2）由（1）可得：，
则，
因为的开口向上，对称轴为，
且，则当时，取到最小值，
可得，即，
所以的取值范围为.
22．（2023春·浙江杭州·高二校联考期中）已知等差数列的前项和为，且，，数列满足，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：．
【答案】(1)，，，
(2)证明见解析
【解析】（1）设等差数列公差为，则，整理得，解得，
∴，，
对于数列：当时，，
当时，由，得，
两式相减得，当时，也满足上式，
∴，．
（2）由（1）得，，
则
，
∴，
∵
，
∴数列是单调递增数列，当时，，
∴，故不等式对任意恒成立．